Hmmpf. Jetzt hab ich glatt den Geburtstag meiner Kolumne bei Spektrum.de vergessen. Am 5. Juni 2016 erschien die erste Folge von “Freistetters Formelwelt” und seitdem jeden Sonntag eine weitere. 52 sind bis zum letzten Sonntag zusammengekommen und jeden Monat erscheint außerdem eine der Kolumnen auch abgedruckt in der Printausgabe von Spektrum der Wissenschaft.

Ich bin immer noch sehr glücklich darüber endlich ein Medium gefunden zu haben das mutig genug war mir zu erlauben eine Kolumne über mathematische Formeln zu schreiben! Mathematik ist nämlich nicht nur enorm wichtig sondern auch enorm faszinierend. Die Abneigung die die meisten Menschen ihr gegenüber haben ist meistens auf schlechten Schulunterricht zurückzuführen und auf (daraus resultierende) Vorurteile über das was Mathematik eigentlich ist. Nämlich nicht das schematische Rechnen und das Auswendiglernen von Formeln. Sondern eine eigene Sprache in der faszinierende Geschichten erzählt werden. Die einzige Sprache die es uns erlaubt die Welt in der wir leben auf einer fundamentalen Ebene zu verstehen. Eine Sprache, die total abstrakt und abgekoppelt von unserer Welt ist und gleichzeitig wie keine andere Disziplin unseren Alltag formt und bestimmt. Kurz gesagt: Die Mathematik ist großartig und das viele Menschen Angst vor ihr haben liegt daran, dass sie nicht wissen wie großartig sie ist.

Ein bisschen von der Faszination der Mathematik probiere ich in meiner Kolumne zu transportieren; jetzt schon ein Jahr lang und ich hoffe auch noch ein wenig länger! Die Formeln werden mir so schnell nicht ausgehen…

Und ich freue mich natürlich immer über Vorschläge und Hinweise auf interessante Formeln. Nicht nur aus den naheliegenden Bereichen der Mathematik, Physik und Astronomie. Formeln braucht man auch überall sonst; in der Chemie, der Biologie, der Archäologie, der Soziologie und so weiter. Wenn ihr also ein paar Formeln kennt die ihr gerne mal in meiner Kolumne sehen wollt: Immer her damit!

Und zur Feier des einjährigen Geburtstages gibt es hier noch einmal Links zu allen bisher erschienenen Folgen:

Kommentare (16)

  1. #1 Lercherl
    6. Juni 2017

    Wie wär’s einmal mit dem Zweiten Hauptsatz? Mit der Boltzmannschen Formel S = k log W als Aufhänger (auch wenn Boltzmann es nie so geschrieben hat).

    Dazu Cedric Villani: https://youtu.be/yi0QL2pqER8 (ab 9:23)

  2. #2 Karl Mistelberger
    8. Juni 2017

    Auf Boltzmanns Grab steht allerdings S = k. log W

    Auch in der Schrödinger Gleichung kommt ein Punkt vor. Weiß jemand was dieser Punkt hinter dem k bedeutet?

  3. #3 Vortex
    8. Juni 2017

    @Karl Mistelberger

    Hm, könnte evtl. etwas mit den alten Gauß-System zu tun haben?

    Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur.
    Ihr Wert beträgt:[2][3]

    k = 1.38064852(79) * 10^-23 J/K (SI-System)

    k.= 8.6173303(50) * 10^-5 eV/K (Gauß-System)

    oder k. (die Bolzmann Konstante) sollte einfach nicht mit K (Kelvin) verwechselt werden :).

  4. #4 Lercherl
    8. Juni 2017

    Ich nehme an, der Punkt steht schlicht und einfach für “mal” und gehört eigentlich in die Mitte der Zeile. Der Steinmetz kannte sich wohl mit Formeln nicht so aus, aber was in Stein gemeißelt ist …

  5. #5 Vortex
    8. Juni 2017

    @Lercherl

    Na ja, viel wichtiger ist die Frage, was diese Formel überhaupt aussagt,
    denn ehrlich gesagt verstehe ich genauso viel, wie der Fragende hier.

  6. #6 PDP10
    8. Juni 2017

    @Karl:

    Auch in der Schrödinger Gleichung kommt ein Punkt vor.

    Welchen meinst du? Den über dem ersten Psi?
    Der steht einfach für die Ableitung nach der Zeit.

    Was die Gleichung auf Boltzmanns Grabstein angeht, neige ich dazu mich der Theorie von @Lercherl anzuschließen.

  7. #7 PDP10
    8. Juni 2017

    Ach ja:

    @Florian:

    Herzlichen Glückwunsch zum Einjährigen! :-).

    Deine Kolumne da lese ich immer wieder gerne.

  8. #8 Lercherl
    9. Juni 2017

    @Vortex

    Na ja, viel wichtiger ist die Frage, was diese Formel überhaupt aussagt,
    denn ehrlich gesagt verstehe ich genauso viel, wie der Fragende hier.

    Darum hoffe ich ja, dass Florian einen Artikel darüber schreibt, der kann so etwas viel besser erklären als ich.

    Kurz gesagt: S ist die Entropie, oft als “Maß für die Unordnung” bezeichnet; besser gesagt, bei jedem Vorgang ist die Änderung der Entropie ein Maß für die Umkehrbarkeit des Vorgangs. Nimmt die Entropie zu, ist der Vorgang irreversibel. Das heißt jetzt nicht, dass ich nie und unter keinen Umständen den Ausgangszustand wiederherstellen kann, sondern dass die Umkehrung mit Aufwand verbunden ist, d.h. ich muss Energie zuführen.

    W ist die “Wahrscheinlichkeit”, besser gesagt, die Anzahl aller möglichen Zustände. In einem Gas beispielsweise, das aus sehr vielen Molekülen besteht, sagen wir 100000000000000000000000, wird jeder mögliche Zustand durch die Zustände jedes einzelnen dieser Moleküle (Ort, Impuls) bestimmt. Sehr viele dieser so genannten Mikrozustände entsprechen demselben äußeren Zustand des Gases, beschrieben durch Zustandsfunktionen wie Druck, Volumen, Temperatur.

    Die Gleichung besagt nun, dass die Entropie S proportional dem Logarithmus der Zahl W der möglichen Mikrozustände ist, das heißt bei Verdoppelung von W erhöht sich die Entropie um einen konstanten Betrag.

    Manchmal wird das Beispiel einer Bibliothek zur Veranschaulichung gebracht, wo jedes Buch am richtigen Ort stehen soll. Dem Makrozustand “Bibliothek ist wohlgeordnet” entspricht ein einziger Mikrozustand “jedes Buch steht am richtigen Platz”, und die Entropie ist null. Dem Makrozustand “Bibliothek ist ein Sauhaufen” entsprechen sehr viele Mikrozustände, Buch x steht an Ort 1, an Ort 2, … Buch y steht an Ort 1, an Ort 2, … und die Entropie ist groß.

    Die Konsequenzen des Zweiten Hauptsatzes sind erstaunlich weitreichend, ein Lebewesen etwa hat eine viel niedrigere Entropie als seine Umgebung und muss zum Aufrechterhalten seines niedrigentropischen Zustandes ständig Energie zuführen. Der Tod ist auch nur ein Spezialfall des Zweiten Hauptsatzes.

  9. #9 Daniel Rehbein
    Dortmund
    12. Juni 2017

    Ich habe den Eindruck, daß die Beiträge bei “Freistetters Formelwelt” mittendrin aufhören. Dann, wenn es interessant wird, wenn die eigentlichen Erklärungen folgen sollten, ist plötzlich schon Schluß.

    Ich habe jetzt in den aktuellen Beitrag hineingesehen, der handelt von Sonnenuhren:
    http://www.spektrum.de/kolumne/praezise-seit-urzeiten/1462419

    Da steht als zentrale Aussage:

    “Um die beiden Zeitangaben miteinander in Einklang zu bringen, braucht es die so genannte Zeitgleichung: ZG = WOZ – MOZ”

    Danach wird erklärt, was WOZ und MOZ sind, und warum diesen beiden Werte nur an vier Tagen im Jahr identisch sind. Das ist alles sehr schön geschrieben und auch verständlich dargelegt, aber es erklärt nicht, was ich mit der Zeitgleichung überhaupt anfangen soll.

    Wenn schon vorher diese Formel so prominant dargestellt wird und formuliert wird “Es braucht diese Formel”, dann ist meine Erwartung, daß erklärt wird, wie ich diese Formel anwenden kann. Aber das kommt nicht mehr. Nachdem erklärt wird, wieso WOZ und MOZ meistens unterschiedlich sind, endet der Artikel plötzlich.

    Für die Erklärung, daß WOZ und MOZ unterschiedlich sind, hätte man die Formel doch gar nicht gebraucht. Wieso wird die Differenz zwischen WOZ und MOZ überhaupt als Formel eingeführt, wenn ich damit dann doch nichts ausrechnen kann?

  10. #10 Florian Freistetter
    12. Juni 2017

    @Daniel: “Wieso wird die Differenz zwischen WOZ und MOZ überhaupt als Formel eingeführt, wenn ich damit dann doch nichts ausrechnen kann?”

    Hmm? Wieso soll man damit nichts ausrechnen können? Wenn du MOZ und WOZ kennst kannst du daraus die Zeitgleichung ausrechnen. Und de Zeitgleichung musst du kennen wenn du wissen willst wie eine Sonnenuhr funktioniert.

    “Dann, wenn es interessant wird, wenn die eigentlichen Erklärungen folgen sollten, ist plötzlich schon Schluß.”

    Mir ist klar das man zu jeder mathematischen Formel viel mehr erklären kann als das was ich schreibe. Aber ich kann eben nicht alles aufschreiben sondern muss mich an die vom Format vorgegebene Längenbegrenzung halten – und entscheide mich daher für die mMn interessanten Aspekte der Formel. Das andere anderes interessant finden kann ich aber verstehen.

  11. #11 Daniel Rehbein
    Dortmund
    12. Juni 2017

    Ja, wenn ich MOZ und WOZ kenne, dann kann ich deren Differenz ausrechnen. Und bis auf vier Tage im Jahre werde ich ein von Null verschiedenes Ergebnis herausbekommen. Aber was sagt mir diese Differenz? Was ist das denn, was ich dann da ausgerechnet habe?

    Vor allem aber: Wo ist der Sinn darin, noch irgendetwas auszurechnen, wenn ich WOZ und MOZ beide bereits kenne? Welche Aussagekraft hat die Zahl ZG ?

  12. #12 Daniel Rehbein
    Dortmund
    13. Juni 2017

    In dem Artikel geht es ja auch gar nicht darum, daß ich WOZ und MOZ bereits kennen würde und daraus einfach nur ZG ausrechne. Sondern es wird erklärt, welche Faktoren Einfluß auf die Größe von ZG haben.

    Beim Lesen des Artikel habe ich deshalb erwartet, daß noch irgendetwas kommt, das mir erklärt, wie ich auf ZG komme, ohne bereits sowohl WOZ als auch MOZ zu kennen.

    Man steht vor der Sonnenuhr und liest darauf WOZ ab. Nun möchte man wissen, wie MOZ ist. Um die Formel anwenden zu können, muß man also zuerst wissen, wie groß ZG ist.

    Wenn ich bloß wissen will, wie die Sonnenuhr funktioniert, dann brauche ich die Formel nicht. Die Formel brauche ich, wenn ich wirklich konkret etwas ausrechnen will.

    Ich stehe vor der Sonnenuhr: Es ist der 13. Juni 2017 und die Sonnenuhr zeigt 15:30 Uhr. Was ist nun die mittlere Ortszeit? Um die Formel anzuwenden, muß ich wissen, wie groß am 13. Juni 2017 der Wert von ZG ist.

    Der Text beschreibt, von welchen Gegebenheiten der Wert von ZG abhängt. Bevor es dann konkret wird, endet der Text plötzlich. Die Information, wie ich aus einem konkreten Datum auf den Wert von ZG komme, fehlt. Das ist das, was ich in #9 meine mit “Wenn die eigentlichen Erklärungen folgen sollten, ist plötzlich schon Schluß”.

    Es geht nicht darum, daß unterschiedliche Menschen unterschiedliche Aspekte interessant finden. Sondern es fehlen am Ende noch wesentliche Informationen, um die dargestellte Formel überhaupt sinnvoll anwenden zu können.

  13. #13 Florian Freistetter
    13. Juni 2017

    @Daniel Rehbein: “Sondern es fehlen am Ende noch wesentliche Informationen, um die dargestellte Formel überhaupt sinnvoll anwenden zu können.”

    Wie gesagt: Ich habe nicht den Anspruch es allen Menschen Recht machen zu können. Du wolltest eine Betriebsanleitung für die Formel. Ich habe über die Astronomie geschrieben die Grundlage der Formel ist. Es tut mir leid das ich nicht den Artikel geschrieben habe den du lesen wolltest. Aber das kommt vor.

    “Das ist das, was ich in #9 meine mit “Wenn die eigentlichen Erklärungen folgen sollten, ist plötzlich schon Schluß”.”

    In welchen anderen meiner Artikel kommt das denn noch vor?

  14. #14 Daniel Rehbein
    Dortmund
    13. Juni 2017

    In welchen anderen Artikeln ist diesen Eindruck hatte, kann ich adhoc nicht konkret benennen. Ich habe in Erinnerung, daß ich ab und zu die Texte in der Spektrum-Kolumne aufgerufen habe und dann plötzlich dachte “Huch, schon vorbei?”. Ich habe das Gefühl in Erinnerung, als ob ich mit einem Zug losfahre, der Zug wird allmählich schneller, der letzte Wagen passiert gerade das Bahnsteigende, und plötzlich zieht jemand die Notbremse, die Reise ist abrupt zuende, und alle Fahrgäste müssen auf freier Strecke aussteigen.

    Vielleicht stellt sich dieses Gefühl aber auch nur ein, wenn ich als Gegensatz zu der Kolumne bei Spektrum vorher Artikel hier auf Scienceblogs gelesen habe. Denn hier habe ich das Empfinden, daß in den Texten alles vorkommt, was zu dem jeweiligen Thema zu sagen ist. Hier auf Scienceblogs sind die Texte vollständig, da beobachte ich kein abruptes Ende.

  15. […] großartig und vor allem auch ein großartiges Werkzeug ist habe ich schon oft erzählt (und erzähle es jede Woche aufs Neue). Das liegt vor allem auch an ihrer Fähigkeit absolut gültige und verbindliche Aussagen machen zu […]

  16. #16 Crazee
    19. Juni 2017

    Ich schlage mal eine der Näherungsgleichungen für eine Fließkurve vor:

    k_f(Φ)=C*(Φ^n)

    wobei k_f die Fließspannung, Φ der Umformgrad und C und n zwei werkstoffabhängige Konstanten sind.
    Das Interessante ist die Ermittelung der Annäherungsformel aus z. B. dem Zugversuch. Im doppeltlogarithmischen Koordinatensystem ergibt sich annähernd eine Gerade, von der C die Stützstelle (bei Φ=1) und n die Steigung ist.
    Solche Näherungsgleichungen benötigt man dann bei Kraft- und Arbeitsberechnungen im Allgemeinen und bei FEM im Speziellen.