In der Astronomie kommt man ohne Winkel nicht weit. Schon bei der absolut grundlegenden sphärischen Astronomie, die festlegt, wie man die Position von Himmelskörpern beschreibt, stößt man sofort auf Winkelmaße. Die Höhe eines Sterns über dem Horizont wird als Winkel angegeben; genauso wie der Abstand eines Beobachters auf der Erde vom Äquator (geografische Breite). Die scheinbare Ausdehnung eines Objekts – zum Beispiel die Größe der Sonne am Himmel – wird als Winkeldurchmesser angegeben und die Winkel findet man auch sonst überall. Meistens sind es aber “klassische” Winkelwerte, die in “Grad” angegeben werden. Ein kompletter Kreis hat 360 Grad; ein Grad hat 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden. Das lernt jeder in der Schule und ist nicht weiter schwer zu verstehen.

“Grad” ist aber keine offizielle SI-Einheit, gehört also nicht zum international anerkannten physikalischen Einheitensystem. Ein Winkelmaß taucht bei den sieben Basiseinheiten (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere, Kelvin, Mol und Candela) überhaupt nicht auf, dafür aber bei den aus diesen Basisgrößen abgeleiteten Einheiten. Die abgeleitete SI-Einheit für den Winkel ist der Radiant. Die deutsche Wikipedia definiert diesen Winkel so:

“Der ebene Winkel von 1 Radiant umschließt auf der Umfangslinie eines Kreises mit 1 Meter Radius einen Bogen der Länge 1 Meter.”

Das klingt ein wenig kompliziert und erschließt sich nicht ganz so einfach wie die klassische 360-Grad-Einteilung. In der englischen Wikipedia habe ich aber eine höchst wunderbare Animation gefunden, die das Konzept sehr anschaulich demonstriert:

Bild: Lucas Barbosa, Public Domain

Bild: Lucas Barbosa, Public Domain

Ohne weitere Worte sollte so jeder verstehen, wie ein Radiant definiert ist. Und warum ein voller Kreis genau einem Winkel von 2Pi Radiant enstpricht.

P.S. Ich kann gar nicht mehr zählen, wie oft ich in meiner Zeit als Astronom Pi/180 beziehungsweise 180/Pi in den Taschenrechner getippt habe, um zwischen Grad und Radiant hin und her zu rechnen. Wider den Einheitenwahnsinn!! Lang lebe das SI-System!!

Kommentare (41)

  1. #1 YeRainbow
    http://yerainbow.wordpress.com/
    19. August 2013

    tolles video!
    und tatsächlich selbsterklärend.

  2. #2 Hans
    19. August 2013

    Das mit den Umrechnungen kommt mir bekannt vor. Geht mir als Elektroniker nämlich auch so, das ich nicht weis, wie oft ich schon zwischen Grad und rad hin- und her gerechnet habe.

  3. #3 Mr. M
    19. August 2013

    Ich bin da ja inzwischen so Hardcore drauf das ich denke, man sollte das komplett umstellen und auhc von Anfang an lehren. Dann ist der volle Winkel halt nicht 360° sondern 2 Pi – So what? Die 360 sind doch eh völlig willkürlich, und so hat das ne geometrische Bedeutung: Bogenlänge/Radius.

    PS: Ich hab tatsächlich nie gelernt, Grad in Minuten und Sekunden zu unterteilen, außer in Erdkunde. Bin ich der einzige der das von Anfang an mit ordinären Kommazahlen gelernt hat?

  4. #4 Nele
    Dortmund
    19. August 2013

    Danke für die Erklärung – das wollte ich schon immer wissen, habe es aber aus welchen Gründen auch immer noch niemals nachgesehen; mir stellte sich das Problem schon Anfang der 80er als ich meine ersten jugendlichen BASIC-Programme auf einem TRS-80 entwarf. 🙂

  5. #5 Alderamin
    0.,8858 rad N, 0.10617 rad O
    19. August 2013

    Reingefallen, und ich dachte, es ginge um den Radianten. 🙂

    @Mr. M
    Wir haben auch in der Schule nie mit Minuten und Sekunden gerechnet, soweit ich mich erinnere. Das hatte ich aus Astronomiebüchern gelernt. Und die Umrechnung von Dezimalgrad auf Grad, Minuten und Sekunden ist noch viel schlimmer als die von Deutschen Einheitsgraden auf Radians.

    Die 360° sind willkürlich, aber so gewählt, dass man sie durch möglichst viele Zahlen ohne Rest teilen kann. Weshalb sie so beliebt bei Architekten und Handwerkern sein dürften und ebenso wie Pfund und PS nicht so schnell aussterben dürften.

  6. #6 Marcel
    19. August 2013

    Die 360° sind nicht willkürlich. Zum einen hat ein Jahr nun mal rund 360 Tage. Was jedoch wichtiger ist, wie Alderamin schon sagte, hat die 360 (=6*60) besonders viele Teiler. Ein Segen für Menschen, die noch keine Taschenrechner zur Verfügung hatten. Selbiges gilt für unsere scheinbar willkürliche Zeiteinteilung. Wer weiß, wo wir heute ständen, wenn die Menschen der Antike sich ständig mit Dezimalzahlen hätten herumschlagen müssen.
    Ein Hoch auf das Sexagesimalsystem.

  7. #7 Florian Freistetter
    19. August 2013

    @Marcel: “Wer weiß, wo wir heute ständen, wenn die Menschen der Antike sich ständig mit Dezimalzahlen hätten herumschlagen müssen.”

    Wahrscheinlich auf der Oberfläche des Mars, nachdem die erste römische Rakete dort schon vor 2000 Jahren gelandet ist 😛

  8. #8 Sepp
    19. August 2013

    @Marel: Egal ob mit positiven oder negativen Folgen, aber wenn sich die Menschen in der Antike mit Dezimalzahlen herumgeschlagen hätten, dann stünde von uns wohl keiner hier. Für uns ist daher doch alles ganz gut gelaufen 😉

  9. #9 gnaddrig
    19. August 2013

    @ FF: Die Berechnungen der Flugbahn in römischen Zahlen möchte ich sehen 😉 Das muss das reinste Vergnügen sein…

  10. #10 Florian Freistetter
    19. August 2013

    @gnaddrig: “Die Berechnungen der Flugbahn in römischen Zahlen möchte ich sehen 😉 Das muss das reinste Vergnügen sein…”

    Na ich bin ja von der Hypothese ausgegangen, dass in der Antike schon das Dezimalsystem verwendet worden ist. Deswegen hatten die Römer ja auch im Gegensatz zur Realität eine vernünftige Wissenschaft auf die Reihe bekommen.

  11. #11 Alderamin
    19. August 2013

    @Florian

    Ob’s am Zahlensystem lag? Das haben wir von den Indern. Und die haben bis heute Probleme, eine Rakete zu starten

  12. #12 PDP10
    20. August 2013

    Nur eine kleine Anmerkung noch, da wir das in aller ermüdenden Ausführlichkeit mit “Henri Dem Verwirrten” vor einigen Monaten mal diskutiert hatten:

    Ein ‘rad’ in SI-Einheiten umgeschrieben ist:

    1 rad = 1 m / m = 1

    Was das ‘rad’ jetzt natütlich nicht überflüssig macht. (Ich empfinde das auch als die ‘natürlichere’ Einheit )

    Sollte nur mal gesagt werden … 🙂

  13. #13 Hans
    20. August 2013

    Naja, und wenn man die 0 (Null) noch berücksichtigt, ohne die höhere Mathematik auch nicht (oder nur schwer) machbar ist, die haben wir von den Arabern. Und wenn Ihr schon bei der Antike seid: die Sumerer sollen doch mit einem Zahlensystem zur Basis 60 gerechnet haben. Da kommen wir mit unseren Ziffernsymbolen nicht mehr hin, um solche Zahlen darstellen zu können. Ausser wenn man Gross und Kleinbuchstaben jeweils noch verschiedene Werte zuordnet dann kommt man mit den 10 Ziffernsymbolen auf 62 Zeichen für Zahlen. Reichlich gewöhnungsbedürftig!

    Und schliesslich habt Ihr noch die Geodäten vergessen, denn die Teilen den Kreis in 400 Gon ein. Da ist ein rechter Winkel dann eben nicht 90° oder pi/2 sondern 100 gon.

  14. #14 Alexander
    Hannover
    20. August 2013

    Einfacher kann man die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs nicht herleiten. 😀

    PS: Mit Minuten und Sekunden habe ich weder in der Schule noch im Studium gearbeitet.

  15. #15 Mr. M
    20. August 2013

    @ Marcel: Ein Jahr hat “rund” 360 Tage… aber was das mit der Anzahl an Unterteilungseinheiten eines Vollkreises zu tun hat will mir nicht so recht helle werden…

    Das mit den Teilern sehe ich irgendwie ein, aber es ist schon noch ein Hemmschuh wenn man beginnen will richtig Mathematik zu lernen, oder?

  16. #16 Basilius
    Nyaruratohotepu
    20. August 2013

    Die Herleitung des Radianten ist wirklich sehr gelungen. Das hätte ich gerne schon in frühester Schulzeit so gehört. Hätte mir manches Verständnisproblem erspart.

    @Marcel

    Die 360° sind nicht willkürlich. Zum einen hat ein Jahr nun mal rund 360 Tage.

    Nee, also das würde ich nicht wirklich als Argument benutzen. Das ergibt doch gar keinen sinnvollen Zusammenhang und es passt ja noch nicht mal wirklich gut.

    @Hans

    Naja, und wenn man die 0 (Null) noch berücksichtigt, …. die haben wir von den Arabern.

    Dachte ich auch immer. Musste mich aber hier auf den S-Blogs eines besseren belehren lassen. Die Null haben die Araber auch von den Indern übernommen und nicht selber gefunden.
    Bei Interesse:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Null#Die_Geschichte_der_Null

  17. #17 JaJoHa
    20. August 2013

    @PDP10
    War das nicht Zweibaum?
    Aber das fühlt sich vorallem natürlicher an, weil dann die Winkelfunktionen als Reihen oder über die Exponentialfunktion auch schöner aussehen 😉

  18. #18 rolak
    20. August 2013

    von den Indern

    Ja, die Araber, Basilius, aber nicht wir – das hatte Hans imho schon richtig formuliert. Die Tomate, an der ich soeben herumkaue, habe ich in diesem Sinne vom Özcan, obgleich mit ziemlicher Sicherheit feststeht, daß der die nicht bei sich im Lager züchtet.

  19. #19 PDP10
    20. August 2013

    @JaJoHa:

    “War das nicht Zweibaum?”

    Jep.

    “Aber das fühlt sich vorallem natürlicher an, weil dann die Winkelfunktionen als Reihen oder über die Exponentialfunktion auch schöner aussehen”

    Ausserdem kann man (eine meiner lieblings Näherungen) in Rad sagen sin(x) ungefähr gleich x für kleine x.

    Das braucht man schon für das einfache Fadenpendel – die Differentialgleichung dafür lässt sich sonst analytisch nämlich schon nicht – oder nur unter grossen Schmerzen – lösen 🙂

  20. #20 JaJoHa
    21. August 2013

    @PDP10
    Das ist ja das erste Stück der Reihendarstellung.
    Funktioniert auch für tan(x) bei kleinen x, da sin(x)\approx 1 😉

  21. #21 Hans
    21. August 2013

    Ach ja, diese berühmte Näherung. Da frag ich mich dann immer, wie gross x denn maximal werden darf?

  22. #22 Alderamin
    21. August 2013

    @Hans

    Kommt drauf an, wie gut die Näherung sein soll. Spätestens ab Pi/2 wird’s übel…

  23. #23 volki
    21. August 2013

    @Alderamin, JaJoHa:

    Ich glaube es sollte wohl sin(x)~x heißen. Wenn nicht dann ist aber sin(x)~1 für x~Pi/2 aber eigentlich ganz gut…

    @Hans:
    Das weiß man:

    |sin(x)-x|<(|x|^3)/6

    Also wenn z.B. -0.1<x<0.1 ist ist der Fehler kleiner als 0.00017.

  24. #24 Alderamin
    21. August 2013

    @Volki

    Hatte auch eher an Post #19 gedacht.

    Und sin(x) ~ 0 statt 1 wäre ohnehin die weitaus bessere Näherung. 🙂

  25. #25 Chris
    Keller
    21. August 2013

    Moin,

    die paraxiale Näherung macht fast alles einfacher. 🙂

  26. #26 JaJoHa
    21. August 2013

    @Volki
    Ja, ich hab sin=1 geschrieben, aber das ist der Cosinus. Mein Fehler 🙁

    Wie gut die Näherung ist kann man doch an der Reihe nachschauen sin(x)=\sum\limits^\infty_{i=0}\frac{(-1)^i*x^{2i+1}}{(2i+1)!}

  27. #27 volki
    21. August 2013

    @JaJoHa: Ich habe sehr grob mit dem Cauchyrestglied R_3 abgeschätzt.

    Wie gut die Näherung ist kann man doch an der Reihe nachschauen

    Jein. Bei dieser Reihe ist das noch ganz einfach, da sie alternierend ist (die Vorzeichen wechseln immer). Bei anderen Reihen kann das ziemlich mühsam werden und die Abschätzungen können relativ schlecht werden wenn man versucht den Reihenrest direkt abzuschätzen.

  28. #28 Hammster
    22. August 2013

    Wenn wir schon bei Pi-Rad und 2Pi-Rad… sind: was ist denn mit der Tau-Diskussion?
    http://www.youtube.com/watch?v=83ofi_L6eAo (Numberphile: Tau replaces Pi)

  29. #29 Hans
    22. August 2013

    #22 Alderamin

    @Hans

    Kommt drauf an, wie gut die Näherung sein soll.

    Das ist klar! – Ich hatte an Genauigkeiten im Bereich von \epsilon \approx 10^{-5} gedacht.

    —-

    #23 volki

    @Hans:
    Das weiß man:

    Ah ja!

    |sin(x)-x|<(|x|^3)/6

    Also wenn z.B. -0.1<x<0.1 ist ist der Fehler kleiner als 0.00017.

    Hm… die Ungleichung kannte ich noch nicht oder hab sie inzwischen wieder vergessen.

    —-

    #26 JaJoHa

    Wie gut die Näherung ist kann man doch an der Reihe nachschauen sin(x)=\sum\limits^\infty_{i=0}\frac{(-1)^i*x^{2i+1}}{(2i+1)!}

    Ja, das ist auch noch ‘ne Möglichkeit. Obwohl: Ich hab das jetzt mal “Brute-Force-mässig” ausgetestet. Dabei kam heraus, dass x maximal 2,24° haben darf, wenn der Fehler unter 10^{-5} liegen soll. Wenn man also ein Pendel bauen will, bei dem der Winkel bei nur 10cm Auslenkung innerhalb der Toleranz bleibt, muss es mindestens 2,5 Meter lang sein, sofern ich anschliessend richtig weiter gerechnet habe. – Das ist für einen Vorführversuch in der Schule wahrscheinlich gerade noch machbar…

  30. #30 Florian Freistetter
    22. August 2013
  31. #31 JaJoHa
    22. August 2013

    @Hans
    In der Schule wirst du aber nicht auf 10^{-5} genau messen, das ist von Hand nur mit vielen Messpunkten und genügend Zeit machbar. Wenn du eine Periodendauer von 1-10 Sekunden hast, dann entspricht das einer Abweichung von weniger als 0.01s (ganz grob abgeschätzt) und die Periode misst du vermutlich mit einer Stoppuhr.
    Vorallem weil der erste Korrekturterm sin² enthält http://de.wikipedia.org/wiki/Fadenpendel

  32. #32 Hammster
    22. August 2013

    @Florian: na, den “Freund und Botschafter der Zahl Pi” kann man wohl kaum als objektiv betrachten 🙂
    Aber so, wie es auf Numberphile dargelegt ist, finde ich es durchaus mehr als nur “Sprachnörgelei” und das Konzept von Tau klingt mir ganz plausibel und es soll ja Pi auch nicht ersetzen.

  33. #33 Hans
    22. August 2013

    @JaJoHa
    Da stimme ich zu. Das Beispiel mit der Schule sollte auch eher die Schwierigkeiten verdeutlichen, die man damit bekommen kann. Ansonsten dachte ich eher an Kreisfrequenzen oder andere Anwendungen wo man die Genauigkeit zur Berechnung braucht, weil sich sonst die Fehler summieren und am Ende nur noch Müll heraus kommt.

  34. #34 Florian Freistetter
    22. August 2013

    @Hammster: “Aber so, wie es auf Numberphile dargelegt ist, finde ich es durchaus mehr als nur “Sprachnörgelei” und das Konzept von Tau klingt mir ganz plausibel und es soll ja Pi auch nicht ersetzen.”

    Es steht ja jedem frei, dort Tau zu schreiben, wo andere 2*pi schreiben. Mathematiker sind ja nicht doof – wenn die Konstanten vereinfachen wollen, dann tun die das auch. Ich finde es nur absurd, eine Konstante als “richtiger” oder “natürlicher” zu definieren. Sprache ist das, was gesprochen wird. Das gilt auch für Mathematik. Wäre Tau tatsächlich der große Fortschritt und so sehr viel besser und praktischer, dann würden wir das auch schon längst verwenden.

  35. #35 Hammster
    22. August 2013

    @Florian: “Wäre Tau tatsächlich der große Fortschritt und so sehr viel besser und praktischer, dann würden wir das auch schon längst verwenden.”
    Ich kenne das entsprechende Skript nicht – aber Numberphile spricht zumindest nicht von “richtig” und “falsch”, sondern eher von “auch praktisch” und “durchaus der Öffentlichkeit vorstellenswert” …
    Und dass keiner Tau nutzt liegt vielleicht daran, dass keiner Tau kennt – weil die “Freunde und Diplomaten” Tau totschweigen … ich vermute eine großangelegte Verschwörung dahinter… 🙂

  36. #36 Florian Freistetter
    22. August 2013

    @Hammster: Ich kenn das numerphile-Video auch nicht (zumindest erinnere ich mich gerade nicht daran). Im verlinkten Artikel über Tau hab ich mich auf die Aussage dieses deutschen Mathematikers bezogen.

  37. #37 H.M.Voynich
    23. August 2013

    Wenn ich mich recht erinnere, gab es auf dem Schultaschenrechner der DDR eine Taste zum Umschalten zwischen Rad/Grad/Deg.
    Das war etwas verwirrend, weil “Grad” nicht Grad sondernd “Gon” bedeutete (aber die kannte zumindest mein Vater noch und konnte sie mir erklären), unsere Grad hießen “Deg” (erstaunlich für die DDR, da englisch zu benutzen – die Rechner waren ja für den Binnenmarkt gedacht).
    Aber zumindest mußte ich nie einen Faktor eintippen …

  38. #38 H.M.Voynich
    23. August 2013

    Ach ja, und ich bin auch ein Freund von Tau, und kenne auch schon die ersten hundert Stellen auswendig (zählt binär?) – wie wärs mit einem Wettbewerb mit den Freunden von Pi?
    Vielleicht erfährt man dabei sogar was neues über das Verhältnis zwischen Pi und Tau, was durch die simple Multiplikation mit 2 gar nicht erwartet wird?

  39. #39 Hammster
    23. August 2013

    @Florian: …du schaust doch gerne Youtube … Link ist in #28

    @Voynich: nu bin ich aber mal gespannt, was ausser Multiplikation mit 2 noch im Verhälnis von Tau und Pi stecken könnte … 🙂
    Guckst du hier: http://www.youtube.com/watch?v=ZPv1UV0rD8U

  40. #40 emreee
    23. Dezember 2014

    Endlich habe ich es verstanden . Vielen dank .

  41. […] wie das Pi zusammenhängt und warum ein voller Kreis einem Winkel von 2*Pi rad entspricht, der soll sich diesen Artikel ansehen und vor allem die wunderbare Animation die dort enthalten […]