Ich bin sicher das dieses Experiment jeder kennt: Man lässt zwei Objekte mit unterschiedlicher Form und unterschiedlichen Gewicht fallen – was fällt schneller? Was ändert sich, wenn man das Experiment im Vakuum durchführt? Ich hab diesen Versuch in der Schule gesehen – aber wesentlich beeindruckender ist das, was Apollo-15-Astronaut David Scott 1971 live auf dem Mond vorgeführt hat (Danke an das Astronomy Picture of the Day, das mich wieder an dieses Video erinnert hat).


Scott hat einen Hammer und eine Feder und wenn er beides auf dem luftleeren Mond fallen lässt, dann erreichen sie – entgegen all unserer Alltagserfahrung – den Boden gleichzeitig:

Ein altes Video, aber doch jedesmal wieder gut!

Ich hatte mal wieder Lust, ein wenig mit Formeln zu spielen und dachte mir, es wäre ganz nett, mal aufzuschreiben, wie die Sache mathematisch aussieht. Es ist keine große Hexerei nötig, um zu sehen, dass die Masse eines Körpers tatsächlich keinen Einfluss darauf hat, mit welcher Geschwindigkeit er zu Boden fällt (im luftleeren Raum jedenfalls).

Die Formel für die Gravitationskraft ist bekannt, seit sie Isaac Newton im 17. Jahrhundert fand. Die Kraft zwischen einem Körper der Masse m und der Erde mit der Masse ME ist direkt proportional zum Produkt dieser beiden Masse und indirekt proportional zum Quadrat des Abstands (), das der Körper zur Erde hat. Die Proportionalitätskonstante G ist die Gravitationskonstante

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Wir können die Kraft auf einen Körper der Masse m natürlich auch nach dem zweiten Newtonschen Axiom aufschreiben: Kraft ist Masse mal Beschleunigung:

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Wenn wir uns nun auf der Erdoberfläche befinden, dann können wir als Abstand den Erdradius nehmen und wir erhalten den Wert für die Beschleunigung:

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Es gilt also:

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Wenn wir fallende Körper betrachten, dann interessiert uns aber nicht nur die Kraft, wir wollen wissen wie stark die Beschleunigung ist. Und wenn – siehe oben – Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, dann muss Beschleunigung gleich Kraft durch Masse sein:

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Und das war auch schon das große Geheimnis! Die Gravitationskraft hängt direkt von der Masse des Körpers ab, die Beschleunigung aber indirekt. Wenn ich also jetzt die Gravitationskraft durch die Masse dividiere um die Beschleunigung zu erhalten, dann kürzt sie sich weg. Die Beschleunigung eines Körpers im freien Fall ist also immer gleich der Schwerebeschleunigung und hängt nicht von der Masse ab:

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Das gilt aber nur im luftleeren Raum. Fällt ein Körper durch ein Medium wie Luft, dann wirkt ihm ein Luftwiderstand entgegen. Es gibt also nicht mehr nur die Gravitationskraft die von Bedeutung ist, sondern auch die Kraft des Luftwiderstands:

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Oder, wenn wir wieder F=mg einsetzen:

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Was den Anteil der Gravitationskraft angeht: Hier kürzt sich die Masse wieder weg.  Aber die Kraft des Luftwiderstands ist etwas komplizierter. Die Masse verschwindet hier nicht und deswegen fallen bei uns auf der Erde ein Hammer und eine Feder unterschiedlich schnell.

Kommentare (34)

  1. #1 UMa
    1. November 2011

    Auftrieb? Ok, bei normaler Umgebung eher klein, aber bei höheren Dichten?

  2. #2 Christoph
    1. November 2011

    Wenn man das Experiment nacheinander ausführt und misst, wie lange jeweils Hammer und Feder fallen, dann könnte es sein, dass man für den Hammer in der Tat eine kürzere Fallzeit misst.
    Der Hammer zieht durch seine größere Masse den Mond stärker an als die Feder.

  3. #3 cydonia
    1. November 2011

    Ich meine, die Frage ist doch nur, wie die das in ihrem Mond-Studio hingekriegt haben….Der Hammer ist federleicht, ganz klar. Wissenschaftler rechnen immer nur(bei den ganzen Formeln blickt doch eh keiner durch), dabei ist die Lösung ganz einfach. Eine Rakete hätte die Erdanziehungskraft auch sowieso nie überwinden können: da muss ich nicht rechnen, dass sagt mir mein Bauchgefühl!

  4. #4 MartinB
    1. November 2011

    Noch einfacher wird’s in der Allgemeinen Relativitätstheorie :-)
    Da gibt’s ja keine Schwerkraft und das Äquivalenzprinzip sorgt automatisch dafür, dass alles gleich schnell fällt:
    http://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/02/wie-man-die-raumzeit-krummt-teil-v.php

  5. #5 Kallewirsch
    1. November 2011

    @Christoph
    Du kannst das so betrachten, musst dann aber auch zugestehen, dass der Hammer eine größere träge Masse hat und daher träger auf diese größere Kraft reagiert. Im Endeffekt kürzen sich aber diese beiden Effekte heraus und der Hammer benötigt wieder die gleiche Zeit wie die Feder um die Distanz zum Mondboden zu überwinden.

  6. #6 12stein
    1. November 2011

    @Christoph· 01.11.11 · 14:18 Uhr: ” Der Hammer zieht durch seine größere Masse den Mond stärker an als die Feder. ”

    Ja das stimmt. Gleichzeitig hat er eine grössere Trägheitsmasse und fällt daher gleichschnell wie die Feder.

  7. #7 UMa
    1. November 2011

    @Kallewirsch: Der Mond fällt schneller auf den Hammer zu, als auf die Feder, weil die Masse größer ist. Ich bezweifele aber, dass die Messgenauigkeit ausreicht.

  8. #8 Christoph
    1. November 2011

    @Kallewirsch: @12stein:

    Die Beschleunigung des Hammers und der Feder wird durch g_Mond festgelegt. Aber die Beschleunigung des Mondes ist in einem Fall g_Hammer und im anderen Fall g_Feder. Und da g_Feder < g_Hammer ist die Fallzeit des Hammers kürzer.

  9. #9 UMa
    1. November 2011

    Allerding muss man dazu den Hammer beim Fallen der Feder weit entfernen. Sonst zieht der Hammer die Feder stärker an als den Mond…

  10. #10 Christoph
    1. November 2011

    Da ist wohl kein intelligenter Eingabefilter am Werke. Ich wollte Folgendes schreiben:

    … Und da g_Feder KLEINER ALS g_Hammer, ist die Fallzeit des Hammers kürzer als die der Feder.

    Inwieweit man das messen kann? Da kommen wohl bei kleinen g_Hammer und g_Feder Quanteneffekte ins Spiel. Bei größeren g_Hammer (ich denke da an g_Jupiter) wird man das schon messen können.

  11. #11 Muddi & theBlowfish
    1. November 2011

    …und wenn der Hammer fällt, muss man schneller den Fuss wegziehen als bei der Feder- aber das nur am Rande.

  12. #12 Blaubaer
    1. November 2011

    @Muddi: Ich würde den Fuss eher in der Mitte wegziehen als am Rende…

  13. #13 Blaubaer
    1. November 2011

    … “Rande” meinte ich :-(

  14. #14 Kallewirsch
    1. November 2011

    @Christoph

    hmm
    Der Effekt ist aber trotzdem symetrisch. Hammer und Mond bewegen sich aufeinander zu. Der Mond entsprechend weniger. Die Kraft des Hammers auf den Mond ist zwar größer als die der Feder, dafür sorgt aber die geringere Trägheit der Feder dafür, dass der Mond bis zum Kontakt eine kürzere Strecke zurücklegen muss. Anders gesagt: Die Feder kommt dem Mond weiter entgegen als der Hammer.

  15. #15 Alexander
    1. November 2011

    Cool. Was mich vor allem beindruckt, ist, dass man schön sieht, dass Hammer und Feder merklich langsamer fallen als auf der Erde.
    Und was man heute alles an didaktischer Wissensvermittlung machen könnte, wenn Mensch sich mal darauf verständigen würde, wieder in die bemannte Raumfahrt zum Mond und zum Mars zu investieren.

  16. #16 nihil jie
    1. November 2011

    @MartinB

    Noch einfacher wird’s in der Allgemeinen Relativitätstheorie :-)
    Da gibt’s ja keine Schwerkraft […]

    da gibt es aber auch keine Hämmer und Federn 😉

  17. #17 Christoph
    1. November 2011

    @Kallewirsch:

    Der Witz an der Rechnung in diesem Blogpost ist ja, dass die Beschleunigung des Hammers nicht von seiner Masse abhängt. Nur von der Masse des Gegenübers. So wird der Hammer auf der Erde mit g und auf dem Mond mit g_Mond angezogen. Für den Mond entstehen aber unterschiedliche Beschleunigungen je nach Objekt. Und wenn man dann einmal die Beschleunigung des Mondes jeweils berechnet hat, dann spielt die Masse keine Rolle mehr.

    Deine Beobachtung ist ja richtig. Wenn man mal die Bewegungen übereinanderlegt: Wenn der Hammer den Mond berührt, ist die Feder auf der gleichen Stelle wie der Hammer. Nur im Federexperiment ist der Mond noch nicht so weit entgegengekommen. Die Zeit, die benötigt wird, um diese Lücke zu schliessen, ist die Zeit, die die Feder länger zum Fallen benötigt.

  18. #18 Maligne Logorrhöe
    1. November 2011

    Nun, das Experiment mag auf dem Mond funktionieren. Hier auf der Erde ist es etwas anders:
    Durch Beobachten vieler Arten von erdeingeborenen Bauarbeitern kann ich sagen, dass um 4 definitiv der Hammer fällt, egal wer sonst noch eine Feder fallen lässt. Allerdings soll ja die Feder mächtiger (schwerer ?) als das Schwert sein. Wenn man jetzt noch wüsste was für das für ein Schwert ist (Zwei- oder Ein-Händer etc) und damit den Handwerker bedroht, dann, ja dann könnte es aber noch viel komplizierter sein oder zumindest für eine Einweisung in einen gefederten Raum (Gummizelle) reichen…

    Allen noch einen schönen Abend

  19. #19 BreitSide
    1. November 2011

    @ML: dafür sind Bauarbeiter gut für Olympia gerüstet. Jedenfalls die von der Gewerkschaft. Ende des entsprechenden Witzes: “Vatta hat imma gesaacht, wenn Dir einer ein Hamma in die Hand drückt, wirf ihn gaaanz weit wech.”

  20. #20 Christian Berger
    1. November 2011

    Ich bin schon versucht, das Video so zu scheiden, dass es während des Falles immer langsamer läuft, und somit aus der Beschleunigung eine gleichmäßige Bewegung wird.

    Ich glaube damit könnte man eine Menge neuer Verschwörungstheorien machen.

  21. #21 Christian Berger
    1. November 2011

    Entschuldigung, ich habe mich da verschrieben. Ich habe _überlegt_ das Video so zu schneiden, nicht _versucht_. Entschuldigung

  22. #22 commonsense
    1. November 2011

    Im Artikel ist eine Ungenauigkeit: Das 2. Axiom von Newton ist nicht F=mg, sondern F=ma. Der Unterschied ist einfach, dass F=ma eine Verknüpfung von Ursache F und Wirkung a darstellt. Dagegen ist F=mg einfach ein Ausdruck für die Gewichtskraft.

  23. #23 Florian Freistetter
    1. November 2011

    @commonsense: “Das 2. Axiom von Newton ist nicht F=mg, sondern F=ma. “

    Das hab ich auch nicht behauptet, sondern:

    Wir können die Kraft auf einen Körper der Masse m natürlich auch nach dem zweiten Newtonschen Axiom aufschreiben: Kraft ist Masse mal Beschleunigung

    Es steht also explizit da, dass F=ma. Und angewandt auf den Fall der uns interessiert – die Beschleunigung im freien Fall – wird das eben zu F=mg.

  24. #24 Thomas Wolkanowski
    1. November 2011

    Florian hat lediglich die Gravitationskraft in die gleiche Form gebracht, wie sie auch im zweiten Newtonschen Axiom gefunden werden kann. Im zweiten Schritt setzt er dann den nun umformulierten Kraftausdruck in Newton Zwei ein und stellt fest, dass die Massen sich wegheben (vorausgesetzt natürlich, das träge und schwere Masse identisch sind…).

    Anmerkung von mir: Es wäre in meinen Augen das i-Tüpfelchen, wenn man in der Zeile über der letzten Gleichung F_{g}=mg anstelle von F=mg schreiben würde…

  25. #25 Thomas Wolkanowski
    1. November 2011

    “dass” mit zwei “s” natürlich…

    Jedesmal, wenn ich hier kommentiere, scheint mein Schreibvermögen zu klemmen…

  26. #26 12stein
    2. November 2011

    Wie man hier sieht sind Dreikörperprobleme (Mond, Hammer, Feder) kompliziert.

  27. #27 Fragensteller
    Erde
    29. Dezember 2012

    Dann eine Frage. Planeten bewegen sich im Luftleeren Raum. Wie ist dann deren Masse bestimmbar?

  28. #28 rolak
    29. Dezember 2012

    So zum Beispiel, Fragensteller. allgemein mittels der keplerschen Gesetze.

  29. #29 Alderamin
    29. Dezember 2012

    @rolak

    Man sollte noch hinzufügen, dass das “Wiegen” dann am einfachsten ist, wenn ein kleines Objekt (Mond oder künstlicher Satellit) um den zu wiegenden Planeten herum (oder daran vorbei) fliegt. Dann wirkt im wesentlichen nur die Masse des Planeten, welche etwa die Umlaufzeit des Probekörpers über Kepler 3 bestimmt.

    Aus dem Umlauf eines kleinen Körpers um einen großen die Masse des kleineren zu bestimmen, ist schwieriger. Man muss dazu den Einfluss des kleineren auf den größeren Körper messen und wie dieser sich bewegt. Bei der Suche nach Exoplaneten mit der Radialgeschwindigkeitsmethode macht man genau das: der unsichtbare Planet mag sich mit 100 km/s und mehr bewegen, aber man sieht nur den viel schwereren Stern mit der Geschwindigkeit eines krabbelnden Kindes hin- und her wackeln. Wenn mehrere Planeten um den Stern kreisen, muss man die verschiedenen Einflüsse mittels Fouriertransformation voneinander trennen.

    Die Masse von Jupiter kann man durch Beobachtung seiner Monde mit nichts als einem Feldstecher und Papier und Bleistift bestimmen. Zur Messung der Masse eines Exoplaneten braucht man ein milliardenteueres Weltraumteleskop und aufwändige Software.

  30. #30 rolak
    29. Dezember 2012

    Gerade für die schwierigen Fälle hatte ich mir erlaubt, Florians älteren post zu verlinken, Alderamin 😉 doch Du hast recht, die einfachen (Selbermach-)Fälle hätte ich deutlicher herausstellen sollen. Geht ja auch mit der Erde und einem der unzähligen Satelliten, GPS für ungefähre Position und Masse…

  31. #31 Alderamin
    29. Dezember 2012

    @rolak

    Wobei man nicht unbedingt einen Satelliten zur Messung von Radialgeschwindigkeiten braucht, wie ich oben sagte – den braucht man nur für die Transit-Methode – sondern man braucht so etwas wie HARPS. Einen Echelle-Spektrographen. Es gibt sogar ein paar ambitionierte Amateure, die einen Exoplaneten mit einem kommerziellen Echelle-Spektrographen nachgewiesen haben (der läppische 17000 Euro kostet; ohne Fernrohr!).

  32. #32 Alderamin
    29. Dezember 2012

    @Alderamin

    Na, eigentlich nur 8000 €. Mit Schnickschnack 16740 €.

    Von denen hab’ ich auf dem ATT in Essen ein Blaze-Gitter erworben. Für 125 Euro. Na ja, Exoplaneten findet man damit nicht gerade, aber Balmer-Linien…

  33. #33 rolak
    29. Dezember 2012

    17.000€

    ^^unbezahlbar.

    16.740€

    Ach so, dann ist es kein Problem.

    Fällt so oder so nicht mehr so ganz unter ‘Selbermachen’.

  34. #34 Wolle
    Lüd.
    11. April 2015

    Es ist doch ganz einfach mit dem Hammer und der Feder auf dem Mond, es fehlt einfach die Atmosphäre.
    In einem luftleerem Raum bewegt sich alles animierte gleich schnell. Irre ich da ???