Am Samstag ist Feiertag! Zumindest in Österreich – in Deutschland und der Schweiz ist der 6. Januar nur in einigen Regionen gesetzlicher Feiertag. Gefeiert werden die “Heiligen Drei Könige”, die “Weisen aus dem Morgenland”. Die interessieren mich allerdings nur wenig. Aber wenn man an diesem Tag über zusätzliche Freizeit verfügen sollte, dann kann man die gleich nutzen, um über einen echten “Weisen aus dem Osten” nachzudenken. Georg Cantor nämlich, der am 6. Januar 1918 in Halle an der Saale gestorben ist und somit dieses Jahr seinen 100. Todestag begeht (bzw. nicht begeht, weil er ja tot ist).

Georg Cantor (Bild: gemeinfrei)

Georg Cantor (Bild: gemeinfrei)

Georg Cantor gehört für mich zu den faszinierendsten Personen der Mathematikgeschichte. Er war manisch-depressiv, immer wieder in psychiatrischer Behandlung; hat sich an Verschwörungstheorien über die “wahre” Urheberschaft von Shakespeares Werken beteiligt; war überzeugt davon manche seiner mathematischen Erkenntnisse direkt von Gott übermittelt bekommen zu haben und starb verarmt in einem Sanatorium in Halle an der Saale. Und trotzdem hat er die Mathematik mit seiner Arbeit über die Unendlichkeit revolutioniert.

Das Unendliche fasziniert die Menschen immer; vermutlich deswegen, weil wir es uns nicht wirklich vorstellen können. Und wenn wir es probieren, dann landen wir früher oder später immer bei Widersprüchen, Paradoxien und anderen Problemen. Unser Hirn ist nicht gemacht für die Unendlichkeit. Aber dafür die Mathematik! Genau das gehört zu den großen Leistungen von Cantor: Er hat die Unendlichkeit mathematisch erfasst. Und nicht nur das: Er konnte sogar zeigen, dass es “Die Unendlichkeit” nicht gibt, sondern unterschiedliche Abstufungen. “Unendlich” ist nicht gleich “unendlich”; es gibt Unendlichkeiten die größer sind als andere Unendlichkeiten.

Das klingt absurd, ist aber eine mathematische Realität. Und noch dazu eine, die man ohne große mathematische Fachkenntnisse nachvollziehen kann. Dazu braucht man nur das berühmte “zweite Cantorsche Diagonalargument”. Und das geht so:

Stellen wir uns die reellen Zahlen vor. Das ist die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind die, die sich als Brüche darstellen lassen. Die irrationalen Zahlen sind die, die nicht durch einen Bruch dargestellt werden; die unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster haben. 1, 8 und 76423 sind rationale Zahlen; ebenso wie 17/23, 3/4 oder 1/2. Die Zahl Pi oder die Wurzel aus zwei dagegen sind irrationale Zahlen. Soweit, so klar. Die Frage lautet nun: Wie viele dieser reellen Zahlen gibt es?

Es scheint so, als könnte die Antwort nur “unendlich viele” lauten. Aber der Anschein zählt in der Mathematik nichts, es braucht einen exakten Beweis. Und da kommt nun Cantor ins Spiel. Stellen wir uns alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 vor. Wir schreiben sie in einer langen Liste auf, und benutzen die Dezimalbruchentwicklung. Vereinfacht gesagt, kriegen wir eine Liste die so aussieht:


Z1 = 0, a11, a12, a13, …
Z2 = 0, a21, a22, a23, …
Z3 = 0, a31, a32, a33, …
.
.
.

Z1 ist die erste reelle Zahl in unserer Liste. Sie beginnt mit “0,” und dann folgen jede Menge Nachkommastellen, die ich mit a11, a12, a13, … beschrieben habe. Genaugenommen folgen immer unendlich viele Nachkommastellen (Ich kann ja zum Beispiel auch die Zahl “0,1” als “0,1000000…..” schreiben). Als nächstes in der Liste kommt Zahl 2, dann Zahl 3, und so weiter. Und auch hier ist klar: Es müssen unendlich viele Zahlen in der Liste stehen. Aber – und das ist die große Frage – stehen auch alle reelle Zahlen zwischen 0 und 1 in der Liste?

Um das heraus zu finden, konstruieren wir eine Diagonalzahl. Das geht so: Die neue Zahl – nennen wir sie X – muss formal so aussehen:


X = 0, x1, x2, x3, …

Auch X ist eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen x1, x2, x3, etc. Aber nicht einfach irgendwelche Nachkommastellen! Wir suchen sie uns nach einer simplen Regel aus: x1 ist gleich 3. Es sei denn, a11 ist gleich 3, dann wählen wir x1 gleich 4. Damit erreichen wir, dass x1 auf jeden Fall immer einen anderen Wert hat als a11. Für x2 spielen wir das gleiche Spiel, nur jetzt mit a22: Wir wählen 3, es sei denn a22=3, dann wählen wir 4. Und so weiter, für alle der unendlichen vielen Nachkommastellen.

Jetzt kommt es: Am Ende haben wir uns so eine Zahl gebastelt, bei der sicher gestellt ist, das sie sich von der Zahl Z1 unterscheidet (weil ja die erste Nachkommastelle unterschiedlich ist). Es ist auch sicher gestellt, dass sie sich von Z2 unterscheidet (weil die zweite Nachkommastelle unterschiedlich ist). Und so weiter: Wir haben eine Zahl konstruiert, die sich von jeder der unendlichen vielen Zahlen Z1, Z2, Z3, … in unserer Liste unterscheidet.

Oder anders gesagt: Wir haben eine reelle Zahl konstruiert, die nicht in unserer unendlich langen Liste enthalten ist! Wir sind aber zu Beginn davon ausgegangen, dass unsere Liste alle reelle Zahlen enthält. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall. Der “Fehler” liegt in der Annahme, man könne die reellen Zahlen in einer unendlich langen Liste aufschreiben. In der Mathematik heißt die Eigenschaft “Abzählbarkeit”: Wir können alle Zahlen in unserer Liste zählen. Wir werden zwar nie zu einem Ende gelangen, weil es unendlich viele sind. Aber wenn wir die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, etc) durchgehen, werden wir jeder natürlichen Zahl genau eine Zahl unserer Liste zuordnen können und keine bleibt übrig.

Eine Cantor-Menge. Hat nix mit dem Diagonalargument zu tun, schaut aber cool aus! (Bild: Solkoll, gemeinfrei)

Eine Cantor-Menge. Hat nix mit dem Diagonalargument zu tun, schaut aber cool aus! (Bild: Solkoll, gemeinfrei)

Hätten wir unsere Liste nur auf die rationalen Zahlen beschränkt, dann hätten wir kein Problem. Die kann man abzählen; hier kann man jedem Eintrag der Liste genau eine natürliche Zahl zuordnen (das hat Cantor in seinem ersten Diagonalargument bewiesen). Die rationalen Zahlen sind “abzählbar unendlich” beziehungsweise das, was wir normalerweise unter “unendlich” verstehen. Wie Cantors zweites Diagonalargument aber eindrucksvoll demonstriert geht das für die reellen Zahlen nicht. Man kann sie nicht abzählen: Selbst wenn man jeder natürlichen Zahl eine Zahl aus der Liste zuordnet, bleiben Zahlen übrig, die keine Nummer bekommen haben (zum Beispiel unsere Diagonalzahl).

Es gibt “mehr als unendlich viele” reelle Zahlen. Oder, wie Cantor es mathematisch formalisiert hat: Es gibt unterschiedliche Mächtigkeiten unendlich großer Mengen. Und die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist größer als die Mächtigkeit der rationalen oder natürlichen Zahlen. Und da hört es noch lange nicht auf: Man kann auch Mengen konstruieren, die “unendlicher” sind als die Menge der reellen Zahlen. Und Unendlichkeiten, die noch “größer” sind. Cantor hat gezeigt, dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt von denen jede größer ist als die vorhergehende…

Das fasziniert mich jedesmal aufs Neue. Intuitiv verstehen kann man diesen ganzen Kram zwar trotzdem noch nicht. Aber trotz aller Paradoxien, Widersprüchlichkeiten und der Beschränkung unseres Gehirns kann man die Unendlichkeiten mathematisch erfassen! Und das ist irgendwie höchst beeindruckend!

P.S. Wer mehr über all die Unendlichkeiten wissen will, dem empfehle ich dringend das hier besprochene Buch.

Kommentare (229)

  1. #1 Stephan.
    4. Januar 2018

    Hochinteressant ! Danke für die Erklärungen…
    Ich habe mich nie getraut, auszusprechen, daß ich vermute, es gäbe verschiedene Unendlichkeiten, ab nun tue ich es.

  2. #2 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Stephan.

    Wenn du schon dabei bist.
    Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit

    Aber Achtung, kann Kopfschmerzen verursachen. 😉

  3. #3 hmann
    4. Januar 2018

    Dieser Cantor war ein Käppsele (unendlich kluger Mensch), mit dem Begriff der Mächtigkeit hat er die Unendlichkeit entzaubert.
    Nicht vergessen darf man auch die Mengenlehre nicht.
    Sie ist eine mächtige Methode um logische Probleme lösen zu können.
    Sie war in meiner Jugend noch Pflichtfach in Mathematik. Leider hat der damalige Kultusminister und auch die Elternschaft sie nicht verstanden und sie deshalb aus dem Lehrplan gelöscht. Das war ein “Kardinalfehler.”

  4. #4 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @

    Ah… man merkt, du kennst dich aus.
    Mächtigkeit = Kardinalität 😉

    @Stephan.
    Und schon was dazugelernt? 😉

  5. #5 LC
    1 / 0
    4. Januar 2018

  6. #6 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @LC

    1 / 0+ = +∞
    1 / 0- = -∞ 😉

  7. #7 Florian Freistetter
    4. Januar 2018

    Und wer wissen will, warum das mit dem 1/0 = ∞ Unsinn ist bzw. unter welchen ganz konkreten Umständen es mathematisch sinnvoll sein kann, dem empfehle ich nochmal dieses Buch: http://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2017/09/30/die-faszination-der-unendlichkeit-und-erdbeben-fantasy-mit-weltuntergang-die-buchempfehlungen-fuer-september-2017/

  8. #8 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Florian Freistetter

    Und wer wissen will, warum das mit dem 1/0 = ∞ Unsinn ist bzw. unter welchen ganz konkreten Umständen es mathematisch sinnvoll sein kann, dem empfehle ich nochmal dieses Buch …

    Wieso so soll 1/0 = ∞ Unsinn sein?

    Zum Beispiel hat eine Funktion f(x) =1/x an der Stelle 0 eine Polstelle.
    Des Weiteren gibt es unbestimmte Ausdrücke wie 0/0, 0*∞, ∞-∞, ∞/∞, 0^0, ∞^0 und 1^∞.

    Und manchmal kann man bei einer Funktion genau diese Unstetigkeitsstellen, die sich durch unbestimmte Ausdrücke zu erkennen geben, beheben. 😉

  9. #9 pane
    4. Januar 2018

    @Karl-Heinz:

    Du machst es Dir etwas zu einfach. Was ist eine Funktion? Eine Funktion ist erst einmal eine Abbildung, die jedem Element einer Wertemenge einem Element der Bildmenge zuordnet. Wenn beide Mengen die reellen Zahlen sind, dann muss auch der 0 eine reelle Zahl zugeordnet werden. Und unendlich ist keine reelle Zahl. Von irgend welche Stetigkeiten ist hier noch gar nicht die Rede. Stetig muss eine Funktion nicht sein. Die meisten Funktionen sind sogar total unstetig. Will sagen, die Menge der stetigen Funktionen ist so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen, die Menge aller Funktionen von R in den R ist aber größer.

  10. #10 Florian Freistetter
    4. Januar 2018

    @Karl-Heinz: “Wieso so soll 1/0 = ∞ Unsinn sein?”

    Wie gesagt – dazu kann man das Buch lesen. Es ist u.a. deswegen Unsinn, weil nicht definiert ist, was das eigentlich bedeuten soll. Was bedeutet es, wenn du durch 0 dividierst? Was für eine “Zahl” soll ∞ sein, dass sie das Ergebnis einer simplen Division sein kann? Usw. Mathematik basiert auf exakten Definitionen. Man KANN Definitionen finden, nach denen so etwas wie 1/0 = ∞ Sinn macht. Aber eben nicht einfach so…

  11. #11 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @pane

    Ich weiß Herr Pane
    Ich wollte nur andeuten dass das Symbol ∞ auch für unbestimmte Ausdrücke verwendet wird.
    Ob man jetzt mit 1/0 rechnen kann? Kommt darauf an.
    Jedenfalls ist der reziproke Wert von 1/0 genau 0. Ich hoffe da stimmst du mir zu.
    Aber natürlich hast du Recht. Hier geht es ja um Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der „Anzahl der Elemente einer Menge“ auf unendliche Mengen zu verallgemeinern.

  12. #12 Wilfried Wacker
    Steinfurt
    4. Januar 2018

    Hallo, eigentlich bin ich nur stiller Leser, aber dafür hochinteressiert an “aller Dinge Sein” um es mal so zu sagen. Ich bin in allen Dingen Laie, versuche durch logisches Überlegen die Dinge zu begreifen. Nimmt man das funktionieren von Energie im Allgemeinen ist eigentlich das uns bekannte “Sein” ganz einfach:Es entsteht aus etwas, verbindet dabei wenigstens zwei Komponenten,die eine Wachstums -(, Arbeits -) , und Abbauphase haben und sich dann wieder auftrennen und jede Einzelne wieder ein “Etwas” wird, woraus etwas entstehen kann. Ich nenne das “jeweils eine Familie aus individuellen Einzelkomponenten”, die selber jeweils aus solchen “Familien besteht und widerum auch Mitglied “größerer” Familien ist. Eigentlich unendlich! Und da ist der Knackpunkt. Gäbe es Unendlichkeit würde sie niemals nur “ein mal” entstanden sein, sondern zwingend ebenfalls eine Familie bilden. Was paradox ist. Diefür mich einzig logische Lösung: es gibt keine Unendlichkeit. Das würde aber bedeuten dass irgendwo im Aller-aller-( etc) – Kleinsten und ebenso im Aller – usw… Größten Schluß wäre! Was ebenfalls nicht sein kann, es gibt keinen “absoluten = einmaligen” Anfang/ Ende. Oder absolute Zeit, absolute Dimensionen, usw.usw
    Verflixt! Oder?
    Ich bin – wie gesagt – Lai und stehe jedweder logisch begründbaren Aufklärung , ja: Belehrung positiv gegenüber!!
    Unendliche Grüße
    Wilfried wacker

  13. #13 Wizzy
    4. Januar 2018

    Also, so ganz habe ich Cantors 2. DA in der Konsequenz nicht verstanden. Ich will damit nicht sagen, dass ich ihn für falsch halte, nur mein Verständnis für unzulänglich.

    Letztlich soll sein Beweis ja bedeuten, man könne eine Liste aller irrationalen Zahlen nicht auf die natürlichen abbilden. Was ist aber, wenn ich eine Cantor-ähnliche Beweisführung auf eine Liste aller natürlichen Zahlen (als Abbildung auf sich selbst) anwende? Zum Beispiel könnte ich ein “Diagonalzahl-Äquivalent” konstruieren, dass die Summe aller Elemente der unendlichen Liste darstellt. Diese neu konstruierte Zahl ist bei endlichen Listen mit Sicherheit außerhalb der Liste. Bei endlichen Listen sieht das jeder ein. Was passiert nun bei unendlichen Listen? Die beste Antwort von Mathematikern, die ich dazu erhielt, war: “Diese neu konstruierte Zahl ist nicht mehr natürlich, da eine unendlich große Zahl nicht natürlich ist. Die Definition einer natürlichen Zahlen beinhaltet, dass sie endlich viele Ziffern aufweist.”
    Dazu frage ich mich nun: Warum diese Definition? Fällt die sogenannte Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen nicht mit jener der natürlichen Zahlen zusammen, wenn ich unendlich große Zahlen als natürlich akzeptieren würde? Ich meine anhand des von mir dargelegten Analogons: Ja.

  14. #14 Wizzy
    4. Januar 2018

    Zu Absatz 2, Satz 1: Ich meinte bijektiv abbilden.

  15. #15 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Wilfried Wacker
    Was du da betreibst ist Philosophie. Als ich noch klein war, hatte ich ganz wichtig von Jean-Paul Sartre „Das Sein und das Nichts“ gelesen. Verstanden hatte ich davon eigentlich überhaupt nicht’s. Ich kann nur sagen, dass Mathematik wesentlich einfacher als Philosophie ist. 😉

  16. #16 hmann
    4. Januar 2018

    WW,
    Das Wesen der Mathematik ist die Abstraktion.
    Wenn du zu einer Zahl noch eine dazuzählst und dann noch eine, per Definition noch eine, immer weiter, dann nennt man das unendlich. Ob es das in der Realität gibt, weiß niemand. Per Definition gibt es sie.

  17. #17 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Wizzy

    Eine Verständnisfrage für dich.
    Ist die 4,(9) = 4,99999… periodische Zahl für dich eine rationale oder eine irrationale Zahl? 😉

  18. #18 Alderamin
    4. Januar 2018

    @Wizzy

    Die beste Antwort von Mathematikern, die ich dazu erhielt, war: “Diese neu konstruierte Zahl ist nicht mehr natürlich, da eine unendlich große Zahl nicht natürlich ist. Die Definition einer natürlichen Zahlen beinhaltet, dass sie endlich viele Ziffern aufweist.”
    Dazu frage ich mich nun: Warum diese Definition?

    Das ist keine extra Definition, sondern eine direkte Konsequenz aus der Definition der natürlichen Zahlen über die Nachfolgerfunktion. Es gibt keine in Zifferndarstellung unendlich große natürliche Zahl, denn jede natürliche Zahl hat einen endlichen Vorgänger und ist ergo auch endlich, denn eine endliche Zahl +1 ist ja nur um einen endlichen Betrag größer als die ursprüngliche Zahl (und das war ein Induktionsbeweis; fehlt nur noch, dass die 1 endlich ist als Induktionsanfang).

  19. #19 Alderamin
    4. Januar 2018

    @myself

    denn eine endliche Zahl +1 ist ja nur um einen endlichen Betrag größer als die ursprüngliche Zahl

    Ergänzung: In dezimaler (oder sonstiger) Zifferndarstellung kommt maximal eine Stelle hinzu.

  20. #20 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    Fangfrage
    Ist die unendlich lange Zahl 4,(9) = 4,99999… jetzt rational oder irrational? 😉

  21. #21 Wizzy
    4. Januar 2018

    @Karl-Heinz Ich denke rational, aber hilft das?
    @Alderamin
    O.k., akzeptiere ich. Aber die Summe aus n natürlichen Zahlen (und damit mein Diagonalzahl-Analog) müsste doch dann immer per Nachfolgerfunktion erreichbar sein. Schließlich ist jeder Summand dies auch.

  22. #22 Alderamin
    4. Januar 2018

    @Karl-Heinz

    Es ist ein uuuralter Hut, dass 1/3=0,3333… und 3*1/3=0,9999…=1 ist, also auch 3*1/3+4 = 5, also sogar natürlich.

  23. #23 Alderamin
    4. Januar 2018

    @Wizzy

    Aber die Summe aus n natürlichen Zahlen (und damit mein Diagonalzahl-Analog) müsste doch dann immer per Nachfolgerfunktion erreichbar sein. Schließlich ist jeder Summand dies auch.

    Sicher, für jedes n aus den natürlichen Zahlen (also endlich). Das ist der Knackpunkt.

    Das Argument erinnert mich ein wenig an die Menge der Potenzmengen. Wenn M eine unendliche abzählbare Menge ist, dann ist die Potenzmenge von M (die Menge aller Teilmengen von M) überabzählbar. Geht irgendwie in die selbe Richtung, meine ich.

  24. #24 Alderamin
    4. Januar 2018

    @Wizzy

    Ergänzung: bei der Potenzmenge gilt auch, dass für jede endliche Menge M die Potenzmenge selbstverständlich endlich und abzählbar bleibt. Nur bei unendlicher Kardinalität geht das grandios schief.

  25. #25 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Alderamin

    Danke, du bist mal wieder ausgesprochen nett.
    Für dich hätte ich die Frage so stellen sollen: Man beweise, dass jede periodische Zahl (davon gibt es unendlich viele) rational ist.

  26. #27 StefanL
    4. Januar 2018

    @Karl-Heinz #11

    Jedenfalls ist der reziproke Wert von 1/0 genau 0. Ich hoffe da stimmst du mir zu.

    Also ich stimme dir da nicht zu. Das Reziproke r zu a definiert sich doch durch a ⋅ r = neutrales Element der Multiplikation.
    Warum ist jetzt 1/0 ⋅ 0 = ( ∞ ⋅ 0 )(?) = 1 ?
    Ist nicht a ⋅ 0 = 0 für alle a eines Halbringes?

  27. #28 Florian Freistetter
    4. Januar 2018

    Ich kann nur nochmal auf das Buch von Eugenia Cheng hinweise. Exakt das, was ihr hier diskutiert wird dort auch diskutiert UND enorm verständlich erklärt und aufgelöst. Ist gleich ziemlich am Anfang des Buches. Vielleicht reicht ja schon die Leseprobe, die man sich auf den Kindle schicken lassen kann (kostenlos): https://www.amazon.de/Beyond-Infinity-expedition-mathematical-universe-ebook/dp/B01KAEKITS/ref=tmm_kin_swatch_0?_encoding=UTF8&qid=1515083905&sr=8-1

  28. #29 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @StefanL

    Ich meinte auch \lim\limits_{x \rightarrow 0 }{\frac{1}{x} \cdot x} =1

  29. #30 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Florian Freistetter

    Wir sind ja eh noch harmlos, denn Leopold Kronecker
    sein Ausspruch war: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
    Haben sich die zwei nicht vertragen?

  30. #31 Dampier
    4. Januar 2018

    Spannender Artikel. Ich glaube, ich hab sogar einigermaßen verstanden, was Cantor da gemacht hat. Schön erklärt!

    Wir haben eine Zahl konstruiert, die sich von jeder der unendlichen vielen Zahlen Z1, Z2, Z3, … in unserer Liste unterscheidet.

    Oder anders gesagt: Wir haben eine reelle Zahl konstruiert, die nicht in unserer unendlich langen Liste enthalten ist!

    Ich muss hier mal ne Frage loswerden, die mich schon lange beschäftigt:

    Angenommen ich habe zwei parallele Geraden, A & B.
    A beginnt direkt vor mir und setzt sich nach rechts unendlich weit fort.
    B erstreckt sich in beide Richtungen unendlich weit.
    Nach meinem Verständnis sind die also beide unendlich, aber B müsste gleichzeitig doppelt so lang wie A sein …
    A hat ein (1!) ende. B hat keins.

    Ist A kürzer als B??

  31. #32 Wilfried Wacker
    Steinfurt
    4. Januar 2018

    Ich glaube zunächst muß ich mich mal entschuldigen, im Eifer des ersten Schreibens hab ich wohl den verkehrten Forum Bereich erwischt, dies ist ja “Mathematik”, da gehört mein Geschreibsel eigentlich nicht hin.Ich bin noch neu hier, muß mir den passenden Forumabschnitt mal suchen.
    Anderesrum: die Mathematik mag noch so gut sein /werden, aie alleine wird die “Welt” aber nicht erklären, dazu bedarf es schon ein wnig Phillosphie, oder – was mir besser gefällt: beobachtendes nachdenken..:-))

  32. #33 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Dampier

    Ich kann jetzt wohl nicht die exakte Länge von A und B angeben, aber sehr wohl das Längenverhältnis L(A)/L(B) und das ist genau 1/2. 😉

  33. #34 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Wilfried Wacker

    ch glaube zunächst muß ich mich mal entschuldigen, im Eifer des ersten Schreibens hab ich wohl den verkehrten Forum Bereich erwischt, dies ist ja “Mathematik”, da gehört mein Geschreibsel eigentlich nicht hin.Ich bin noch neu hier, muß mir den passenden Forumabschnitt mal suchen.
    Anderesrum: die Mathematik mag noch so gut sein /werden, aie alleine wird die “Welt” aber nicht erklären, dazu bedarf es schon ein wnig Phillosphie, oder – was mir besser gefällt: beobachtendes nachdenken..:-))

    Macht nix.
    Ich merke es auch erst dann, wenn böse Worte zurückkommen, dass ich was falsch gemacht habe. 😉

  34. #35 Dampier
    4. Januar 2018

    hat sich an Verschwörungstheorien über die “wahre” Urheberschaft von Shakespeares Werken beteiligt;

    Ich hab leider nichts zu seiner Theorie finden können.
    Ich finde den Begriff “Verschwörungstheorie” hier zu hart.
    Die lückenhafte und widersprüchliche Quellenlage lädt geradezu ein zu lustvoller Spekulation; ich finde es ein sehr spannendes Thema:

    https://de.wikipedia.org/wiki/William-Shakespeare-Urheberschaft

    “hat sich an Spekulationen über die “wahre” Urheberschaft von Shakespeares Werken beteiligt” klingt gleich viel netter, spielerischer. Oder hat Cantor da wirre Pamphlete geschrieben? (im oben verlinkten Artikel, auch im englischen, wird er nicht erwähnt)

    Mehr Info willkommen :]

  35. #36 Dampier
    4. Januar 2018

    @Karl-Heinz
    > das Längenverhältnis L(A)/L(B) (…) ist genau 1/2.

    Aber sie sind beide unendlich?

  36. #37 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Dampier

    Aber sie sind beide unendlich?

    Na und?

    $latex\lim\limits_{L \rightarrow \infty}{\frac{L}{2L}} = \frac{1}{2} $

  37. #38 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Dampier

    \lim\limits_{L \rightarrow \infty}{\frac{L}{2L}} = \frac{1}{2}

  38. #39 Dampier
    4. Januar 2018

    Hübsche Formel, danke. Da hört’s dann schon auf bei mir ;]

  39. #40 Mars
    4. Januar 2018

    @Dampier #36

    deswegen wurde der begriff ‘Mächtigkeit’ geschaffen.
    du hast da z.b. zwei gerade (zahlenstrahl: alle Zahlen oder nur positive), unterteile sie in gleich grosse abschnitte, wirf die jeweils in einen (grossen) karton
    dann füllt sich der eine mehr als der andere, auch wenn es unendlich viele teile sind, sind in einem eben immer doppelt soviel als im anderen
    ja, das mit dem unendlichen ist schon verwirrend.

  40. #41 Mars
    4. Januar 2018

    und da wir ja bei Astro sind, und hier auch die lim -(grenzwert) funktionen angegeben werden, hab ich auch ein grenzwertiges Beispiel:

    ein neutronen-doppelstern-system mit -fast – gleichgrossen sternen-kernen.
    der eine so gross, dass der schwarzschildradius genau 1 mm unter der oberfläche ist, der andere so, dass der SSR genau 1mm über der oberfläche bleibt.
    bei dem ersten können wir noch beobachten, und legen die physik so wie wir sie kennen daran fest.
    beim 2ten scheinen dann die physikalischen gesetze zu verschwimmen und im ‘loch’ zu verschwinden.
    keine aussage mehr möglich, obwohl wir annehmen müssen, dass dort ein nur 2 mm grösserer stern herumkreist
    alles was gedacht werden kann – wird irgendwann gedacht werden – der menschliche geist ist auch unendlich in seinem gedankenreichtum

    uuups, jetzt haben wir mathe, physik und ein bisschen Philosophie untergebracht
    auch diese grenzen verschwimmen in diesen bereichen gerne mal.

  41. #42 Wizzy
    4. Januar 2018

    @Alderamin
    Vielen Dank für die bisherigen Erklärungen, aber ich habe einen weiteren Einwand: Du erwähnst in Kommentar #18 die vollständige Induktion. Wenn diese aber für unendliche Mengen zugelassen wäre, dann könnte ich auch beweisen dass mein d=1+n1+n2+n3+…n_i > (n1/n2/n3/…n_i), i –> unendl. und damit ein “überabzählbares Element” ist. Dies funktioniert nämlich mit vollständiger Induktion (Anm.: Um bei 1 Element anfangen zu können zähle ich halt noch +1 dazu). Offensichtlich versagt die Induktion aber bei unendlich großen Mengen. Woher weiß ich dann, dass die Folgefunktion in der unendlich großen Menge aller natürlichen Zahlen nicht doch irgendwann Natürliche Zahlen unendlich langer Ziffernfolgen produziert? Meines Erachtens nach müsste man diesbezüglich eine andere Beweismethode verwenden.

  42. #43 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Mars

    Also die beiden Kartons sind wenn in ihnen unendlich viele Elemente sind gleich mächtig, oder? 😉

  43. #44 Jolly
    4. Januar 2018

    @ Dampier; @ Karl-Heinz; @ Mars

    Das eine nennt man Strahl oder Halbgerade

    Das Längenverhältnis von Strahl zu Gerade ist beliebig

    Warum sollte ich den Grenzwert von L/2L bilden? Ich könnte genusogut den von L/3L oder 4L/L bilden (solche Abschnitte verwenden).

    “ja, das mit dem unendlichen ist schon verwirrend.”

  44. #45 tomtoo
    4. Januar 2018

    @Wilfried Wacker
    Nö, das passt schon. Eigentlich ist es ja Astronomie.
    @all
    Ich bin da ja kein Experte. Aber evtl. ist es einfacher eine Mathematisch denkbare Unendlichkeit und das was man Physik nennt zu trennen. Macht die Stringtheorie nicht sowas ? Ist es nicht das Problem das so ein Math. Punkt unendlich klein ist ?

  45. #46 StefanL
    4. Januar 2018

    Zu der Gerden und der Halbgraden:
    Denken wir uns an Nullpunkt der Zahlengeraden und so einmal der ganze Zahlenstrahl und einmal nur der positive Teil. Zersägen wir nun diese jeweils in gleich Größe Stücke (sagen wir mal der Länge 1) so finde wir für jedes Stück des einen ein Stück des anderen. Beide “Kisten” sind also gleich voll.

  46. #47 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Jolly
    Du bist aber schon sehr pingelig. 😉

  47. #48 Mars
    4. Januar 2018

    “”… so finde wir für jedes Stück des einen ein Stück des anderen””

    eben nicht:
    wie willst du in einem ganzen Zahlenstrahl -also auch mit negativen teilen- zu diesen negativen teilstücken das nur im positiven teil finden – geht nicht
    also. die menge ist mächtiger, wenn auch beide unendlich sind

    und @K.-H.
    der eine karton ist grösser, weil er mehr beinhalten muss
    ist ein bißchen wie bei Kim und Donald
    dem Donald sein knopf ist grösser, auch wenn beide das gleiche machen sollen – raketen starten!!!!

  48. #49 jere
    4. Januar 2018

    @Dampier: Das ist denke ich so eine Frage, die sich auf beliebig verschiedene Weisen beantworten lässt, je nach dem, wie man den Begriff “Länge” formalisiert. Man hat ja ne Vorstellung, was Länge bei endlichen Strecken ist, und eine jede Definition sollte das auch erfüllen. Aber was dann passiert, wenn man versucht, eine der vielen möglichen Definitionen ins Unendliche auszudehnen, sollte im großen und ganzen beliebig sein (falls nicht, hat man evtl. was interessantes entdeckt).

    Aber wenn dir die Antwort keinen Spaß macht: Die positiven reelen Zahlen sind so mächtig wie alle, also hast du da zwei Linien, eine mit Anfang, eine ohne, die “gleich lang” sind.

  49. #50 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Mars
    Ich glaub Alderamin muss mit dir ein ernstes Wort reden. 😉

  50. #51 Mars
    4. Januar 2018

    “… die “gleich lang” sind”

    gleich lang im sinne von: unendlich
    aber unterschiedlich in ihrer Mächtigkeit, also in der zahl ihrer teile(r).

  51. #52 Mars
    4. Januar 2018

    @ K.-H.

    … bloß weil er DIR Mathematik der 6 klasse beibringen wollte? siehe #26
    oder warum sollte Alderamin das tun?

  52. #53 jere
    4. Januar 2018

    Wie gesagt, das ist müßig. Die beiden lassen sich bijektiv ineinander abbilden (z.B. mit log(x) ), also sind sie per Definition gleich mächtig. (Darum ging es ja bei Cantor).

  53. #54 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Mars
    Sie Beitrag von jere. 😉

  54. #55 Mars
    4. Januar 2018

    @ jere

    natürlich hast du da recht.
    unendlich UND abzählbar- dann sind sie gleich mächtig

    hab mich da – fälschlicher weise – an den nicht abzählbaren reelen zahlen orientiert

    ja, da muss man spitzfindig und genau sein

  55. #56 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Mars
    Sollte auch für den reellen Zahlenstrahl gelten. :-)

  56. #57 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Mars

    Sch… Mod
    Sollte auch für den reellen Zahlenstrahl gelten.

  57. #58 StefanL
    4. Januar 2018

    @Mars
    Mehrere Möglichkeiten:
    Ein Teil des Halbstrahls , ein Teil aus der positiven Seite des ganzen, ein weiteres Teil des Halbstrahls, ein Teil des negativen Teils der ganzen Zahlengeraden usf. Ist wie mit der Nummerierung durch natürliche Zahlen der ganzen Zahlen oder Nummerierung der ungeraden Zahlen… Oder
    Nehme das Intervall [0,1) der Halbgeraden und das Intervall (-1/2 , 1/2) und dann [1, 2) mit zusammengeklebten (-1 , -1/2] und [1/2 , 1) usw.
    So eine Art Hilberts Hotel.
    Und zur Ergänzung: die kardinale Anzahl (Mächtigkeit) der Zahlen in [0 , 1] ist die selbe wie die aller reeller Zahlen.

  58. #59 Mars
    4. Januar 2018

    ja.ja, seh schon
    wenn man da nicht höllisch aufpasst
    steht man auf einem – unendlichen – schlauch ….

  59. #60 tomtoo
    4. Januar 2018

    @Mars
    Bzgl. Neutronenstern , schwarzes Loch.

    Bei einem Neutronen Stern scheinen die Kräfte , die Materie noch zusammenhalten zu überwiegen. Bei einen SL ist die Gravitation stärker, alles kollabiert zu einer Singulariät. Übrigens sehr spannendes Thema. Hat jemand einen Link der das mal erklärt ? Ich hab das hingenommen, ok ist halt so. Ich meine die Quark Gluonen Kräfte sind doch heftig. Was passiert da genau ?

  60. #61 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Mars
    Grins …

  61. #62 Mars
    4. Januar 2018

    @tomtoo

    in dem besipiel ist ja nur der SSR wegen 2 mm sichtbar
    dh ja nur, dass das licht gerade nicht mehr entweichen kann. fällt deswegen gleich alles (in eine singularität) zusammen?, ab wann fallen auch die Quarks ineinander?
    beim anderen neutronenstern ist das licht – sicher auch erschwert – noch sichtbar..

    ja, evt kann das mal einer erklären
    sorry @ all – etwas off

  62. #63 tomtoo
    4. Januar 2018

    @Mars
    Denke nein. Hat ja auch etwas mit Unendlichkeit zu tun..Eben ist’s noch ein Neutronenstern, die Materie wiedersteht dem Gravitationsdruck, und ein bischen mehr und es alles fällt zu einer Singularität zusammen. Also so hab ich das als Laie verstanden ???

  63. #64 Mars
    4. Januar 2018

    ist ja vermutlich auch ‘nur’ wieder so ein mathematisches problem:
    beim SSR unterscheidet man den äusseren und den inneren anteil in einer gleichung
    die eben sagt: ist der SSR grösser als das oblekt, also sichtbar, ist das der ereignishorizont, und drinnen – wer weiss das schon genau – ist dann eine singularität
    per definition!!

  64. #65 Fluff
    4. Januar 2018

    Was ist eigentlich eine irrationale Zahl?

  65. #66 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Fluff

    Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Zum Beispiel Wurzel aus 2.

  66. #67 Fluffi
    4. Januar 2018

    @#66
    Das ist überzeugend, womit klar ist, dass die Menge der irrationalen Zahlen nicht leer ist

  67. #68 PDP10
    4. Januar 2018

    @Fluffi:

    Das ist überzeugend, womit klar ist, dass die Menge der irrationalen Zahlen nicht leer ist

    Sie ist nicht nur nicht leer, sondern überabzählbar unendlich (wie die reellen Zahlen, von denen sie eine Untermenge sind).

    Guck mal:

    https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl

    (insbes. den letzten Absatz).

  68. #69 Karl-Heinz
    4. Januar 2018

    @Fluffi
    Nur zur Info

    Es existieren verschiedene Möglichkeiten
    die reellen Zahlen zu definieren.

    Diese fallen in zwei Klassen:
    – Konstruktion aus Q
    • Cauchy-Folgen
    • Dedekindsche Schnitte
    • Intervallschachtelung
    – Axiomatisch

  69. #70 Dampier
    4. Januar 2018

    Ich danke allen, die sich mit meiner Frage befasst haben :]

    Ist schon ein abgefahrenes Thema. Vielleicht sollte ich mir doch mal das empfohlene Buch von Frau Cheng zu Gemüte führen.

    Ein Klassiker ist ja auch “Weißes Licht” von Rudy Rucker. Eine Art mathematischer SF-Roman. Auch Hilberts Hotel kommt drin vor. Ziemlich Crazy.

  70. #71 Jan
    5. Januar 2018

    Eine kleine Modifikation ist im obigen Diagonalargument noetig. Bei einer ungluecklichen Anordnung der Liste, koennte bei der vorgeschlagenen Regel x2, x3,… usw alle gleich 9 sein. Das waere kein gueltiger Dezimalbruch (oder gleich ..0000, obwohl alle Stellen verschieden sind). Man sollte also, zum Beispiel, wenn akk=8 ist, xk=7 waehlen.

    Ein haessliches kleines Heftpflaster, um die Luecke im Argument zu ueberkleben.

  71. #72 Jolly
    5. Januar 2018

    “Cantor hat gezeigt, dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt von denen jede größer ist als die vorhergehende…”

    Weiß man auch schon ob es überabzählbar viele davon gibt, oder nur abzählbar unendlich viele Unendlichkeiten?

  72. #73 Karl-Heinz
    5. Januar 2018

    @Jan

    Eine kleine Modifikation ist im obigen Diagonalargument noetig. Bei einer ungluecklichen Anordnung der Liste, koennte bei der vorgeschlagenen Regel x2, x3,… usw alle gleich 9 sein. Das waere kein gueltiger Dezimalbruch (oder gleich ..0000, obwohl alle Stellen verschieden sind). Man sollte also, zum Beispiel, wenn akk=8 ist, xk=7 waehlen.
    Ein haessliches kleines Heftpflaster, um die Luecke im Argument zu ueberkleben.

    Eine Modifikation ist nicht notwendig.
    FF erwähnt ja: „Stellen wir uns alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 vor. “ und meint damit:
    „Sei Zi eine beliebige Folge reeller Zahlen im offenen Intervall (0,1).“
    Damit kann Zi weder den Wert 0,0000000… bzw. 0,(9)=0,999999999… annehmen. Das Ganze hat jetzt mal nichts mit einem gültigen Dezimalbruch zu tun, wie du meinst.

    Bin gespannt, ob irgendjemand von euch drauf kommt, warum man für den Beweis ein offenes Intervall (0,1) und kein geschlossenes Intervall [0,1] verwendet.

    @Alderamin
    Was jetzt nach deiner Bemerkung ein alter Hut ist, sollte man natürlich auch wissen.
    0,(0) = 0,000000… =0
    0,(9) = 0,999999… =1

  73. #74 Jan
    5. Januar 2018

    Man muss auch z. B. 0.1999… ausschließen als Diagonalzahl. Zumindest muss man argumentieren, dass die Diagonalzahl nicht ab einer Stelle alles Neunen haben kann. Das ist möglich, aber es ist einfacher, keine Neunen in der Diagonalzahl zu benutzen.

  74. #75 Metalgeorge
    5. Januar 2018

    @FF
    ..vielen Dank für deinen Literaturtip hierzu:
    Beyond Infinity von Eugenia Cheng
    Lese es seit diesem Jahr mit Begeisterung.

    Bevor ich mich mangels Verständnis ganz ausklinken muss,
    hier noch eines der kleinen mich faszinierende Erkenntnisse aus dem Buch,
    das ich hier gerne noch am Rande, als quasi Basics,
    zur Diskussion beitragen würde:

    Unendlich + 1 = Uendlich
    daraus folgt
    1 = 0 ☺ ……..
    was Blödsinn ist
    Da nun aber für natürliche Zahlen gilt , dass die beidseitige
    Subtraktion einer natürlichen Zahl in einer Gleichung immer gültig ist, folgt daraus
    dass Unendlich keine natürliche Zahl ist.
    q.e.d

    ….diese Gleichung kennzeichnet auch eines meiner Probleme bei der numerischen
    Berechnungen von Werkzeugkorrekturbahnen mit begrenztem
    Zahlenvorrat.
    Das Erreichen der oberen Grenze eines Zahlenvorrats OGZ bei
    Berechnungen am Computer hat den gleichen oben beschriebenen Effekt.
    Ist OGZ für ein Programm mit Unendlich gleichzusetzen….!?
    Sicher nicht, aber es hat ähnliche Effekte.

    @Karl-Heinz
    Übrigens weil du es oben mal erwähnt hast:
    1/0 ist keine gültige Rechenoperation in beliebigen Programm-Systemen
    und führt überall zum Absturz des Programmes, wenn man dies nicht zuvor
    abfängt. Man wählt hier zum Beispiel die kleinste Darstellbare Zahl Epsilon des
    Systems als Untergrenze und erhält dann als Ergebnis
    die größte darstellbare Zahl OGZ. Ähnlich wie du es mit den Näherungsfunktionen beschreibst.
    Damit stellt man sicher , das die Operationen
    nicht mittendrin abstürzen.
    Selbstverständlich produziert aber ab diesem Punkt, das Erreichen von OGZ,
    eine Fehlerkette, die wieder getrennt analysiert werden muss.

    Man kann über den den Begriff Unendlich wirklich unendlich viel diskutieren.
    Sicher ist aber, dass die genauere mathematische Klärung dieses Begriffes
    viele neuere Berechnungen in allen Wissenschaftsbereichen in den
    letzten Jahrzehnten erst möglich gemacht haben.

  75. #76 Florian Freistetter
    5. Januar 2018

    @Jan: “Man sollte also, zum Beispiel, wenn akk=8 ist, xk=7 waehlen.”

    ?? Ich hab doch extra geschrieben: “Wir wählen 3, es sei denn a22=3, dann wählen wir 4. Und so weiter, für alle der unendlichen vielen Nachkommastellen.” Da ist nix mit ner 9…

  76. #77 Jan
    5. Januar 2018

    Oops, meine Lesefaehigkeit laesst nach. Ich was wohl unter dem Eindruck, dass xk=akk+1 (mod 10), was ich auch manchmal gesehen habe. Das haette dann diese Luecke.

  77. #78 Karl-Heinz
    5. Januar 2018

    Die Definitionsmenge reeller Zahlen im offenen Intervall (0,1) würden durch den Algorithmus auf ein offenes Intervall (0,1) abgebildet werden.
    Die Definitionsmenge reeller Zahlen im geschlossenen Intervall [0,1] würden durch den Algorithmus auf ein offenes Intervall (0,1) abgebildet werden.
    Wahrscheinlich ist das der Grund, warum man mit dem offenen Intervall (0,1) argumentiert.

  78. #79 Karl-Heinz
    5. Januar 2018

    So, wer hat den Cantors zweites Diagonalargument Beweis nicht verstanden?
    Im Beitrag wurde ja darauf hingewiesen, dass er leicht zu verstehen ist.
    Muss wirklich schlimm für jemanden sein, wenn darauf hingewiesen wird, dass der Beweis leicht zu verstehen ist und man ihn dennoch nicht versteht. 😉

  79. #80 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Vielen Dank für die bisherigen Erklärungen, aber ich habe einen weiteren Einwand: Du erwähnst in Kommentar #18 die vollständige Induktion. Wenn diese aber für unendliche Mengen zugelassen wäre, dann könnte ich auch beweisen dass mein d=1+n1+n2+n3+…n_i > (n1/n2/n3/…n_i), i –> unendl. und damit ein “überabzählbares Element” ist. Dies funktioniert nämlich mit vollständiger Induktion (Anm.: Um bei 1 Element anfangen zu können zähle ich halt noch +1 dazu).

    Nein, das funktioniert nicht, denn erstens ist d nicht unendlich, weil n_i einen Wert haben muss, und der ist ist immer endlich – Du kannst “unendlich” nicht als Zahl verwenden, die Du hier einsetzt. Außerdem wäre Dein Induktionsanfang kein Beweis, sondern Du steckst die Annahme rein. Du musst natürlich zeigen, dass die Annahme für das erste Element der Kette definitiv gilt (dass in meinem Beweis 1 endlich ist, ist trivial, was soll man da beweisen?, aber Du könntest ja zeigen wollen, dass für alle natürlichen Zahlen eine komplexe Ausage A(n) gilt, und dazu zeigst Du, dass A(1) gilt und im zweiten Schritt, dass aus A(n) gilt folgt, dass auch A(n+1) gilt).

    Offensichtlich versagt die Induktion aber bei unendlich großen Mengen.

    Nein, die Induktion funktioniert schon, aber Du kannst keine unendliche Menge in den Induktionsanfang stecken. Die abgeleitete Aussage gilt aber für abzählbar unendlich viele Zahlen (kann auch eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sein, oder alle ganzen Zahlen, wenn man z.B. zwischen + und – alternieren kann, oder die Kette in beide Richtungen beweisen).

    Woher weiß ich dann, dass die Folgefunktion in der unendlich großen Menge aller natürlichen Zahlen nicht doch irgendwann Natürliche Zahlen unendlich langer Ziffernfolgen produziert? Meines Erachtens nach müsste man diesbezüglich eine andere Beweismethode verwenden.

    Mit obigem ist bereits bewiesen, dass die Ziffernfolge (wir reden hier übrigens nur über die Stellen vor dem Komma, es geht um natürliche Zahlen) immer endlich sein muss. Es gibt keine unendlich große natürliche Zahl. Es gibt nur eine unendlich große Menge endlich großer natürlicher Zahlen, und die können beliebig lang werden, aber alle haben eine enach oben beschränkte Länge der Zifferndarstellung (so ungefähr int(log10(n))+1 im Dezimalsystem). Wenn das aus dem Induktionsbeweis schon folgt, kann es keinen anderen Beweis geben, der ein anderes Ergebnis liefert, sonst wäre die Mathematik nicht konsistent.

    Mit der Nachfolgerfunktion erreichst Du von 1 ausgehend jede natürliche Zahl, und es folgt nie auf eine endliche lange Zahl als Nachfolger eine unendlich lange. Das reicht als Beweis, dass sie alle endlich lang sind.

  80. #81 jere
    5. Januar 2018

    @Karl-Heinz:

    Muss wirklich schlimm für jemanden sein, wenn darauf hingewiesen wird, dass der Beweis leicht zu verstehen ist und man ihn dennoch nicht versteht.

    Ich finde, das ist so ein Gefühl, an das man sich irgendwann gewöhnt.

    Ist sowieso ne alte Mathematikerkrankheit: Kaum hat man etwas nach 5 Stunden mal verstanden, ist es offensichtlich 😀

  81. #82 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Mars

    ein neutronen-doppelstern-system mit -fast – gleichgrossen sternen-kernen.
    der eine so gross, dass der schwarzschildradius genau 1 mm unter der oberfläche ist, der andere so, dass der SSR genau 1mm über der oberfläche bleibt.

    So was gibt’s nicht. Wenn Du einem Neutronenstern von außen Masse zuführst, wird er irgendwann die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Grenze erreichen, bei der die Kernkräfte nicht mehr ausreichen, die Gravitation zu kompensieren, und dann kollabiert er komplett (nach allem, was wir bisher wissen, zur Singularität). Wenn er schnell rotiert, gibt ihm das durch die Fliehkraft noch ein wenig zusätzliche Stabilität, aber die Rotationsgeschwindigkeit ist nach oben beschränkt, mehr als (glaube ich) 2/3 c an der Oberfläche geht nicht.

    Der Kollaps findet nicht etwa statt, wenn der Schwarzschildradius die Oberfläche erreicht, sondern lange vorher, wenn die Masse die genannte TOV-Grenze erreicht (die nicht genau bekannt ist, irgendwas in der Nähe von 2,1 Sonnenmassen wird aufgrund von jüngsten Beobachtungen (Gravitationswellenereignis vom 17. August letzten Jahres) bei angenommen.

    Ein Neutronenstern von 2 Sonnenmassen hat wenigstens 11 km Radius (Fig. 3), ein schwarzes Loch von 2 Sonnenmassen aber nur einen Schwarzschildradius von 6 km (Folie 5). Dazwischen gibt es nichts; so ein Konstrukt, wie Du beschreibst, ist unmöglich.

  82. #83 MartinB
    5. Januar 2018

    @tomtoo
    Der Trick ist, dass der Stern unter Druck steht. Dummerweise ist Druck selbst auch eine Quelle der Gravitation. Wenn der Druck also zu stark steigt, dann sorgt der Druck für eine weitere Erhöhung der Gravitation und damit des Drucks und deswegen schaukelt sich das katastrophal auf und irgendwann geht die benötigte Ggeenkraft gegen unendlich (bei einem Sternenradius von 9/8 des Schwarzschildradius, wenn ich es richtig im kopf habe). Da ist es dann also egal, wie stark die entgegengesetzte Anziehungskraft wirkt.
    Ganz nett – aber etwas mathematisch – in der Geschichte Oz and the Wizard erklärt:
    http://math.ucr.edu/home/baez/gr/
    und wenn du noch etwas wartest, dann kann ich dir demnächst ein passendes Buch empfehlen…

  83. #84 Alderamin
    5. Januar 2018

    @tomtoo

    Hat jemand einen Link der das mal erklärt ? Ich hab das hingenommen, ok ist halt so. Ich meine die Quark Gluonen Kräfte sind doch heftig. Was passiert da genau ?

    Hilft das hier?

    Das Pauli-Prinzip verbietet identischen Fermionen (Elektronen und Quarks gehören dazu) den gleichen Quantenzustand einzunehmen. Wenn man sie auf immer kleineren Raum zusammendrängt, werden sie wegen der Heisenbergschen Unschärferelation (Ort ist sehr scharf, dann muss Impuls sehr unscharf sein) notwendigerweise immer schneller (relativistisch schnell), was einen Gegendruck erzeugt. Wenn alle Quantenzustände besetzt sind, kann der Gegendruck nicht mehr steigen (Entartungsdruck). Bei weißen Zwergen bilden die Elektronen den Entartungsdruck und stabilisieren den Stern unterhalb von 1,4 Sonnenmassen, darüber hinaus werden die Elektronen in die Protonen gedrückt und wandeln sich durch inversen Beta-Zerfall zu Neutronen und Elekton-Neutrinos, der Kern des weißen Zwergs kollabiert zu einem Neutronenstern (die Hülle explodiert als Typ Ia-Supernova).

    Bei Neutronensternen bilden die Neutronen den Entartungsdruck. Was beim Überschreiten des Neutronen-Entartungsdrucks passiert, weiß man nicht genau, möglicherweise gibt es noch eine oder mehrere Zwischenstufen (Quarksterne, Sterne aus Strange Matter, d.h. aus Strange-Quarks [gibt ja Quarks in den Flavours Up-/Down, Top-/Bottom und Charme/Strange]) mit entsprechend höheren Entartungsdrücken, aber das konnte noch nicht nachgewiesen werden. Wie aus dem von mir im ersten Link in #82 enthaltenen Paper hervor geht, schließen die Autoren für den 1,97-Sonnenmassen-Neutronenstern aus, dass er aus etwas anderem als Neutronen besteht, und aus dem Gravitationswellenereignis GW170817 schließt man, dass aus den verschmolzenen Neutronensterne ein schwarzes Loch von 2,17 Sonnenmassen entstand. Dazwischen ist nicht viel Platz für Quarksterne und strange Sterne.

    Darüber hinaus macht es “plupp” und der Neutronenstern kollabiert unter seinen Schwarzschildradius (dürfte wohl von innen nach außen passieren, weil innen die Dichte am größten ist). Eine Explosion gibt es dabei m.W.n. nicht, außer bei der Verschmelzung zweier Neutronensterne, da gibt’s eine Kilonova, eine Mini-Supernova.

  84. #85 Alderamin
    5. Januar 2018

    @MartinB

    Oh, da war ich zu langsam. Ich stütze mich erst mal auf die Wikipedia-Quellen, bis ich die entsprechenden Kapitel in dem besagten Buch gelesen habe. 😉

  85. #86 Mars
    5. Januar 2018

    ein herzlichen dank erst mal an:
    @Alderamin und @Martin

    hab zwar noch nicht alles verstanden, aber die hinweise lassen mich wieder ein wenig weiter-suchen und -denken, irgendwann evt auch besser verstehen.
    so grenzwerte sind also immer wieder besonders spannend.

  86. #87 MartinB
    5. Januar 2018

    @Mars
    Noch ein Hnweis, damit du nicht durcheinander kommst:
    Alderamin schreibt über die Grenzen, die aus den Eigenschaften der uns bekannten materie folgen (Quarks, Gluonen etc.). Diese Grenzen hängen davon ab, wie genau diese Kräfte funktionieren.
    Dass ein Stern aber zwangsläufig kollabieren muss, wenn er kleiner wird als 9/8 des Schwarzschildradius, ist eine universelle Grenze, die direkt aus der Allg. Relativitätstheorie folgt, dafür ist es egal, welche Eigenschaften die Materie hat, dafür ist nur relevant, dass eben ein immer weiter komprimierter Stern einen immer höheren Druck hat, und dieser Druck erhöht die Sxchwerkraft immer weiter und irgendwann schaukelt sich das dann katastrophal auf: Um der Schwerkraft standzuhalten, müsste man den Druck weiter erhöhen, das erhöht aber die Schwerkraft noch weiter, so dass man noch mehr Druck bräuchte und dann kann es kein Halten mehr gegen, egal welche seltsamen Materiezustände man sich überlegt.

  87. #88 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin #80

    Vielleicht hast Du ja recht, aber ich verstehe es immer noch nicht.

    Ich komme mit meinem Induktionsbeweis von endlich langen Listen von natürlichen Zahlen:
    Liste 1 enthält (n_1)
    Nun suche ich eine “Diagonalzahl” (für endliche Listen trivial, aber trotzdem): Sie soll sein d=1+(Summe aller Listenelemente).
    d_1=n_1+1. Damit d>n_1
    Nun füge ich meiner Liste ein weiteres Element hinzu:
    Liste i+1 enthält (n_1, …n_i, n_(i+1))
    d_(i+1)=1+n_1+…+n_i+n_(i+1) > n_(i+1) und damit per Induktion > n_k, k=1 bis i+1. Damit habe ich per Induktion bewiesen, dass jede Liste natürlicher Zahlen nicht alle natürliche Zahlen enthält.

    Du sagst “Nein, die Induktion funktioniert [im Unendlichen] schon[…]” Wenn das mit einfacher Induktion stimmen würde, hätte ich hier gerade die Überabzählbarkeit der natürlichen Zahlen bewiesen (Keine Liste enthält alle natürlichen Zahlen!). Tatsächlich braucht eine Induktion aber einen transfiniten Übergang. Kann natürlich sein, dass der für Deine These “Folgefunktion beweist, dass alle natürlichen Zahlen finit sind” funktioniert, aber klassische Induktion reicht einfach nicht.

  88. #89 tomtoo
    5. Januar 2018

    @MatinB, @Alderamin

    Vielen Dank ! Das hat mir echt weitergeholfen !

  89. #90 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Jolly

    “Cantor hat gezeigt, dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt von denen jede größer ist als die vorhergehende…”

    Weiß man auch schon ob es überabzählbar viele davon gibt, oder nur abzählbar unendlich viele Unendlichkeiten?

    Es sind abzählbar viele, die über die Aleph-Funktion definiert sind.

    Nach der Kontinuumshypothese gibt es zwischen der Kardinalität der natürlichen Zahlen und derjenigen der reellen Zahlen (die nachweisbar gleichmächtig mit der Menge aller Potenzmengen aus natürlichen Zahlen ist) keine weitere unendliche Menge mit dazwischen liegender Mächtigkeit.

    Nach der verallgemeinerten Kontinuumshypothese gilt das auch für die folgenden Aleph-Mengen, d.h. man kann die nächstgrößere Aleph-Kardinalität erreichen, indem man die Menge aller Potenzmengen der betrachteten Grundmenge bildet. Dann wäre die nächste Unendlichkeit jenseits derjenigen der reellen Zahlen die Menge aller Potenzmengen der reellen Zahlen usw. Falls die verallgemeinerte Kontinuumshypothese stimmt.

  90. #91 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin Hierzu schreibt auch B. Russell in “Introduction to mathematical philosophy”:
    “Mathematical induction […] might be stated as […] ‘what can be inferred from next to next can be inferred from first to last’. This is true when the number of intermediate steps between first and last is finite, not otherwise.”

  91. #92 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Was genau ist n_1? Irgendeine Zahl? Und n_(i+1) auch irgendeine Zahl? Verstehe die Konstruktion nicht.

    Damit habe ich per Induktion bewiesen, dass jede Liste natürlicher Zahlen nicht alle natürliche Zahlen enthält.

    Nein, höchstens auf diese Weise iterativ konstruierte (über die normale Nachfolgerfunktion kannst Du die Liste aller natürlichen Zahlen erzeugen, die enthät definitionsgemäß alle natürlichen Zahlen). Ob das aus dem Konstruktion folgt, kann ich aber nicht beurteilen, wie gesagt, ich habe die Konstruktion noch nicht verstanden. Sieht aber ein bisschen so aus, wie der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die dort verwendete Vorschrift erzeugt unendlich viele Primzahlen, aber bei weitem nicht alle.

  92. #93 Captain E.
    5. Januar 2018

    @Alderamin:

    […]

    Das Pauli-Prinzip verbietet identischen Fermionen (Elektronen und Quarks gehören dazu) den gleichen Quantenzustand einzunehmen. Wenn man sie auf immer kleineren Raum zusammendrängt, werden sie wegen der Heisenbergschen Unschärferelation (Ort ist sehr scharf, dann muss Impuls sehr unscharf sein) notwendigerweise immer schneller (relativistisch schnell), was einen Gegendruck erzeugt. Wenn alle Quantenzustände besetzt sind, kann der Gegendruck nicht mehr steigen (Entartungsdruck). Bei weißen Zwergen bilden die Elektronen den Entartungsdruck und stabilisieren den Stern unterhalb von 1,4 Sonnenmassen, darüber hinaus werden die Elektronen in die Protonen gedrückt und wandeln sich durch inversen Beta-Zerfall zu Neutronen und Elekton-Neutrinos, der Kern des weißen Zwergs kollabiert zu einem Neutronenstern (die Hülle explodiert als Typ Ia-Supernova).

    […]

    Heißt das nicht normalerweise immer, dass bei einer Supernova vom Typ Ia ein Weißer Zwerg explodiert und absolut nichts übrig bleibt, das man auch nur irgendwie “Stern” nennen könnte?

  93. #94 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    (Keine Liste enthält alle natürlichen Zahlen!)

    Denkfehler, denn: Die (abzählbare) Liste der natürlichen Zahlen sind die natürlichen Zahlen mit der 0-ten = 0 , ersten = 1 ,… n-te = n usw. (wem’s beliebt mag bei 1 statt 0 beginnen).
    Versuch mal deinen “Beweis” klar zu strukturieren nach:
    “Ich behaupte A(n) gilt für alle n (aus N) ab einem bestimmten Anfangswert” (Bsp: 2^n > n^2 für n ≥ 5)
    Beweis:
    A_0: Zeige Behauptung gilt für einen Anfangswert n_0 (Bsp: 2^5 > 5^2 ; n_0 =5)
    A_1 : Induktionsannahme A(n) gilt für alle k mit n_0 ≤ k ≤ n ; es wird also angenommen das bspw A(n) gilt für 2^(57) > 57^2 ohne das dies “nachgerechnet” werden muß.Das n ist also beliebig aber fest gewählt.
    A_2 : Induktionsschritt (n → n+1) Zeige das mit Induktionsannahme A(n) die Gültigkeit von A(n+1) gilt. (bsp. 2^(n+1)= 2^n +2^n ≥ n^2+n^2 ≥ (n+1)^2 da 2n+1 < n^2 wenn n ≥ 4)

  94. #95 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin @StefanL n_1 ist irgendeine natürliche Zahl. Und damit ich auch wirklich alle abzähle, kann ich zusätzlich fordern, dass jedes n_i ungleich n_j für i ungleich j. Oder meinetwegen n_1=0, n_2=1 usw.
    @StefanL Ich bezweifle, dass in meinem Beweis ein Denkfehler ist, abgesehen davon dass Induktion nur für endliche Deiner n (bzw. bei mir i) gültig ist.

  95. #96 tomtoo
    5. Januar 2018

    @MartinB
    Der arme OZ, das war ja auch noch eine Frage die er beantworten musste. Und einfrieren , nö mag ich nicht. Hoffentlich ist das Buch schööön unmathematisch. : )

  96. #97 StefanL
    5. Januar 2018

    @Alderamin

    Es sind abzählbar viele[Kardinalzahlen(?), Ordinalzahlen(?)], die über die Aleph-Funktion definiert sind.

    Woraus schließt du das?

  97. #98 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Ich bezweifle, dass in meinem Beweis ein Denkfehler ist.

    Na dann sollte es dir ja noch einfacher fallen deinen (Induktions-)Beweis strukturiert zu formulieren.

  98. #99 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Ok, n_1 ist irgendeine natürliche Zahl.
    Über n_1,
    n_2 ≠ n_1,
    n_3 nicht aus {n_1, n_2},
    …,
    n_(i +1)} nicht aus {n1, n2, …, n_i}
    baust Du Dir irgendein beliebige, sicher nicht komplette Teilmenge der natürlichen Zahlen zusammen.

    Mit d_i = ∑(j=1..k) (n_1+n_2+n_k) aus der k-ten Menge erhälst Du eine Zahl, die nicht in der Menge enthalten ist.

    Habe ich damit alles wiedergegeben?

    Ja, so eine Zahl ist nicht in der Menge drin. Aber das zeigt ja nur, dass Deine Konstruktion nicht alle natürlichen Zahlen enthält. So, wie in dem Primzahlenbeweis nicht alle Primzahlen erzeugt werden. Es ist die Konstruktionsvorschrift irgendeiner Teilmenge.

  99. #100 Alderamin
    5. Januar 2018

    Ups, Korrekturen:

    @Wizzy

    Ok, n_1 ist irgendeine natürliche Zahl.
    Über n_1,
    n_2 ≠ n_1,
    n_3 nicht aus {n_1, n_2},
    …,
    n_(i +1) nicht aus {n1, n2, …, n_i}
    baust Du Dir irgendeine beliebige, sicher nicht komplette Teilmenge der natürlichen Zahlen zusammen.

    Mit d_k = ∑(j=1..k) (n_1+n_2+…+n_k) aus der k-ten Menge erhälst Du eine Zahl, die nicht in der Menge enthalten ist.

    Habe ich damit alles wiedergegeben?

    Ja, so eine Zahl ist nicht in der Menge drin. Aber das zeigt ja nur, dass Deine Konstruktion nicht alle natürlichen Zahlen enthält. So, wie in dem Primzahlenbeweis nicht alle Primzahlen erzeugt werden. Es ist die Konstruktionsvorschrift irgendeiner Teilmenge.

  100. #101 Alderamin
    5. Januar 2018

    @StephanL

    Woraus schließt du das?

    Aus der Definition der Aleph-Kardinalzahlen, die werden ja analog zu den natürlichen Zahlen mit einer Nachfolgerfunktion definiert.

    Oder weißt Du da mehr?

  101. #102 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Meine Listen können doch auch n_1=0, n_2=1 usw. aufgebaut werden. Außerdem wird auch bei Cantor irgendeine ungeordnete Liste reeller Zahlen verwendet. Der Witz bei Cantor ist doch, dass sein Argument für alle Listen gilt. Meines auch, es ist analog konstruiert.

  102. #103 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Cantor kann auch rein als Konstruktionsvorschrift neuer reeller Zahlen gelesen werden (nicht als Überabzählbarkeit). Du müsstest schon den Unterschied Cantor – Mein Induktionsbeweis herausarbeiten.

  103. #104 Wizzy
    5. Januar 2018

    …und die Gültigkeit meines Induktionsbeweises scheitert nur, wenn der Übergang der vollständigen Induktion in n bzw. i—> unendlich scheitert. Die Induktion (wie z.B. von StefanL oben beschrieben) funktioniert nicht im Grenzfall gegen unendlich. Sonst kann ich das außerhalb der Liste liegende Element d (entsprechend bei Cantor der Diagonalzahl) auch für Listen der natürlichen Zahlen konstruieren.

  104. #105 MartinB
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Ich sehe das Problem darin, dass Du eine unendliche Summe von natürlichen Zahlen betrachtest, die nicht konvergiert und deren Wert damit beliebig bzw. beliebig unsinnig ist.
    https://plus.maths.org/content/when-things-get-weird-infinite-sums
    Der Diagonalbeweis funktioniert ja bereits perfekt mit allen Zahlen zwischen Null und Eins.

  105. #106 StefanL
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Der Punkt ist, dass “Nachfolger” ja nicht auf “+1” im Sinne der Abzählbarkeit beschränkt ist, sondern sich auf die Wohlordnung(Auswahlaxiom) der Aleph_alpha bezieht die durch die ordinalen ω_(…) von denen ja schon zwischen Aleph_0 und 2^Aleph_0 überabzählbar viele existieren.
    Insofern kann aus der Succesor-Definition/Existenz keinesfalls auf Abzählbarkeit geschlossen werden. Das wird doch durch \aleph_{\alpha +1}=\aleph_{\alpha}^{+} (cf.) ausgedrückt: “Der Nachfolgerzu Aleph_(“alpha+1″) ist Aleph(_alpha)^+”.

  106. #107 Wizzy
    5. Januar 2018

    @MartinB
    Mag sein, aber gegen welchen Wert konvergiert Cantors Diagonalzahl? Ist seine Diagonalzahl denn nicht auch beliebig unsinnig?

  107. #108 Wizzy
    5. Januar 2018

    @MartinB
    Cantor gibt eine Konstruktionsvorschrift für die Diagonalzahl an, die unendlich viele Schritte zu ihrer Ausführung benötigt. Ich gebe eine Konstruktionsvorschrift an, die unendlich viele Schritte benötigt. Beide Vorschriften sind leicht einzusehen, wenn man sie mit endlich vielen Listeneinträgen vergleicht. Aber bei unendlich vielen?

  108. #109 StefanL
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Nachtrag: aus der Wohlordnung auf Abzählbarkeit zu schließen würde ja dann auch bedeuten, dass aus der Wohlordnung(und damit eine Nachfolger-Definition) der reellen Zahlen ihre Abzählbarkeit folgen würde.

  109. #110 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Cantor kann auch rein als Konstruktionsvorschrift neuer reeller Zahlen gelesen werden (nicht als Überabzählbarkeit).

    Der Witz ist, das die Konstruktion des Beweises vorsieht, dass die Liste alle reellen Zahlen enthalten soll, und man kann ja jede reelle Zahl auch so hinschreiben, wie die Liste es vorsieht. Dann aber konstruiert Cantor eine Zahl, die nicht in der Liste sein kann, also enthält die Liste nicht alle reellen Zahlen, und das ist ein Widerspruch, der dadurch aufgelöst wird, dass man so eine Liste nicht aufstellen kann.

    Deine Teilmengen enthalten aber nicht alle natürlichen Zahlen, Du findest nur für jede beliebige Menge an natürlichen Zahlen jeweils eine, die noch nicht in der Liste drin ist. Alles, was Du zeigst ist, dass es unendlich viele natürliche Zahlen geben muss, denn egal wie groß Deine Menge wird, Du findest immer eine Zahl, die nicht drin ist. Das ist ganz analog zum Primzahlbeweis, der aus allen schon konstruierten Primzahlen immer noch eine weitere findet, die größer ist. Aber eben nicht alle Primzahlen insgesamt! Und Deine Konstruktion findet auch nicht notwendig alle natürlichen Zahlen (nur wenn Du sie weiter einschränkst).

    Und Cantor findet auch nicht alle reellen Zahlen. Er findet nur für jede denkbare Liste aller reellen Zahlen eine, die nicht drin ist, also gibt es eine solche Liste nicht.

    Wenn Du eine Liste aller natürlichen Zahlen konstruieren willst und dazu eine natürliche Zahl finden willst, die nicht drin ist, musst Du aus der Liste {1, 2, …} (ohne größtes Element) eine Zahl konstruieren, die nicht enthalten ist. Das leistet Deine Konstruktion aber nur für endliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

  110. #111 MartinB
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Nein, Cantors Diagonalzahl konvergiert zwangsläufig gegen eine Zahlzwischen Null und 1 und je weiter du nach unten gehst, um so kleiner wird ja die Änderung der Zahl, die Cantos-Kosntruktion konvergiert also zwangsläufig, deine nicht.

    Und wie gesagt, das Problem deiner Konstruktion ist nicht, dass sie unendlich viele Schritte benötigt, sondern, dass jeder Schritt das Ergebnis stärker ändert als der Schritt davor, weswegen das ganze nicht konvergieren kann. Cantors Prozedur dagegen ändert im 1 Schritt die 1. Stell, im 1000. nur noch die 1000. Stelle hinter dem Komma.

  111. #112 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Das sehe ich nicht ein, meine Liste enthält alle Zahlen. Wenn Cantor die mit r1, r2, … hinschreiben darf, warum dann nicht ich? Wenn Cantor nur eine Vorschrift angeben muss, die man niemals konkret zu Ende führen kann, und bei der keine konkrete Zahl herauskommt, warum dann nicht ich? Seine Vorschrift ist meines Erachtens nur für endliche k (Stellen, an denen man vergleicht) gültig. Sobald man eine sehr weit unten in der Liste liegende Zahl mit der Diagonalzahl vergleicht (k—>unendlich), geht der garantierte Unterschied Listenzahl-Diagonalzahl gegen Null.

  112. #113 Wizzy
    5. Januar 2018

    @MartinB
    Wenn Du sagst, sie konvergiert, dann sage ich, ja, gegen eine in der Liste bereits aufgezählte Zahl. Damit wäre die Diagonalzahl aber keine neue Zahl.

  113. #114 MartinB
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Da sich Cnators Zahl von jeder in der Liste unterscheidet, kann sie nicht drin sein.

    Im übrigen ist es logisch nicht besonders konsistent, gleichzeitig zu sagen, dass
    1. du Cantors Konstruktion übernehmen kannst und damit eine natürliche Zahl konstruieren kannst, die nicht aufgelistet werden kann (was wie erläutert falsch ist, weil deine Konstruktion nicht konvergiert, zwangsläufig zum Ergebnis unendlich führt und unendlich keine natürliche Zahl ist) und gleichzeitig
    2. dass Cantors Logik in Wahrheit gar nicht funktioniert.

  114. #115 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Cantor gibt eine Konstruktionsvorschrift für die Diagonalzahl an,

    Das wesentliche in der Cantorschen Behauptung ist aber nicht die Konstruktion dieser Diagonalzahl sondern das falls sich die reellen Zahlen (des Intervalls (0,1)) gemäß einer den natürlichen Zahlen entsprechenden Auflistung (was sich trivialer weise mit den natürlichen Zahlen sich selbst gegenüber durch die Identität als Abbbildung bewerkstelligen läßt) anordnen lassen würden so wird diese Annahme durch die Konstruktion einer zusätzlichen reellen Zahl (im Intervall) widerlegen. Schwerlich möglich im Falle der Liste der natürlichen Zahlen definiert durch die Identität der selben.

  115. #116 Alderamin
    5. Januar 2018

    @StefanL

    Du hast recht, es gibt überabzählbar viele Unendlichkeiten, ich war davon ausgegangen, dass diese nur über die Nachfolgerfunktion gebildet werden (ich hatte im Kopf, dass die Kardinalzahlen abzählbar sein müssten), aber es gibt andere Konstruktion. Dem Wiki-Artikel konnte ich da nicht folgen, aber diesem hier:

    https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2000%20Band%2032/Goldstern2000.pdf

    Da steht es auch explizit so drin (Beth-Konstruktion der Menge B, S. 69).

  116. #117 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL
    Es wäre vermutlich sinnvoll, wenn man sich einig werden könnte dass die natürlichen Zahlen auf sich selbst abgebildet werden können (wobei, im Unendlichen, wer weiß?). Ich meine aber, dass man mit denselben “logischen” Werkzeugen, die man für Cantors Beweis braucht, dann auch die Überabzählbarkeit von N hinbekommt.

    Konkret darf ich behaupten, meine reelle Liste enthalte als erstes Element r_1 = Pi-3 und als alle weiteren Elemente r_i, i>1 die “reduzierte Diagonalzahl” der Elemente r_1 bis r_i, deren Konstruktion stets bei i abgebrochen wird. Für i–> infinity geht d—>r_i und damit steht die Diagonalzahl auf der abzählbaren Liste. q.e.d. (die Liste muss nicht vollständig sein, es reicht dass sie abzählbar ist und die Diagonalzahl kein neues Element hervorbringt).

  117. #118 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Was mich daran stört, ist, dass Du, um meine Konstruktion abzulehnen, einen besonderen Schritt machst, und zwar den Übergang ins Unendliche. Für alle endlichen Listen akzeptiert ja jeder die Konstruktion eines weiteren Elementes, da sind sich alle einig.

    Man geht also her und sagt: “Ja, aber für i—> unendlich konvergiert das Ding doch gar nicht.”

    Okay, meinetwegen, aber für i—> unendlich konstruiert Cantor auch keine “neue” Zahl mehr. Da muss auch bei Cantors Beweis ein Extra-Schritt her, eine Überprüfung ob die “endliche Logik” wirklich im Unendlichen noch gilt. Und diese Extra-Überprüfung beantworte ich mit (aus meiner Sicht guten Gründen) mit “Haut nicht hin”.

  118. #119 Wizzy
    5. Januar 2018

    Konkreter “Haut nicht hin” #117 @StefanL

  119. #120 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Es gibt bei den natürlichen Zahlen ja keinen Übergang ins Unendliche. Alle sind endlich.

    In Cantors Liste gibt es auch keinen Übergang ins Unendliche, die Zahlen sind von vorneherein alle unendlich lang. Die Konstruktion verlangt, dass Du unendlich lange Ziffer für Ziffer eine Zahl findest, die sich von der ersten unterscheidet, von der zweiten, etc. (und die Liste ist unendlich lang, die Dezimalbruchentwicklungen sind es auch).

    Die cantorsche Konstruktion hört nicht bei der i-ten Ziffer auf und betrachtet dann Zahlen der Länge i+1. Wenn Du die Liste nämlich so konstruieren würdest, hättest Du immer nur rationale Zahlen drin, die Du durch Multiplikation mit 10^i auf ganze Zahlen abbilden könntest. Dann würde der Beweis nicht funktionieren. Und deswegen funktioniert Deiner auch nicht.

  120. #121 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Was irritiert dich an id(n)=n ?
    Woher denkst du kommt die Begrifflichkeit “abzählbar”? Etwa daher, dass die natürlichen Zahlen nicht zum Abzählen taugen?

    Konkret darf ich behaupten,

    Sicherlich, allein für die Tragfähigkeit der Behauptung bedarf es mehr. Was möchtest du uns mit deinem “d → r_i” sagen. Wie sieht d denn aus (Definition/Konstruktion bitte Details , vielleicht ein konkretes Beispiel?). Und mit Π -3 zu beginnen? Wir wissen doch schon das ℜ überabzählbar ist.

  121. #122 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Ich schrieb gar nichts über die Länge der Zahlen in Ziffern. Pi-3 hat kein Ende, und alle meine Diagonalzahlen r_2 … r_i haben kein Ende. Ich schrieb über die Konstruktion einer Diagonalzahl einer endlich langen Liste reeller Zahlen und über den Übergang zu einer unendlich langen Liste reeller Zahlen. Diesen Übergang muss man sehr wohl machen, in jedem Fall wie die mathematisch Fachliteratur auch sagt, bei Induktionsbeweisen. Meine Induktion hast Du ja auch nicht akzeptiert, die Konvergenzbetrachtungen sind ja schon ein Verwerfen der Induktion.

  122. #123 Alderamin
    5. Januar 2018

    Mal zum Nachdenken:

    Angenommen, man nehme die Zahl Pi in kompletter Länge und radiere am Anfang “3,” weg. Was dann übrig ist, ist das eine natürliche Zahl? Nein, ist es nicht. Sie wäre unendlich lang, man käme über keine Nachfolgerfunktion an sie heran und könnte auch nichts dazu addieren, man würde nie das Ende finden. Das unterscheidet die Dezimalbruchentwicklung der reellen Zahlen wesentlich von den natürlichen Zahlen.

  123. #124 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL
    In #117 konstruiere ich die Diagonalzahl d wie Florian oben im Haupttext.

    Ich gebe mal ein Beispiel:
    r1=0,14159…
    r2=0,34159…
    r3=0,13159…
    r4=0,14359…

    Bei diesem Beispiel strebt d—>r1.

  124. #125 Wizzy
    5. Januar 2018

    Ah nein, ich revidiere:
    r1=0,14159…
    r2=0,34159…
    r3=0,33159…
    r4=0,33359…

    d strebt –> r_i so hatte ich es ja auch oben beschrieben.

  125. #126 Wizzy
    5. Januar 2018

    @#123
    Ja schon, aber das hilft mir nicht. Wie soll es helfen?

  126. #127 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Ich schrieb gar nichts über die Länge der Zahlen in Ziffern.

    Doch, Du schriebst am Anfang, Deine n_i seien natürliche Zahlen, und die sind alle endlich lang.

    Pi-3 hat kein Ende,

    Ok, jetzt kommt eine unendlich Zahl als erstes Element, sollen jetzt alle Zahlen unendlich lang sein? Über welche Menge reden wir denn dann noch? Was ist jetzt die Behauptung? Die natürlichen Zahlen haben wir ja schon verlassen (obwohl wir die Mengen immer noch auf die ganzen Zahlen abbilden können, sie bleiben abzählbar)

    Ich hatte oben in #100 zusammengefasst, wie ich Deinen Beweis verstanden hatte. Wenn das nicht stimmt, habe ich ihn nicht verstanden. Ich weiß nicht die Behauptung und verstehe die Konstruktion nicht.

  127. #128 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Meine Behauptung ist, Cantors Diagonalzahl ist nur bei endlich langen Listen von reellen Zahlen nicht Bestandteil der Liste, bei unendlich langen Listen ist sie (zuweilen) Bestandteil der Liste. Und mein Argument ist, dass Induktion nur für beliebig große, aber endliche Indizes funktioniert. Also kann ich nur für r_k (reelle Zahlen auf Cantors Liste) mit endlichem k zeigen, dass r_k ungleich d (Cantors Diagonalzahl). Ich kann dies aber nicht zeigen für k—> unendlich (abzählbar unendlich viele reelle Zahlen), das würde ich aber brauchen.

  128. #129 Metalgeorge
    5. Januar 2018

    @Wizzy #88
    Ich sehe das Problem deines Ansatzes darin,
    dass er mathematisch einfach nicht korrdekt formuliert ist, d.h. nicht eindeutig.
    So ist er schwer zu verstehen und lässt anscheinend sehr viel Spielraum für Interpretationen.
    Siehe @StefanL #94 und @Aldemarin #100.

  129. #130 rolak
    5. Januar 2018

    Meine Behauptung ist

    Formulier Deine Behauptung doch mal mathematisch aus, Wizzy, dann kann darüber geredet werden. Bis dahin sind Kommentare wie #124 einfach nur im Bereich komplett falsch bis völlig losgelöst vom Thema.

  130. #131 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    bei unendlich langen Listen ist sie (zuweilen) Bestandteil der Liste.

    Ja, wenn es eine vollständige überabzählbare Liste (von ℜ ) ist.
    Im Falle abzählbarer Listen eben nicht.
    Das “Problem” an dem das scheitert ist, dass es zwar einleuchtend ist, dass es eine Wohlordnung auf ℜ gibt, also ganz klar entschieden werden kann, ob r_1 &lt r_2 (oder umgekehrt) ist aber es ist nicht möglich den Nachfolger (bspw. zu Π -3) bzgl. dieser Ordnung anzugeben

  131. #132 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Metalgeorge
    Ja, Du hast recht. Und danke für das Interesse :-) Ich werde an meinen mathematischen Ausdrucksmöglichkeiten feilen.
    Allerdings habe ich dieses Problem auch schon mit zwei promovierten Mathematikern diskutiert (wobei sie beide sagten, sie stünden fachlich ganz woanders, aber von einem der beiden habe ich die Aussage über die vollständige Induktion die nur im “Finiten” gilt und die ich oben auch aus B. Russell zitierte – und der andere hat mir ein ganzes Blatt vollgeschrieben, dass mir zunächst sehr plausibel erschien – leider habe ich es über die Jahre verloren und bin daher nun zu meiner vorherigen Meinung zurückgefallen :/ ).

  132. #133 StefanL
    5. Januar 2018

    ….soll heißen:
    …. r_1 < r_2 ….

  133. #134 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL

    Klingt sehr plausibel, aber klärt mE nicht Cantors 2. Diagonalargument.

    @rolak
    Das finde ich jetzt unfair, dass Du einen Kommentar von mir aufführst, den ich gleich darauf selbst verworfen habe. Insbesondere da #125 eben konsistent mit #117 ist und der fehlerhafte #124 nur entstand als ich auf Anfrage netterweise exemplarisch geworden bin.

  134. #135 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Metalgeorge
    Ja, Du hast recht. Und danke für das Interesse. Ich werde an meinen mathematischen Ausdrucksmöglichkeiten feilen.
    Allerdings habe ich dieses Problem auch schon mit zwei promovierten Mathematikern diskutiert (wobei sie beide sagten, sie stünden fachlich ganz woanders, aber von einem der beiden habe ich die Aussage über die vollständige Induktion die nur im “Finiten” gilt und die ich oben auch aus B. Russell zitierte – und der andere hat mir ein ganzes Blatt vollgeschrieben, dass mir zunächst sehr plausibel erschien – leider habe ich es über die Jahre verloren und bin daher nun zu meiner vorherigen Meinung zurückgefallen :/ ).

  135. #136 jere
    5. Januar 2018

    Und mein Argument ist, dass Induktion nur für beliebig große, aber endliche Indizes funktioniert.

    Ja, aber “beliebig groß” heißt hier unendlich, also eben “nicht endlich: es gibt keine endliche zahl, ab der das nicht mehr gilt”. Die Indizes selbst sind endlich, aber es gibt unendlich viele davon. Jede Nachkommastelle ist indiziert mit einer natürlichen Zahl. (Davon gibt es unendlich, also auch umendlich viele Nachkommastellen). Für jede beliebige natürliche Zahl i kennst du die Ziffer an der i-ten Stelle. Also kennst du alle Nachkommastellen.

    Eine reele Zahl zwischen 0 und 1 ist eindeutig* identifiziert über die Folge ihrer Nachkommastellen. Cantor hat so eine Folge definiert (im Sinne von “will ich wissen, was die 19372566te Stelle hinter dem Komma ist, weiß ich genau, wie ich das erfahre), also hat er auch eine reele Zahl gefunden.

    Bei deinem analogen Argument für die natürlichen Zahlen hast du aber keine neue natürliche Zahl gefunden. Eine beliebige Summe ist nicht unbedingt eine natürliche zahl. Das gilt nur für eine endliche Summe. Das ist letztlich der Grund dafür, warum es “so viel mehr” reele zahlen gibt, als natürliche oder rationale: gewissermaßen sind natürliche Zahlen “endliche objekte” und reele Zahlen “unendliche Objekte”. Soll heißen: mit einer beliebigen Folge definiere ich mir immer eine reele Zahl, mit einer beliebigen Summe aber keine natürliche Zahl.

    *abgesehen von der 0.99999 Sache, die wir oben schon hatten.

  136. #137 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere #136
    Meines Erachtens widerspricht sich Dein ““beliebig groß” heißt hier unendlich” und “Eine beliebige Summe ist nicht unbedingt eine natürliche zahl. Das gilt nur für eine endliche Summe.”

    Mein analoges Argument ist mittels vollständiger Induktion bewiesen. Diese vollständige Induktion wurde mit Argumenten verworfen “konvergiert nicht, ist [angeblich] keine natürliche Zahl”, die diese vollständige Induktion offensichtlich zunichte machen.

    Dann möchte ich fairerweise wissen, warum mein #117 nicht Cantors Argument zunichte macht. Wie kann mir jemand beweisen, dass wirklich _jede_ reelle Zahl nicht der Diagonalzahl identisch ist, und zwar auch dann wenn die Elemente der Liste r_k explizit nicht finit in der Anzahl k bleiben (k—>unendlich). Mit anderen Worten: Finite k genügen nicht, denn meine finite Induktion genügte nicht.

  137. #138 jere
    5. Januar 2018

    Wie kann mir jemand beweisen, dass wirklich _jede_ reelle Zahl nicht der Diagonalzahl identisch ist, und zwar auch dann wenn die Elemente der Liste r_k explizit nicht finit in der Anzahl k bleiben (k—>unendlich).

    Zunächst: Das Argument ist ein Widerspruchsbeweis, also leben wir für den nächsten Absatz in einer Welt, in der es eine konkrete Auflistung aller reelen Zahlen gibt. (Das ist nicht unserere Welt, aber das ist ja der punkt bei einem Widerspruchsbeweis):
    Du gibst mir eine reele Zahl r. Ich gehe die Liste aller reelen Zahlen durch und finde irgendwo, sagen wir bei Index 104124152 r. Dann zeige ich dir den 104124152ten Index von r und den selben Index von der Diagonalzahl (den ich leicht berechnen kann, das ist ja 3, falls das bei r nicht 3 ist, und 4 sonst). Die beiden Indizes sind aber verschieden, und damit ist r ganz sicher nicht die Diagonalzahl. Das geht aber für jede reele Zahl r, die du mir geben kannst, also gilt das für alle.
    (Wenn dir das lieber ist, kannst du das auch als Widerspruchsbeweis auffassen: Angenommen, es gäbe r, so dass r gleich der Diagonalzahl wäre. Dann könnte ich dir aber wie oben zeigen, dass die beiden nicht gleich sind, also Widerspruch. Also kann es sowas nicht geben).

    Meines Erachtens widerspricht sich Dein ““beliebig groß” heißt hier unendlich” und “Eine beliebige Summe ist nicht unbedingt eine natürliche zahl. Das gilt nur für eine endliche Summe.”

    Eine endliche Summe ist aber nicht beliebig groß. Eine natürliche Zahl kriege ich nur, wenn ich irgendwann aufhöre. Dann habe ich aber konkrete Anzahl an Summanden, vielleicht eine Million. Egal wann ich aufhöre, ich kriege immer eine natürliche Zahl. Aber wenn ich nicht aufhöre (so wie in deinem Argument), dann kriege ich keine natürliche Zahl mehr. (Das sieht man ganz ähnlich wie oben: Angenommen, meine Summe wäre eine natürliche Zahl n. Da ich nicht aufhöre, zu addieren, addiere ich sicher auch mindestens n+1 mal (sonst hätte ich ja davor aufgehört). Jeder Summand war aber mindestens 1, also ist die Summe sicher größer als n. Das ergibt einen Widerspruch, also kann es kein n geben, das der Wert der Summe ist).

    Nochmal: Der Knackpunkt ist, dass jede unendliche (also “nicht aufhörende”) Folge von Nachkommastellen einer reelen Zahl entspricht, aber nicht jede unendliche Summe einer natürlichen Zahl. Deswegen funktioniert das Diagonalargument, aber das Analogon bei den natürlichen Zahlen nicht.

  138. #139 rolak
    5. Januar 2018

    unfair

    Ja meine Güte, Wizzy, es geht um Dein Schreiben ab dieser #. Gehst Du tatsächlich davon aus, daß hier bei 10 Dutzend und 4 das Lesen eingestellt wurde? Immerhin fehlt in #125 der wesentliche Einleitungssatz…

    Die dort nach Florians CantorRezept auftauchende Zahl stimmt mit keiner der Zahlen in deiner Folge überein; für jedes i∈&Nopf; ist Deine Behauptung “d strebt –> r_i” schlicht falsch; es geht bei Cantor nicht um “streben nach” sondern um “identisch sein”.
    Auch unfair?

  139. #140 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere
    Meines Erachtens benutzt Du bei diesem Widerspruchsbeweis aber implizit nur “endliche Listen”. Denn in einer unendlichen Liste dürfte der Index einer Zahl r auch mal unendlich groß werden, wobei dann r-d Null werden könnte.

  140. #141 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere
    Meine vollständige Induktion gilt auch für jede beliebig lange Liste, und für jedes i dass Du mir gibst, kann ich Dir zeigen, dass d_(natürlich) Element der natürlichen Zahlen ist. Dort ändert sich aber etwas für i—> unendlich. Daher denke ich, muss Dein Widerspruchsbeweis auch für Indizes —> unendlich gelten, was mE nicht der Fall ist.

  141. #142 jere
    5. Januar 2018

    Denn in einer unendlichen Liste dürfte der Index einer Zahl r auch mal unendlich groß werden

    Nein, genau das meinte ich mit “unendlich heißt beliebig groß”. Auch in einer unendlich langen Liste (=Folge) ist jeder Index endlich. Was die Liste unendlich macht, ist, dass es keinen größten Index gibt. Es gibt ja auch unendlich viele natürliche Zahlen (jede davon ist endlich), aber “unendlich” ist keine natürliche Zahl. Unendlich heißt ja gerade “nicht endlich”, also einfach “für jede endliche Zahl n gilt: n ist nicht die Anzahl der Indizes (weil auch n+1 ein Index ist). Trotzdem ist jeder Index selbst eine endliche Zahl.

  142. #143 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    aber klärt mE nicht Cantors 2. Diagonalargument.(#133)

    Dann bleibt dir aber nur den Wohlordnungssatz zu verwerfen. Mit allen Konsequenzen auch der dann erst recht völligen Sinnlosigkeit eines Versuches der Konstruktion einer größten natürlichen Zahl (mit nicht endlicher Ziffernfolge) wie du es mit deinem (bis jetzt immer noch nicht sauber formulierten) “Induktionsbeweises” andeutest(?).(Hinweis: sup_N { n } = ω ∉ N ; auch transfinite Induktion ändert da nichts )
    Die Konsequenz ist dann aber trotzdem nicht die Überabzählbarkeit der natürlichen Zahlen und nur, dass das 2. Cantorsche Diagonalargument ungeeignet ist die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zu zeigen.

  143. #144 Wizzy
    5. Januar 2018

    @rolak

    r1=0,14159…
    r2=0,34159…
    r3=0,33159…
    r4=0,33359…
    d=0,33333…
    (Anm.: d, da ab und zu …4.., ist irrational)

    Ich runde mal:
    |d-r_1|=0,2
    |d-r_2|=0,01
    |d-r_3|=0,002

    |d-r_i|≡0 für i—> unendlich

  144. #145 Alderamin
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Meine Behauptung ist, Cantors Diagonalzahl ist nur bei endlich langen Listen von reellen Zahlen nicht Bestandteil der Liste, bei unendlich langen Listen ist sie (zuweilen) Bestandteil der Liste. Und mein Argument ist, dass Induktion nur für beliebig große, aber endliche Indizes funktioniert.

    Dann bleiben wir doch erst mal bei Cantor und zeigen die Richtigkeit:

    Cantor ist gar keine Induktion, er folgert ja nicht von n auf n+1, sondern er betrachtet jede Ziffer für sich.

    Die Konstruktion der Diagonalzahl stellt sicher, dass sie verschieden von jeder in der Liste sein muss. Sie ist nicht gleich der ersten Zahl, weil sie in der ersten Nachkommastelle von ihr abweicht. Sie ist auch nicht gleich der zweiten Zahl, weil sie in der zweiten Nachkommastelle von ihr abweicht. Usw. Bei einer abzählbaren Liste wäre sie also ungleich jeder Zahl in der Liste. Egal, wie die Liste aufgestellt wird. Vorausgesetzt wird nur, dass man jede reelle Zahl zwischen 0 und 1 als unendliche Dezimalziffernfolge aufschreiben kann.

    Dazu muss sie auch notwendig unendlich lang sein – wäre sie nur endlich lang, dann wäre sie nur rational und ich könnte eine Liste erstellen, die einfach alle Zahlen dieser Länge enthält und abzählt, denn das wären alles rationale Zahlen, die sind abzählbar (sagen wir, i Nachkommastellen, dann dividiere ich einfach alle Zahlen von 1 bis 10^i-1 durch 10^i und fertig ist die Liste). Dann kannst Du die Diagonalzahl nicht konstruieren: etwa für i=3 (0,001, 0,002, 0,003…0,999), die erste Ziffer der Diagonalzahl wäre die 1 (wegen 0,001), die zweite auch (wegen 0,002), die dritte wäre die 4 (wegen 0,003), aber die 0,114 kommt später noch, und es gibt jetzt leider keine Chance, die konstruierte Zahl in der 114. Stelle von 0,114 verschieden zu machen.

    Weil aber die Zahlen in Cantors Liste alle unendlich lang sind, gibt es kein i, für das ich so eine Liste aufstellen könnte, und ich finde immer eine Möglichkeit, meine neue Zahl verschieden von jeder in der Liste zu machen – die Liste ist ja abzählbar unendlich lang, also kann ich auch abzählbar unendlich viele Ziffern der Diagonalzahl manipulieren. Und das ist der Knackpunkt: mit abzählbar unendlich vielen Ziffern kann ich überabzählbar viele Zahlen schreiben (das bringt uns sofort zur Potenzmenge, denn die Menge aller Zifferndarstellungen mit einer Anzahl von Ziffern ist die Potenzmenge der Ziffernzahl – und die Potenzmenge einer unendlichen abzählbaren Menge ist überabzählbar)

    Beliebig groß und unendlich sind eben verschiedene Dinge.

  145. #146 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL
    Wie ich bereits oben schrieb, erkenne ich doch an, dass die Induktion nicht ins Unendliche mitgeht, aber will das als Argument nutzen um jeres Widerspruchsbeweis (denn man auch per Induktion formulieren kann) im Unendlichen ebenfalls zu verwerfen. Es geht darum dass wohletablierte Beweistechniken im Unendlichen nicht mehr das gleiche Ergebnis liefern, denn für jedes beliebig große endliche i kommt bei mir immer eine natürliche Zahl heraus, womit mein Beweis im Endlichen gültig bleibt.

  146. #147 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Alderamin
    Wenn ich aber abzählbar unendlich viele Ziffern manipuliere, kommt zwangsläufig der Punkt, an dem ich irgendwann ganz weit hinten liegende Ziffern manipuliere. Damit wird der Abstand von möglichen auf der Liste liegenden Zahlen (jene, die sehr ähnlich der Diagonalzahl sind) zur Diagonalzahl immer kleiner, bis er schließlich verschwindet. Daher behaupte ich, die Diagonalzahl steht auf einer abzählbar unendlich langen Liste drauf. Um das zu widerlegen, muss man nun schon ein Verfahren anwenden, dass auch Indizes —> unendlich erlaubt, meiner Meinung nach.

  147. #148 rolak
    5. Januar 2018

    |d-r_i|≡0 für i—> unendlich

    Das hat reineweg garnichts mit Mathematik zu tun, Wizzy, da für jedes einzelne i gilt

    |d-r_i|≠0

    Falls Du meinen solltest \lim_{i\to\infty}\left(d-r_i\right)=0, dann hat das reineweg garnichts mit Cantor zu tun. Denn dort geht es, wie schon deutlich gesagt, nicht um Grenzwerte, sondern um Identitäten.

  148. #149 jere
    5. Januar 2018

    Damit wird der Abstand von möglichen auf der Liste liegenden Zahlen (jene, die sehr ähnlich der Diagonalzahl sind) zur Diagonalzahl immer kleiner, bis er schließlich verschwindet.

    Wie gesagt, dieses “schließlich” gibt es nicht. Jeder Index ist endlich, auch wenn wenn es unendliche viele davon gibt. Also ist auch der Abstand zu einer jeden zahl > 0 (wenn auch seeehr sehr klein*), und damit sind die zwei zahlen verschieden.

    *Da wir ja jede reele Zahl auf der Liste haben, wissen wir für eine konkrete Zahl r auch wie groß: mindestens 10^-i, wobei i die position von r auf der Liste ist. Ja, dieser Abstand geht gegen 0, wird also beliebig klein, aber für eine jede reele Zahl auf der Liste ist er trotzdem >0. Also, und vielleicht liegt hier das Missverständnis: Ich finde für jeden Abstand e eine Zahl r, so dass |r-diagonalzahl|0, so dass |r-diagonalzahl|>e. Beachte, dass die Reihenfolge von “für jedes … gibt es ein …, so dass” umgekehrt ist. Das sind also zwei völlig verschiedene Aussagen. Uns geht es aber um die zweite, da wir für jede reele Zahl wollen, dass sie Abstand >0 von der Diagonalzahl hat. Du scheinst aber an die erste zu denken.

  149. #150 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Induktion (als Beweisschemata) ist eins deiner geringeren Probleme wenn du den Wohlordnungssatz verwirfst.

    jeres Widerspruchsbeweis (denn man auch per Induktion formulieren kann)

    Zeigen!

    …kommt zwangsläufig der Punkt, an dem ich irgendwann ganz weit hinten liegende Ziffern manipuliere. Damit wird der Abstand von möglichen auf der Liste liegenden Zahlen (jene, die sehr ähnlich der Diagonalzahl sind)..

    Wie willst du das machen ohne Wohlordnungssatz?

  150. #151 jere
    5. Januar 2018

    Das muss natürlich heißen (doofes html hat meine kleiner als tags erkannt):

    Also, und vielleicht liegt hier das Missverständnis: Ich finde für jeden Abstand e eine Zahl r, so dass |r-diagonalzahl| kleiner e, aber es gibt auch für jede Zahl r ein e>0, so dass |r-diagonalzahl|>e. Beachte, dass die Reihenfolge von “für jedes … gibt es ein …, so dass” umgekehrt ist. Das sind also zwei völlig verschiedene Aussagen. Uns geht es aber um die zweite, da wir für jede reele Zahl wollen, dass sie Abstand >0 von der Diagonalzahl hat. Du scheinst aber an die erste zu denken.

  151. #152 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere Ja, und warum gibt es das “schließlich” dann sehr wohl, wo meine oben konstruierte Zahl d_(natürlich) von oben nicht mehr natürlich ist? Schließlich ist doch “jeder Index endlich, auch wenn es unendlich viele davon gibt.” Mir erscheint das halt nicht sehr konsistent behandelt.

    “Ja, dieser Abstand geht gegen 0, wird also beliebig klein, aber für eine jede reele Zahl auf der Liste ist er trotzdem >0.”
    Genauso gut könnte ich behaupten, ja mein d_(natürlich) von oben wird beliebig groß, aber jedes d für jedes i bleibt trotzdem natürlich. Wiederum, es scheinen mir beide Fälle nicht konsistent behandelt zu werden.

  152. #153 hmann
    5. Januar 2018

    Alderamin #123,
    Wladimir Andrejewitsch Uspenski (russisch Владимир Андре́евич Успенский; englische Transkription Vladimir Andreevich Uspensky; * 27. November 1930 in Moskau) ist ein russischer Mathematiker, der sich mit mathematischer Logik und Algorithmentheorie beschäftigt.
    Dieser Mensch hat sich eine Methode ausgedacht, wie man bei unendlichen Dezimalbrüchen die letzten Nachkommastellen eines unendlichen Dezimalbruches darstellen kann, aber nicht deren Anfang !
    Ich hatte vor 10 Jahren einmal ein Buch von ihm in der Hand, weiß den Titel aber nicht mehr. Ich glaube es ging über Restklassen.

  153. #154 jere
    5. Januar 2018

    Nocheinmal: Jeder Index ist endlich. Es gibt unendlich viele Indizes. Wenn du etwas für ALLE indizes machen willst, wird das unendlich. Deine Summe und Cantors Diagonalzahl sind beide unendlich (eines hat unendlich viele Summanden, das andere unendlich viele Nachkommastellen). Der Unterschied (aus deiner Perspektive die Inkonsistenz, aber das lässt sich mit etwas mehr Theorie schon sinnvoll begründen) ist einzig und alleine, dass unendliche Summen keine natürlichen Zahlen sind, aber unendliche Folgen dagegen reele Zahlen sind.

    Der unterschied zwischen beiden “schließlich” ist, dass das eine in der Definition passiert, das andere danach:
    Cantor: Ich definiere eine Folge wie oben. Das ist eine reele Zahl, weil jede Folge eine reele Zahl ist. Fertig. Jetzt kann ich für jede beliebige Zahl r in meiner Liste zeigen, dass die beiden nicht gleich sind.
    Summe: Ich definiere mir eine Summe. Ich stelle aber fest, dass diese Summe keine natürliche Zahl ist, da ich für jede natürliche Zahl n (in meiner Liste, aber meine Liste sind per Definition alle natürlichen Zahlen) zeigen kann, dass die beiden nicht gleich sind.

    Das hilft mir aber jetzt nichts mehr, weil ich ja eine natürliche Zahl wollte, die von jeder natürlichen Zahl (in meiner Liste) unterschiedlich ist, nicht einfach nur “etwas”, so wie diese Summe.

  154. #155 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere
    Ich (Perspektive Cantor) will aber zeigen dass die Diagonalzahl für ALLE Indizes von den Listenzahlen abweicht. Ich mache damit etwas für ALLE Indizes. Also “wird das unendlich”. Also hilft es mir nicht, wenn ich irgendetwas (Abstand mit einzelnen Listenelementen >e) für beliebige, aber endliche Indizes zeige. Es geht hier ja nicht darum, dass reelle Zahlen unendliche Folgen sind, sondern dass ich unendlich viele reelle Zahlen mit der Diagonalzahl vergleichen muss, um sicherzustellen, dass auch wirklich alle abweichen. Damit renne ich ins Unendliche, wo der Abstand wahrhaft Null wird und nicht mehr >e. (e seeeehr klein)

  155. #156 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Ich glaube, daß grundsätzliche Mißverständnis von Wizzy ist, daß Zahlen nicht durch ihre Ziffern definiert werden, sondern durch Axiome.

    Die natürlichen Zahlen werden nicht dadurch definiert, daß ich Ziffern hinschreibe, sondern durch die Definition, daß ich beliebig weit zählen kann (vereinfacht ausgedrückt). Ich muß deshalb nicht beweisen, daß bei der vollständigen Induktion alle natürlichen Zahlen erreicht werden Denn die vollständige Induktion ist quasi die Defintion der natürlichen Zahlen. Ich muß statt dessen aber beweisen, daß in jedem Stellenwertsystem gilt, daß es zu jeder natürlichen Zahl genau eine eindeutige Ziffernfolge gibt. Und dabei kommt dann heraus, daß jede dieser Ziffernfolgen endlich ist.

    Deshalb gibt es keine Zahlen, die vor dem Komma unendlich viele Ziffern haben. Deshalb funktioniert das Diagonalargument nicht vor dem Komma, also nicht für die natürlichen Zahlen.

    Die rationalen Zahlen definiere ich als alle Brüche aus natürlichen Zahlen deren negative Werte. Und die rellen Zahlen definiere ich als die Werte von konvergierenden Folgen rationaler Zahlen.

    Keine dieser Definitionen benutzt Ziffern. Die Zahlen sind einfach nur abstrakte Objekte. Die Tatsache, daß ich Zahlen mit Hilfe von Ziffern hinschreiben kann, ist dann immer zu beweisen. Hierbei ergibt sich, daß es bei vielen rationalen Zahlen zwei mögliche Zifferndarstellungen gibt, nämlich eine, die mit Periode-Null endet, und eine, die mit einer Periode der höchsten Ziffer des jeweiligen Stellenwertsystems endet. Wenn ich eine dieser beiden Perioden verbiete, habe ich wieder eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen Zahlen und Ziffernfolgen. Diese Ziffernfolgen können dann (nach hinten) unendlich lang sein.

    Und das ist der wichtige Punkt: Vor dem Komma gibt es bei jeder Zahl nur endlich viele Ziffern. Das Diagonalverfahren würde vor dem Komma also keine Ziffernfolge einer existierenden Zahl erzeugen. Nach dem Komma sind dagegen unendlich lange Ziffernfolgen möglich, deshalb erzeugt das Diagonalverfahren nach dem Komma immer eine existierende Zahl. Und aufgrund der Konstruktionsregel des Diagonalverfahren kann diese Zahl nicht in die aufgelisteten Zahlen enthalten sein.

  156. #157 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Ich habe bei den natürlichen Zahlen diese nicht durch Ziffern ausgedrückt. Meines Erachtens liegt mein Problem woanders, und zwar beim Übergang von formalen Logiken zum Unendlichen. Ich sehe derzeit nicht ein, dass man das aus meiner Sicht im einen Fall so (vollständige Induktion ist nicht von endlichen Listen auf eine unendliche erweiterbar), im anderen Fall anders (Widerspruchsbeweis genügt mit endlichen Indizes, obwohl beim Übergang des Index gegen unendlich der Widerspruch verschwindet) handhabt.

  157. #158 jere
    5. Januar 2018

    @Wizzy: Eine Aussage “für alle x aus X” zeigt man in der Mathematik, in dem man es für ein beliebiges x aus X zeigt. Dabei ist völlig egal, was X ist, vorallem ob es unendlich (auch überabzählbar oder sonstiges) ist, wichtig ist nur, dass ich für dieses x nur Eigenschaften benutze, die jedes Element von X hat.

    Es gibt auch Ansätze (zum Weiterlesen ), die Beweise von “Für alle” als Funktion auffassen, die jedem x einen Beweis für dieses eine x zuordnen.

  158. #159 jere
    5. Januar 2018

    Ich bin heute zu dumm für html, deswegen hier der link nochmal:
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Brouwer–Heyting–Kolmogorov_interpretation

  159. #160 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere
    Wenn das auch für unendliche Objekte gilt, dann ist mein konstruiertes d_(natürlich) von oben natürlich, weil für alle i gilt, dass d_(natürlich) natürlich ist. Du kannst mir gerne ein beliebiges i nennen und ich zeige Dir, dass d natürlich ist und bleibt.

  160. #161 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere
    Oder analog: Die Summe 1+2+3+…+i ist für jedes i eine natürliche Zahl.
    (1) Wenn man nun behauptet, die Summe aller natürlichen Zahlen sei nicht natürlich, so ist dies mE inkonsistent und willkürlich. Genauso gut kann ich sagen,
    (2) bei einer unendlich langen Liste fallen Listenzahl und Diagonalzahl zusammen.
    Meines Erachtens gibt es keine stärkeren Argumente für (1) wie für (2).

  161. #162 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Ich sehe weiterhin, daß das Problem die begriffliche Unterscheidung zwischen Zahlen und den Zifferndarstellungen der Zahlen ist. Es wird auch hier in den Beiträgen nicht sauber getrennt zwischen “Eine Zahl ist unendlich” und “Die Anzahl der Ziffern einer Zahl ist unendlich”.

    Eine reelle Zahl ist niemals unendlich, sondern sie hat immer einen konkreten Wert. Die vollständige Induktion erreicht niemals eine Zahl mit dem Wert “unendlich”, sondern sie erreicht alle natürlichen Zahlen. Das sind unendlich viele, aber jede einzelne ist eine endliche Zahl.

    Eine vollständige Induktion geht immer von einer unendlichen Liste aus, sie bezieht sich niemals auf eine nur endlich lange Liste.

    Auch ein Index ist niemals unendlich. Ein Index kann unendlich viele verschiedene Werte annehmen, aber jeder einzele Wert, den der Index haben kann, ist eine konkrete Zahl, also endlich.

    Es gibt also hier nirgendwo einen “Übergang” vom Endlichen in das Unendliche oder andersherum.

  162. #163 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    In Punkt 2 im Beitrag #161 vermischt Du wieder die Ziffern vor dem Komma und die Ziffern nach dem Komma. Vor dem Komma hat jede Zahl nur endlich viele Ziffern.

    Den Punkt 1 aus Beitrag #161 verstehe ich nicht. Welchen konkreten Wert sollte die Summe aller natürlichen Zahlen denn haben?

  163. #164 StefanL
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein

    Ich glaube, daß grundsätzliche Mißverständnis von Wizzy ist, daß Zahlen nicht durch ihre Ziffern definiert werden, sondern durch Axiome.

    Soll damit ausgedrückt werden, dass sein “Induktionsbeweis” verstanden wurde?

  164. #165 Wizzy
    5. Januar 2018

    “Eine vollständige Induktion geht immer von einer unendlichen Liste aus, sie bezieht sich niemals auf eine nur endlich lange Liste.”
    Ja, aber was ich oben (#88) tue, ist, die Induktion wiederum auf Listen anzuwenden die immer länger werden. Induktionselement 1 ist eine Liste mit 1 Element, Induktionselement i eine Liste mit i Elementen. Damit, meine ich, hätte ich eine “Diagonalzahl” für unendlich lange Listen von natürlichen Zahlen gefunden, die auch durchaus geordnet sein dürfen. Nach dem Zitat von Dir müsste dieser Ansatz dann ja auch funktionieren. Insbesondere da in jedem Induktionsschritt meine “Diagonalzahl” natürlich bleibt. Woran scheitert es also? (Anm.: Induktion funktioniert nicht ins Unendliche, z.B. wenn man n>n+1 beweisen will)

  165. #166 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Welchen konkreten Wert hat die Diagonalzahl? Bei der Diagonalzahl geht es nicht um einen konkreten Wert, sondern darum, dass sie reell sein und von den Listenzahlen abweichen soll. Bei meiner Zahl geht es auch nicht um den konkreten Wert, sondern darum, dass sie natürlich sein und von den Listenzahlen abweichen soll.

    Wenn ich nun sage, ein Widerspruchsbeweis muss auch für Indizes —> unendlich gelten, dann sagt jemand anderes hier “Nein, der Beweis reicht für beliebige endliche Indizes, obwohl er für eine unendlich lange Liste gelten soll.”
    Daher sage ich zurück: “Okay, ein Beweis reicht immer für beliebige endliche Indizes. Wenn es so ist, dann beweise ich, dass meine Summe natürlich ist. Das stimmt nämlich für beliebige endliche Indizes.”

  166. #167 jere
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein: Ja, das war ja exakt meine Argumentation oben.

    @Wizzy:

    Wenn das auch für unendliche Objekte gilt, dann ist mein konstruiertes d_(natürlich) von oben natürlich, weil für alle i gilt, dass d_(natürlich) natürlich ist. 

    Das sind aber zwei vom Typ her völlig verschiedene Aussagen. “Für alle reelen Zahlen r in der Liste gilt: die Diagonalzahl ist ungleich r” ist eine Aussage für alle r aus den reelen Zahlen (und in der Liste).
    “Für die konstruierte Summe d gilt: d ist eine natürliche zahl, also: es gibt n, so dass n eine natürliche zahl ist und n=d”.
    Da ist kein “für alle”. Ich kann sogar doe Verneinung beweisen: “für alle natürlichen n gilt n ungleich d”.

    Die d_(natürlich) kommen da ja nicht vor. Die hast du nur zur Definition von d benutzt. Anders als die Stellen der Diagonalzahl, die gehören ja immer noch zur Zahl dazu.

    Allerdings ist das Problem hier wirklich, dass man sehr konkrete mathematische Schlussweisen und Definitionen benutzt. Wenn man die nie gelernt hat (kein Vorwurf), dann ist es sehr schwer, nur mit Intuition da ran zu gehen. Das ist ja gerade der Punkt an der Unendlichkeit, dass sie nicht intuitiv ist.

  167. #168 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Hör doch auf das, was ich in #156 geschrieben habe: Die Definition einer Zahl erfolgt nicht durch Ziffern. Sondern die Zahlen werden abstrakt definiert. Und man kann dann beweisen, daß (bei gegebenem Stellenwertsystem) jede natürliche Zahl unkehrbar eindeutig einer endlichen Folge von Ziffern zugeordnet ist.

    Mit der von Dir skizzierten Diagonalisierung erzeugt durch eine unendlich lange Liste von Ziffern (vor dem Komma bzw. ganz ohne Komma). Diese unendliche lange Liste von Ziffern definiert keine Zahl. Denn es gibt keine Zahl, die vor dem Komma unendlich viele Ziffern hat.

    Deine Diagonalisierung vor dem Komma kannst Du im Prinzip so durchführen, es kommt nur keine Zahl heraus.

  168. #169 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy

    Oder analog: Die Summe 1+2+3+…+i ist für jedes i eine natürliche Zahl.
    (1) Wenn man nun behauptet, die Summe aller natürlichen Zahlen sei nicht natürlich, so ist dies mE inkonsistent und willkürlich.

    Du läßt immer noch eine saubere Darstellung deines Induktionsbeweises missen. Vielleicht hilft dies:
    Behauptung: Die endliche Summe natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl
    Beweis:
    A0 Summe (0) = 0
    A(n): es gilt Summe(n) =0 + 1 +…+ n = k ∈ N (unsere Induktionsannahme)
    n → n+1: Summe( (n+1)) = Summe(n) + (n+1) = k + n +1 ∈ N

    Da ist kein Bedarf für einen Wert nicht in N (wie bspw ω )
    Die Betrachtung der Summe (aller n ∈ N) hat damit nichts zu tun.
    Also für allle n ∈ N ist Summe(n) ∈ N

    Äpfel mit Birnen …vergleichen …und so…

  169. #170 Wizzy
    5. Januar 2018

    @jere
    Mein d ist zunächst einmal so konstruiert, dass es ungleich aller Listenelemente n_1 … n_i ist. Analog zu Cantors Beweis. Das wurde hier nur durch andere Kommentatoren entkräftet mit dem Hinweis (“bei einer abzählbar unendlichen Liste ist das d nicht mehr natürlich”). Okay, aber für beliebige i ist es das eben sehr wohl.
    Also nochmal: Für beliebige k akzeptiere ich Cantors Beweis, aber sage eben analog “bei einer abzählbar unendlichen Liste ist Cantors Zahl nicht mehr verschieden von allen Listenzahlen”.

  170. #171 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Ich mache keine Diagonalisierung, sondern ich zähle natürliche Zahlen zusammen.

  171. #172 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Das beliebige i aus Deinem ersten Satz ist endlich, daraus kannst Du nicht analog etwas für eine abzählbar unendliche Liste aussagen. Etwas endliches und etwas unendliches ist doch keine Analogie zueinander.

    Wenn Du eine Analogie ziehen willst, dann ist das so: Cantors Zahl ist nicht mehr verschieden von allen Listenzahlen, wenn nur i Nachkommastellen (also endlich viele) zugelassen sind. Und das ist ja tatsächlich korrekt.

    Das Diagonalargument von Cantor funktioniert nur deswegen, weil eine reelle Zahl nach dem Komma unendlich viele Stellen haben kann.

  172. #173 Wizzy
    5. Januar 2018

    Zu #170 Mein Verständnisproblem liegt also darin, dass im einen Fall “beliebige i” ganz anders behandelt werden als “i—>unendlich”. Im Fall Cantor werden “beliebige k” im Widerspruchsbeweis jedoch akzeptiert, obwohl “k—> unendlich” meines Erachtens den Widerspruchsbeweis zerstört.
    Das “beliebige x” nicht das gleiche ist wie “x—>unendlich” bestätigt ja auch StefanL in seinem Beitrag.

  173. #174 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Was ist in #173 mit i und was ist mit k gemeint?

  174. #175 Wizzy
    5. Januar 2018

    Und dies bestätigt auch Daniel Rehbein. Ich beziehe mich auf #138. Der lautete zu Cantor: Für jedes beliebige k ist eine reelle Zahl r_k auffindbar mit r_k ungleich d_Cantor.
    Das ist aber gar nicht mehr zutreffend für k—>unendlich, wo eben genau im Grenzfall r_k=d möglich wird.

    Also dort, wo meine konstruierte Zahl nicht mehr natürlich ist, genau da ist auch Cantors Zahl nicht mehr ein Element außerhalb von Cantors gedanklicher Liste.

  175. #176 StefanL
    5. Januar 2018

    P.s.: Verfeinerrn wir die Behauptung(#169) zu:
    Für jedes n ∈ N ist die “Summe der Zahlen ≤ n ” ∈ N.

  176. #177 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Die “i” spielen an auf die Elemente meiner Liste natürlicher Zahlen aus #88, die “k” spielen an auf Elemente der Liste von Cantor in #138.

  177. #178 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Du weißt aber schon was ein “conformation bias” ist?

    Also dort, wo meine konstruierte Zahl nicht mehr natürlich ist, genau da ist auch Cantors Zahl nicht mehr ein Element außerhalb von Cantors gedanklicher Liste.

    Jetzt doch wieder mit Wohlordnungssatz?

    Ich kann dir noch was bestätigen:
    Für alle x ∈ X bedeutet keine Aussage über y ∉ X , aber eben für jedes beliebige x aus X.
    (Allerdings denke ich die von jere angedeuteten unendlichen Schemata der 1. order logic sind jetzt doch etwas übers Ziel hinaus solange das mit dem Wohlordnungssatz nicht geklärt ist – smiley .)

  178. #179 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Also nehmen weder i noch k jemals den Wert unendlich an. Diese beiden Variablen streben gegen unendlich, das ist einfach nur die sprachliche Umschreibung dafür, daß sie beliebig groß werden dürfen. Aber sie haben niemals den Wert unendlich, sie haben immer einen konkreten endlichen Wert.

    Für jedes beliebige i gilt, daß die Summe der natürlichen Zahlen bis zu diesem i eindeutig definiert und endlich ist. Für jedes beliebige k gilt, daß die Listenzahl an der Position k zumindest an der Nachkommastelle k von der Cantorschen Diagonalzahl abweicht.

    Aus diesem Grund kann die Cantorsche Diagonalzahl mit keiner einzigen der Listenzahlen identisch sein. An keiner einzigen Listenposition (bezeichnet jeweils mit der endlichen Zahl k) kann eine Zahl stehen, die mit der Cantorschen Diagonalzahl identisch ist.

  179. #180 Florian Freistetter
    5. Januar 2018

    @Daniel: “Aber sie haben niemals den Wert unendlich”

    Ja. Weil “unendlich” keine Zahl ist 😉 Das ist ein Denkfehler, der den Umgang mit der Unendlichkeit ziemlich knifflig macht. Genau deswegen hat es ja bis Newton/Leibniz gedauert, bis man gelernt hat, wie man doch damit rechnen kann.

  180. #181 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Du hast bewiesen, daß für unendliche viele mögliche Werte von i sich jeweils die Summe der natürlichen Zahlen bis zu diesem i bilden lässt.

    Cantor hat bewiesen, daß für unendliche viele mögliche Werte von k jeweils die an der Position k stehenden Listenzahl ungleich der Cantorschen Diagonalzahl ist.

    Wo sieht Du die in #173 angesprochene Ungleichheit, daß in einem Fall der Gang nach Unendlich akzeptiert würde, und in einem anderen Fall nicht?

  181. #182 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL
    Vielleicht kannst Du nochmal ganz langsam und verständlich erklären, warum ich bei Cantors Widerspruchsbeweis nicht k–> unendlich gehen darf bzw. muss (von letzterem gehe ich aus) womit r_k-d Null werden kann; Du aber bei mir i—> unendlich gehst um meine konstruierte Zahl zu “ent-natürlichen”?

    Nach meinem Verständnis habe ich zumindest bezüglich Cantor und reeller Zahlen nicht den Wohlordnungssatz benutzt, denn für mein Argument reicht es, eine Teilmenge von R zu verwenden. Das Argument ist, dass die Diagonalzahl identisch mit einer Zahl der Liste sein kann genau für k—> unendlich (also unendlich lange Listen).

  182. #183 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Wo genau wird die von mir gebildete Zahl nicht-natürlich? Für jedes beliebige i ist sie natürlich. Was also genau stellst Du an, dass sie nicht mehr natürlich ist?

  183. #184 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    In Beitrag #161 spricht von “Summe aller natürlichen Zahlen”. Wenn Du alle Zahlen addieren willst, dann müsste i den Wert unendlich annehmen.

    Wenn dagegen i Schritt-für-Schritt alle natürlichen Zahlen durchläuft, dann bleibt i immer endlich und die Summe bleibt immer wohldefiniert. Du hast dann aber niemals die Summe aller natürlichen Zahlen, wie in #161 gefordert.

    Aber auch Cantor hat nirgendwo mit einer Zahl “Unendlich” gerechnet. Deswegen habe ich das ja in #179 und #181 noch mal explizit ausgeführt, daß weder i noch k einen Wert “unendlich” annehmen, und Florian hat in #180 den zentralen Satz hervorgehoben, daß “Unendlich” keine Zahl ist (jedenfalls nicht in der Menge der natürlichen Zahlen, der rationalen Zahlen oder rellen Zahlen).

  184. #185 Wizzy
    5. Januar 2018

    Wenn meine gebildete Zahl natürlich ist, dann finde ich außerhalb jeder beliebigen unendlichen Liste natürlicher Zahlen ein außerhalb liegendes Element. Denn wenn du mir eine beliebige natürliche Zahl n_i gibst, dann ist mein d_Wizzy=1+…+n_i+… ungleich n_i. Nach Cantor-Logik wäre damit N überabzählbar oder man könnte es nicht auf sich selbst abbilden.

  185. #186 Wizzy
    5. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Oh doch, Cantor will seine Liste reeller Zahlen unendlich lang machen, er benutzt also “Unendlich”. Das heißt, wenn die Liste r_k heißt, muss bei ihm k—> unendlich gehen. Wir wissen aber, dass man unendliche Listen anders behandeln muss als endliche (Beispiel: Meine Liste natürlicher Zahlen). Insbesondere ändern sich Eigenschaften von aus der Liste konstruierten Zahlen im Unendlichen ganz wesentlich (d_Wizzy wird nicht-natürlich, d_Cantor weist nicht mehr einen Unterschied zu jeglichen Listenelementen der Liste auf).

  186. #187 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Cantor bildet eine einzige Zahl und weist nach, daß die unterschiedlich ist zu allen anderen (unendlichen vielen Zahlen) in der Liste, deren Position jeweils mit dem endlichen Wert k bezeichnet wird.

    Du dagegen bildet für jede Position i jeweils eine andere Zahl. Und Du weisst nach, daß diese Zahl unterschiedlich ist zu den Zahlen an der Position i und an den Positionen kleiner als i.

    Es sind also völlig unterschiedliche Sachverhalte.

  187. #188 Wizzy
    5. Januar 2018

    Wenn er dies Nachweisen kann für nur Zahlen mit der Position des endlichen Wertes k (ein beliebiges k), dann befindet er sich aber gemäß Deines eigenen Posts #172 noch auf endlichen Listen, im Endlichen. I
    I
    Ich zitiere: “Das beliebige i aus Deinem ersten Satz ist endlich, daraus kannst Du nicht analog etwas für eine abzählbar unendliche Liste aussagen.” Also aus einem beliebigen k kann ich auch nicht beweisen, dass für alle k einer unendlichen Liste die Diagonalzahl von den Listenzahlen abweicht.

  188. #189 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Ja, die Liste der Zahlen bei Cantor ist unendlich lang. Der Index k, mit dem diese Liste durchlaufen wird, ist immer endlich. Die Liste der natürlichen Zahlen bei Dir ist unendlich lang. Der Index i, mit dem diese Liste durchlaufen wird, ist immer endlich. Wo ist das Problem?

  189. #190 Wizzy
    5. Januar 2018

    Um meine Zahl zu konstruieren, muss ich alle i durchlaufen. Nur bei i—> unendlich ändert dies die Eigenschaft meiner Zahl auf “nicht-natürlich”. Bei keinem Schritt davor ist dies so.

    Da der erste Abschnitt sich so verhält, ist es angesichts meines Beitrags #144 analog so, dass bei der Konstruktion von Cantors Diagonalzahl der Index k durchlaufen werden muss. Nur bei k—> unendlich ändert dieses Durchlaufen die Eigenschaft von Cantors Diagonalzahl auf “entspricht genau Listeneintrag k”. Nur bei k—> unendlich, und daher kann und darf man sich beim Widerspruchsbeweis nicht auf endliche Indizes beschränken.

  190. #191 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Daß etwas für beliebige Werte gilt, und daß etwas für alle möglichen Werte gilt (und damit für unendlich viele) sind doch lediglich unterschiedliche sprachliche Formulierungen derselben Aussage.

    Mein Hinweis zur falschen Analogie bezog sich auf den Beitrag #170, wo Du einmal eine Aussage über die endlich vielen Zahlen (bis zu einer Position i) und einmal eine Aussage über unendlich viele Zahlen (nämlich sämtliche möglichen Positionen k) als Analogie bezeichnet hast. Da war der Begriff “Analogie” falsch gewählt, er verleitet deshalb zu irreführenden Schlüssen.

  191. #192 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy #182
    Teil a. Jeder index einer abzählbaren Liste entspricht einem n ∈ N.
    Da ist nix mit “i → unendlich” nur i beliebig groß ∈ N
    Da beißt die Maus keinen Faden ab.

    Teil b ” genau da ist auch Cantors Zahl nicht mehr ein Element außerhalb von Cantors gedanklicher Liste.”
    Schwupps – der Widerspruch mit Cantors Liste funkt eben weil angenommen wird es gebe eine Wohlordnung (der reeellen Zahlen) die bijektiv auf die natürlichen abbildbar wäre.
    Und du nutzt jetzt eine Teilmenge der reellen Zahlen mit gleicher Mächtigkeit wie die reellen Zahlen oder etwa nicht? Wenn nicht, dann hätte es keine Bedeutung für die reelen Zahlen.
    Da könntest du dich bestenfalls retten wenn du welche Behauptung auch immer du zeigen möchtest für alle gleichartigenTeilmengen (von denen es allerdings auch überabzählbar viele gibt – also Auswahlaxiom, oder?) zeigst.

    Äpfel und Birnen eben.

  192. #193 Wizzy
    5. Januar 2018

    Für beliebige Werte und für alle möglichen Werte i gilt, dass d_Wizzy natürlich ist. Nur für i—> unendlich gilt dies nicht. Von daher widerspreche ich Dir, beliebige Werte ungleich unendliche Werte. Und so meine ich auch #170, ich akzeptiere Cantors Beweis (trivialerweise) für beliebig, aber dabei endlich lange Listen von reellen Zahlen, da in endlichen Listen auch k endlich bleibt.

  193. #194 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL
    Teil a. Okay, aber für i beliebig groß ∈ N ist d_Wizzy natürlich. Da beißt die Maus keinen Faden ab.

  194. #195 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL @DanielRehbein
    Vielleicht, bevor wir eventuell weiterdiskutieren, sagt ihr mir was ihr von dieser Aussage haltet (#91)
    B. Russell in “Introduction to mathematical philosophy”:

    “Mathematical induction […] might be stated as […] ‘what can be inferred from next to next can be inferred from first to last’. This is true when the number of intermediate steps between first and last is finite, not otherwise.”

    Hat Russell Recht oder Unrecht? Denn “last” ist bei ihm beliebig, aber endlich. Und er macht da eine scharfe Unterscheidung. Dies betrifft mE unsere Diskussion.

  195. #196 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy #190

    kann und darf man sich beim Widerspruchsbeweis nicht auf endliche Indizes beschränken.

    Versuchs mal mit der Korrektur: endlich viele Indizes.

  196. #197 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL Danke, aber ich meinte dass der Beweis auch für Index –> unendlich überprüft wird. Wenn man das nicht tut, ist es für mich eine “Beschränkung auf endliche Indizes”.
    Z.B. behaupte ich dass d_Wizzy=1+n_1+n_2+…+n_i natürlich ist. Außer für i–> unendlich, bzw. wenn ich mich also nicht “auf endliche Indizes beschränke”.

  197. #198 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Wenn etwas für beliebige natürliche Zahlen gilt, dann gilt es für unendlich viele Zahlen. Das gilt für Cantor genauso wie für Wizzy.

    Das Problem ist jetzt eher, was ich schon in #187 dargelegt habe: Du bildest für jede natürliche Zahl eine andere Zahl d_wizzy. Du hast keine gleichbleibende Zahl d_wizzy für beliebige Werte von i.

    Cantor dagegen bildet zu Anfang einmal die Cantorsche Diagonalzahl. Und diese Zahl bleibt dann gleich für sämtliche Werte von k.

  198. #199 Wizzy
    5. Januar 2018

    @StefanL Aber es sind damit wohl auch (un/)endlich viele Indizes, ich bezog mich halt auf den Wert der Indizes und Du auf die Anzahl.

  199. #200 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy #195
    vgl. bspw. auch mit link in comment

    Ansonsten: Wer hat denn behauptet, das ein Induktionsschluß von n ∈ N auf ω zulässig wäre?

    Aber wie gesagt ohne Wohlordnungssatz ist Induktion eins deiner geringeren Probleme.

  200. #201 Wizzy
    5. Januar 2018

    Nein, ich bilde eine einzige Zahl d_wizzy aus allen natürlichen Zahlen n_i. Es ist eine gleichbleibende Zahl d_wizzy. Das Problem ist eher, dass ihr sie nicht als natürlich akzeptieren wollt. Dagegen habe ich angeführt, dass, falls ich die Liste beschneiden würde auf beliebige, endliche n_i, sie auf jeden Fall natürlich wäre. Und Du sagst ja, beliebige Zahlen und unendlich viel sei das Gleiche. Ist es aber nicht (#195), und dafür gibt es noch mehr Quellen (Beweis: n>n+1 is undefined for n–> infty).

  201. #202 Wizzy
    5. Januar 2018

    okay, ich meinte n+1>n, aber das Geschriebene ist halt im Endlichen unwahr. rofl

  202. #203 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Du bildest d_wizzy als die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis i. Also ist für jeden Wert von i die Zahl d_wizzy doch etwas anders.

    Die Ungleichung n+1>n gilt für beliebige Zahlen n, also für unendlich viele. Allerdings weiß ich nicht, was Du mit dieser Ungleichung aussagen willst.

  203. #204 Wizzy
    5. Januar 2018

    Da unendlich viel und beliebig nicht das gleiche ist, greift ein Widerspruchsbeweis, der im beliebigen aber endlichen funktioniert, zu kurz. Beweis: |d-r_k|≡0 für k—> unendlich. Cantors Zahl ist nicht außerhalb seiner Liste. q.e.d.

  204. #205 StefanL
    5. Januar 2018

    @Wizzy
    Sorry aber ” |d-r_k|≡0 für k—> unendlich.” ist kein Beweis; bestenfalls eine Behauptung.
    Aber du kannst sicherlich r_k (oder k) angeben für den letzten Wert von k bei dem |d-r_k| noch nicht 0 war

  205. #206 Jolly
    6. Januar 2018

    @Alderamin; @StefanL

    Danke. Ich versuche, zu verstehen.

  206. #207 hmann
    6. Januar 2018

    wizzy,
    Klarheit würde hier einmal eine Definition von “Zahl” helfen, was eine Zahl ist und was sie nicht ist.
    Dann muss man genau unterscheiden zwischen dem Wert einer Zahl und der Zahldarstellung. Bei den natürlichen Zahlen fallen Wert und Darstellung zusammen. Bei den reellen Zahlen muss man differenzieren und bei den komplexen Zahlen wird es ganz komplex, weil man da noch unterscheidet zwischen einem Realteil und einem Imaginärteil .
    Also von außen nach innen denken. Dann verliert auch der Begriff Unendlichkeit seine Anziehungskraft.

  207. #208 Metalgeorge
    6. Januar 2018

    Mir ist immer noch nicht ganz klar was du genau aussagen willst.
    Ich habe den Eindruck, (bitte um Richtigstellung falls ich falsch liege) du willst mit deinem Ansatz beweisen, dass wenn du Cantor‘s Diagonalargument Ansatz auf die Menge der Natürlichen Zahlen anwendest, dass daraus dann folgen würde, dass die Menge der Natürlichen Zahlen, im Gegensatz zur bewiesenen Tatsache, eine überabzählbare Menge darstellen würden und somit der Cantor Ansatz falsch sein muss.

    Daher hier mal meine Zusammenfassung zu diesem Artikel über Cantors zweites Diagonalargument
    (z.t. Wikipedia)
    Auch wenn ich hier bereits von Anderen oben erwähnten Argumente wiederhole:

    …dies ist ein Widerspruchsbeweis, mit dem er 1877 die Überabzählbarkeit (s.o.) der reellen Zahlen bewies.
    Im Prinzip wird eine unendliche Liste von reellen Zahlen auf die Menge der natürlichen
    Zahlen durch die Verwendung von Zeilen Nummern (natürliche Zahlen) abgebildet.
    Dabei sind die einzelnen Zeilen (Zahlen) unendlich lang.
    Die Menge der natürlichen Zahlen stellen eine abzählbar unendliche Menge dar und somit
    auch die erstellte Liste.
    Es gelingt ihm hier auf diese Weise, wie Florians Artikel ja deutlich zeigt, zu zeigen dass er durch das Diagonalargument immer eine Zahl findet, die nicht in der abzählbar unendlichen Menge enthalten ist.
    Die Menge der reellen Zahlen ist also eine überabzählbare unendliche Menge (s.o.).
    Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen: (Zitat Wikipedia)
    Mit einer Verallgemeinerung des Cantorschen Verfahrens kann man zeigen, dass die Menge aller Teilmengen einer Menge M, die sogenannte Potenzmenge P(M) von M überabzählbar ist, wenn M unendlich viele Elemente hat.
    Genauer: Man kann zeigen, dass P(M) eine höhere Mächtigkeit hat als M. Mit Hilfe der Potenzmenge lassen sich unendlich viele verschiedene Klassen von Unendlichkeiten konstruieren.
    Nach der einfachen Kontinuumshypothese von Cantor gibt es keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen (Artikel)liegt.
    (darauf wurde in den Kommentaren auch schon mehrfach hingewiesen).

    Aber allein der Satz (Zitat Wikipedia) zu Cantors Kontinuumshypothese:
    …..Dieses Problem hat sich nach einer langen Geschichte, die bis in die 1960er Jahre hineinreicht, als nicht entscheidbar herausgestellt, das heißt, die Axiome der Mengenlehre erlauben in dieser Frage keine Entscheidung.

    Es haben sich hier also schon erheblich größere Kapazitäten als ich oder du die Zähne daran ausgebissen.

    Du müsstest also deinen Ansatz über die Potenzmengen formulieren:
    Siehe Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
    Das Problem bleibt aber, dass du es nicht hinbekommen wirst eine natürliche Zahl sinnvoll als unendlich lange Zeile abzubilden. Alle anderen Konstruktionen werden sehr wahrscheinlich nur eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen bilden. siehe auch Kontinuumshypothese nach der es zwischen der Menge der reellen Zahlen und der Menge der Natürlichen Zahlen keine weiteren gibt.
    Und vor allem der Beweis bezieht sich auf unendliche Listen mit unendlich langen Elementen.

  208. #209 Metalgeorge
    6. Januar 2018

    @Wizzy
    Sorry mein letzter Kommentar war für dich:)

  209. #210 Uli Schoppe
    6. Januar 2018

    Ich würde sagen Kantor hat gezeigt das man für jede unendlich lange geordnete Liste aus reellen Zahlen ein Zahl bilden kann die zwischen 2 Elementen liegt. Bei den natürlichen Zahlen geht das definitiv nicht, zwischen 1 und 2 liegt nix. Das der Unterschied mit steigender betrachteter Stellenzahl immer kleiner wird ist egal, die Differenz nach oben oder unten ist nie Null.
    Da der Wert der Zahlen nach oben und unten durch das betrachtete Intervall begrenzt ist ist es völlig unerheblich das ich Belege das die Summe aus natürlichen Zahlen immer größer wird. Die verlässt ja irgendwann den Bereich den es zu betrachten gilt. Mal davon ab das per Definition die Anzahl der natürlichen Zahlen eines Intervalls immer endlich ist. Bei den reellen Zahlen ist das nicht so…

  210. #211 stone1
    6. Januar 2018

    Ein meiner Meinung nach empfehlenswertes Buch für Nicht-Mathematiker zum Thema Unendlichkeit:
    Rudolf Kippenhahn: Eins, Zwei, Drei… Unendlich
    Ist sehr verständlich geschrieben und danach war selbst mir klar, was der Unterschied zwischen abzählbar Unendlich und überabzählbar Unendlich ist, beziehungsweise warum es sowas wie א Null, Eins und so weiter überhaupt gibt.

    BTW: Wie geht das hier in den Kommentaren mit Tiefstellen überhaupt, HTML-Tag sub funktioniert nicht? Außerdem wird eine Zahl geschrieben nach einem Unicode-Zeichen wie hier Aleph vor dieses Zeichen gestellt statt danach aufzutauchen, darum habe ich Null und Eins ausgeschrieben.

  211. #212 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @stone1

    In etwas so …
    \aleph_{0}, \aleph_{1}

  212. #213 PDP10
    6. Januar 2018

    @Karl-Heinz:

    Ha! Du Cheater! Du benutzt LaTeX!

    @stone1:

    Nee, sowas wie “sub” funktioniert hier in den Kommentaren nicht. Daran habe ich mir vor Monaten mal die Zähne ausgebissen ..

    Du musst das schon so wie Karl-Heinz machen und LaTeX benutzen wenn du untere Indizes willst.

  213. #214 stone1
    6. Januar 2018

    @Karl-Heinz
    Ja, das meine ich. Also wie geht das? Möglichst ohne LaTeX?

  214. #215 stone1
    6. Januar 2018

    Ah, danke @PDP10, da hat sich mein Kommentar mit Deiner Antwort überschnitten. Kein Hoch/Tiefstellen ohne LaTeX hier möglich, alles klar.

  215. #216 PDP10
    6. Januar 2018

    @stone1:

    Hochstellen kurioserweise schon:

    Nur tiefstellen nicht …

  216. #217 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @stone

    Tiefstellen kann ich leider auch nur mit Latex.
    Zum Beispiel Latex A_{0} . Vor dem und nach dem Ausdruck ein $ Zeichen setzen. Sollte jetzt
    A_{0}

  217. #218 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @PDP10
    Hochstellen geht bei dir?.
    Versuch mal das.

    Hallo PDP10 ^{wie geht's}, alles Ok?

  218. #219 stone1
    6. Januar 2018

    Test
    P₀ א₀ ג⁰ α⁰
    Sehr strange, bei hebräischen Buchstaben rückt die tiefgestellte Zahl immer nach links vor das Symbol, bei lateinischen und griechischen nicht. Man kann also tiefgestellte Indices auch mit Unicode realisieren, aber nicht beim Aleph. Immer diese Schwierigkeiten mit dem Unendlichen ; )
    Test Ende

  219. #220 PDP10
    6. Januar 2018

    @Karl-Heinz:

    Nur da, wo man mit AltGr das passende Zeichen erreichen kann bzw. wo es mit kopieren aus einem Dokument im Unicode Zeichensatz funktioniert. Das funktioniert aber nur selten und dein Beispiel von oben kriege ich so nicht hin.

    Für sowas brauchs halt dann doch LaTeX. Dafür sind die Kommentar-Eingabefelder hier eben nicht gemacht …

  220. #221 stone1
    6. Januar 2018

    Noch’n Test
    B_{1}
    i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=H\left|\Psi(t)\right>
    \sToNe1
    Test Ende

  221. #222 stone1
    6. Januar 2018

    Hmm okay, danke für die Infos, auch an PDP10 für die beim gewissen dunkle Materie-Thread verlinkte WordPress-LaTeX Supportseite, ich hör auch schon wieder auf.
    LaTeX-power acquired. Gnihihi. ; )

  222. #223 Karl-Heinz
    7. Januar 2018

    @stone
    Test
    TEST ℵ₀
    Testende

    Für Aleph gibt es zwei oder mehrere Codierungen
    Du musst Undzeichen#8501;₀ verwenden

  223. #224 stone1
    7. Januar 2018

    ℵ&#x2080
    Ah tatsächlich, das ist 0x2135, danke @Karl-Heinz. Mir gefällt zwar das andere besser weil es nicht so schnörkelig ist, aber man kann nicht immer alles haben. Derweil tobe ich mich ein wenig in der von @rolak empfohlenen Agyon-Website aus, wo es eine Vorschau für Latex-Code gibt.

  224. #225 stone1
    7. Januar 2018

    Ups ein Semikolon vergessen und gleich ab in die Mod, egal, ℵ₀
    Danke @Karl-Heinz

  225. #226 tomtoo
    7. Januar 2018

    “Formula does not parse”.HiHi..so isses mir bei Mathetests auch schon gegangen. : )

  226. #227 Wolf-Dieter Busch
    Quakenbrück
    7. Januar 2018

    Denkfehler: – „Jetzt kommt es: Am Ende haben wir uns so eine Zahl gebastelt, bei der sicher gestellt ist, das sie sich von der Zahl Z1 unterscheidet (weil ja die erste Nachkommastelle unterschiedlich ist).“ – Weil es am Ende ist, aber dieses Ende nicht gibt (denn unendlich), haben wir den Beweis niemals zu Ende gebracht!

    Spaß beiseite. Der Existenzbeweis für (so habe ich es kennengelernt) Aleph Eins (Kardinalzahl der Natürlichen und Rationalen Zahlen ist Aleph Null) hatte ich verstanden, damals, als ich mich noch für Mathe interessiert habe. War simpel, weil der Beweis für nicht-abzählbar ausreicht, um eine höhere Kardinalzahl als Aleph Null zu haben.

    Beim Versuch, die Existenz für Aleph Zwo (Konstuktionsregel „Menge aller Teilmengen“) zu beweisen, ist mir regelmäßig das Hirnchen weg geflossen (bis heute).

    Aber damit lebe ich jetzt einfach, und mir gehts gut damit.

  227. #228 Metalgeorge
    7. Januar 2018

    @Uli Schoppe

    Ich würde sagen Kantor hat gezeigt das man für jede unendlich lange geordnete Liste aus reellen Zahlen ein Zahl bilden kann die zwischen 2 Elementen liegt.

    Deine Aussage ist zwar richtig, aber für den Widerspruchsbeweis nicht notwendig. Das funktioniert auch mit einer ungeordneten unendlichen Liste der reellen Zahlen.
    Der Beweis basiert wirklich darauf, dass er nachweisen kann, dass es eine Potenzmenge P (M) zur unendlichen Menge M gibt, die mächtiger ist als die ursprüngliche unendliche Menge M.

  228. #229 Uli Schoppe
    8. Januar 2018

    Danke
    Ich habe eigentlich nach einer Veranschaulichung dafür gesucht was für eine Zahl er denn da konstruiert weil ich das Gefühl hatte (vor den Latex Problemen 😉 ) das man erst mal das verstehen muss bevor man irgendwelche Summen konstruiert die total am Thema vorbei sind…