Computer-Modelle, in denen das Verhalten realer Systeme auf der Grundlage theoretischer Modelle simuliert wird, werden inzwischen in ganz verschiedenen Disziplinen eingesetzt, von der Klimaforschung über die Ökonomie bis zur Chemie und Biologie. Sonnenflecken werden ebenso simuliert wie Teilchenkollisionen.

Aber was können solche Simulationen wirklich über die Systeme sagen, für die sie ein Modell sind? Und warum? Diese Frage untersucht der Hamburger Biochemiker und Philosoph Ulrich Krohs in seinem Aufsatz “How Digital Computer Simulations Explain Real-World Processes” [1].

ResearchBlogging.orgKrohs geht davon aus, dass es eines der Ziele der Wissenschaft ist, die Dynamik von Teilen der materiellen Welt zu erklären und zukünftiges Verhalten dieser Teile vorherzusagen. Dies geschieht mit Hilfe theoretischer Modelle. Um aus solchen Modellen Vorhersagen über die Dynamik ableiten zu können, muss das Modell analysiert oder (wenn es sich um ein mathematisches Modell handelt) „gelöst” werden. Computersimulationen sind ein Weg, solche Lösungen zu erhalten.

Theoretische Modelle

Unter einem theoretischen Modell versteht Krohs einen Teil einer wissenschaftlichen Theorie, welches ein modelliertes System, meist in formaler Weise, beschreibt. Solche Modelle bestehen aus Entitäten und Aktivitäten, welche die Mechanismen beschreiben, die die Dynamik des Systems hervorbringt. Ein theoretisches Modell hat eine erklärende Funktion, wenn die modellierten Mechanismen tatsächlich die beobachteten dynamischen Phänomene des realen Systems hervorbringt.

Krohs erläutert das am Beispiel der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion), eine chemische Reaktion, bei der periodische Farbwechsel beobachtet werden können. Das theoretische Modell dieser Reaktion besteht aus 14 Reaktionsgleichungen, die den komplizierten chemischen Prozess beschreiben, man kann es jedoch vereinfachen, sodass man ein einfacheres, aus fünf Reaktionsgleichungen bestehendes theoretisches Modell, den Oregonator, erhält.

Ein theoretisches Modell können wir also als eine konkrete Anwendung einer Theorie auf eine spezielle Situation, einen bestimmten Fall verstehen. Wir sehen uns konkrete Gegenstände in einer bestimmten Situation (Entitäten, im Beispiel von Krohs die Chemikalien im Reagenzglas) an und leiten aus der Theorie das Verhalten (die Aktivitäten) dieser Entitäten für diese Situation ab.

Der Oregonator kann in eine mathematische Form gebracht werden, dann besteht das theoretische Modell aus drei Differentialgleichungen. Durch reines Betrachten dieser Gleichungen kann ein Mathematiker schon einiges über die Dynamik des Systems ableiten: Da eine Variable in der zweiten Potenz auftritt kann man annehmen, dass es unter bestimmten Bedingungen oszillierende Lösungen geben muss. Aber welche Bedingungen sind das? Unglücklicherweise kann man das nicht einfach ausrechnen, da das Gleichungssystem nicht analytisch lösbar ist (das bedeutet, man kann sich nicht mit einem Blatt Papier hinsetzen und die Gleichungen so umformen, dass sich für jede Anfangsbedingung und alle möglichen Parameterwerte die zukünftige Entwicklung des Systems ausrechnen lässt). Das ist der Grund, warum man zum Mittel der Computer-Simulation greift, d.h., man überlässt die Berechnung des Modellverhaltens für vorgegebene Anfangsbedingungen und Parameter einem Computer-Programm.

Die dritte Säule der Wissenschaften

Bis zum Einsatz von Computer-Simulationen für wissenschaftliche Zwecke kannte die Wissenschaftler zwei hauptsächliche Arbeitsmethoden: Theorie auf der einen Seite und Empirie (Experiment und Beobachtung) auf der anderen. Wo lässt sich hier die Computer-Simulation einordnen? Offenbar ist sie eine dritte Methode des wissenschaftlichen Arbeitens, die zwischen den beiden “klassischen Verfahren” einzuordnen ist. Die meisten Autoren betrachten Computer-Simulationen als „Experimentieren mit theoretischen Modellen” oder als „numerisches Experimentieren” [2]. Krohs unternimmt im Weiteren den Versuch, zu untersuchen, warum und in welcher Weise sich aus Computer-Simulationen Aussagen über materielle Systeme ableiten lassen.

Simulationen und theoretische Modelle

Simulationen sind in erster Linie dazu da, Lösungen theoretischer Modelle in den Fällen bereitzustellen, wo analytische Lösungen nicht möglich sind, sie werden aber auch verwendet, wenn man zwar analytische Lösungen berechnen könnte, spezielle Erkenntnisziele aber die Verwendung von Simulationen effektiver machen, z.B., wenn man die Abhängigkeit qualitativer Lösungsmerkmale von Parametern beschreiben möchte.

Mathematisch ist das, was in der Computer-Simulation berechnet wird, nicht dasselbe wie das, was das theoretische Modell beschreibt. Das theoretische Modell besteht aus Diffenrentialgleichungen, um sie in einer Simulation berechnen zu können, werden sie z.B. mit Hilfe des Runge-Kutta-Verfahrens in Differenzengleichungen umgewandelt: Aus den unendlich kleinen Differentialen werden endliche Zeitschritte. Dabei treten zwei Sorten von Fehlern auf: Auf der einen Seite stimmt die Lösung der Differenzengleichung nach einem Zeitschritt natürlich nicht exakt mit der Lösung der Differentialgleichung überein. Diesen Fehler könnte man minimieren, indem man die Zeitintervalle immer kleiner macht. Statt das Verhalten des Systems innerhalb von 10 Sekunden mit zehn Zeitschritten von je 1 Sekunde zu berechnen, werden 100 Zeitschritte von je einer zehntel Sekunde berechnet. Unglücklicherweise wird der zweite Fehler größer wenn man den ersten verkleinert: Wegen der endlichen Genauigkeit einer Computer-Simulation bekommt man in jedem Schritt einen Rundungsfehler, dieser ist bei 100 Schritten natürlich 10 Mal größer als bei 10 Schritten.

Es gibt weitere Probleme bei der Ableitung eine simulation aus dem theoretischen Modell: So liefert das theoretische mathematische Modell der BZ-Reaktion für bestimmte Parameter Singularitäten (z.B. sich aufschaukelnde Schwingungen) die im Experiment nicht beobachtet werden – eine Konsequenz der Tatsache, dass das theoretische Modell ja eine starke Vereinfachung der realen Reaktion im Labor ist.

Um dieses Problem bei der Simulation in den Griff zu bekommen, wird das mathematische Modell geändert: Unter bestimmten Bedingungen werden die Veränderungs-Ausdrücke (die Differential-Quotienten) bestimmter Größen einfach auf Null gesetzt – das entspricht zwar nicht dem mathematischen Modell, dafür aber den experimentellen Beobachtungen.

Das theoretische Modell als Vermittler

Wie kann nach diesen Veränderungen am theoretischen Modell noch davon gesprochen werden, dass die Simulation eine Lösung dieses Modells liefert? Um die Beziehung zwischen Modell und Simulation zu verstehen, schlägt Krohs vor, die Blickrichtung umzudrehen:

Regarding the simulation as an empirically given and empirically investigated ‘numerical phenomenon’, the theoretical model can be regarded as a simplified description of the simulation.

Wir stellen uns also vor, dass die Computer-Simulation als reales System schon vorhanden ist. Dann ist das theoretische Modell eine vereinfachte mathematische Beschreibung des Verhaltens dieses realen Systems. Diese Umkehrung des Blickwinkels ist Krohs’ eigentlicher Clou: Die beiden realen Systeme BZ-Reaktion im Labor und Computer-Simulation haben die gleiche mathematische Beschreibung, auf diese Weise wird das theoretische Modell zum Vermittler zwischen Labor und Digital-Computer. Indem beide mit den gleichen mathematischen Gleichungen beschreibbar sind, kann man aus dem Verhalten des einen auch auf das Verhalten des anderen realen Systems schließen.

Im Verlauf der wissenschaftlichen Arbeit wird zwar zunächst aus dem experimentellen Ergebnis das theoretische Modell abgeleitet, aus dem dann wiederum die Simulation konstruiert wird, betrachtet man aber das Ergebnis, dann haben wir zwei Bereiche, in denen experimentiert wird (das Labor und der Computer) denen jeweils ein mathematisches Modell gegenübersteht.

Aus der Computer-Simulation können genau dann Aussagen über die chemischen Prozesse der BZ-Reaktion abgeleitet werden, wenn das mathematische Gleichungssystem, welches als vereinfachtes theoretisches Modell der BZ-Reaktion dient, das gleiche ist, was als vereinfachtes theoretisches Modell der Computer-Simulation (aufgefasst als tatsächlicher und eigenständiger Prozess) entwickelt worden sein könnte. Damit wird auch deutlich, unter welchen Bedingungen wir eine Computer-Simulation als adäquates Modell für einen realen Prozess (seien es Sonnenflecken, Klimaveränderungen oder Verkehrsstaus) angesehen werden kann: Sie müssen ein gemeinsames theoretisches Modell haben.

[1] Krohs, U. (2008). How Digital Computer Simulations Explain Real-World Processes International Studies in the Philosophy of Science, 22 (3), 277-292 DOI: 10.1080/02698590802567324

[2] Empfohlen sei hier das dritte Kapitel von Extending Ourselves: Computational Science, Empiricism, and Scientific Method von Paul Humphreys

Kommentare (10)

  1. #1 Webbaer
    April 5, 2010

    Aber was können solche Simulationen wirklich über die Systeme sagen, für die sie ein Modell sind?

    Modelle und in IT gegossene Simulationen haben mit der Realität wenig mehr zu tun als die Mathematik mit dem, was passiert. (Was auch nicht “wirklich” überrascht, denn die Aussagen sind fast kongruent.)

    Prognosen funktionieren nur dann, wenn sie eine Umformung der Realität darstellen, die direkt (das Fachwort an dieser Stelle 😉 ist, d.h. ein fallender Stein wird einen Hund unter sich begraben, sofern dieser ungünstig steht, und das Wetter wird durch Umformung prognostizierbar, ebenso auch die nächste Wahl (wenn zeitnah in Urnennähe abgeklopft wird) im Ergebnis vorab bekannt.

    Jeder, der im Bereich der Wirtschaft an bestimmter Stelle unterwegs war, wird das bestätigen können, man muss umformen und schauen, was passiert, aber es ist spekulativ.
    Bspw. H.Schmidt hält demzufolge Visionen auch für ein pathologisches Symptom, und nicht nur der.

    Sowas –

    Damit wird auch deutlich, unter welchen Bedingungen wir eine Computer-Simulation als adäquates Modell für einen realen Prozess (seien es Sonnenflecken, Klimaveränderungen oder Verkehrsstaus) angesehen werden kann: Sie müssen ein gemeinsames theoretisches Modell haben.

    versteht der Webbaer zum Glück nicht. Oder nicht ganz, LOL, kann aber noch kommen…

    MFG
    WB

  2. #2 Silentjay
    April 5, 2010

    @WB
    Wer redet von Wirtschaft?
    In der Chemie ist die Computersimulation im Moment stark im Kommen.
    Die Fehler der Berechnungen sind mittlerweile relativ gering je nach dem, welche Methode und welchen Datensatz man verwendet.
    Damit lassen sich dann oft verwertbare Aussagen machen, die Zeit und Geld sparen.

  3. #3 Belzer
    April 6, 2010

    Das Grundproblem solcher Simulationen ist, dass nicht immer klar ist, ob sie tatsächlich simil (lateinisch: ähnlich) zur Wirklichkeit sind. Gerade Klimasimulationen dürften ziemlich wenig mit der zukünftigen Zukunft gemein haben. Gute Simulationen müssen sich immer an experimentell überprüfen lassen, ansonsten sind sie nicht von “rosaroten Elephanten” (Augenwischereien) zu unterscheiden.

  4. #4 Jörg Friedrich
    April 7, 2010

    @WebBär: Die Idee ist: Wir nehmen eine Versuchsanordnung (z.B. eines chemischen Prozesses) und versuchen, ein mathematisches (theoretisches) Modell dafür zu finden. Außerdem nehmen wir einen Simulationsprozess und versuchen ebenfalls, ein mathematisches Modell für diesen Prozess zu finden. Wenn beide Modelle gleich sind, dann ist der Simulationsprozess ein Computer-Modell für die chemische Reaktion.

    Darauf muss man erst mal kommen. Denn die Computer-Simulation wird ja aus dem mathematischen Modell abgeleitet, nicht umgekehrt. Aber man kann sich ja auf den Standpunkt eines außenstehenden Forschrs stellen, der das nicht weiß: der findet im Labor den chemischen Prozess und im Computer den Simulationsprozess und versucht, beides mathematisch zu modellieren. Wenn dieses mathematische Modell dann gleich ist wird er zu dem Ergebnis kommen, dass Simulation und chemischer Prozess einander auf gewisse Weise gleichen.

  5. #5 Ilona Baldus
    April 7, 2010

    @ Belzer: Eine besonders wichtige Anwendung von Computersimulationen ist eben solche Phänomene zu analysieren, deren Zugang uns experimentell verwehrt bleibt. Hier wird es dann relativ schwierig, die Ergebnisse experimentell zu überprüfen.
    In der Chemie funktionieren Prognosen übrigens so gut, dass es sich rentiert, Screenings mit dem Computer zu machen, bevor man mit teuren Synthesen beginnt. Spart Zeit, Geld und ne Menge Nerven.

  6. #6 Jörg Friedrich
    April 8, 2010

    Eine experimentelle Überprüfbarkeit setzt voraus, dass das reale System ebenso kontrollierbar und messbar ist wie die Simulation. Das ist aber nicht immer der Fall – trotzdem kann eine Simulation interessante Ergebnisse liefern. Axelrod ( The Evolution of Cooperation ) hat zB auf der Basis des Modells des Gefangenendilemmas Kooperationsprozesse simuliert und konnte zeigen, dass bei die erfolgreichsten Strategien oft Kooperationsstrategien sind, die in der einzelnen Transaktion ausgebeutet werden könnten. Vielleicht schreibe ich da mal einen gesonderten Text drüber.

  7. #7 Webbaer
    April 9, 2010

    Wenn beide Modelle gleich sind, dann ist der Simulationsprozess ein Computer-Modell für die chemische Reaktion.

    Darauf muss man erst mal kommen.

    Aha. Volle Zustimmung natürlich (“Darauf muss man erst mal kommen.” – LOL). Du hast es auf den Punkt gebracht, das Einfache muss oft benannt werden, da es leicht übersehen wird.

    MFG + weiterhin viel Erfolg!
    WB

  8. #8 Wb
    April 9, 2010

    @SilentJay
    Der Webbaer hatte hier spasseshalber für anscheinend weniger komplexe reale Prozesse das Wort “Umformung” eingeführt, die Astronomie, die Chemie und die Wetterprognostik sind anscheinend/scheinbar weniger komplex und (vglw. :-) einfache Modelle scheinen zu greifen.

    Erreicht das betrachtete System eine Komplexität, die über ein bestimmtes Maß hinausgeht, ein schönes Beispiel ist hier das Klimasystem mit seinen 5 Subsystemen, dann gerät die Prognostik schnell zur Kaffeesatzleserei und bleibt spekulativ im helmutschmidtschen Sinne.

    MFG
    Wb

  9. #9 Michael
    September 30, 2010

    Bestimmt ist das ganze Leben nur eine Computersimulationen

  10. #10 Dr. Webbaer
    Oktober 1, 2010

    @michael
    Die Welt wird jedenfalls betrieben, sie besteht aus Zustands- und Regelmengen, wobei deren Trennung unklar ist, und man könnte somit dem Patheismus zugeneigt werden.

    Auch ein Punkt an dem der aktiv adressierende Atheist zu nagen hat.

    Physiker beschäftigen sich demzufolge nachvollziehbarerweise sehr interessiert mit den o.g. Mengen, die Physik (besser: die physike theoria), Näheres aber demnächst auf Dr. Webbaers neuem Blog: http://kulturblogs.de/webbaer/

    MFG
    Wb