In den vorherigen Teilen dieser Serie habe ich schon Trojanerplaneten und Wechselplaneten vorgestellt. Im letzen Teil möchte ich nun über eine extrem außergewöhnliche Planetenkonfiguration schreiben: das Sitnikov-Problem.


Das unlösbare Dreikörperproblem

Seit Newtons Gravitationstheorie kannte man die mathematischen Gleichungen, mit denen sich die Bewegung der Himmelskörper beschreiben lassen. Man konnte sie nur nicht lösen. Sobald man die gravitative Interaktion von mehr als 2 Körpern betrachtete, wurden die Gleichungen so komplex, dass man sie nur noch näherungsweise lösen konnte. 1889 zeigte Henri Poincaré, dass diese nicht am Unvermögen der Wissenschaftler lag, sondern ein prinzipielles Problem ist: er konnte beweisen, dass sich diese Gleichungen niemals lösen lassen, wenn mehr als 2 Körper beteiligt sind. Das bedeutet auch, dass wir die Vorstellung vom "Sonnensystem als Uhrwerk" fallen lassen müssen. Man kann also die Bewegung der Planeten nicht für jeden beliebigen Zeitpunkt in der Zukunft exakt vorhersagen. Der Grund dafür ist, dass solche komplexen Systeme immer auch chaotische Eigenschaften aufweisen. Das gilt auch für unser Sonnensystem.

In erster Näherung kann man den gravitativen Einfluss, den die Planeten untereinander ausüben, vernachlässigen. Der Einfluß der Sonne auf die Planeten ist viel größer - die Bewegung eines Planeten um die Sonne kann also näherungsweise als Zweikörperproblem beschrieben werden. Das ist glücklicherweise exakt lösbar - und die Lösung entspricht den bekannten Keplerschen Gesetzen.

Aber was passiert, wenn sich der Einfluss eines dritten Körpers nicht mehr vernachlässigen lässt? Wenn man z.B. die Bewegung des Mondes beschreiben will und hier Sonne und Erde berücksichtigen muss. Oder wenn man die Bewegung eines Planeten in einem Doppelsternsystem betrachtet? Dann hat man ein Dreikörperproblem - und das lässt sich nicht mehr analytisch lösen.

Es gibt allerdings Spezialfälle, die einfacher zu behandeln sind. W.D. MacMillan fand 1911 tatsächlich so einen Fall, für den eine allgemeine Lösung existiert. 


Zwei Sterne und ein Planet

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Dieser Fall sieht so aus: zwei Sterne mit gleicher Masse kreisen um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt. Die Bahnen sind dabei kreisförmig. Ein dritter Körper, der Planet, hat eine Masse, die gegenüber der Masse der Sterne vernachlässigbar klein ist. Dieser Planet befindet sich anfänglich genau im Massenschwerpunkt. Unter der gravitativen Wirkung der beiden Sterne bewegt er sich nun senkrecht zur Bewegungsebene der beiden Sterne!

Hier existiert eine allgemeine Lösung: während die beiden Sterne immer ihre Kreise umeinander ziehen, bewegt sich der Planet zwischen ihnen auf und ab!

"Berühmt" wurde dieses Problem durch eine 1960 erschienene Arbeit des Russen Kirill Aleksandrovich Sitnikov. Sitnikov betrachtete nun den allgemeinen Fall von MacMillans Konfiguration. Die Sterne müssen sich nicht mehr nur auf kreisförmigen Bahnen bewegen, sondern können auch elliptischen Orbits folgen. Diese Erweiterung führt dazu, dass das Problem wieder unlösbar wird - man kann keine allgemeine Lösung mehr angeben.

Sitnikov fand aber, dass trotzdem immer noch Lösungen existieren, in denen der Planet für unbeschränkte Zeit stabil auf und ab oszilliert. Ob dies passiert, oder ob der Planet sich chaotisch bewegt oder gar aus dem System herausgeworfen wird, hängt von den Anfangsbedingungen ab: wie stark weicht die Bahn der Sterne von der Kreisform ab; wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit des Planeten - usw.

Obwohl die Ausgangslage sehr simpel ist, zeigt dieses Sitnikov-Problem alle Charakteristiken eines komplexen dynamischen Systems mit all seinen chaotischen Eigenschaften. Das sieht man sehr gut an diesem Bild:

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Bild: ADG Wien

Auf der x-Achse wird die Zeit angezeigt; die y-Achse zeigt an, wie weit sich der Planet über bzw. unter dem Schwerpunkt befindet. Die 3 Kurven zeigen 3 sehr eng benachbarte Anfangspositionen: der Unterschied in der anfänglichen Position des Planeten beträgt nur ein Millionstel! Trotzdem sieht man ein völlig unterschiedliches Verhalten: 2 Kurven (rot und grün) zeigen chaotisches Verhalten: nach 12,5 Zeiteinheiten fliegt der Planet aus dem System (einmal nach unten, einmal nach oben). Die dritte Kurve hingegen zeigt stabile Bewegung.

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Kommentare (16)

  1. #1 Roland
    5. Januar 2009

    @Florian: Siehst Du einen Chance, einen erdähnlichen Planeten jemals sicher nachzuweisen?

    Gruß
    Roland

  2. #2 Florian Freistetter
    5. Januar 2009

    @Roland: Ja, auf jeden Fall! Wenn es erdähnliche Planeten gibt (was wahrscheinlich ist), würde ich wetten, dass wir innerhalb der nächsten 10 Jahren einen finden. Die Instrumente sind jetzt schon enorm sensibel – und spätestens, wenn Satelliten wie TPF oder Darwin im Orbit sind, sind erdgroße Planeten durchaus in Reichweite.

  3. #3 Christian A.
    5. Januar 2009

    Wunderbarer Artikel! Mir gefällt auch und vor allem die Sache mit der Zahlenreihe. Geht das nicht auch für den algemeinen Fall des eingeschränkten Drei-Körper-Problems, und kann man aus der Zahlenreihe nicht auf die Anfangsbedingungen schließen?

  4. #4 Florian Freistetter
    5. Januar 2009

    @Christian A.: Also über verallgemeinerte Aussagen zum Theorem von Moser wäre mir nichts bekannt. Es ist auch vermutlich schwierig, die Lösung des eingeschränkten 3KP so einfach in eine Zahlenreihe umzuwandeln wie beim Sitnikovproblem.

    Ob man aus der Zahlenreihe auf die Anfangsbedingung schließen kann? Schwierige Frage – ich glaube, das kann ich so auf die Schnelle nicht beantworten. Ich würde eher auf “Nein” tippen.

  5. #5 TSK
    6. Januar 2009

    Der Ausdruck “unlösbar”, wie Du ihn hier gebrauchst, ergibt einen falschen Eindruck,
    denn “unlösbar” hört sich nach “unmöglich zu lösen” an.
    Gemeint ist wohl eher: “nicht analytisch lösbar”, d.h. durch eine Formel ausdrückbar, wie Du es hier auch teilweise klarstellst. Die allerwenigsten Probleme sind aber analytisch lösbar, die meisten müssen entweder durch Reihenentwicklung, Störungsrechnung oder durch numerische Lösungsverfahren gelöst werden.
    Nicht vorhandene analytische Lösbarkeit ist also keine Schande und sollte nicht “unlösbar” genannt werden.

    Ich sage ja auch nicht, es gibt keine Möglichkeit (“unlösbar”), die Nullstellen von
    x^5-3x^4-5x^3+15x^2+4x-12 zu finden, weil es keine Formel gibt, die diese mir geben kann. Schlimmer noch: Analytische Lösungen suggieren eine Scheingenauigkeit, sind aber teilweise numerisch instabil, d.h. mit begrenzter Stellenzahl als Eingabe ergeben sich schwerwiegende Berechnungsfehler.

  6. #6 florian
    6. Januar 2009

    @TSK: Ja, stimmt schon. Mit “lösbar” meine ich “analystisch lösbar”. Ist halt ne Frage der Wortverwendung. Wenn man unter “lösen” dass klassische “auflösen” einer Gleichung versteht, damit irgendwann ein “x= ” übrig bleibt, dann ist das n-Körperproblem tatsächlich unlösbar – weil nicht auflösbar.

  7. #7 Astronove :)
    8. Januar 2009

    Das mit dem “unlösbar” sehe ich genauso. Im Prinzip gibt es nicht ein allereinzigstes “natürliches” Mikroproblem, welches analytisch genau lösbar wäre. Nicht einmal das Laden eines Kondensators. Es ist reine Zeitverschwendung, sich mit solchen Problemen auch nur eine Sekunde analytisch aufhalten zu wollen. Es gleicht mehr oder weniger der Sinnhaftigkeit von Kreizworträtsellösungen.

    Jedes natürliche Mikroproblem ist bereits so komplex, daß nur numerische Lösungen zu halbwegs richtigen Aussagen führen können. Nicht einmal das Zweikörperproblem ist real analytisch lösbar.

    Die numerische Lösung hat zudem den Vorteil, daß man es sich durchaus erlauben kann, Randbedingungen beliebiger Art berücksichtigen zu können und die Gleichungen bedarfsweise einfach erweitern zu können. Jeder, der sich mit numerischen Lösungen schon einmal versucht hat weiß, daß der Geschmack erst mit dem Essen kommt.

    Erstmal hat man das Grundproblem einfach “drin”. Dann will man noch wissen, wie macht sich eigentlich ein bißchen Dreck in der Umgebung bemerkbar und schüttet noch etwas Dreck in entsprechenden die Gleichungen hinein. Nun möchte man noch wissen, wie eigentlich die Strahlung den Dreck bewirkt und auch das wird gelingen.

    Selbst wenn maches in die Gleichungen nur über den Daumen eingeschätzt wird, kann man die prinzipiellen Auswirkungen schon sehen. Heute ist das nur noch eine Frage, wieviel Rechenzeit man sich gönnen mag und wenn es genau sein muß, wieviele Stellen man sich gönnt.

    Letzter Punkt ist es, was eigentlich diese numerischen Lösungen allen anderen Lösungen überlegen macht. Genau sind die Ergebnisse zwar nie. Aber man kann frei bestimmen, wie falsch sie sein dürfen. Und man muß eben keinerlei Rücksicht auf analytische Berechenbarkeitsprobleme nehmen.

    Genau dieser letzte Punkt ist oftmals regelrecht gefährlich. Der “richtige” Mathematiker vereinfacht dann einfach das Problem, damit er überhaupt “irgendeine” Lösung zustandebringt. Seine Lösung ist dann zwar extrem genau und vielleicht auch elegant. Nur hat sie nichts mehr mit der eigentlichen Problemstellung zu tun :)

    Letzthin habe ich auch einmal die Periheldrehung des Merkur gerechnet. Es kamen rund 511″/100a heraus, wobei dieser Wert natürlich über die Jahrtausende schwankt. Mit der ART waren es etwa 39″ mehr. Merkur ohne die restlichen Planeten machte 39,39″ mit der ART aus, also auch keine 43″.

  8. #8 florian
    8. Januar 2009

    @Astronove: “Mit der ART waren es etwa 39″ mehr. Merkur ohne die restlichen Planeten machte 39,39″ mit der ART aus, also auch keine 43″.”

    Vielleicht hast du dich verrechnet?

  9. #9 Astronove :)
    8. Januar 2009

    Ich habe mich bestimmt nicht verrechnet. Wenn, ist der Rechner daran schuld. Ich habe das natürlich mit verschiedenen Genauigkeitsgrenzen rechnen “lassen” und kann daher sagen, daß das Ergebnis eigentlich stimmen müßte. Diese rund 39″ kommen zudem auch als Differenz zwischen dem Gesamtsystem (also mit Planeten) als auch beim kleinen Zweiersystem heraus. Natürlich in beiden Fällen gegenüber Newton gerechnet. Hier noch einmal die “Genauwerte” beim Gesamtsystem, gemittelt über rund 1500 Jahre: ART: 551,24″, Newton 511,84″ je 100a. Differenz 39,37″. Sonne-Merkur alleine: 39,388″/100a.
    Alle Körper wurden als Punktmassen gerechnet, Pluto und Monde habe ich weggelassen.
    Es kann natürlich sein, daß die von mir verwendete ART Gleichung (MTW) nicht vollständig ist (Glieder höherer Ordnung). Allerdings glaube ich nicht, daß sich bei diesen Umständen (Geschwindigkeit, Feldstärke) diese sicherlich fehlenden Glieder bereits so stark bemerkbar machen würden, daß sie die fehlenden 4″ schaffen würden.

  10. #10 florian
    8. Januar 2009

    Sorry, aber ich hab keine Lust, hier über eine Widerlegung der ART zu diskutieren. Das können wir machen, wenn ich mal was zu diesem Thema schreiben. Aber hier passt es nicht her (Die 43” lassen sich übrigens auch ohne großartigen Computereinsatz ausrechnen…).

  11. #11 Astronove :)
    8. Januar 2009

    Natürlich läßt sich das ausrechnen. Hier steht schließlich die Formel: http://de.wikipedia.org/wiki/Periheldrehung
    Das Problem ist eben nur die Differenz zwischen dieser Formel und der Berechnung über die ART Gleichungen. Außerdem besteht noch eine weitere Diskrepanz zur Berechnung der Perihelierung bei Satelliten. Hierbei spielt “c” offensichtlich keine Rolle, dafür aber J2. In der ART dagegen spielt J2 überhaupt keine Rolle, dafür aber c.

    Ich wollte übrigens gar nicht über eine Widerlegung der ART diskutieren und verstehe gar nicht, wie solch harmlose Ergebnismitteilungen dich schon nerven können.

    Ich wollte mit meinem Geschreibe nur ein Beispiel zu TSK geben und seine richtige Meinung bestätigen.

  12. #12 Astronove :)
    8. Januar 2009

    Wurde denn beim Sitnikov-Problem eigentlich mit der ART gerechnet?

  13. #13 florian
    8. Januar 2009

    @Astronove: “Ich wollte übrigens gar nicht über eine Widerlegung der ART diskutieren und verstehe gar nicht, wie solch harmlose Ergebnismitteilungen dich schon nerven können.”

    Nach dem, was du zum Thema Mondlandung von dir gegeben hast, bin ich ein bisschen empfindlich geworden. Wenn du dich zur Periheldrehung noch informieren willst, kannst du das z.B. hier tun.

    “Ich wollte mit meinem Geschreibe nur ein Beispiel zu TSK geben und seine richtige Meinung bestätigen.”

    Nochmal: es kommt darauf an, wie man das Wort “lösen” definieren will. Das Zweikörperproblem kann man analytisch lösen und eine Gleichung finden, die die Lösung für jeden beliebigen Zeitpunkt angibt. Beim Dreikörperproblem geht das nicht mehr.

  14. #14 Florian Freistetter
    8. Januar 2009

    @Astronove: “Wurde denn beim Sitnikov-Problem eigentlich mit der ART gerechnet? “

    Nein (aber das ist bei diesem Problem auch nicht relevant).

  15. #15 TSK
    8. Januar 2009

    @ Astronove:
    > Jedes natürliche Mikroproblem ist bereits so komplex, daß nur numerische Lösungen
    > zu halbwegs richtigen Aussagen führen können. Nicht einmal das Zweikörperproblem
    > ist real analytisch lösbar.

    Das ist nun in dieser Breite falsch. Zunächst einmal sind analytische Lösungen notwendig, um die Genauigkeit numerischer Berechnungen testen zu können.
    Man kann auch sehr wohl gute Lösungen für Schaltkreise, mechanische Probleme
    und das Zweikörperproblem finden.
    Dann gibt es Probleme wie numerische Differentation, steife Differentialgleichungen und schlecht konditionierte Matrizen, bei denen Numerik regelmäßig versagt. Auch bei
    lösbaren numerischen Problemen testet man die Ausgaben mit vereinfachten analytischen Lösungen.

    > Ich habe mich bestimmt nicht verrechnet.

    Welche Genauigkeit (float,double,quad) bzw. welchen Dgllöser verwendest Du ?
    Hast Du Deine Ergebnisse mit den Epheremiden verglichen ?

  16. #16 Astronove :)
    8. Januar 2009

    @TSK
    “Das ist nun in dieser Breite falsch. “. Ich sprach von kleinsten “natürlichen” Problemen und nicht von idealisierten Problemen, welche nirgendwo vorkommen (außer im Kopf).
    Als Beispiel habe ich das Laden eines Kondensators genannt. Ein vermeintlich einfach geschlossen lösbares Problem. Tatsächlich ist das aber nicht mehr geschlossen “genau” möglich, da es den idealen Kondensator nirgendwo gibt. Selbst in diesem einfachen Fall ist es daher richtig, direkt mit einer DGL zu arbeiten. Spätestens dann wird man das sehen, wenn man mit Frequenzen operieren muß. Ein C besteht eben nicht nur aus einer Kapazität sondern auch noch aus einer Indiktivität, Widerständen und all diese Größen ändern sich auch noch mit den Betriebsbedingungen, der Vorgeschichte usw. Dieses lächerlich einfache Problem, welches man normalerweise einfach mit einer e-Funktion mathematisch glaubt beschreiben zu können, ist tatsächlich eben nicht mehr “mathematisch” genau beschreibbar. Behandelt man dagegen dieses einfache Problem von vorneherein mit einer DGL ist die Genauigkeit bereits viel größer als es jede math. Beschreibung leisten könnte.

    “Zunächst einmal sind analytische Lösungen notwendig, um die Genauigkeit numerischer Berechnungen testen zu können.”

    Und wie schaut die analytische Lösung bei einem n-Körperproblem aus ? :)

    Ich verwende meist ein Verfahren 8. Ordnung und automatischer Schrittweitensteuerung. Wenn ich steife Probleme habe und das Probl. nicht zu groß ist, verwende ich ein selbstgestricktes Verfahren. Das ist zwar derzeitig nicht sonderlich genau (2. Ordnung), dafür gegenüber meinem Normalverfahren bei vergleichbarer Genauigkeit dennoch oft millionenfach schneller (bei einem bestimmten knüppelsteifen 100h Problem konnte ich z.B. statt mit 1e-6s Schrittweite noch mit 2h Schrittweite rechnen). Rechengenauigkeit allgemein 16 Stellen float, intern mit 20.

    “Hast Du Deine Ergebnisse mit den Epheremiden verglichen ?”
    Nein. Wenn ich Sonne-Merkur alleine rechne, sollten schließlich die “bekannten” Werte (43″) herauskommen. Mehr als die ART kann ich nicht zugrundelegen, da J2 der Sonne schließlich bei 2e-7 liegen soll :)