Ihr wollte eine Million Dollar verdienen? Dann müsst ihr nur eine Frage beantworten. Und zwar die nach den mathematischen exakten Lösungen der sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen! Dafür ist seit fast zwei Jahrzehnten ein hoher Geldpreis ausgesetzt. Völlig zu Recht, denn diese Gleichungen sind für die Beschreibung astronomischer Phänomene im Weltall genau so interessant wie für die Vorgänge auf unserer Erde. Sie spielen in der reinen Mathematik genau so eine wichtige Rolle wie in der angewandten Technik und der Funktionsweise von Autos, Flugzeugen, etc. Worum es sich bei diesen Gleichungen genau handelt und was sie so schwer zu lösen macht erfahrt ihr in der neuen Folge der Sternengeschichten.

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Transkription

Sternengeschichten Folge 217: Das ungelöste Problem der Navier-Stokes-Gleichungen

In dieser Folge der Sternengeschichten geht es um ein Problem mit dessen Lösung man sich eine Million Dollar verdienen kann. Es ist allerdings durchaus ein wenig knifflig. So knifflig, dass es zu den sieben Millenium-Problemen gehört. Die hat im Jahr 2000 das Clay Mathematics Institute aus den USA zusammengestellt. Es handelt sich um mathematische Vermutungen für die trotz langer Suche noch kein Beweis gefunden werden konnte. Das trifft auf ziemlich viele Probleme zu, in diesem Fall sind es aber Vermutungen die von großer Bedeutung für die Mathematik sind. So große Bedeutung, dass für ihre Lösung eben besagte eine Million Dollar ausgelobt wurden.

Die Mathematik ist für alle Naturwissenschaften ein unverzichtbares Werkzeug und jeder mathematische Fortschritt dort findet früher oder später auch seine Anwendung in Physik, Astronomie und Co. Das gilt auch für die sieben Millenium-Probleme; bei einem davon gilt das aber ganz besonders. Es geht dabei um die sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen. Der französische Mathematiker Claude Louis Marie Henri Navier und der Ire George Gabriel Stokes beschäftigten sich im 19. Jahrhundert mit dem Verhalten von Flüssigkeiten und Gasen. Ganz besonders interessiert waren sie an der Frage, wie sich strömende Gase und Flüssigkeiten mathematisch beschreiben lassen. Sie fanden ein System komplizierter mathematischer Gleichungen, mit denen sich solche Strömungen beschreiben lassen.

Aber wie das in der Mathematik oft so ist: Es mag durchaus kompliziert sein, eine Gleichung aufzustellen – noch komplizierter ist es meistens, diese Gleichung dann auch zu lösen. Und genau davon handelt das Millenium-Problem der Navier-Stokes-Gleichung. Es ist leicht zu sehen, warum es nicht nur in der Mathematik wichtig ist, das Verhalten von strömenden Flüssigkeiten und Gasen zu verstehen. Gase strömen in einem Verbrennungsmotor. Oder der Turbine eines Flugzeuges. Gase strömen in der Atmosphäre der Erde und erzeugen das Wetter. Autos werden so gebaut, dass die Luft möglichst ohne Widerstand über sie hinweg strömt. Überall in der Natur strömen Gase und Flüssigkeiten; überall in unseren technischen Geräten gibt es Strömungen die verstanden werden müssen. Und nicht nur auf der Erde, auch im Weltall spielen strömende Gase eine Rolle. Betrachten wir zum Beispiel die Zeit vor 4,5 Milliarden Jahren als in unserem Sonnensystem die Planeten entstanden sind. Ursprünglich gab es dort nur die junge Sonne die von einer großen Scheibe aus Gas und Staub umgeben war. All dieses Gas und der Staub wirbelten durcheinander und beeinflussten sich gegenseitig. Das Resultat dieses Wirbelns und Beeinflussens waren zuerst kleinere Felsbrocken die sich aus dem Gas und dem Staub gebildet haben und später große Planeten, die aus der Kollision von Felsbrocken entstanden sind.

Wenn wir diesen Prozess korrekt verstehen wollen, müssen wir auch verstehen wie genau das Gas sich verhalten hat; wie genau es in der Scheibe um die junge Sonne geströmt ist. Und auch später spielen diese Phänomene eine Rolle: In Folge 68 der Sternengeschichten habe ich von der planetaren Migration erzählt; davon wie die Planeten in der Frühzeit des Sonnensystems aufgrund ihrer Wechselwirkung mit dem damals noch vorhandenen Gas und dem Staub ihre Umlaufbahnen vergrößert und verkleinert haben. Auch hier müssen wir die Strömungen verstehen, wenn wir die Planeten verstehen wollen. Die Atmosphäre von Gasplaneten wie Jupiter und Saturn sind ein einziges großes Strömungssystem aus verschiedenen Gasen. Das Verhalten unserer Sonne wird von den Plasmaströmungen in ihrem Inneren bestimmt. Oder nehmen wir schwarze Löcher: Bevor Material in ein schwarzes Loch fällt, bewegt es sich zuerst auf spiralförmigen Bahnen um das Loch herum. Schwarze Löcher können also von großen Scheiben aus Gas und Staub umgeben sein und wir stehen wieder vor dem Problem, Strömungen verstehen zu müssen wenn wir verstehen wollen, welche hochenergetischen Prozesse dort ablaufen können und wie schwarze Löcher beispielsweise die extrem hell leuchtenden Quasare – von denen ich in Folge 52 mehr erzählt habe – antreiben können.

Voller Strömungen: Der Jupiter! (Bild: NASA/JPL/Uni Arizona)

Voller Strömungen: Der Jupiter! (Bild: NASA/JPL/Uni Arizona)

Kurz gesagt: Ohne ein vernünftiges Verständnis von Strömungen in Gasen und Flüssigkeiten sind wir in der Naturwissenschaft aufgeschmissen. Die Navier-Stokes-Gleichungen sagen uns, wie wir das Verhalten solcher Strömungen mathematisch modellieren können. Aber sie zeigen uns auch das große Problem an der Sache: Die Turbulenz. So gut wie überall wo etwas strömt, kommt es auch zu Turbulenzen. Zu Wirbeln, Durchmischung und chaotischen Veränderungen. Genau das macht die Sache schwierig. Es gibt zwar jede Menge Computersimulationen die mit verschiedensten Techniken die Navier-Stokes-Gleichungen nutzen um Strömungen darzustellen und zu untersuchen. Aber wir wissen immer noch nicht, ob diese Gleichungen abseits von numerischen Computersimulationen überhaupt klar definierte und exakte mathematische Lösungen haben!

Klar, auch Computersimulationen sind gute und brauchbare Instrumente. Wenn es zum Beispiel um die gravitative Wechselwirkung von Himmelskörpern geht, stehen die Astronomen ja vor einer ähnlichen Situation. Wie ich in Folge 96 der Sternengeschichten schon erzählt habe, war es hier auch vergleichsweise einfach, mathematische Gleichungen aufzustellen, die diese Wechselwirkung beschreiben. Jahrhundertelang hat aber niemand eine mathematisch exakte Lösung dieser Gleichung gefunden mit der man die Bewegung von Himmelskörpern unter ihrer wechselseitigen Gravitationskraft ebenso exakt beschreiben kann. Man ging davon aus das es so eine Lösung geben müsse – aber wie der französische Mathematiker Henri Poincaré im 19. Jahrhundert zeigen konnte hatte man sich da geirrt. Er bewies, dass es keine Lösung geben kann. Und damit auch, dass die numerischen Näherungslösungen einer Computersimulation alles sind, was wir haben.

Was die Bewegung von Himmelskörpern angeht haben wir uns damit abgefunden und seit die Computer so schnell und gut rechnen können wie sie es heute tun ist die Sache auch kein großes Problem mehr. Die Lösungen die wir erhalten sind zwar nur Näherungslösungen aber die mathematische Kraft der Computer erlaubt es uns im Prinzip diese Näherungen beliebig genau zu machen. Wie die Situation bei den Navier-Stokes-Gleichungen aussieht, wissen wir allerdings noch nicht. Hier suchen die Mathematiker immer noch nach einer exakten Lösung; hier hofft man immer noch, die Sache mathematisch in den Griff kriegen zu können. Wenn es gelänge wäre das großartig und mit Sicherheit mehr als das Preisgeld von einer Million Dollar wert. Die Möglichkeit, die Navier-Stokes-Gleichungen auf diese Weise viel besser verstehen zu können als heute; die Möglichkeit dadurch auch das Verhalten von Strömungen und vor allem von Turbulenzen viel besser verstehen zu können als heute würde nicht nur enorme Fortschritte bei der Analyse von naturwissenschaftlichen Phänomen ermöglichen sondern hätte auch massive Auswirkungen auf all unsere Technik die sich mit Strömungen beschäftigen muss. Bessere Wettervorhersage; bessere Turbinen; bessere Motoren – und so weiter.

Das Problem der Navier-Stokes-Gleichungen steht völlig zu Recht auf der Liste der großen ungelösten Probleme der Mathematik. Aber große ungelöste Probleme bleiben meistens deswegen so lange ungelöst, weil es verdammt schwer ist, sie zu lösen! Es gab in der Vergangenheit immer wieder Leute die meinten sie hätten die Sache durchschaut und jedes Mal haben sich danach Fehler im mathematischen Beweis gefunden. Den letzten großen Fehlschlag in Sachen Navier-Stokes gab es im Jahr 2014. Da hatte der kasachische Mathematiker Muchtarbai Otelbajew eine Lösung der Gleichungen veröffentlicht. Seit mehr als 30 Jahren hat er laut eigener Aussagen daran gearbeitet und eine hundertseitige Abhandlung war das Resultat dieser Arbeit. Geholfen hat es ihm trotzdem nichts: Andere Mathematiker überprüften den Beweis und fanden ein paar kleine Fehler. Und in der Mathematik reichen eben leider auch schon kleine Fehler um das gesamte Gedankengebäude zu Fall zu bringen.

Das Problem der Navier-Stokes-Gleichungen bleibt vorerst ungelöst. Aber früher oder später wird sich auch hierfür eine Lösung finden. Entweder eine echte Lösung oder aber der Beweis, dass keine Lösung existiert. Beides ist aus mathematischer und naturwissenschaftlicher Sicht gleich wertvoll. So oder so – Hauptsache wir wissen Bescheid und woran wir sind!

Kommentare (19)

  1. #1 Heljerer
    20. Januar 2017

    Strömungsmechanik ist eigentlich ein Gebiet, mit dem ich mich beruflich ingenieurtechnisch (nicht auf der Ebene der theoretischen Mathematik) beschäftige. Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen ist mir daher auch geläufig. Außerdem musste ich im Studium (vor langer Zeit) auch analytische Lösungen für spezielle einfache Sonderfälle berechnen. Die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen, so wie ich sie kenne, teilen sich in drei Bereiche:

    1.) Analytische Lösungen für einfache Sonderfälle, nachzulesen in jedem Anfängerlehrbuch über Strömungsmechanik
    2.) Komplizierte Fälle, für die auch nicht ansatzweise die Chance besteht irgendetwas analytisch zu berechnen. Hierfür gibt es kommerzielle numerische Programme.
    3.) Die Fälle zwischen diesen beiden Extremen. Die kommen aber so gut wie nie vor!

    Mit ist nun folgendes unklar.

    Die Navier-Stokes -Gleichungen sind ein System partieller Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es keine allgemeine Lösung, sondern nur eine Lösung im Zusammenhang mit spezifischen Randbedingungen.

    Was glaubte Muchtarbai Otelbajew gelöst zu haben? Sicherlich nicht die Navier-Stokes-Gleichungen im Allgemeinen. Worauf genau ist das Preisgeld ausgeschrieben?

    Was soll das überhaupt dem Anwender helfen?
    Ist das nicht ähnlich wie mit dem Beweis der Keplerschen Vermutung? Die ist für den Obsthändler völlig ohne Bedeutung.

  2. #2 Florence
    20. Januar 2017

    Ohne jetzt von Strömungsmechanik besonders viel Ahnung zu haben: Mit

    Die ist für den Obsthändler völlig ohne Bedeutung.

    sind wir wieder bei der Frage was uns die Grundlagenforschung bringt. Und zu diesem Thema gibt es schon einiges auf diesem Blog und das war hier ja auch gar nicht die Frage.

  3. #3 Heljerer
    20. Januar 2017

    @Florence

    Eine Diskussion über Grundlagenforschung wollte ich nicht anzetteln. Das Thema ist ausgelutscht und muss nicht nochmal angefangen werden. Am besten meine 3 letzten Sätze ignorieren, da diese nur von meiner eigentlichen Frage ablenken.

  4. #4 Karl-Heinz
    20. Januar 2017

    @Heljerer

    Worauf genau ist das Preisgeld ausgeschrieben?

    http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf

  5. #5 volki
    20. Januar 2017

    @Heljerer: Das Preisgeld ist ausgeschrieben für den Beweis, dass Lösungen immer existieren und regulär sind, d.h. beliebig oft differenzierbar (oder eine andere ähnliche Einschränkung) sind unter der Voraussetzung, dass die Randbedingungen/Anfangswertbedingungen auch beliebig oft differenzierbar sind. Das hat insbesondere Bedeutung für die Anwender, da die numerischen Methoden nur dann zuverlässig funktionieren, wenn die gesuchte Lösung auch regulär ist.

    Weiters ist die Frage ob es Störungskräfte (Störfunktion in der inhomogene Gleichung) gibt, die einen finite time blow up verursachen, d.h. für die eine Lösung in endlicher Zeit unendlich wird.

    Soweit ich das überblicke (ist nicht mein Fachbereich) hat Muchtarbai Otelbajew geglaubt eine Methode zu entwickeln mit der er immer reguläre Lösungen konstruieren kann (im homogenen Fall). Das war aber leider falsch und soweit ich weiß waren die Fehler doch sehr gravierend und seine Idee kann man leider nicht retten. Terence Tao konnte aber ein paar Ideen auf leichtere Fälle anwenden und zeigen, dass bei ähnliche Fragestellugen, z.B. für die Eulergleichung, es mögliche ist Störfunktionen zu finden, die einen finite time blow up produzieren. Siehe z.B. hier:

    https://terrytao.wordpress.com/tag/euler-equations/

  6. #6 Heljerer
    20. Januar 2017

    @Karl-Heinz
    @volki

    Dank eurer Hilfe hab ich das einigermaßen verstanden.

    “Lösung” heißt hier selbstverständlich nicht analytische Darstellung, sondern, dass es überhaupt eine reguläre Lösungsfunktion gibt – also ganz anders als beim Dreikörperproblem.

    Die Eulergleichungen bilden ja die physikalische Wirklichkeit im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen nur grob idealisiert ab – weil Fluide eben ohne Reibung vorausgesetzt werden. Von daher ist es auch plausibel, dass sich die Euler-Gleichungen mathematisch deutlich anders verhalten.

  7. #7 Karl-Heinz
    20. Januar 2017
  8. #8 Heljerer
    20. Januar 2017

    @Karl-Heinz

    Gute Recherche. Und? Schon gelesen?

  9. #9 Karl-Heinz
    20. Januar 2017

    @Heljerer

    Und? Schon gelesen?

    Na klaro. Ich glaub auf Seite 56 ist ein grober Fehler. 😉

  10. #10 Veit
    20. Januar 2017

    Gute Besserung an Dich oder einen Deiner Kollegen von den Science Busters (auch wenn das nicht hierher gehört, aber auf der andere Seite wollte das System meine Nachricht nicht…)

  11. #11 Florian Freistetter
    20. Januar 2017

    @Veit: Mir gehts gut, aber ich leite die guten Wünsche weiter! (und auf der SB-Seite hab ich den Kommentar jetzt auch freigeschalten)

  12. #12 Karl-Heinz
    21. Januar 2017

    @Heljerer
    Ich vermute volki ist Mathematiker 😉
    Beweis siehe unten.

    Ein Millenniumsproblem: Die globale Existenz und Eindeutigkeit glatter Lösungen der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen

    http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/jdm/mo_earticle_2008_05.pdf

  13. #13 Karl-Heinz
    21. Januar 2017

    Wunderschöne Abhandlung über die Preise der Mathematik insbesondere über die Millenniumsprobleme.

    http://www-ian.math.uni-magdeburg.de/home/grunau/Milleniumspreise.pdf

  14. #14 Heljerer
    21. Januar 2017

    @Karl-Heinz

    Der Artikel über die Milleniumsprobleme ist gut geschrieben. Danke.

    Woran erkennst du, dass volki Mathematiker ist?

    Merkwürdig: Seitdem ich die Uni vor 26 Jahren verlassen habe, bin ich keinem Mathematiker mehr persönlich begegnet.

  15. #15 Karl-Heinz
    21. Januar 2017

    Volki hat seinen Beitrag in #5 nach meinem Gefühl mit eigenen Worten ausformuliert.
    Der Inhalt ist sehr tiefgreifend und gut ausformuliert.
    Und da ist mir der Gedanke gekommen, dass Volki ein Mathematiker sein könnte.

    Das ist natürlich nur meine persönliche Vermutung.
    Ich war ganz verwundert, dass zum diesem Artikel, überhaupt Kommentare eingegangen sind, da die Navier-Stokes-Gleichungen für die Allgemeinheit eher unbekannt sind.
    Auf jeden Fall Danke für deine Frage zu diesem Thema 😉

  16. #16 Heljerer
    21. Januar 2017

    @Karl-Heinz

    Das einzige, was ich direkt gemerkt habe, ist, dass volki Österreicher ist.

    Aber wir kommen vom Thema ab.

  17. #17 volki
    21. Januar 2017

    @Karl-Heinz, Heljerer: Ihr vermutest richtig. Ich bin ein österreichischer Mathematiker (das “weiters” hat mich wohl verraten). Mein Fachgebiet liegt aber in einer anderen Ecke der Mathematik.

  18. #18 Karl-Heinz
    21. Januar 2017

    @volki

    Danke für die Info.
    Bin immer begeistert, wenn echte Experten hier Kommentare verfassen. :-)

  19. #19 ofu
    die navier stokes gleichungen sind unvollstaendig
    22. Januar 2017

    wenn ihr die loesen wollt brauch ihr zur ergaenzung eine formeln aus der quantenmechanik.

    ich sag aber nicht welche, nicht weil ich nicht will,
    sondern weil ich auch nicht weis welche :-)