Oder ist es gar ein Drillingsparadoxon? Bild: publicdomainpictures.net, gemeinfrei (CC0)
Oder ist es gar ein Drillingsparadoxon? Bild: publicdomainpictures.net, gemeinfrei (CC0)

Den heutigen Artikel (bzw. eigentlich den folgenden 2. Teil…) wollte ich schon schreiben, als ich noch darüber grübelte, was ich wohl auf einem eigenen Blog schreiben könnte. Es geht um das Zwillingsparadoxon der speziellen Relativitätstheorie. Mit Martin Bäker hatte ich mal eine private Diskussion, in der er die Meinung vertrat, man erkläre es am besten mit einem Minkowski-Diagramm, während mir das Diagramm für Laien eher wenig intuitiv erscheint und ich statt dessen auf ein praktisches, durchgerechnetes Beispiel aus verschiedenen Perspektiven setzen würde. Nachdem Martin mit seinem Artikel The Good, the Bad, and the Ugly – die Erklärung(en) des Zwillingsparadoxons einen faktischen Undercut vorgelegt hat, in dem insbesondere das Rechnen eines Beispiels sehr schlecht wegkommt, lege ich hier mal nach – mit einem ebensolchen. Mal schauen, wie diese Erklärung bei den Lesern im Vergleich so ankommt.

 

Das Relativitätsprinzip

Beginnen wir heute zunächst mit einer kleinen Zusammenfassung der Grundaussage der speziellen Relativitätstheorie (RT), dem Relativitätsprinzip, das wir dann zum Zwillingsparadoxon weiter führen. Wer das alles schon kennt, kann den heutigen Artikel überspringen, sollte aber beim nächsten nochmal reinschauen, weil die Perspektive ungewohnt sein wird (und erhellend, wie ich finde).

Die ganze spezielle RT lässt sich aus einer einzigen Grundannahme ableiten:

Die Lichtgeschwindigkeit c=299.792.458 m/s erscheint in allen Inertialsystemen gleich groß.

Ein Inertialsystem ist dabei ein gleichförmig bewegtes, kräftefreies, also unbeschleunigtes Bezugssystem, das folglich der Bewegung seiner eigenen Massenträgheit folgt (lat. inertia = Trägheit). Das kann in erster Näherung1 ein Physik-Schulklassenraum sein, eine mit konstanter Geschwindigkeit fahrende Eisenbahn, die ISS oder ein gerade antriebslos fliegendes Raumschiff im weiten Weltraum.

Eine verschärfte Form des Relativitätsprinzips besagt:

Man kann in jedem Inertialsystem alle physikalischen Experimente durchführen und wird zu den gleichen Ergebnissen kommen.

Man kann ohne ein äußeres Bezugssystem also durch kein Experiment und keine Beobachtung erschließen, mit welcher Geschwindigkeit man sich bewegt, man kann seine Geschwindigkeit immer nur relativ zu einem anderen Objekt (respektive Bezugssystem) messen und kann dann selbst entscheiden, wer von beiden eigentlich in Ruhe ist (wenn überhaupt). Mehr noch: eine absolute Geschwindigkeit gibt es nicht. Nicht einmal die Differenzgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit bietet einen Bezugspunkt.

Wenn man in einem fahrenden Zug einen Ball dribbelt, springt der Ball aus eigener Sicht senkrecht auf und ab. Von außen gesehen würde der Ball hingegen eine Zickzack-Linie vollführen, denn er bewegt sich mit dem Zug vorwärts, während er auf und ab springt. Der Ball würde sich außerdem von außen gesehen insgesamt viel schneller bewegen, denn zur Auf- und Ab-Geschwindigkeit addierte sich die Vorwärtsbewegung des Zuges hinzu.

Nun dachte man früher, das sei bei Licht ebenso. Wenn man die Lichtgeschwindigkeit etwa in Richtung der Erdbewegung um die Sonne messe, sollte sich die Bewegung der Erde zur Lichtgeschwindigkeit addieren, in Gegenrichtung subtrahieren und bei anderen Winkeln käme die Vektorsumme der Geschwindigkeiten heraus2. Zahlreiche Experimente haben jedoch ergeben, dass die Lichtgeschwindigkeit stets konstant erscheint. Auch von einer schnellen Rakete aus gesehen kommt das Licht von vorne nur mit c auf die Rakete zu, und ein von ihr ausgesandter Laserstrahl würde sie mit c verlassen, egal in welcher Richtung.

Diese Grundannahme, c=const.,  führt über ein Gedankenexperiment zwingend zu den Formeln der speziellen RT. Wenn c=const., dann sind die Folgerungen der speziellen RT unvermeidlich.

 

Die Lichtuhr

Analog zum gedribbelten Ball in der Bahn denke man sich zwei senkrecht übereinander montierte horizontale Spiegel, deren Spiegelflächen aufeinander zu gerichtet seien. Zwischen den beiden Spiegeln werde ein Lichtstrahl hin und her reflektiert. Dies entspricht dem Prinzip einer Uhr: das Licht hat eine feste Geschwindigkeit und braucht für den festen Abstand der Spiegel eine feste Zeit t, um einmal von unten nach oben und zurück zu laufen. Zählt man die Augenblicke, in denen der Strahl zum gleichen Spiegel zurückkehrt, so hat man eine konstante Zeitbasis wie den Pendelschlag einer Wanduhr oder die Schwingung eines Taktquartzes in der Armbanduhr, daher heißt dieses hypothetische Konstrukt Lichtuhr.

Nehmen wir an, Angela (A) und Horst (H) seien zwei Beobachter, die sich mit großer Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, denn Horst befindet sich in einem sehr schnell fliegenden Raumschiff, das sich mit atemberaubender Geschwindigkeit v nach rechts bewege, während Angela auf der Erde in stoischer Ruhe verweile.

Horst habe eine Lichtuhr an Bord und Angela könne diese beobachten. Horst sieht seine Uhr ebenfalls ticken, und analog zum gedribbelten Ball bewegt sich der Lichtstrahl für ihn mit Lichtgeschwindigkeit c auf und ab. Für einen halben Schlag (einfache Strecke zwischen den Spiegeln) brauche sie die Zeit t’ (Bild unten, links).

 

Lichtuhr aus der Sicht von Horst (links) und Angela (rechts). Siehe Text. Bild: Autor.

Angela sieht hingegen, dass der Lichtstrahl einem Zickzack-Kurs folgt, während das Raumschiff sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt (Bild oben, rechts). Der Lichtweg ist ganz offenbar länger, aber c ist gemäß aller durchgeführten Experimente konstant, folglich dauert ein Zeittick aus Angelas Sicht länger; nennen wir diese Zeit t. Die Verlangsamung des Zeitablaufs eines bewegten Beobachters wird Zeitdilatation genannt (lat.  dilatare = dehnen).

Man kann aus diesem Konstrukt ganz einfach herleiten, wie sich die beobachtete Ganggeschwindigkeit von Horsts Uhr aus Angelas Sicht aus der Geschwindigkeit v ergibt, mit der Horst sich relativ zu Angela bewegt:

Herleitung des Lorentzfaktors γ, siehe Text. Bild: Autor

Herleitung des Lorentzfaktors γ, siehe Text. Bild: Autor

Aus Angelas Sicht bewegt sich die Lichtuhr in der Zeit t um die Strecke v·t nach rechts (Bild oben). Während der gleichen Zeit t legt der Lichtstrahl die Strecke c·t nach rechts oben zurück. Aus Horsts Sicht läuft der Strahl hingegen senkrecht nach oben in der Zeit t’, also legt er aus seiner Sicht die (kürzere) Strecke c·t’ zurück.

Wie groß t’ im Vergleich zu t ist, lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen, denn wie wir oben im Bild erkennen können, haben wir es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun, und da gilt: die Summe der Quadrate über den kurzen Seiten (Katheten) ist so groß wie das Quadrat über der langen, dem rechten Winkel gegenüber liegenden Seite (Hypotenuse). Also ist (c·t’)2 + (v·t)2 = (c·t)2. Nach ein paar einfachen Umformungen, die man oben rechts im Bild findet, folgt t’ = t/γ, wobei γ (“Gamma”) der sogenannte Lorentzfaktor ist, benannt nach dem Physiker Hendrik Antoon Lorentz; zum Faktor wird γ, wenn man ihn auf die andere Seite der Gleichung holt: t’·γ=t.

γ hängt, wie in der letzten Zeile rechts unten im Bild zu sehen ist, von der Geschwindigkeit v und der Lichtgeschwindigkeit c ab. Für v deutlich kleiner als c ist γ geringfügig größer als 1 und t’ fast exakt gleich t, wie wir es im Alltag gewohnt sind. Wenn v sich jedoch c nähert, wächst γ schnell ins Unermessliche und für v=c gibt es keinen definierten Wert mehr: man kann die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen.

Für v=0,8c (rund 240.000 km/s) hat γ den Wert 5/3, d.h. nach obigem ist t’ = t ÷ (3/5) = t · 5/3 = 0,6 · t. D.h. Angela sieht Horsts Uhr mit nur 60% der Geschwindigkeit ihrer eigenen Zeitmessung ticken.

Wenn Horst jetzt beispielsweise bei Alpha Centauri (Entfernung: 4,3 Lichtjahre) vorbei fliegt, er sich relativ zur auf der Erde ruhenden Angela mit der Relativgeschwindigkeit v = 0,8c sieht und für ihn nur 60% der Zeit vergeht, dann erreicht er aus seiner Sicht Alpha Centauri natürlich nach 60% der Flugzeit, die Angela beobachten würde: Angela würde messen, dass Horst nach 4,3 LJ/0,8c = 5,375 Jahren am Ziel eintrifft. Horst würde aber behaupten, nur 5,375 J · 0,6 =3,225 Jahre unterwegs gewesen zu sein und somit auch nur 3,225 J · 0,8c = 2,58 LJ = 4,3 LJ · 0,6 zurück gelegt zu haben. Wenn also dem als ruhend betrachteten Beobachter die Zeit des relativ zu ihm bewegten Beobachters um 1/γ verlangsamt erscheint, dann erscheint dem bewegten Beobachter eine Strecke im Bezugssystem des ruhenden Beobachters um 1/γ verkürzt – so bekommt man die vermeintliche Zeitdifferenz auf dem Weg zu Alpha Centauri wieder mit der Entfernung aus beider Perspektiven in Einklang. Das Phänomen nennt sich relativistische Längenkontraktion. Übrigens sieht Angela auch Horsts Raumschiff auf 60% seiner Länge gestaucht. Die Richtungen senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben unverändert.

 

Das Zwillingsparadoxon

Aus der Zeitdilatation kommt man nun zum eigentlichen Problem, dem Zwillingsparadoxon. Im Original werden Zwillingsgeschwister betrachtet, weil sie gleich alt sind, und dann einer von ihnen auf einem Raumflug mit hoher Geschwindigkeit weniger altert als sein Geschwister. Vermutlich sind Angela und Horst keine bei der Geburt getrennten zweieiigen Zwillinge, aber uns geht’s ja nur um das Prinzip.

Horst ist also mit 0,8c in 3,225 Bordjahren nach Alpha Centauri geflogen, findet dort aber keine Migranten Aliens und kehrt unverzüglich mit der gleichen Geschwindigkeit zurück. Nach weiteren 3,225 Jahren seiner Bordzeit (insgesamt 6,45 Jahren Flugzeit) erreicht er wieder die Erde, aber für Angela sind in der Zwischenzeit zweimal 5,375 = 10,75 Jahre (siehe oben) vergangen. So weit, so gut.

Nun gilt aber das Relativitätsprinzip, demgemäß Horst mit gleichem Recht behaupten kann, er habe sich gar nicht bewegt, sondern Angela sei es, die erst mit -v nach links und später wieder mit v nach rechts rase. Demgemäß würde er Angelas Uhren verlangsamt laufen sehen. Das gilt auf dem Hin- und auf dem Rückflug – der Lorentzfaktor hat für v und -v die gleiche Größe. Aus dieser Sicht wäre Angela ja eigentlich jünger geblieben. Wie passt das unter einen Hut? Wie kann denn jeder vom anderen behaupten, dessen Uhr liefe langsamer? Das ist doch völlig paradox!

Wie sich in der speziellen Relativitätstheorie dieses Problem auflöst, folgt dann im 2. Teil. Wir werden das Problem aus drei Blickwinkeln betrachten und feststellen, dass es gar kein Problem gibt – alle werden sich einig darüber sein, wieviel Zeit bei Angela und Horst vergangen ist.

[Update 13.07.18:] Und weil das alles zu lang und unübersichtlich wurde, gibt’s noch einen tabellarischen, übersichtlicheren Teil mit allen Formeln und Bildern, aber weniger Text.

1 Natürlich herrscht auf der Erde Schwerkraft, so dass alle nicht frei fallenden, erdgebundenen Bezugssysteme in der Vertikalen keinesfalls Inertialsysteme sein können, aber in der horizontalen Ebene und unter Minimierung von Reibungskräften, Luftwiderstand und der Erdrotation kann man auch auf der Erde beschränkt Experimente wie in einem Inertialsystem machen.

2 Das hier angeschnittene Michelson-Morley-Experiment nahm an, das Licht bewege sich wie Wasserwellen durch ein Medium, den sogenannten “Äther”, und die Erde sei in Bewegung relativ zum Äther. Die Geschwindigkeit des Lichts in der Messapparatur hing aber nicht von der Richtung in Bezug auf die Erdbewegung ab, auch nicht jahreszeitlich bei verschiedenen Richtungen der Erdbewegung um die Sonne. Das Ergebnis wäre verträglich damit, dass entweder der Äther von der Erde lokal mitgezogen würde, oder wie beim im Zug gedribbelten Ball die Geschwindigkeit relativ zur bewegten Lichtquelle konstant wäre. Weitere Experimente (siehe Link im Haupttext) ergaben jedoch, dass beide Annahmen falsch waren.

Kommentare (54)

  1. #1 Beobachter
    aus der Vogelperspektive
    10. Juli 2018

    ” … Nehmen wir an, Angela (A) und Horst (H) seien zwei Beobachter, die sich mit großer Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, denn Horst befindet sich in einem sehr schnell fliegenden Raumschiff, das sich mit atemberaubender Geschwindigkeit v nach rechts bewege, während Angela auf der Erde in stoischer Ruhe verweile. … ”

    :-)

    Obwohl … hm … : Man könnte sich drüber streiten, ob nicht schon die Grundannahme falsch ist und Angela nicht in stoischer Ruhe verweilt, sondern sich auch wie Horst nach rechts bewegt, nur mit etwas geringerer Geschwindigkeit …

    Da kommt`s immer auf den Blickwinkel und die Sehschärfe des Beobachters der beiden Beobachter an …

    :-)

  2. #2 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    @Beobachter

    Dann musst halt danach trachten, dass du bezüglich Angela (A) immer auf konstanten Abstand bleibst. Dann ist Angela (A) mit ihren Spiegeln für dich in Ruhe und ihr beiden habt dann die gleiche Zeitbasis. Du brauchst also keine Spiegeln mitführen.

  3. #3 Karl Mistelberger
    10. Juli 2018

    100 Jahre Relativitätstheorie: Clifford Will hat das Jubiläum zum Anlass genommen und konstatiert: Of course, there are no paradoxes! … This is not a paradox, it’s merely sloppy accounting:

    Consistency tests of special relativity

    Bleibt anzumerken, dass Will die bei weitem kürzeste und klarste Darstellung abliefert.

  4. #4 UMa
    10. Juli 2018

    Nun gilt aber das Relativitätsprinzip, demgemäß Horst mit gleichem Recht behaupten kann, er habe sich gar nicht bewegt, sondern Angela sei es, die erst mit -v nach links und später wieder mit v nach rechts rase.

    Nein, natürlich nicht. Das Relativitätsprinzip der speziellen Relativitätstheorie gilt nur für Inertialsysteme.

    Horst ist nicht mal näherungsweise ein Inertialsystem.

    Denn er hat seine Geschwindigkeit drastisch verändert, und damit das Inertialsystem gewechselt. Möglicherweise könnte dieser häufigere Irrtum die Grundlage für den Namen Paradoxon sein.

  5. #5 Alderamin
    10. Juli 2018

    Könntest ja auch mal auf Teil 2 warten… 😉

  6. #6 Michael
    10. Juli 2018

    @ 5

    Der Kommentar von @ 4 deutet darauf hin, dass er das Problem versteht, aber nicht will. Da hilft kein Zwinker-Smiley, da hilft nur ignorieren. Da das blöd aussieht, haben Sie ihn vermutlich trotzdem gesetzt.

  7. #7 Alderamin
    10. Juli 2018

    UMa kommentiert schon lange hier, er ist kompetent und hat sogar schon einen Gastartikel geschrieben, wir kennen uns also. Der darf das.

    Aber ich muss ja erst mal einen Spannungsbogen aufbauen. Natürlich ist das Paradoxon nur ein Schein-Paradoxon, sage ich ja auch oben. Auf den ersten Blick klingt es jedenfalls merkwürdig, dass in der RT die Zeitdilataion in beiden Beobachtungsrichtungen gilt und dann trotzdem ein Zwilling gegenüber dem anderen gealtert sein soll.

  8. #8 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    @Michael

    UMa hat richtig erkannt, dass beim Zwillingsparadoxon keine Symmetrie bezüglich der Bewegung gegeben ist.
    Würden Horst und Angela die gleichen Bewegungen aber nur mit umgekehrten Vorzeichen ausführen und einander wieder treffen, so würden beide gleich schnell gealtert sein.

  9. #9 Frank Wappler
    dto.
    10. Juli 2018

    Alderamin schrieb (10. Juli 2018):
    > Die Lichtuhr […] zwei senkrecht übereinander montierte horizontale Spiegel, deren Spiegelflächen aufeinander zu gerichtet seien. Zwischen den beiden Spiegeln werde ein Lichtstrahl hin und her reflektiert.

    > Angela (A) und Horst (H) seien zwei Beobachter, die sich mit großer Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen

    > Horst habe eine Lichtuhr an Bord

    Um genauer auszudrücken, welche relevanten unterscheidbaren gegenüber einander ruhenden Bestandteile von Horsts Lichtuhr “senkrecht übereinander (bzgl. Angelas Bewegungsrichtung)” gewesen sein sollen, möchte ich auch denen die folgenden Namen geben:

    – “Jockl” für die eine Kante des einen Spiegels (quer/orthogonal zu Angelas Bewegungsrichtung),
    – “Kilian” für die andere Kante dieses Spiegels (ebenfalls quer/orthogonal zu Angelas Bewegungsrichtung),
    – “Paul” für die eine Kante des anderen Spiegels (ebenfalls quer/orthogonal zu Angelas Bewegungsrichtung), und schließlich
    – “Quirin” für die eine Kante des anderen Spiegels (ebenfalls quer/orthogonal zu Angelas Bewegungsrichtung);

    kurz: J, K, P und Q.

    Dabei sollen J und P genau “senkrecht übereinander (bzgl. Angelas Bewegungsrichtung)” gewesen sein,
    sowie K und Q genau “senkrecht übereinander (bzgl. Angelas Bewegungsrichtung)” gewesen sein;
    sodass für deren Distanzverhältnisse untereinander gilt:
    \left( \frac{JP}{KQ} \right) = 1, \left( \frac{JK}{PQ} \right) = 1,
    \left( \frac{JQ}{KP} \right) = 1, sowie (wegen “Ebenheit der Projektion”):
    \left( \frac{JK}{KP} \right)^2 + \left( \frac{JP}{KP} \right)^2 = 1.

    > und Angela könne diese beobachten.

    Gewiss.
    Bestimmt hat auch Angela eine eigene Lichtuhr, wovon zumindest ein Spiegel in diesem Bild grau schattiert angedeutet ist.

    Die unterscheidbaren relevanten gegenüber einander ruhenden Kanten der beiden Spiegel von Angelas Lichtuhr sollen entsprechend verschieden folgendermaßen benannt sein:

    – “Franziska” für die eine Kante des einen Spiegels (quer/orthogonal zu Horsts Bewegungsrichtung),
    – “Gertrude” für die andere Kante dieses Spiegels (ebenfalls quer/orthogonal zu Horsts Bewegungsrichtung),
    – “Roberta” für die eine Kante des anderen Spiegels (ebenfalls quer/orthogonal zu Horsts Bewegungsrichtung), und schließlich
    – “Sieglinde” für die eine Kante des anderen Spiegels (ebenfalls quer/orthogonal zu Horsts Bewegungsrichtung);

    kurz: F, G, R und S.

    (Im Folgenden könnten auch noch weitere Beteiligte in Betracht gezogen werden, die gegenüber Angela und den vier genannten ruhten, z.B. “Bernadette”, B, “Charlotte”, C, “Ursula”, U, und “Walburga”, W.)

    Dabei sollen F und R genau “senkrecht übereinander (bzgl. Horsts Bewegungsrichtung)” gewesen sein,
    sowie G und S genau “senkrecht übereinander (bzgl. Horsts Bewegungsrichtung)” gewesen sein;
    sodass für deren Distanzverhältnisse untereinander gilt:
    \left( \frac{FR}{GS} \right) = 1, \left( \frac{FG}{RS} \right) = 1,
    \left( \frac{FS}{GR} \right) = 1, sowie (wegen “Ebenheit der Projektion”):
    \left( \frac{FG}{GR} \right)^2 + \left( \frac{FR}{GR} \right)^2 = 1.

    Zur Beschreibung der Beziehungen zwischen all diesen Kantenpaaren (von Angelas Lichtuhr und Horsts Lichtuhr) gehört außerdem offenbar,

    – dass J sowohl von F als auch G getroffen und passiert wurde (der Konkretness halber z.B. in genau dieser Reihenfolge),
    – dass K zuerst von F und danach auch von G getroffen und passiert wurde,
    – dass P zuerst von R und danach auch von S getroffen und passiert wurde,
    – dass Q zuerst von R und danach auch von S getroffen und passiert wurde,
    – dass F zuerst von J und danach auch von K getroffen und passiert wurde,
    – dass G zuerst von J und danach auch von K getroffen und passiert wurde,
    – dass R zuerst von P und danach auch von Q getroffen und passiert wurde, und
    – dass S zuerst von P und danach auch von Q getroffen und passiert wurde.

    > Horst sieht seine Uhr ebenfalls ticken, und analog zum gedribbelten Ball bewegt sich der Lichtstrahl für ihn mit Lichtgeschwindigkeit c auf und ab.

    > Für einen halben Schlag (einfache Strecke zwischen den Spiegeln) brauche sie die Zeit t’ (Bild unten, links).

    Zeit” ??
    Oder gar “Koordinaten-Zeit” ?? …

    Vermutlich ist (stattdessen) eine bestimmte Dauer gemeint, und zwar (z.B.) die halbe Ping-Dauer Js bzgl. P, d.h. \frac{1}{2}~\tau J^{\text{ping}P},

    sodass sich (aus der chronometrischen Definition von “Distanz”) ergibt:
    JP := c ~ \frac{1}{2}~\tau J^{\text{ping}P},

    und das dabei benutzte (offenbar von Null verschiedene) Symbol c schließlich als Signalfront-Geschwindigkeit (alias “Lichtgeschwindigkeit im Vakuum”) zu identifizieren ist.

    > Angela sieht hingegen, dass der Lichtstrahl einem Zickzack-Kurs folgt

    Sicherlich lassen sich B und U so finden, dass

    B und U gegenüber Angela, F, G, R und S als auch gegenüber einander ruhten,
    B und J einander trafen/passierten, so dass P und R koinzident damit, dass sie einander trafen/passierten auch wahrgenommen hatten, dass B und J einander getroffen/passiert hatten, und
    U von J getroffen und passiert wurde und beide dabei/koinzident wahrnahmen, dass sich P und R getroffen und passiert hatten.

    Aus der obigen Forderung, dass F und R genau “senkrecht übereinander (bzgl. Horsts Bewegungsrichtung)” gewesen sein sollen, ergibt sich:

    \left( \frac{BF}{FU} \right) = 1, \left( \frac{BR}{RU} \right) = 1,
    \left( \frac{BF}{BU} \right) + \left( \frac{FU}{BU} \right) = 1, sowie (wegen “Ebenheit der Projektion”):
    \left( \frac{BF}{BR} \right)^2 + \left( \frac{FR}{BR} \right)^2 = 1.

    > Aus Angelas Sicht bewegt sich die Lichtuhr in der Zeit t um die Strecke v·t nach rechts (Bild oben).

    Zeit” ??
    Oder gar “Koordinaten-Zeit” ?? …

    Jedenfalls würden Angela und die ihr gegenüber ruhenden genannten weiteren Beteiligten die Bewegung Js mit
    \beta_{\text{Angela}}[ \, J \, ] \equiv \beta_{\{BFU\}}[ \, J \, ] := 1 / \left( \left(\frac{BR}{BU}\right) + \left(\frac{RU}{BU}\right) \right) = \left(\frac{BF}{BR}\right)
    bewerten.

    Zusammen: \left( \frac{FR}{BR} \right) = \sqrt{1 - (\beta_{\text{Angela}}[ \, J \, ])^2 },

    wobei natürlich auch BR := c ~ \frac{1}{2}~\tau B^{\text{ping}R}.

    Ein bestimmter Zusammenhang zwischen (z.B.) den Dauern \tau J^{\text{ping}P} und \tau B^{\text{ping}R} ließe sich daraus wiederum herleiten, falls (z.B.) der Wert des Distanzverhältnisses \left( \frac{JP}{FR} \right) schon bekannt wäre. Aber ist dessen Wert überhaupt bekannt ?? …

    (Falls nicht, verlasse ich mich auf https://scilogs.spektrum.de/relativ-einfach/latex-spielwiese/#comment-31574 zur Herleitung des Vergleichs von Dauern zwischen Beteiligten, wie Angela und Horst, die nicht gegenüber einander ruhen.)

  10. #10 bruno
    10. Juli 2018

    RT – ok. Aber Horsti und Angela haben meinen Tag gemacht!! WER aber setzt denn bitte Horst ins Raumschiff nach AC?!
    Und dass die Bundesregierung unter Zeitdilatation leidet…

    Aber warum gibt es HIER keine Vorschau von html? Beim Meister gibts das.

  11. #11 uwej
    10. Juli 2018

    Danke für die interessanten Beiträge hier und dort zum Thema “Zwillingsparadoxon”.

    Eine Grundsatzfrage habe ich zum Setup:
    “Angela sieht hingegen, dass der Lichtstrahl einem Zickzack-Kurs folgt, während das Raumschiff sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt (Bild oben, rechts).”

    Ist das eine realistische Einschätzung? Kann Angela ein entsprechendes Experiment durchführen, um das Hingegen tatsächlich “zu sehen”? Wie sähe (oder sieht) das aus?

  12. #12 Herr Senf
    10. Juli 2018

    Nun Wappler#9 kann nicht anders als unnötig kompliziert :-)
    Wegen des Reflexionsgesetzes nehmen wir schmale Spiegel.

  13. #13 Alderamin
    10. Juli 2018

    Na ja, dem Tempo des Lichtstrahls oder überhaupt dem Tempo des Raumschiffs könnte natürlich kein Auge folgen, man denke sich das in Superzeitlupe aufgenommen. Der Lichtstrahl aus der Uhr könnte mit Nebel sichtbar gemacht werden, Streuung zur Seite. Ähnliches sieht man bei Lichtechos um Novae oder Supernovae. Oder man lässt die Uhr bei jedem Tick ein Lichtsignal aussenden.

    Wir vernachlässigen übrigens auch die Lichtlaufzeit und den Dopplereffekt, wir betrachten nur den Augenblick, wenn das Raumschiff auf unserer Höhe ist und wir im rechten Winkel auf seine Bewegung sehen. Es gibt noch eine ganze Reihe anderer Effekte (z.B. eine Verdrehung des Raumschiffs, wir sehen die Vorderseite, obwohl wir senkrecht auf die Seite des Schiffs schauen; das Licht von der vorderen, entfernten Kante hat einen längeren Weg und erreicht uns von einem früheren Zeitpunkt, als der Winkel noch ein anderer war, als zu dem Zeitpunkt, zu dem wir die vordere nähere Kante sehen). Wenn man alles genau berücksichtigen will, wird’s aber zu kompliziert für Anfänger.

  14. #14 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    @Herr Senf

    Also auf Anhieb sehe ich nicht, was Wappler da in #9 macht. Werde es aber genauer anschauen, wenn ich Zeit dafür habe. 😉

  15. #15 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    Upss …
    Damit die Antwort an der richtigen Stelle erscheint, da muss ich wohl noch üben.

  16. #16 uwej
    10. Juli 2018

    @12

    Anfänger hin oder her: daran sollte die Wissenschaft nicht scheitern. Mich interessierte gerade, ob es solche von Fachleuten ausgedachte Experimente gibt oder geben kann, wo alles berücksichtigt worden ist und man schließen kann: “Angela sieht hingegen, dass der Lichtstrahl einem Zickzack-Kurs folgt, während das Raumschiff sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt (Bild oben, rechts).”?

    Ich schätze Ihre konstruktiven Beiträge sehr und frage das aus Neugierde, um die logischen (?) ad-hoc-Voraussetzungen richtig zu verstehen.

  17. #17 MartinB
    10. Juli 2018

    @Alderamin
    Undercut, soso. 😉

    Das eigentliche Paradoxon ergibt sich, weil Horst, nachdem er es bei Alpha Centauri doof fand, umkehren und sich nach links bewegen müsste. Das widerspricht garantiert dem ersten Hauptsatz der Bayrodynamik.

  18. #18 MartinB
    10. Juli 2018

    @uwej
    Wenn man die Laufzeiten der Signale zum Betrachter berücksichtigt (was normalerweise nich tgemacht wird, wie Alderamin ja erklört hat), dann wird die Sache schnell unübersichtlich. Das was Alderamin erklärt hat, nennt sich Terrell-Rotation:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Terrell_rotation
    Kannst du auf deinem rechner auch selbst ausprobieren, wie die Welt dann aussieht:
    http://gamelab.mit.edu/games/a-slower-speed-of-light/

  19. #19 uwej
    10. Juli 2018

    @18 MartinB Danke für die Erläuterung.

    Aber meine Frage wollte lediglich mit ja, kann man experimentell machen, oder nein, das geht eigentlich gar nicht beantwortet werden.

    Wenn das eine sinnlose Frage ist, wäre ich unter Umständen auch damit einverstanden. Links auf theroretische Modelle sind nicht gemeint,mich interessiert die Möglichkeit eines Experiments, die die Aussage über Angela oben verifizieren kann (nicht, daß ich das nicht nachvollziehen könnte).

  20. #20 Frank Wappler
    http://Wo.t'.draufsteht--und.t'.drin.ist--und.t'.hineinkommt--muss.nicht.unbedingt.nur.t'.herauskommen.
    10. Juli 2018

    Karl-Heinz schrieb (#15, 10. Juli 2018):
    > […] Damit die Antwort an der richtigen Stelle erscheint, […]

    In “meinem” Browser erscheint deine Antwort (#13, 10. Juli 2018) eingerückt unter einem Kommentar von Alderamin (#12, 10. Juli 2018).
    (Ähliches auch schon hinsichtlich der Kommentare #8 und #7.)

    Wie hast du das denn gemacht ??
    Bzw.: Wo ist dokumentiert, wie das zu machen wäre ?? …

  21. #21 MartinB
    10. Juli 2018

    @uwej
    Am einfachsten ist es, man stellt sich vor, dass Angela überall Kameras installiert hat, die mit Uhren ausgestattet sind, und die so dicht am jweiligen Ereignis sind, dass man die Lichtlaufzeit vernachlässigen kann. Angela wertet dann die Bilder all dieser Kameras aus und kann daraus einen Film erstellen, wie die Situation zu einer bestimmten Zeit aussah.

  22. #22 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    Im Mail steht ANTWORT KOMMENTARE
    Ich drücke auf ANTWORT und dann steht im Browser : Antworten auf FRANK Wappler.

    Versuch mal diesen Link auszumachen und was rein zuschreiben.

    http://scienceblogs.de/alpha-cephei/2018/07/10/das-zwillingsparadoxon-minkowski-frei-teil-1/?replytocom=1903#respond

  23. #23 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    Bei Florian Freistetter funktioniert diese Respond-Möglichkeit nicht.
    Er dürfte wohl die Möglichkeit, auf ein bestimmtes Kommentar zu antworten, deaktiviert haben.

  24. #24 Herr Senf
    10. Juli 2018

    “respond” ist kurios, bringt doch alles durcheinander,
    alderamin hat sich schon mit der #12 vorgedrängelt.
    Jetzt schiebe ich bestimmt die #23 ins 24-abseits.

  25. #25 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    @Herr Senf

    Ja du hast recht.
    Ich hoffe dass Alderamin diese Möglichkeit deaktiviert.

  26. #26 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    @Herr Senf

    Ja du hast recht.
    Ich hoffe dass Alderamin diese Möglichkeit deaktiviert.

  27. #27 roel
    10. Juli 2018

    @MartinB “dass Angela überall Kameras installiert hat”
    Wie sieht das mit der DSGVO aus?

  28. #28 Herr Senf
    10. Juli 2018

    Also ich bin dafür die respond-Möglichkeit zu deaktivieren, man kann auf einen frühen
    Kommentar antworten, wo keiner mehr hinguckt, alle folgenden verschieben sich.
    Wenn einer den Zähler #xy in Bezug genommen hat, haben wir den Salat!
    Alderamin hat meine12 weggekegelt und ich hab MartinB23 verschoben ;-(

  29. #29 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    Ich bin schon gespannt wie Alderamin, der ja selbst ein EDV-ler ist das ganze sieht. 😉

  30. #30 Alderamin
    10. Juli 2018

    rolak würde wohl darauf verweisen, dass man ja auch Links auf den zitierten Kommentar setzen könne. Deine ist jetzt eine Einzelmeinung, wie sehen die anderen das? (Und wo man es abstellt, müsste ich auch erst suchen).

    Edit: ach nee, Herr Senf meinte das auch, das sind schon zwei. Irgendjemand anderer Meinung?

    Nochmal Edit: ich hab‘ da was gefunden, versucht‘s nochmal.

    Einrücken ist jedenfalls abgestellt. Ob das auch für‘ Einschieben von Kommentaren gilt, müsst Ihr mir sagen.

  31. #31 bruno
    10. Juli 2018

    oh. Die Vorschau ist da! Vielen Dank, Herr Blogbetreiber 😉

  32. #32 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    Test

  33. #33 bruno
    10. Juli 2018

    huch! hier wird ja gearbeitet… guckt ihr kein Fussball? ich bin ja a) in Frankreich und b) ist hier eine grosse belgische Organisation mein Nachbar… einer kann nur gewinnen.. ich bin gespannt.

    Und zur Frage: ich finde “uneingerückte” Antworten plausibler…. also so wie es jetzt (seit 10 Minuten) eingestellt ist…
    😉 lg

  34. #34 bruno
    10. Juli 2018

    @#9 Frank Wappler: wieviel Langeweile hast du denn?? Eine tolle formeltierische Satire!

    Aber mir fehlt noch der Einfluss von Luftfeuchtigkeit (THC >1) Dicke der Reflexionsschicht (USB +- 1mm) und Laserstrahlkohärenz (LSD <= 10%)
    mfg

  35. #35 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    Ich bin schon auf den zweiten Teil gespannt.

  36. #36 Herr Senf
    10. Juli 2018

    Jetzt kommen die Kommentare in Reihenfolge der Uhrzeit, mein erster ist wieder auf
    Nr.12, MartinB hat sich von 23/24 wieder auf #21 vorgekämpft. Sieht gut aus – Dip.

  37. #37 Funktionalistiker
    10. Juli 2018

    Alderamin schreibt: „Im Original werden Zwillingsgeschwister betrachtet, weil sie gleich alt sind, und dann einer von ihnen auf einem Raumflug mit hoher Geschwindigkeit weniger altert als sein Geschwister.“
    Materieller Befund:
    1. Der Messvorgang mit den Atomuhren, die dem Experiment selbstverständlich beigefügt wurden, wurde gleichzeitig gestartet und gleichzeitig beendet. An der Zeit kann es deswegen ja nicht liegen!!!
    2. Nun, die Alterung der Zwillinge richtet sich weder nach der Drehung der Erde noch nach der Atomuhr, die Alterung ist ein Ergebnis des in den Körpern stattfindenden Stoffwechsels.
    Frage:
    Wieso sollte also eine Geschwindigkeit den Stoffwechsel in der veranschlagten Weise reduzieren?
    Anforderung:
    Da möchte schon mal ein wenig Biologie in die Berechnungen mit einfließen, oder was reduziert den Stoffwechsel?

  38. #38 bruno
    10. Juli 2018

    @Funktionalistiker

    was reduziert den Stoffwechsel?

    Antwort: Zeit!

    Ich verstehe, dass das Problem nicht banal ist… darum sollte man sich evtl. etwas ZEIT nehmen… es zu verstehen…

    Überhaupt scheint Belgien zu verlieren. Sehr schade! Haben die jemals was gewonnen??

  39. #39 Karl-Heinz
    10. Juli 2018

    @Funktionalistiker

    Sag mir wie alt du bist. Ich mache dann eine Analyse bezüglich deines körperlichen Verfalls. 😉

  40. #40 bruno
    10. Juli 2018

    @#37 ich weiss nicht… steht doch alles im ARTIKEL… den du doch vmtl. gelesen hast??

    Die (!”§$%&/)Franzosen machen hier auf so dermassen dicke Hose… dass ich sie allein deswegen nicht mehr lieb habe….
    Ich finde Belgien unsäglich dumm… aber ich hätte ihnen mal was gegönnt… seis drum.

    RT ist nicht trivial … aber den Artikel oben drüber darf man auch ruhig gelesen haben.
    Bevor man hier kommentiert….
    April. Mai!

  41. #41 Spritkopf
    11. Juli 2018

    @Funktionalistiker

    1. Der Messvorgang mit den Atomuhren, die dem Experiment selbstverständlich beigefügt wurden, wurde gleichzeitig gestartet und gleichzeitig beendet. An der Zeit kann es deswegen ja nicht liegen!!!

    Doch. Hat man zwei Inertialsysteme, die sich relativ zueinander bewegen, vergeht darin die Zeit unterschiedlich. Im Inertialsystem selbst merkt man nichts davon, sondern man merkt es nur beim Vergleich der beiden Inertialsysteme.

    2. Nun, die Alterung der Zwillinge richtet sich weder nach der Drehung der Erde noch nach der Atomuhr, die Alterung ist ein Ergebnis des in den Körpern stattfindenden Stoffwechsels.

    Die Drehung der Erde, der Lauf der Atomuhr und der Stoffwechsel richten sich nach der vergangenen Zeit. Und wenn diese im Verhältnis zu einem anderen Inertialsystem langsamer vergeht, haben sich auch die Erddrehung, die auf der Atomuhr angezeigte Zeit und der Stoffwechsel im Verhältnis zum anderen Inertialsystem entsprechend verlangsamt.

    Wie gesagt: Im Inertialsystem selbst merkt man nichts. Die Zeit scheint wie immer zu vergehen. Siehe Albert Einstein: “Zeit ist, was die Uhr anzeigt.”

    Da möchte schon mal ein wenig Biologie in die Berechnungen mit einfließen, oder was reduziert den Stoffwechsel?

    Wie Bruno schon schrieb: Die Zeit. Bzw. ausführlicher: Die im Verhältnis zu einem anderen Inertialsystem vergangene Zeit.

  42. #42 Frank Wappler
    http://free.wikipedia.now
    11. Juli 2018

    Herr Senf schrieb (#12, 10. Juli 2018):
    > Wappler#9 [ist] unnötig kompliziert […]

    Tja — wenn die Bilder im obigen ScienceBlogs-Beitrag doch einfach vollständiger beschriftet worden wären (hätte ich mir in Kommentar #9 sicher an die 1000 Wörter sparen können) …

    Es lassen sich aber doch fertige Bilder finden, die es zumindest sehr erleichtern zu beschreiben, was daran falsch ist bzw. zur Berichtigung nötig wäre.

    Insbesondere dieses: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Time-dilation-002-mod.svg

    Darin fehlen im rechten Skizzenteil Hochstriche (“{}^{\prime}“) an den Symbolen D und L.

    Wer L^{\prime} von L zu unterscheiden vermag (entsprechend der Unterscheidung zwischen Horsts Lichtuhr und Angelas Lichtuhr in meinem obigen Kommentar #9), dürfte es auch als notwendig erachten, den Verhältniswert \left( \frac{L^{\prime}}{L} \right) zu ermitteln bzw. eine Herleitung dafür anzugeben, dass
    \left( \frac{L^{\prime}}{L} \right) = 1.

  43. #43 Leser
    11. Juli 2018

    Wo bleibt eigentlich bei dieser Betrachtung der Doppler-Effekt ?

  44. #44 Bbr
    11. Juli 2018

    @Funktionsanalistiker, #37

    Das ist eine unvermeidliche Folge des Relativitätsprinzips. Wenn eine Uhr langsamer geht, dann muss das auch für alle anderen Uhren gelten, unabhängig von der Bauart. Und auch für jeden anderen Prozess, egal ob physikalisch, biologisch oder sonst wie. Anderenfalls könnte man aus der Abweichung seine absolute Geschwindigkeit bestimmen.

    Ich weiß allerdings nicht, wie der Stand der experimentelle Überprüfung ist. Wahrscheinlich sind die biologische Zeitabläufe dafür zu ungenau messbar. Es zweifelt zwar keiner daran, aber man überprüft ja auch das Selbstverständlich.

  45. #45 Alderamin
    11. Juli 2018

    Wird nicht betrachtet, weil er (wie die Lichtlaufzeiten der jeweiligen Beobachtungen) für die Überlegungen keine Rolle spielt. Siehe auch #13.

    Man kann das Zwillingsparadoxon auch über den Dopplereffekt erklären. Tue ich hier aber nicht.

  46. #46 funktionalistiker
    11. Juli 2018

    Da es gerade regnet –
    Fiktiv:
    Ich habe mir mal den Jux gemacht und den daheim gebliebenen Zwilling zwischenzeitlich eingefroren.
    Aber da hat der gereiste Zwilling komisch aus seiner Wäsche geschaut, als er zurück war.

    Meine Erkenntnis:
    Nein, das Ganze ist über die Quantenphysik von Trägheit und Schwere in Zusammenhang mit der Beschleunigung/Geschwindigkeit zu erklären.
    Unter primärer Beachtung und exakter Würdigung des materiellen Befundes findet man die Ansätze dafür tatsächlich in der RT.
    Da muss man schon noch ein paar Jahre warten, bis sich diese Erkenntnis mal irgendwann einstellt.
    Und bis dahin geht eben die Zeit mal langsamer und mal schneller. Was solls!!

  47. #47 Stefan Koeppel
    Bad Kissingen
    11. Juli 2018

    Würde das Zwillinxsparadox in einem Torus-förmigen Raum funktionieren? In einem 4D-Torus könnte man ja in gerader Linie von der Erde weg und irgendwann wieder bei der Erde landen, ohne zu Stoppen und umzukehren.
    Oder scheitert das daran, daß Spezielle Relativitätstheorie nur im braven flachen euklidischen funktioniert?

  48. #48 Frank Wappler
    https://www.google.de/search?q=kugelsegment
    11. Juli 2018

    Funktionalistiker schrieb (#37, 10. Juli 2018):
    > […] 2. Alterung ist ein Ergebnis des in den Körpern stattfindenden Stoffwechsels.

    Von Interesse sind dabei sowohl die (instantane) Rate des Stoffwechsels des betreffenden Organismus,
    als auch der gesamte (integrale) Energieumsatz dieses Organismus über eine bestimmte Dauer \tau_{\text{Organismus}} dieses Organismus.

    (Falls von gewissen Zwillingen bekannt ist, dass deren Stoffwechselraten bisher in gleicher Weise mit deren jeweiliger Lebensdauern zusammenhing, dass also beide nach gleichen Lebensdauern auch gleich “alt aussahen”, wird wohl gelegentlich auch erwartet, dass ein solcher Zusammenhang auch weiterhin bestünde. Ob derartige Erwartungen zutreffen, oder in wie fern nicht, lässt sich im Folgenden messen.)

    > Frage: Wieso sollte [ein Raumflug des einen, mit hoher Geschwindigkeit bzgl. des anderen] den Stoffwechsel in der veranschlagten Weise reduzieren?

    Falls die Stoffwechselraten der beiden Zwillinge so zusammenhingen und auch weiterhin so zusammenhängen wie beschrieben (und wie manche erwarten mögen, und wie sich ggf. messen lässt),
    und falls die Flugdauer des raumreisenden Zwillings geringer war als die entsprechende “Verweil”-Dauer des anderen Zwillings (was sicherlich noch begründet und diskutiert werden mag),
    dann ergibt sich ein geringerer (integraler) Energieumsatz des raumreisenden Zwillings von Aufbruch bis Rückkehr als der entsprechende (integrale) Energieumsatz des anderen Zwillings vom Verlassenwerden bis zum Wiedersehen.

    (Mich interessiert allerdings viel mehr der bloße Vergleich von Dauern, bzw. dessen einigermaßen überschaubare geometrisch-kinematische Grundlagen, als die Biologie oder sonstige Dynamik von individuellen Stoffwechsel- und Alterungsprozessen.)

  49. #49 UMa
    11. Juli 2018

    @Stefan, das ist eine gute Frage. Einfacher als ein Torus wäre ein Zylinder. Da ist nur eine Seite zusammengeklebt und der Raum ist flach. Da man z.B. in Blatt Papier nicht nur gerade sondern auch schräg zusammenkleben kann, ist auch nicht eindeutig, wie ein zylinderförmiger Raum zusammengeklebt sein könnte. Z.B. könnte Licht, ob wohl es eigentlich die gleiche Strecke sein sollte, unterschiedliche Zeiten benötigen, um um den Zylinder zu laufen, je nach der Richtung. Ja es ist überhaupt nicht klar, ob nicht das Licht sogar eher wieder am Ursprungsort ankäme, als es gesendet wurde, wenn der Raum besonders “schief” zum Zylinder geklebt wurde.
    Das Zwillingsparadoxon ist dann nochmal schwieriger. Man sollte sich erstmal überlegen, wie sich das Licht überhaupt ausbreitet.

  50. #50 Karl-Heinz
    11. Juli 2018

    Ich stelle mir das so vor.
    Ihr bleibt zu hause. Ich mache einen Sonntagsausflug mit einer hohen Geschwindigkeit. Da ihr in Bezug auf mich ja eine sehr hohe Relativgeschwindigkeit habt, vergeht für euch die Zeit. Das ganze natürlich von meinem Standpunkt aus gesehen. Jetzt schwenke ich mit voller Kraft um 180°, denn ich will ja zu euch zurück. Während des Schwenks ist es eure Pflicht nachzualtern! Nach dem 180° Schwenk vergeht für euch die Zeit von meinen Standpunkt aus gesehen wieder langsamer.
    Und wehe ihr habt vergessen nachzualtern!

  51. #51 Karl-Heinz
    11. Juli 2018

    upss..

    …in Bezug auf mich ja eine sehr hohe Relativgeschwindigkeit habt, vergeht für euch die Zeit langsamer.

  52. […] ersten Teil haben wir das Relativitätsprinzip kennen gelernt und erfahren, dass die Lichtgeschwindigkeit in […]

  53. #53 Alderamin
    13. Juli 2018

    @Stefan Koeppel

    Hattest Du die Antwort von Martin und das verlinkte Paper im Thread nebenan gesehen? Die Situation ist nicht symmetrisch, weil das Umkreisen der Raumzeit etwas anderes ist, als dies nicht zu tun (kommt mir ein wenig so vor wie das Überqueren der Datumsgrenze auf der Erde, wobei man einen Tag gewinnen oder verlieren kann). Je nachdem, wie die Raumzeit mit sich selbst an der “Naht” “verklebt” ist, wären auch andere Altersdifferenzen für die gleiche Strecke und Geschwindigkeit konstruierbar (siehe Paper).

  54. […] Das Zwillingsparadoxon – Minkowski-frei (Teil 1) […]