Ein Kandidat hat die Möglichkeit eine von drei Türen auszuwählen. Hinter einer der Türen befindet sich ein Ferrari. Hinter den anderen beiden Türen befinden sich Nieten (die Ziegen bzw. in der deutschen Variante der Show der “Zonk”). Sobald der Kandidat seine Wahl getroffen hat, öffnet der Showmaster eine der beiden verbleibenden Türen. Er weiß, was sich hinter den Türen befindet und öffnet immer eine Tür, hinter der sich eine Ziege befindet. Es gibt jetzt also nur noch zwei Türen: Eine mit dem Ferrari und die andere mit der Niete. Nun bekommt der Kandidat das Angebot, seine Wahl noch einmal zu verändern. Soll er wechseln oder nicht?

Das ist das Ziegenproblem und Marilyn vos Savants Antwort löste eine Proteststurm aus. Denn sie sagte, dass es für den Kandidaten besser wäre, zu wechseln. Die Zeitschrift bekam tausende erboste Leserbriefe; viele von Wissenschaftler und Mathematikern die sich darüber aufregten, wie sie so eine dumme Antwort geben kann und dass sie damit die Mathematik in der Öffentlicht schlecht dastehen lässt. Und auch heute noch gibt es überall dort, wo dieses Problem auftaucht hitzige Debatten und heftige Streitereien. Denn die richtige Antwort erscheint offensichtlich: Ganz eindeutig ist es doch egal, was man macht. Es gibt zwei Türen; bei einer gewinnt man und bei einer verliert man. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt 50 Prozent!

Aber diese simple Sichtweise ist falsch. Denn man vergisst dabei den Moderater, der weiß wo sich der Preis befindet und in das Spiel eingreift. Und das ändert alles. Es ist eigentlich nicht schwer zu erklären, wieso es besser ist zu wechseln. Man muss nur ganz genau nachdenken und darf sich nicht durcheinander bringen lassen.

Eine Herde Ziegen macht sich auf den Weg um Mathematiker zu ärgern (Bild: Public Domain)

Eine Herde Ziegen macht sich auf den Weg um Mathematiker zu ärgern (Bild: Public Domain)

Man wählt also eine Tür aus. Im ersten Schritt gibt es drei Möglichkeiten und zwei Nieten. Die Wahrscheinlichkeit, dass man im ersten Schritt richtig geraten und die richtige Tür ausgewählt hat, beträgt also ein Drittel. So weit, so simpel. In diesem Fall sollte man seine Wahl natürlich nicht ändern, denn man hat ja schon richtig gewählt.

Was aber, wenn man im ersten Schritt falsch gewählt hat? Betrachten wir den zweiten Schritt. Hinter der Tür, die wir gewählt haben ist eine Niete. Hinter den zwei anderen Türen sind noch eine Niete und der Ferrari. Nun kommt der Moderator und wählt bewusst die Tür aus, hinter der eine Niete liegt. Es ist nun keiner reiner Zufallsprozess mehr. Durch diesen nicht-zufälligen Eingriff stellt der Moderator sicher, dass man mit absoluter Sicherheit gewinnt, wenn man wechselt. Denn der Ferrari muss sich ja nun hinter der Tür befinden, die der Moderator nicht ausgewählt hat.

Im ersten Szenario gewinnen wir also, wenn wir nicht wechseln. Im zweiten Szenario gewinnen wir, wenn wir wechseln. Die beiden Szenarien sind aber nicht gleich wahrscheinlich. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 landen wir im ersten Szenario und mit 2/3 landen wir im zweiten Szenario. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir gewinnen, wenn wir wechseln, liegt also ebenfalls bei 2/3. Deswegen sollte der Kandidat immer wechseln, wenn er seine Chance erhöhen will.

Das Ziegenproblem ist nicht-intuitiv (und sogar ein so großer und genialer Mathematiker wie Paul Erdös ließ sich erst von der korrekten Lösung überzeugen, nachdem er eine Computersimulation gesehen hatte, die dieses Spiel immer wieder durchspielte) und es zeigt wunderbar, wie schwer es uns fällt, die Wahrscheinlichkeiten zu verstehen. Dazu brauchen wir die Mathematik und im nächsten Kapitel des Buch erklärt Mlodninow, wie wir im 17. Jahrhundert endlich die nötigen mathematischen Instrumente dafür gefunden haben.

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Kommentare (52)

  1. #1 Baumgarten
    29. Dezember 2013

    Das Ziegenproblem ist wirklich wundervoll! Ich kann mich noch gut erinnern, wie wir es in der Schule hatten und auch bei uns die meisten Schüler danach Dinge sagten wie: “Na ja, in der Mathematik ist das so, aber in der Realität stimmt das ja gar nicht…”
    Ich habe aber auch schon einige Kneipenabende damit verbracht, Freunden das Ziegenproblem zu erklären. Was gibt es denn schöneres, als mit netten Menschen bei ein paar Bier zu sitzen und sich über Statistik, Mathematik und ganz allgemein Wissenschaft zu unterhalten? Das Ziegenproblem liefert immer einen guten Aufhänger dafür ^^

  2. #2 Andreas
    29. Dezember 2013

    Einspruch!
    “Was aber, wenn man im ersten Schritt falsch gewählt hat? Betrachten wir den zweiten Schritt. Hinter der Tür, die wir gewählt haben ist eine Niete. Hinter den zwei anderen Türen sind noch eine Niete und der Ferrari. Nun kommt der Moderator und wählt bewusst die Tür aus, hinter der eine Niete liegt. ”
    Soweit ich mich an den Zonk erinnern kann, hat der Moderator eben NICHT die zweite Tür vorgegeben, sondern nur gefragt, ob man wechseln möchte.
    Also:
    0) Ferrari hinter 3

    1) Tür 2 gewählt -> Niete
    2) Ferrari also hinter 1 oder 3
    3) Ich wähle 3
    4) Moderator fragt, ob ich wechseln möchte?
    5) Wenn ich jetzt wechsel – hab ich die A-Karte!

    Nach der oben beschriebenen Handlungsweise würden die Leute nämlich wissen, dass man dem Moderator nicht glauben darf und bewußt wechseln, was zu einem finanziellen Ausbluten des Senders führen würde.

  3. #3 StefanL
    29. Dezember 2013

    Der Intuition beim “Ziegenproblem” läßt sich etwas auf die Sprünge helfen: 1000 Türen, eine gewählt, 998 Nieten werden geöffnet. Bereit zu wechseln?

  4. #4 Michael
    29. Dezember 2013

    Verständlichere Erklärung für das Ziegenproblem.
    Anstatt 3 Türen, stellt man sich sich 10 vor.
    1 Gewinn, 9 Nieten. Am Anfang wäht man eine zufällig.
    Von den restlichen 9 werden dann 8 Türen geöffnet, hinter denen eine Niete steckt. Zwar sind dann immer noch 2 Türen versteckt, aber fast jedem leuchtet dann ein, das man die Türe wechseln muss.

  5. #5 Toddy
    29. Dezember 2013

    @ Andreas

    In der deutschen Gameshow war es tatsächlich so, wie du dich erinnerst. Es wurde nämlich das Tor, welches man zuerst ausgewählt hat auch wirklich geöffnet.

    Aber bei dem Ziegenproblem wird einem ja nicht offenbart, das man bei der ersten Auswahl eine Niete hat. (dein Schritt 2).

    Für dich sind nach der ersten Auswahl immer noch alle drei Tore unbekannt. Der erste Hinweis für dich als Kandidat ist das Tor, welches der Moderator öffnet.

    0) (Geheim) Ferrari hinter 3

    1) Tür 2 gewählt……
    2) Moderator: “so, wir öffnen Tor 1” —> Niete
    3) Watt nu?
    4) Moderator fragt, ob ich wechseln möchte?
    5) Bleib ich bei 2 oder geh ich zu 3 ??

  6. #6 Sven
    29. Dezember 2013

    @Andreas:
    Im Ziegenproblem wird die Tür, die der Kandidat zu Beginn wählt erst ganz am Schluss geöffnet. Er weiß also nicht, ob seine erste Wahl korrekt war oder nicht. (Keine Ahnung ob es bei “Geh aufs Ganze” auch so war.) In Deinem Szenario also:
    0) Ferrari hinter 3
    1) Kandidat wählt Tür 2
    2) Moderator öffnet Tür 1
    3) Moderator fragt, ob Kandidat wechseln möchte
    4) Wenn er wechselt (auf Tür 3 denn nur noch die ist übrig), gewinnt er den Ferrari, wenn er nicht wechselt, gewinnt er nichts.
    Wechseln führt also genau dann zum Gewinn, wenn man nicht schon mit der ersten Wahl (aus drei Türen) richtig lag, also in zwei von drei Fällen.

  7. #7 AmbiValent
    29. Dezember 2013

    @Andreas
    Das Ziegenproblem ist extra so formuliert, dass der Moderator immer eine Tür öffnet, hinter der eine Ziege steht, egal ob man schon richtig oder falsch gewählt hatte. Er ist da nicht frei in seiner Entscheidung, und so fallen psychologische Argumentationen aus, und nur das mathematische Gerüst bleibt übrig.

  8. #8 eumenes
    29. Dezember 2013

    Gero von Randow: Das Ziegenproblem ISBN 3499619059
    Lohnt sich unbedingt!

  9. #9 Jürgen Schönstein
    29. Dezember 2013

    Der Haken beim Ziegenproblem, wie ich hier schon mal beschrieben hatte, ist die unterschiedliche Wahrnehmung von Gewinn und Verlust: Zwar verdoppelt sich beim Wechsel die Gewinn-Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3 – aber gleichzeitig verschiebt sich die Perspektive. Denn tatsächlich besteht ja eine reelle Chance, dass man das richtige Tor mit dem Ferrari schon gefunden hatte – ein Wechsel des Tores wird daher als möglicher Verlust empfunden – und dieser mögliche Verlust wiegt, wie uns die Neue Erwartungsheorie lehrt, schwerer als der mögliche Gewinn. Was bei dieser speziellen Konstellation zu einem gefühlten Patt führt. Bei 1000 Türen hingegen ist die Sache auch emotional klarer.

    @Florian
    Die 75-Prozent-Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt habe ich hingegen nicht verstanden. Genauer gesagt: Ich verstehe nicht, warum diese vier von Dir beschriebenen Ereignisse als gleichberechtigt gelten. Die Frage lautete doch “Wenn eine Frau zweieiige Zwillinge zur Welt bringt, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Kinder ein Mädchen ist?” – und da spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Kinder geboren werden: Junge/Mädchen und Mädchen/Junge sind (ich nehme an, hier gilt das Kommutativgesetz) gleichwertig. Anders wäre es, wenn die Frage sich um das Geschlecht des erstgeborenen Kindes drehen würde…

  10. #10 Lercherl
    29. Dezember 2013

    xkcd bringt es wie immer auf den Punkt: http://xkcd.com/1282/

  11. #11 Florian Freistetter
    29. Dezember 2013

    @jürgen das Ergebnis ist in beiden Fällen gleich: egal wer zuerst geboren wird, am Ende ist immer ein Baby ein Mädchen. Aber du kannst dieses Ergebnis auf zwei verschiedene Arten erreichen und das muss man berücksichtigen. Vergleich es mit würfeln. Wenn du die Wahrscheinlichkeit wissen willst wie oft man mit zwei würfeln eine 7 würfelt dann darst du die Fälle 3/4 und 4/3 auch nicht zusammen schmeißen sondern musst sie extra betrachten.

  12. #12 Radieschen
    29. Dezember 2013

    @AmbiValent:

    Das würde auch erklären, warum man die mathematische Wahrscheinlichkeit gut errechnen kann. Weil alle Bedinungen starr festgelegt sind.

    Ich glaub so langsam dass die meisten sich an die Spielshow erinnern und wissen, dass es da nicht so “starr definiert” vorging, wie in dem Ziegenproblem. Man muss erstmal das Szenario aus der Spielshow aus dem Kopf kriegen und sich dann “neu” auf dieses “neue Szenario”, das der Spielshow ähnelt, einlassen.

    Dann verstehen sicher auch mehr die rein mathematische Lösung. In der Spielshow spielt Gestik/Mimik/Täuschung eine große Rolle, wäre interessant diese Faktoren einzurechnen und gucken, ob die Inuition dann doch wieder etwas besser abschneidet.

    Ich denke fast, dass die Mathematik von nicht veränderlichen Werten ausgeht, und zudem natürlich “abstrahiert”, so als würde man unendlich oft spielen dürfen. Vermutlich arbeitet die Inutition mit den Erfahrungswerten, dass dieses unendliche spielen und diese abstrahierten Bedingungen selten haargenau so der Fall sind.

  13. #13 Jürgen Schönstein
    29. Dezember 2013

    @Florian
    Das stimmt zwar. Aber im Ergebnis ist das wieder irrelevant, denn 7 ist 7. Die Frage bezieht sich nur auf das Ergebnis, nicht auf die Reihenfolge.

    Nimm die Lottozahlen als anderes Beispiel: Es wäre sicher viel schwerer, wenn wir nicht nur die Zahlen an sich, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden, tippen müssten. Aber im Ergebnis zählen nur die Zahlen an sich – egal, in welcher Reihenfolge sie aus der Lostrommel rollen. Wenn erst die 3 und dann die 4 kommt, ist es das Gleiche, als wenn erst die 4 und dann die 3 käme. Und in dem von Dir beschriebenen Fall geht es nur um das Ergebnis: Ist ein Mädchen dabei, ja oder nein. Und da sind 3-4 oder 4-3 genau das gleiche.

  14. #14 Florian Freistetter
    29. Dezember 2013

    Aber es geht in dem Fall ja nicht um das Ergebnis sondern die Wahrscheinlichkeit und die Anzahl der Ereignisse die zu diesem Ergebnis führen. Und da muss man alle einzeln zählen, selbst wenn sie am Ende zum gleichen Ergebnis führen.

  15. #15 Jürgen Schönstein
    29. Dezember 2013

    @Florian14
    Da bin ich vielleicht begriffstutzig, aber die Frage, die Du als Ausgangspunkt gewählt hattest, bezieht sich nur auf das Ergebnis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen zwei Geburten ein Mädchen dabei ist? (Denn letztlich ist es auch egal, ob es sich bei dieser Art von Geburt wirklich um Zwillinge oder “nur” um Geschwister handelt, oder um Kinder, die ganz ohne Verwandschaft geboren werden – die “Zwillingsgeburt” ist ein red herring.) Nach Deiner Musterrechnung müssten drei von vier Kindern dann Mädchen sein …

  16. #16 wereatheist
    29. Dezember 2013

    @Jürgen Schönstein:
    Wir wollen einen Ergebnisraum der aus gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen besteht!
    Das Beispiel mit den zwei Würfeln bietet sich hier an: es gibt 36 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, 6 für den ‘ersten’ Würfel und, davon unabhängig, 6 für den ‘zweiten’. Multipliziert also 36.
    Es gibt nur jeweilseine Weise, die Augensumme ‘2’ oder ’12’ zu erreichen, für die Summe ‘7’ gibt es aber 6 Möglichkeiten! Es ist 6x so wahrscheinlich, ‘7’ zu erreichen (auch mit nicht unterscheidbaren Würfeln).

  17. […] meiner Serie über Zufall und Wahrscheinlichkeit war heute das verwirrend-verflixte Ziegenproblem an der Reihe. Dieses klassische Problem hat im Laufe der Zeit schon jede Menge Menschen durcheinander gebracht. […]

  18. #18 wereatheist
    29. Dezember 2013

    @Jürgen: Dass beide zweieiigen Zwillinge das gleiche Geschlecht haben, ist genauso wahrscheinlich (50%), wie dass sie verschiedenes haben. Aber von den Fällen mit gleichem Geschlecht ist nur die Hälfte ‘günstig’, wenn die Aufgabe lautet “mindestens ein Mädchen” ->Wahrscheinlichkeit dafür ist also 75%.

  19. #19 BerndB
    29. Dezember 2013

    Es liegt vielleicht ein Problem mit dem Begriffen vor.
    Oft wird bei den Worten “ein xxx” mit dem mathematischen “GENAU ein” assoziiert, was hier fehl am Platz ist. Gemeint ist hier: “mindestens ein”.
    Es ist nämlich auch mit 75% Wahrscheinlichkeit (mind.) ein Junge dabei.

  20. #20 Gefbo
    29. Dezember 2013

    Auch bei den Zwillingen/Geschwistern wird es einfacher, wenn man größere Zahlen nimmt: Je mehr Geschwister es gibt, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass davon mindestens eins ein Mädchen ist. Für ein Kind beträgt die Wahrscheinlichkeit 50%. Für zwei Kinder muss es also schon mehr sein, nämlich die besagten 75% usw.

  21. #21 C.E.
    29. Dezember 2013

    @Jürgen
    Du unterliegst einem Denkfehler. Allerdings hatte Florians Würfelbeispiel auch so seine Schwächen. Ich versuche mal, ein ganz anderes Beispiel zu bringen: Genetik, Blütenfarbe, ein Gen, zwei Allele, rot und weiß
    Allel1+Allel2 = Farbe
    rot+rot = rot
    rot+weiß = weiß+rot = rosa
    weiß+weiß = weiß

    Von beiden Eltern kommen je 2 Allele. Wir kreuzen rotrot mit weißweiß, heraus kommt 4x rotweiß (also 2x rotweiß und 2x weißrot, was aber in der Endfärbung und weiteren Vererbung nichts zu tun haben soll).
    Kreuzen wir nun rotweiß mit rotweiß, entsteht
    1x rotrot
    1x rotweiß
    1x weißrot
    1x weißweiß
    oder phänotypisch, in Farben ausgedrückt, 1x rot, 2x rosa, 1x weiß. 25% zu 50% zu 25%.

    Weil die Farben und die Geschlechter jetzt aber nicht so gut zusammenpassen, noch eine mathematischere Herangehensweise.
    Bei einer Einlingsgeburt soll die Wahrscheinlichkeit für “männlich” bei 50% liegen. (Die kleinen biologischen Abweichungen mal außen vor gelassen.)
    Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für “mindestens 1 Mädchen” läßt sich auch umformulieren in die Wahrscheinlichkeit für “nicht zwei Jungen”, denn alles, was “nicht zwei Jungen” enthält, enthält mindestens ein Mädchen.
    Wahrscheinlichkeit für Baby 1 = Junge: 0.5
    Wahrscheinlichkeit für Baby 2 = Junge: 0.5
    Wkt. für “Baby 1 und Baby 2 = Jungen”: 0.5*0.5 = 0.25
    Wkt. für “nicht ‘B1 und B2 = Jungen'”: 1-0.25 = 0.75 oder eben 75%

  22. #22 Gefbo
    29. Dezember 2013

    Ach so, noch was, @ Jürgen Schönstein:

    ” Nach Deiner Musterrechnung müssten drei von vier Kindern dann Mädchen sein …” #15

    Nein, von 4 Zwillingspärchen haben dann 3 Zwillingspärchen mindesten ein Mädchen dabei. Das ist was anderes.

  23. #23 Statistiker
    29. Dezember 2013

    Ich kann nur den Kopf schütteln ob des mathematischen Unverständnisses einiger Leute, die sich “Wissenschaftler” nennen.

    Angesichts deren Rechenschwäche wäre bei manchen manchen Personen eher eine Diskalkulie zu vermuten…….

    Lute, denken, rechnen, dann posten….

  24. #24 Florian Freistetter
    29. Dezember 2013

    @Jürgen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen zwei Geburten ein Mädchen dabei ist?”

    Ja eh. Aber du musst eben alle Ereignisse berücksichtigen, die zu einem Ergebnis führen. Mir fällt gerade auch nicht ein, wie ich das noch besser erklären kann. Kommst du irgendwie an das Buch von Mlodinow? Vielleicht hat er das dort besser erklärt.

  25. #25 Florian Freistetter
    29. Dezember 2013

    @Jürgen: “Nach Deiner Musterrechnung müssten drei von vier Kindern dann Mädchen sein …”

    P.S. Ne, weil das ja genau so funktioniert wenn du “Mädchen” durch “Junge” ersetzt. Auch da ist die Wahrscheinlichkeit dann 75%.

  26. #26 eumenes
    29. Dezember 2013

    Geht es nicht einfacher mit dem Gegenereignis. “Kein Mädchen.”
    Bei einer Geburt 1/2, bei der nächsten Geburt natürlich wieder 1/2, also bei zwei Geburten “kein Mädchen”: 1/2*1/2=1/4, also das Gegenereignis “(mindestens) ein Mädchen”: 3/4 d.h. 75%.

  27. #27 Marcus Neindanke
    29. Dezember 2013

    Es wäre schön, zu erfahren, was das alles mit Ziegen zu tun hat?

  28. #28 Florian Freistetter
    29. Dezember 2013

    @Marcus: “Es wäre schön, zu erfahren, was das alles mit Ziegen zu tun hat?”

    Wenn du den Artikel liest, dann wird das dort ausführlich erklärt.

  29. #29 Marcus Neindanke
    29. Dezember 2013

    Aber wie kommt man auf Ziegen? Das Ganze ist doch anhand der Spielshow erklärt.

  30. #30 Findus23
    Krems
    29. Dezember 2013

    @Jürgen Ich versuche es einmal mit einem anderen Beispiel (so ähnlich in meinem M-Buch gesehen):
    Du hast in einer Box 2 Bälle, die entweder rot oder blau sein können.
    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens (!) ein Ball rot ist.
    Hier gibt es 4 Möglichkeiten:
    1. Ball 1 und Ball 2 rot
    2. Ball 1 rot und Ball 2 blau
    3. Ball 1 blau und Ball 2 rot
    4. Ball 1 und Ball 2 blau
    In 3 dieser 4 Fälle ist mindestens 1 Ball rot.
    -> die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Ball rot ist, ist 75%
    Umgekehrt ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens (!) ein Ball blau ist 75% (auch 3 von 4 Fälle).
    Wenn man nun Bälle durch Kinder ersetzt und “rot” durch “Mädchen”, ist man genau bei Florians Beispiel.
    Das Wichtige ist, dass man bedenkt, dass es einen Ball (Kind) 1 und einen Ball 2 gibt, wodurch man auf 4 Möglichkeiten kommt.

    Zum Monty-Hall-Problem: hierzu gab es eine sehr gute MythBusters-Folge, die zwar nicht auf die Mathematik eingeht, dafür die Lösung experimentell bestätigt.

  31. #31 Florian Freistetter
    29. Dezember 2013

    @Marcus: “Das Ganze ist doch anhand der Spielshow erklärt.”

    Ja, und die Niete bei dieser Show war halt ne Ziege… Ist auch nicht seltsamer als der komische “Zonk” in der deutschen Variante.

  32. #32 Findus23
    Krems
    29. Dezember 2013

    @Marcus Neindanke
    In dieser Gewinnshow gibt es 3 Preise:
    Hinter einer Tür ist ein Auto (wünschenswerter Preis)
    und hinter den anderen beiden Türen sind zwei Ziegen (nicht wünschenswerte Preise)

  33. #33 Findus23
    Krems
    29. Dezember 2013

    Auch wenn ich hiermit einen 3-fach-Post mache:
    Wie eumenes #26 schon erwähnt hat ist es einfacher mit dem Gegenteil “Wie wahrscheinlich ist kein Mädchen” rechnet.
    Hier erscheint es logischer, dass dies nur in einem von 4 Fällen eintritt. (So lernt man es heute im Gymnasium, da es leichter verständlich ist.)

  34. #34 Schlotti
    29. Dezember 2013

    @Jürgen Schönstein:

    Und in dem von Dir beschriebenen Fall geht es nur um das Ergebnis: Ist ein Mädchen dabei, ja oder nein. Und da sind 3-4 oder 4-3 genau das gleiche.

    Das ist zwar richtig, aber die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis 3-4 oder 4-3 zustande kommt, ist doppelt so hoch, wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 3-3 oder 4-4 lautet. Eben weil es für diese beiden ungleichen Kombinationen genau 2 Möglichkeiten gibt, für 3-3, bzw. 4-4 jedoch nur genau 1 Möglichkeit.

    Letztlich lässt sich das Problem dadurch verstehen, das man sich mit der Tatsache anfreundet, dass die Wahrscheinlichkeit für ein ungleiches Ergebnis eben doppelt so hoch ist wie für ein gleiches Ergebnis. Was dann eben eine Trefferquote von 75% ergibt.

  35. #35 Jürgen Schönstein
    29. Dezember 2013

    Ich gebe zu: Nicht die Mathematik ist das Problem, sondern die Formulierung des Problems. Dass die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Geburten exakt zwei Jungens rauskommen, nur 25 Prozent ist, können wir ziemlich leicht noch begreifen (zwei unabhängige Ereignisse, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5, ergeben 0,25). Mir war wichtig zu betonen, dass dabei die Reihenfolge nicht das Argument ist – theoretisch könnten beide Kinder gleichzeitig zur Welt kommen, und das Resultat wäre davon nicht betroffen.

  36. #36 Schlotti
    29. Dezember 2013

    @Jürgen Schönstein:

    Mir war wichtig zu betonen, dass dabei die Reihenfolge nicht das Argument ist – theoretisch könnten beide Kinder gleichzeitig zur Welt kommen, und das Resultat wäre davon nicht betroffen.

    Ach so, ich habe meinem voherigen Post diese

    Die 75-Prozent-Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt habe ich hingegen nicht verstanden. Genauer gesagt: Ich verstehe nicht, warum diese vier von Dir beschriebenen Ereignisse als gleichberechtigt gelten.

    Aussage zugrundegelegt.

    Möglicherweise habe ich Dich da falsch verstanden…

    Ich habe dann allerdings auch nicht verstanden, wo Florian die “Reihenfolge” der Geburten als Argument gebracht hätte. Schließlich hat Florian ausdrücklich von zweieiigen Zwillingen geschrieben, was m.E. implizit die Aussage enthält, das die Reihenfolge eben nicht wichtig ist.

  37. […] Für alle, die mal so richtig schwer grübeln wollen: Im von mir sehr geschätzten Blog “Astrodicticum simplex” von Florian Freistetter geht es heute um das “Ziegenproblem” (auch als 3-Türen Problem bekannt, eine Abhandlung über das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten) –> hier gehts zum Link. […]

  38. #38 Erfahrener Blödkop
    kein Casino
    29. Dezember 2013

    Danke für diesen erhellenden Beitrag. Bestätigt er, was ich schon immer vermutet habe. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist von einem Zocker fürs Zocken erf..äh entwickelt worden und wird heutzutage hauptsächlich von Zocker…äh Versicherungsmathematikern angewendet. Also mal ehrlich, egal, ob eine rote Kugel drin ist oder ein Mädchen, wissen kann Mensch es erst nach dem Ereignis. Wie nennt der Physiker das nochmal? Lässt Schrödingers Katze eventuell grüßen?

  39. #39 Schlotti
    29. Dezember 2013

    @Erfahrener Blödkop:

    Danke für diesen erhellenden Beitrag. Bestätigt er, was ich schon immer vermutet habe.

    Mit Wahrscheinlichkeitsrechnung kann man beispielsweise immerhin abschätzen, wieviel manche Leute tatsächlich erhellt worden sind von Texten, von denen sie behaupten, erhellt worden zu sein.
    Hierfür, nämlich für eine Einschätzung, was noch so zu erwarten sein wird, sind verwendete Begriffe wie “Schrödingers Katze”, die in diesem Zusammenhang nicht die geringste Rolle spielen, gute Indikatoren.
    Ich behaupte jetzt mal, dass Sie mit einer Wahrscheinlichkeit, die sich von Zufall unterscheiden lässt, gleich auch noch mit Quanten, Wellen usw. um die Ecke kommen werden /Wenn Sie denn überhaupt reagieren).

  40. #40 momo
    30. Dezember 2013

    danke, endlich eine erklärung, die ich akzeptieren kann.
    (meistens scheitern mündliche erklärungen ja daran, dass die rahmenbedingungen nicht präzise beschrieben werden)

  41. […] Das zweite Kapitel hat sich mit den grundlegenden Regeln der Wahrscheinlichkeit beschäftigt. Im dritten Kapitel präsentiert Mlodinow das fiese Ziegenproblem, das unser Unverständnis der Wahrscheinlichkeit […]

  42. #42 Stefan
    30. Dezember 2013

    Das ziegenproblem lässt sich oft besser verstehen, wenn man es “aus Sicht der Tore” betrachtet, sowie beim Gefangenenparodoxom (http://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenenparadoxon).

    Drei Gefangene, zwei werden hingerichtet (“Nieten”), einer zufällig ausgewählt und begnadigt. Jeder hat also eine Chance von 1/3 der Begnadigte zu sein.

    Nun fragt einer der Gefangen, nennen wir in Klaus, den Wärter ob Bernd oder Hugo (die beiden Mitgefangenen) hingerichtet werden. Der Wärter ist nett und sagt: “Bernd wird hingerichtet!” – Juchei, denkt Klaus, jetzt liegt meine Chance bei fifty-fifty.

    Leider hat Klaus hier einen falschen Schluss gezogen, denn man auch intuitiv verstehen kann, denn: Der Wärter konnte nur Bernd oder Hugo antworten – bei beiden möglichen Antworten hätte Klaus gedacht, seine Chance liegt nun bei 50%.

    Wenn man Klaus Logik folgt, ist also völlig egal was der Wärter sagt – seine Chance hat sich immer verbessert. Das ist aber logischerweise nicht so, seine Chance bleibt wie vorher, diese Information hat ihm nicht gebracht, denn er wußte schon vorher, dass Hugo oder Bernd hingerichtet werden. Seine Chance bleibt somit bei 1/3.

    Verändert hat sich aber die Wahrscheinlichkeit von Bernd auf 0 und von Hugo somit auf 2/3.

    Man müsste also von Klaus zu Hugo wechseln… und hat höhere Gewinnchancen.

    Hier könnte man sogar ein Baumdiagramm zeichnen. Erste Stufe “Begnadigter”, zweite Stufe “Wärterantwort”.

    Angenommen wird, dass der Wärter rein zufällig antwortet, wenn er zwei Antwortmöglichkeiten hat.

    Begn. Wärter sagt
    H(0)
    H(0.33)
    B(1)

    H(0.5)
    K(0.33)
    B(0.5)

    H(1)
    B(0.33)
    B(0)

    Wenn der Wärter also “Bernd” sagt, dann kommen nur noch die Ereignise “KB”(1/6) und “HB”(1/3) in Frage, Hugo hat also doppelt so große Überlebenschancen.

    Wenn man es dann genau wissen will, rechnet man mit der bedingten Wahrscheinlichkeit:
    Die Wahrscheinlichkeit für “Wärter sagt Bernd” bekommt man durch die Aufsummierung aller Möglichkeit im Baum die dieses Ergebnis enthalten und erhält 1/3 + 1/6 = 0.5

    Und dann kann man errechnen (http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit):

    P(K begnandigt) u.Bed. “Wärter sagt Bernd” = 1/6 / 0.5 = 1/3.

  43. #43 Erfahrener Blödkop
    30. Dezember 2013

    @Schlotti
    Warum sollte ich denn mit Quanten/Wellen um die Ecke kommen? Viel interessanter ist doch die erste Fragestellung. Hier wird ein Sonderfall suggeriert, der gar keiner ist. Die Frage könnte genauso lauten: Wenn Mutter/Vater/Eltern 2 Kinder haben, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eins davon ein Mädchen/Junge ist? Die Antwort ist stets die gleiche, und sie ist falsch. Der natürliche Überschuss der männlichen Geburten wird nicht berücksichtigt und daher ist dieses Beispiel ein schlechtes.

  44. #44 PDP10
    30. Dezember 2013

    @Erfahrener Blödkop:

    “Die Frage könnte genauso lauten: Wenn Mutter/Vater/Eltern 2 Kinder haben, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eins davon ein Mädchen/Junge ist?”

    So lautet die Frage aber nicht.

    “Der natürliche Überschuss der männlichen Geburten wird nicht berücksichtigt und daher ist dieses Beispiel ein schlechtes.”

    Das würde erstens bei dieser Fragestellung eine Abweichung jenseits der Messgenauigkeit ergeben und zweitens sind das ganz verschiede Sachen.

    Zum einen Statistik – aus grossen Stichproben empirisch ermittelte Werte.
    Die Fragestellung im Artikel zum Anderen ist aber eine aus der Stochastik.
    Dh. Wie errechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.

    Warte einfach den Rest der Artikelserie ab. Ich gehe mal davon aus, dass der Unterschied zwischen beidem noch erklärt wird.

  45. #45 Florian Freistetter
    30. Dezember 2013

    @pdp10 ja, dieser Unterschied wird noch erklärt.

  46. #46 Erfahrener Blödkop
    30. Dezember 2013

    Ich freue mich auf die nächsten Folgen, nichtsdestotrotz bleibe ich dabii, dass dieses Beispiel irreführend ist. Und ein Überschuss von 1,05 soll außerhalb der Messgenauigkeit liegen:?:

  47. #47 Lercherl
    31. Dezember 2013

    Mir ist noch eine Methode eingefallen, wie man das Ziegenproblem veranschaulichen kann, indem man mit leicht veränderten Regeln spielt:

    Wir wählen eine Tür, sagen wir A. Dann fragt mich der Moderator, ob ich stattdessen lieber nicht BEIDE Türen B und C wählen will und mir dann eine aussuche. Natürlich sage ich ja, weil ich damit meine Chancen verdopple.

    Mit etwas Nachdenken sieht man, dass das Spiel nach diesen Regeln dem originalen Ziegenproblem vollkommen äquivalent ist. Wir wissen sowieso, dass unter B und C mindestens eine Niete ist – durch das Öffnen von B oder C hat uns der Moderator nur eine dieser Nieten gezeigt, aber nichts an der ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsverteilung geändert.

  48. #48 Stefan W.
    http://demystifikation.wordpress.com
    31. Dezember 2013

    Der Fernsehsender macht aus 2 Gründen nicht pleite.

    Einerseits kennen die meisten Kandidaten die Mathematik hinter dem Spiel nicht und die Chance die Gewinnausbeute zu verbessern verbleibt eine theoretische.

    Zum zweiten spielt der Kandidat aber nicht fair gegen den Sender und bietet dem Sender im Gegenzug eine nämliche Wette, sondern der Sender lebt von den Werbeminuten in der Show wie davor und danach, und gewinnt auch wenn er von den Kandidaten optimal gerupft wird noch besser als jene.

  49. […] Das zweite Kapitel hat sich mit den grundlegenden Regeln der Wahrscheinlichkeit beschäftigt. Im dritten Kapitel präsentiert Mlodinow das fiese Ziegenproblem, das unser Unverständnis der Wahrscheinlichkeit […]

  50. […] vor vielen Jahren ein Buch darüber geschrieben und allein auf den Scienceblogs gibt es eine kurze Geschichte des Problems, psychologische Überlegungen dazu, eine Computersimulation, ein Experiment und eine neue […]

  51. #51 melanie
    Bielefeld
    19. Januar 2017

    find ich sehr gut :))

  52. […] Das zweite Kapitel hat sich mit den grundlegenden Regeln der Wahrscheinlichkeit beschäftigt. Im dritten Kapitel präsentiert Mlodinow das fiese Ziegenproblem, das unser Unverständnis der Wahrscheinlichkeit […]