Von 1. bis 20. April bin ich auf Reisen, halte Vorträge in der Pfalz und in Baden-Württemberg und mache auch ein wenig Urlaub. Für die Zeit meiner Abwesenheit habe ich eine Artikelserie über wissenschaftliche Paradoxien vorbereitet. Links zu allen Artikeln der Serie findet ihr hier.
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Stellt euch vor, ihr seid ein Krokodil. Und macht das, was Krokodile so tun: Kleine Kinder entführen! Ihr habt also ein Kind entführt und nun taucht natürlich die verzweifelte Mutter auf und will ihren Nachwuchs wieder zurück haben. Da ihr aber nicht nur ein Krokodil seid, sondern noch dazu böse und ein Fan fieser Rätsel, gebt ihr der Mutter folgende Chance: Sollte sie korrekt erraten, was ihr mit dem Kind vorhabt, dann werdet ihr das Kind freilassen. Ehrenwort!

Ihr erwartet natürlich, dass die Mutter sagt, dass ihr das Kind freilassen werdet. Denn schließlich ist das ja das, was sich die Mutter wünscht. Und weil ihr ein böses Krokodil seid und das Kind nicht freilassen wollt, hat sie falsch geraten und ihr könnt das tun, was ihr von Anfang an vorhattet: Nämlich das Kind behalten.

Aber die Mutter könnte sich ja auch anders entscheiden. Immerhin weiß sie Bescheid, wie fies Krokodile sind! Sie kann also raten, dass ihr das Kind nicht rausrücken werdet. Und jetzt seid ihr die Dummen! Denn gebt ihr zu, dass es tatsächlich so ist, dann hat die Mutter Recht und ihr müsst das Kind frei lassen – und verstoßt dabei gegen die von euch aufgestellte Regel. Denn wenn ihr das Kind zurück gebt, dann tut ihr nicht mehr das, was die Mutter geraten hat und solltet es eigentlich behalten. Und wenn ihr es einfach trotzdem behaltet, dann verstoßt ihr ebenfalls gegen eure eigene Behauptung und euer gegebenes Ehrenwort!

Würdet ihr so jemand als Babysitter engagieren? (Bild: Public domain)

Würdet ihr so jemand als Babysitter engagieren? (Bild: Public domain)

Tja – das kommt davon, wenn man ein fieses Krokodil ist, und Kinder entführt! Egal was ihr tut, ihr landet bei einer Entscheidung, die euren Vorgaben widerspricht.

Natürlich ist die Geschichte mit dem Krokodil nur eine Geschichte und keine Situation, der man im echten Leben begegnet wird. Aber dieses “Krokodildilemma” oder “Krokodil-Paradox” wurde schon in der Antike betrachtet und zeigt die logischen Probleme auf, die entstehen, wenn man zu viel Wissen über das Wissen hat. Die Sache mit dem “Metawissen” war ja auch schon der Knackpunkt beim Paradox des Flaschenkobolds.

Das Krokodildilemma ist eng mit einer der bekanntesten Paradoxien bekannt: Dem Lügner-Paradox. Es lässt sich von allen Paradoxien vermutlich am einfachsten formulieren und besteht nur aus dem Satz:

“Dieser Satz ist falsch.”

Ist dieser Satz nun falsch oder richtig? Ist er richtig, dann folgt aus dem Satz, dass er falsch ist. Und ist er falsch, dann folgt, das der Satz richtig ist. Wie man es betrachtet, am Ende entsteht ein logischer Widerspruch. In der klassischen Variante handelt es sich dabei um das Paradoxon des Epimenides, der behauptet hat “Alle Kreter sind Lügner” und selbst aus Kreta stammt. Seiner eigenen Behauptung nach ist er also ein Lügner – und wenn er ein Lügner ist, dann hat er bei dem Satz “Alle Kreter sind Lügner” gelogen und die Aussage ist falsch. Kreter sagen also die Wahrheit – und damit ist der Satz richtig und alle Kreter sind Lügner. Tja.

Das, was die Sache mit den Lügnern und den Krokodilen so verwirrend macht, ist die Selbstbezüglichkeit. Es geht dabei um Aussagen, die sich auf sich selbst beziehen und damit landet man fast immer bei Widersprüchen der einen oder anderen Art. Wer dieses Thema in all seinen Details verstehen will, dem kann ich das Buch “Gödel, Escher, Bach ein Endloses Geflochtenes Band”* (im Original: “Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid”*) von Douglas Hofstadter nur dringend empfehlen. Es ist ein äußerst hervorragendes Buch, in dem es um genau die selbstbezüglichen Paradoxien geht, die ich hier angesprochen habe. Hofstadter zeigt, wie und wo sie in Musik (u.a. der von Johann Sebastian Bach), der Kunst (u.a. der von MC Escher) und der Wissenschaft auftreten. Er schafft so eine Verbindung von der Logik der Antike bis hin zu Gödels berühmten Unvollständigskeitssatz, der zeigt, dass die Mathematik niemals alle wahren Aussagen wird beweisen können sondern das es immer Probleme geben wird, bei denen man nicht entscheiden kann, ob sie wahr sind oder nicht; genau so wie sich nicht entscheiden lässt ob der verdammte Epimenides jetzt ein Lügner ist oder nicht! Gödels Unvollständigkeitssatz ist wirklich nicht leicht zu verstehen, aber nach der Lektüre von “Gödel, Escher, Bach” hat man ein ziemlich gutes Verständnis, und das gilt durchaus auch für die mathematisch/logischen Grundlagen des Problems.

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Kommentare (35)

  1. #1 Böx
    17. April 2015

    “Sollte sie korrekt erraten, was ihr mit dem Kind vorhabt, dann werdet ihr das Kind freilassen. Ehrenwort! … Denn wenn ihr das Kind zurück gebt, dann tut ihr nicht mehr das, was die Mutter geraten hat und solltet es eigentlich behalten”

    Sollte es dann nicht heißen, dass die Mutter erraten muss, “was ihr mit dem Kind tun WERDET”? Nur weil sie errät, was wir vorhaben und dann aber tatsächlich etwas anderes tun, ergibt sich nach meiner Logik kein Widerspruch. Oder?

  2. #2 badhofer
    steyr
    17. April 2015

    Dieser Satz ist falsch, bis auf eine Ausnahme: Für denjenigen, die den Satz lesen, ist er richtig!

    Alle Kreter sind Lügner, bis auf eine Ausnahme: Derjenige, der den Satz ausgesprochen hat, ist kein Lügner!

    Es gibt kein Paradoxon, es gibt nur das Nichtbeachten des fundamentalsten Naturgesetzes, das es gibt. Es lautet: “Für alles gibt es eine Ausnahme”

    Übrigens das einzige Naturgesetz, dass es gibt, alle anderen Naturgesetze sind nur Facetten davon.

    Warum das so ist?
    Seite 48 (letzte Seite) von http://www.physik.as

  3. #3 barbaz
    17. April 2015

    Anders als das Unvollständigkeitsparadoxon lässt sich das Krokodil/Lügner/Kreter-Problem leicht auflösen. Eine Aussage ist ein Satz der entweder wahr oder falsch ist. “Dieser Satz ist falsch” und seine Variationen sind offensichtlich weder wahr noch falsch, ergo sind sie keine Aussagen, ergo lässt sich keine Logik auf ihnen anwenden. Der Satz “Siebenindischer Raketenkäse schmeckt Donnerstag” ist ja auch kein Paradoxon, sondern einfach nur bedeutungsfrei.

  4. #4 Chemiker
    17. April 2015

    @barbaz

    Es ist aber ein bißchen schwierig, diese Sätze für nicht-erlaubt zu erklären. Denn welches Kriterium sollte dafür zuständig sein? Anders als „Raketen­käse“ finde ich sowohl „Kreter“ als auch „Lügner“ im Wörterbuch, Und anders als in „schmeckt Donners­tag“ wird auch keine Grammatik­regel verletzt.

    Wenn Du selbstbezügliche Sätze als invalid aussortieren willst, dann mußt Du dazu ein semantisches Kriterium finden. Und Du mußt es so scharf fassen, daß die Expressivität der Sprache nicht leidet. „Ich bin mein eigener Chef“ soll man ja auch noch nach Deiner Reform sagen können, und Catch-22 muß auch in der eingeschränkten Sprache formulierbar sein.

  5. #5 Joachim Ripken
    17. April 2015

    Man kann diese Selbstbezüge auch für sich ausnutzen:
    Man kann eine Person um ein Date bitten mit der Frage: “Wenn ich Dich um ein Date bitten würde, wäre Deine Antwort eine andere als auf diese Frage?”

  6. #6 Joachim Ripken
    17. April 2015

    … da hatte ich jetzt selbst einen Logik-Knoten im Hirn. Die richtige Frage muss lauten: “Wenn ich Dich um ein Date bitten würde, wäre die Antwort die gleiche, wie auf diese Frage?”

  7. #7 UMa
    17. April 2015

    Was ich noch nie verstanden habe: Warum zählt “Alle Kreter sind Lügner” als Paradox?
    Es könnte ja schlicht wahr sein und ein Kreter, der ein Lügner ist, einmal die Wahrheit sagen. Oder ist jemand, der ein einziges Mal die Wahrheit sagt und sonst immer lügt, bereits kein Lügner mehr?

  8. #8 Mikael
    17. April 2015

    @Joachim Ripken – wenn Du so um ein Date bittest, kann es Dir wie in dem Film “Spiel mir das Lied vom Tod” gehen. In dem wird jemand mit dem Kommentar erschossen: “Klugscheißer sind hier unbeliebt”.

  9. #9 Kyllyeti
    17. April 2015

    @badhofer

    Es gibt kein Paradoxon, es gibt nur das Nichtbeachten des fundamentalsten Naturgesetzes, das es gibt. Es lautet: “Für alles gibt es eine Ausnahme”

    Dann muss es auch eine Ausnahme dafür geben, dass es für alles eine Ausnahme gibt.

    Dann aber gibt es aber eben nicht für alles eine Ausnahme.

    😉

  10. #10 badhofer
    steyr
    17. April 2015

    @Kyllyeti
    Sehr scharf beobachtet von dir. Alle Achtung.
    Wenn es für alles eine Ausnahme gibt, muss es von dieser Aussage auch eine Ausnahme geben, sonst wäre diese Aussage ein Paradoxon. Und es gibt sie auch:
    Seite 47 vorletzte Seite:
    “Für alles gibt es eine Ausnahme (bis auf eine Ausnahme): Die Ewigkeit ist ausnahmslos immun gegen Missbrauch.
    Dieses „Ausnahmslos“ ist die Ausnahme von unserer Welt der Ausnahmen! Alles gleicht sich wieder aus!”

  11. #11 UMa
    17. April 2015

    @Joachim Ripken: “Vielleicht.”

  12. #12 LasurCyan
    17. April 2015

    aber nach der Lektüre von “Gödel, Escher, Bach” hat man ein ziemlich gutes Verständnis

    Da muss man aber auch ersteinmal durchkommen, Florian. Mich hat das Buch seinerzeit komplett umgehauen und in dem Wahn hatte ich es als WeihnachtsGeschenk grossflächig verbreitet. Hab dann irgendwann vorsichtig rumgefragt ‘na wie isses?’, ‘och, ja – anstrengend’. Nuja, denken strengt halt an, lohnt sich aber^^

  13. #13 Tina_HH
    17. April 2015

    @UMa

    “Vielleicht.”

    Die einzig wirklich sinnvolle Antwort in so einem Fall. :-)

  14. #14 Kibo
    17. April 2015

    Der Kreter-Satz ist kein Paradoxon, denn:
    All Kreter sind Lügner
    >Epimenides ist Kreter>
    Epimenides ist ein Lügner >
    seine Aussage war gelogen >
    Dann sind eben nicht alle Kreter Lügner sondern nur Epimenides

  15. #15 LasurCyan
    17. April 2015

    Der Kreter-Satz ist kein Paradoxon

    #?

  16. #16 barfoo
    17. April 2015

    @Chemiker
    Das Problem ist nicht dass der Satz selbstbezüglich ist. Das objektive Kriterium dafür, dass ein Satz eine Aussage ist, ist dass er wahr oder falsch ist.

    Nehmen wir zum Beispiel den Satz “Heute hat es hier geregnet”. Allgemein betrachtet ist es keine Aussage, weil “heute” und “hier” nicht definiert sind und der Satz damit keinen Wahrheitsgehalt hat. Aber wenn ich es konkret irgendwo sage wird er zur Aussage, denn mit dem Kontext lässt sich der Satz als wahr oder falsch einordnen.

    “Dieser Satz ist falsch” ist dagegen niemals wahr oder falsch, also ist er keine Aussage.

    Ein anderes Beispiel für eine Aussage ist “P = NP”. Kein Mensch weiß ob sie wahr oder falsch ist, aber eins von beidem ist sie. Deshalb können wir sie benutzen um weitere mathematische Erkenntnisse zu erlangen.

  17. #17 Stefan Wagner
    https://demystifikation.wordpress.com/2015/04/06/ein-bild-fur-die-gotter/
    17. April 2015

    @UMa:
    Hat mich auch immer gestört. Man kann das Problem heilen, in dem man selbst etwas großzügig wird oder, wie Florian, die Aussage derart variiert.

    Es ist aber ein bißchen schwierig, diese Sätze für nicht-erlaubt zu erklären. Denn welches Kriterium sollte dafür zuständig sein? Anders als „Raketen­käse“ finde ich sowohl „Kreter“ als auch „Lügner“ im Wörterbuch, Und anders als in „schmeckt Donners­tag“ wird auch keine Grammatik­regel verletzt.

    Also ich gründe eine Käserei und nenne meinen Käse “Siebenindischer Raketenkäse”. Dann benenne ich meine Maus in “Donnerstag” um, und schon ist der Satz eine gültige Aussage, die wahr, falsch oder unentscheidbar sein kann.

  18. #18 barfoo
    17. April 2015

    @Stefan
    Sie wäre aber nicht “wahr, falsch oder unentscheidbar”, sondern (wahr oder falsch) und (entscheidbar oder unentscheidbar).

  19. #19 Artur57
    18. April 2015

    @Kibo

    Nicht ganz. Eigentlich lässt sich die Aussage des Epimenides auf einen Satz reduzieren: es gibt mindestens einen Kreter, der nicht lügt. Das ist entweder er selbst, oder ein anderer, den der lügende Epimenides verschwiegen hat.

    Eine Taktik, um die Wahrheit zu erfahren, besteht darin, die Zahl der Lügen herauszufinden. Bei Ja/Nein-Entscheidungen ergibt eine gerade Zahl an Lügen stets die Wahrheit, eine ungerade Anzahl stets eine Lüge. Eine sehr elegante Anwendung dieses Prinzips findet sich hier:

    http://www.andinet.de/raetsel/raetselloewehinterdertuer.php?lsg

  20. #20 Leck Michdoch
    18. April 2015

    Wie wahr!

  21. #21 BerndB
    18. April 2015

    Als ob es das fieses Krokodil stören würde, wenn es sein Wort bricht und das Kind trotzdem frisst, egal, was die Mutter antwortet. Und am besten noch die Mutter dazu. Tss, also ehrlich mal, das ist doch kein Paradox. 😉

    Und bei dem Lügner-Paradoxon, wer sagt denn, dass der Lügner IMMER lügt und nicht auch manchmal die Wahrheit sagt?

    Diese Paradoxien sind in der gestellten Form einfach nur sprachlich nicht mathematisch exakt und lassen fast immer eine alternative Interpretation zu.

  22. #22 bikerdet
    18. April 2015

    @ BerndB :
    Doch, diese Ausschließlichkeit ist ja Bedingung für das Paradox. Die Geschichte drum herum ist eigendlich nebensächlich. Diese nichtmathematischen Paradoxa sind aus genau den Grund konstruiert worden um ein Paradox zu ergeben. Die ‘Erfinder’ waren ja nicht dumm, sondern hochgeachtete Philosophen. Sie waren sprachlich und intelektuell versiert und die bedeutensten Denker ihrer Zeit. So ein Paradox ist eine geistige Höchstleistung ,selbst heute nach über 2000 Jahren versuchen wir noch es zu widerlegen. Und ohne Zusatzannahmen : Nicht alle Kreter lügen immer, das Krokodil hält sich nicht an seine Aussage, können wir die Paradoxa immer noch nicht auflösen.

  23. #23 BerndB
    19. April 2015

    @bikerdet: Für mich persönlich ist das eine Auflösung. Für andere mag es keine sein.

  24. #24 Alderamin
    19. April 2015

    @bikerdet

    Kibo hat’s oben aufgelöst. Scheint mir korrekt zu sein. Selbst wenn Lügner immer lügen würden.

  25. #25 gaius
    19. April 2015

    @Alderamin

    Kann man nicht jedes sprachlich formuliertes Paradox durch geeignete (Um-)Definition der Begriffe auflösen?

  26. #26 Alderamin
    19. April 2015

    @gaius

    Kibo hat ja nichts umdefiniert. Das logische Gegenteil von “alle Kreter sind Lügner” ist “es gibt mindestens einen Kreter, der nicht lügt”. Dieser Kreter muss aber nicht Epimenides sein, das kann irgendeiner sein (und auch noch andere).

    Wenn also Epimenides sagt, alle Kreter sind Lügner, und es gibt mindestens einen außer ihm selbst, der nicht lügt, dann lügt Epimenides, ohne dass es zu einem Paradox kommt, denn er kann ja weiterhin lügen, auch wenn ein anderer Kreter die Wahrheit sagt. Paradox wäre nur, wenn folgte, dass alle Kreter und somit auch Epimenides die Wahrheit sagten, wenn Epimenides lügen würde. Aber das ist nicht der Fall.

  27. #27 Cooly123
    19. April 2015

    Da muss ich Bernd zustimmen. Ich weiß, dass es das Problem nicht löst, da man dieses um formulieren kann, aber trotzdem. Die Aussage ” alle Kreter sind Lügner” kann falsch sein. Denn es können noch immer einige Lügner kreter sein. Genau so wie damals in der Oberstufe in mathe gesagt wurde, das die Straße nass ist, wenn es regnet, eine nasse Straße aber nicht zwangsläufig Regen bedeutet.
    In meinen Augen werden die Probleme pauschalisiert. Ein Lügner muss nicht immer lügen, genau so wenig, wie wenn eine Aussage des Krokodils falsch ist, die andere nicht zwangsläufig falsch sein muss. Wir haben die Wahl, im einen Moment die Wahrheit zu sagen und im nächsten Moment zu lügen, daher gibt es diese Probleme in der Realität nicht. Ein gutes Beispiel ist, dass ich gerade Mäxschen (Meier) gespielt habe. Da ist es genau so 😉

  28. #28 Alderamin
    19. April 2015

    @gaius

    Die Auflösung von Kibo steht übrigens auch hier.

  29. #29 Bullet
    20. April 2015

    Den Kreter-Lügner-Satz kenn ich natürlich. Nur: Wenn “Alle Kreter sind Lügner” falsch ist, was ist dann richtig?
    Nur die Negation: “Nicht alle Kreter sind Lügner.”
    (Nichtsdestoweniger ist die Intention klar und nachvollziehbar.)

  30. #30 Wizzy
    20. April 2015

    @Alderamin und Bullet
    Man muss das Kreter-Problem genauer fassen, finde ich. Wie definiert man einen Lügner? Muss (1) dieser mindestens einmal lügen und darf auch wahre Aussagen tätigen oder muss er (2) ausschließlich falsche Aussagen machen? Letzteres wäre ein rein theoretisches Konstrukt, und ich vermute implizit geht derzeit jeder Kommentator von Letzterem aus. Demnach würde Epimenides in der Tat ein Lügner sein und es folgte nach (2), dass mindestens ein Nicht-Epimenides-Kreter kein Lügner ist. Zweite Voraussetzung für die Folgerung ist allerdings, dass alle Lügner über göttliches Allwissen verfügen. Denn sonst könnten sie aufgrund von Wissenslücken aus Versehen gelegentlich die Wahrheit sagen und es gäbe mit der Zeit immer weniger bis gar keine Lügner mehr im Sinne von Definition (2).

  31. #31 Wizzy
    21. April 2015

    @bikerdet
    Wie ist denn ein Paradoxon definiert? Es ist definiert als logisch unauflösliche Aussage oder Gesamtheit von Aussagen.
    Demnach würde ich “Dieser Satz ist falsch.” als Paradoxon akzeptieren, “Alle Kreter lügen.” aus eines Kreters Mund jedoch nicht, da auflösbar. Anders sieht es aber aus, wenn man als Voraussetzung “Alle Kreter lügen immer.” stellt und dies dann auch noch ein Kreter sagt. –> Das gibt zumindest einen Widerspruch. Das Krokodil-Paradox ist wirklich eines, unter der Voraussetzung, dass das Krokodil immer lügt.

  32. #32 Wizzy
    21. April 2015

    Korrektur: …unter der Voraussetzung, dass das Krokodil seinen Schwur halten muss und die Mutter die oben genannte Antwort gibt.

  33. #33 Alderamin
    21. April 2015

    @Wizzy

    Egal, ob ein Lügner immer oder nur manchmal lügt, das Paradox is gelöst, wenn man die richtige Negation zu “alle Kreter lügen (immer)” bildet: Nicht alle Kreter lügen (immer). D.h. mindestens ein Kreter lügt nicht immer. Epimenides kann dann lügen, wenn er sagt dass alle Kreter (immer) lügen. Sein Satz ist falsch (und damit lügt er), wenn nur ein Kreter (aber eben nicht er) jemals (oder immer) die Wahrheit sagt.

  34. #34 Wolfgang
    21. April 2015

    Schade, daß gar nicht auf den allerersten Beitrag eingegangen wurden. Denn was das Krokodil vorhat, und was es (z.B. aufgrund seines gegebenen Ehrenwortes) dann zwangsweise tun muß, können ja durchaus verschiedene Dinge haben. Und deshalb ist die Geschichte in der Formulierung, daß die Mutter erraten muß, was das Krokodil *vorhat*, eben gerade kein Paradoxon.

    Ich finde das auch deshalb wichtig, weil es zeigt, daß die Antworten auf mathematische oder logische Fragen sehr extrem von deren genauer Formulierung abhängen. Ich denke da z.B. auch an das Rätsel, was neulich durch verschiedene Internet-Foren ging, wo ein Geburtsdatum ermittelt werden sollte, aber in der Formulierung nicht klar war, welcher der beiden Beteiligten den Monat und welcher den Tag kennt, diese Unterscheidung in der Lösung aber vorausgesetzt wurde.

  35. #35 Nemesis
    Science live up!
    22. April 2015

    @FF

    … dass die Mathematik niemals alle wahren Aussagen wird beweisen können sondern das es immer Probleme geben wird, bei denen man nicht entscheiden kann, ob sie wahr sind oder nicht…

    Diese Frage ist ja auch ein Thema, das immer mal wieder in der einen oder anderen Form hier auf Deinem Blog diskutiert wird. Manchmal geht es bei diesem Thema dann auch schonmal hart zur Sache, daher möchte ich ein paar Worte dazu sagen. Ich persönlich stimme der Aussage zu:

    Wissen hat Grenzen. Wissenschaft hat Grenzen. Aber ich finde das überhaupt nicht schlimm. Schlimm wäre es erst, wenn man aus dieser Tatsache ableiten würde, dass die Wissenschaft aufgrund dieser Tatsache kompromitiert oder gar sinnlos, überflüssig wäre, denn dann würden wir wieder im dunklen Zeitalter landen, die Kirche allein würde wieder die Welt deuten und uns den Weg weisen und die gesamte Aufklärung wäre für die Katz gewesen. Für mich persönlich wäre das menscheitsgeschichtlich ein Desaster ohnegleichen und ein echter Horror.

    Wissen hat Grenzen und ich persönlich habe damit überhaupt kein Problem, denn Wissen dient nicht dem Selbstzweck, sondern unserer Orientierung in diesem Kosmos. Keine Landkarte kann das gesamte Gelände des Kosmos abbilden und darum geht es meiner Ansicht nach auch garnicht, sondern es geht um eine Karte für unseren, für den menschlichen Weg auf unserer Reise durch diesen wunderbaren, überwältigend schönen und fantastischen, mysteriösen Kosmos. Daher würde ich auf diese wissenschaftliche Landkarte auf keinen Fall verzichten wollen.