SG_LogoDas ist die Transkription einer Folge meines Sternengeschichten-Podcasts. Die Folge gibt es auch als MP3-Download und YouTube-Video.

Mehr Informationen: [Podcast-Feed][iTunes][Bitlove][Facebook] [Twitter][Sternengeschichten-App]
Über Bewertungen und Kommentare freue ich mich auf allen Kanälen.
—————————————————————————————

Sternengeschichten Folge 267: Die vierte Dimension

In der heutigen Folge der Sternengeschichten machen wir uns auf den Weg in die vierte Dimension! Zumindest ist es das, was man in der Science-Fiction, der Esoterik oder der Pseudowissenschaft immer gerne tut, wenn man irgendwo auf die vierte (oder fünfte, oder sechste oder was-weiß-ich-wievielte) Dimension trifft: Man geht “hinein”. Die vierte Dimension ist dann irgendein seltsamer oder mythischer Ort; ein anderes Universum und auf jeden Fall etwas ganz anderes als unsere normale Welt.

Die vierte Dimension ist verwirrend... (Bild: Jason Hise, gemeinfrei)

Die vierte Dimension ist verwirrend… (Bild: Jason Hise, gemeinfrei)

Dabei ist die vierte Dimension eigentlich gar nichts davon. Eigentlich ist sie nur eine Zahl. Aber um das zu verstehen, müssen wir uns zuerst einmal ansehen, was man in der Wissenschaft tatsächlich unter dem Wort “Dimension” versteht. Dazu fangen wir am besten mit der Mathematik an. In der Mathematik ist die Dimension wirklich “nur” eine Zahl. Simpel gesagt, beschreibt man damit die Anzahl der Freiheitsgrade für die Bewegung in einem Raum. Man muss allerdings aufpassen, was die Wörter “Bewegung” und “Raum” in diesem Zusammenhang bedeuten.

Um es nicht allzu kompliziert zu machen, bleiben wir für den Anfang aber bei dem, was man normalerweise darunter versteht. Und denken uns den Raum vorerst mal als ganz normales Zimmer. Ich kann mich in diesem Zimmer in verschiedene Richtungen bewegen. Ich kann vor und zurück gehen; ich kann nach links oder rechts gehen und ich kann – wenn ich möchte – auch auf meinen Schreibtisch klettern oder gar mein Bücherregal. Wenn man das ganze genau betrachtet, dann gibt es aber nur drei fundamental unterschiedliche Richtungen. Wenn ich mir mein Zimmer als Würfel vorstelle, und ich mich genau an einer der Ecken befinde, dann kann ich von dort drei unterschiedlichen Kanten folgen, zwischen denen jeweils ein Winkel von 90 Grad besteht. Und eine beliebige Bewegung zu einer beliebigen Position innerhalb des Würfels kann ich immer aus unterschiedlichen Bewegungen parallel zu den drei Kanten zusammensetzen.

Das klingt kompliziert, ist aber simpel. Es ist genau das, was wir vom Alltag kennen. Man kann entweder vor oder zurück gehen; links oder rechts und rauf beziehungsweise runter. Das sind die drei fundamentalen Richtungen. Und weil es drei sind, sprechen wir von einem dreidimensionalen Raum. Ein zweidimensionaler Raum ist ebenso leicht vorstellbar. Hier gibt es nur zwei Richtungen, in die man sich bewegen kann. Wenn ich mit einem Bleistift auf einem Blatt Papier zeichne, dann kann ich meinen Strich entweder vor/zurück machen oder von links nach rechts (beziehungsweise eine Bewegung die aus diesen beiden Richtungen zusammengesetzt ist). Aber ich kann keinen Strich machen, der sich fünf Zentimeter über dem Papier befindet. Diese Richtung steht mir nicht zur Verfügung, weil das Blatt Papier zweidimensional ist und nicht dreidimensional.

Und ja, in der Realität ist das Papier natürlich schon dreidimensional. Es hat eine gewissen Dicke und die Spur die mein Bleistift hinterlässt befindet sich auf dem Papier, erstreckt sich also in einer dritten Dimension. Aber wir sprechen hier von einem mathematischen Idealfall und nicht der Realität.

Wenn wir noch eine Dimension weg nehmen, dann sind wir in einem eindimensionalen Raum. Beziehungsweise einer Linie. Hier gibt es jetzt nur noch eine Richtung die mir zur Verfügung steht. Ich kann mich nur vor und zurück entlang der Linie bewegen, andere Möglichkeiten existieren nicht. Und entferne ich noch eine Dimension, dann gibt es gar keine Richtung mehr. Ich bin, wo ich bin und komme nicht weg. Ein solcher nulldimensionaler Raum ist nichts anderes als ein Punkt.

Ganz vereinfacht gesagt entspricht die Dimension der Menge an Zahlen die ich benötige, um in einem Raum einwandfrei zu sagen, wo ich bin. Beim Punkt braucht man gar keine Zahl; es gibt nur eine Möglichkeit. Bei einer Linie muss ich eine Zahl angeben – zum Beispiel den Abstand vom Anfang der Linie – um genau zu wissen, wo ich mich befinde. In einer Ebene brauche ich zwei Zahlen und im normalen dreidimensionalen Raum benötigt man drei Koordinaten (die wir normalerweise als Länge, Breite und Höhe bezeichnen) um einen Ort eindeutig angeben zu können.

Das alles ist recht simpel. Und eine vierte Dimension ist nicht viel komplizierter. Einen vierdimensionalen Raum kriegen wir, wenn wir vier grundlegend unterschiedliche Richtungen der Bewegung haben. Das Problem ist hier allerdings, das wir uns so etwas nicht vorstellen können. Nehmen wir an, wir haben vier gerade Stöcke. Einen davon legen wir auf den Boden. Jetzt nehmen wir den zweiten und platzieren ihn so, dass er mit dem ersten genau einen rechten Winkel bildet. Kein Problem – wir müssen ihn vielleicht nur ein wenig festkleben, damit er nicht verrutscht. Den dritten Stock platzieren wir nun so, dass er sowohl mit dem ersten als auch dem zweiten Stock einen rechten Winkel bildet. Auch das ist keine schwierige Aufgabe. Wenn die ersten beide Stöcke auf dem Boden liegen, dann ragt der dritte einfach von dort gerade hinauf. Was aber, wenn wir nun den vierten Stock so platzieren sollen, dass er mit dem ersten, dem zweiten UND dem dritten jeweils einen rechten Winkel bildet? Das schaffen wir nicht. Es gibt keine passende Richtung mehr, in die wir ihn zeigen lassen können. Und so viel wir auch darüber nachdenken und so sehr wir uns anstrengen: Wir werden nicht in der Lage sein, uns so eine Richtung vorstellen zu können.

Jackie-Chan-4th-dimension

In der Mathematik dagegen ist das absolut kein Problem. Ein vierdimensionaler Raum ist einfach nur ein Raum, in dem man vier Zahlen benötigt um eine Position eindeutig anzugeben. In einem fünfdimensionalen Raum braucht man fünf Zahlen. Und so weiter. Dass wir uns solche Räume nicht anschaulich vorstellen können, hindert uns nicht daran, sie mathematisch zu beschreiben. Das funktioniert exakt so wie bei den vertrauten Räumen mit weniger Dimensionen. Wir können auch dort geometrische Objekte definieren. Eine Kugel zum Beispiel ist im dreidimensionalen Raum die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Mittelpunkt kleiner oder gleich einem vorgegebene Kugelradius ist. Und genau die gleiche Definition funktioniert auch für eine vierdimensionale Kugel. Nur das es hier eben Punkte in einem vierdimensionalen Raum sind. Ebenso kann ich siebzehn-dimensionale Kugel beschreiben oder fünfundzwanzig-dimensionale Würfel. Mathematisch kein Problem; vorstellen kann man sich das leider nicht. Wenn wir es probieren, dann wird es verwirrend.

Die Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel ist zum Beispiel eine zweidimensionale Fläche. Wie zum Beispiel die Oberfläche der Erde. Die Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel wäre dagegen dreidimensional und wie um Himmels Willen soll man sich das vorstellen? Da ist es besser, wir flüchten uns in die abstrakte Welt der Mathematik.

Denn ein “Raum” muss nicht unbedingt das sein, was wir im Alltag unter “Raum” verstehen. Also kein Raum im Sinne eines Zimmers, wie in dem Beispiel vorhin. Auch kein Raum im Sinne eines Orts oder des Weltraums. In der Mathematik wird dieser Begriff viel abstrakter verwendet. Schauen wir uns das ganze an einem Beispiel an. Ich gehe gerne laufen. Wenn ich laufe, dann tue ich das mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Ich habe dabei einen bestimmten Puls. Ich habe einen bestimmte Körpertemperatur. Und eine bestimmte Schrittlänge. Das sind vier Zahlen. Diese vier Zahlen kann ich für jeden Zeitpunkt meines Laufs messen und aufschreiben.

Ich kann mir nun außerdem einen abstrakten vierdimensionalen Raum vorstellen. Beziehungsweise nicht vorstellen, aber mathematisch beschreiben. Eine “Richtung” in diesem Raum beschreibt die Geschwindigkeit. Bewege ich mich entlang dieser Richtung, dann steigt oder sinkt die Geschwindigkeit. Die zweite “Richtung” beschreibt den Puls. Die dritte die Körpertemperatur und die vierte die Schrittlänge. Wenn ich mir nun die vier Messwerte für den ersten Zeitpunkt ansehe, dann kann ich damit einen ganz bestimmten Punkt innerhalb des vierdimensionalen Raums markieren. Mit den vier Messwerten für den zweiten Zeitpunkt einen zweiten Punkt im Raum. Und so weiter. Ich kann meinen Lauf als Abfolge von Punkten in einem vierdimensionalen Raum darstellen; das ist mathematisch überhaupt kein Problem. Ich kann der Kurve durch den vierdimensionalen Raum folgen und schauen, wie sich meine Messwerte im Laufe der Zeit verändert haben.

Das gleiche geht mit fünf, sechs oder beliebig vielen Dimensionen. Und genau hier tauchen die höheren Dimensionen auch in der Astronomie auf. Ich habe früher schon mal – in Folge 93 der Sternengeschichten – das Konzept des “Phasenraums” erklärt. Und die abstrakten Räume von denen ich gerade gesprochen habe, sind nichts anderes als das. Es sind Räume, die bestimmte dynamische Systeme beschreiben. Im Fall von meinem Beispiel war das dynamische System ich, wie ich durch die Gegend jogge. Aber genau so gut kann es ein Planet sein, der die Sonne umkreist. Wenn ich den Zustand der Bewegung des Planeten beschreiben will, dann komme ich mit drei Zahlen nicht aus. Damit kann ich zwar seine Position im realen dreidimensionalen Raum beschreiben. Aber die Position allein sagt mir nichts über die Bewegung aus. Ich muss auch wissen, mit welcher Geschwindigkeit sich der Planet gerade in jede der drei Raumrichtungen bewegt. Insgesamt benötige ich also sechs Zahlen, wenn ich den dynamischen Zustand erfassen will. Und wenn ich nicht nur einen Planeten habe, sondern an der Dynamik eines Systems aus zwei Planeten interessiert bin, brauche ich zwölf Zahlen, um dieses System zu beschreiben: Drei Koordinaten für den Ort des ersten Planeten, drei für den Ort des zweiten und nochmal jeweils drei für ihre Geschwindigkeiten. Ich habe dann also einen zwölfdimensionalen Phasenraum und kann für jeden Zeitpunkt einen Punkt in diesem Raum markieren, der mir genau Auskunft darüber gibt, wo sich jeder der beiden Planeten befindet und wie schnell sie sich bewegen. Und habe ich nicht zwei Planeten sondern eine Galaxie mit einer Milliarde Sterne, dann hat mein Phasenraum eben sechs Milliarden Dimensionen.

Mathematisch gesehen ist die vierte Dimension also nicht weiter außergewöhnlich. Sie unterscheidet sich nicht von der dritten Dimension oder der achten oder der 275ten Dimension. Es ist einfach nur eine Zahl.

“Aber was ist denn mit der Zeit?” wird sich jetzt sicher der eine oder die andere schon die ganze Zeit gefragt haben. Ist denn nicht die Zeit die vierte Dimension? War das nicht das, was Albert Einstein herausgefunden hat? Das es nicht nur drei Dimensionen gibt, sondern eine vierdimensionale Raumzeit? Jawohl, das hat er herausgefunden. Aber, und ich hoffe das in dieser Folge klar gemacht zu haben, das Wort “Dimension” kann eben sehr viel mehr bedeuten. Die Sache mit der Zeit und der vierten Dimension ist nur ein physikalischer Spezialfall. Aber natürlich ein sehr interessanter und sehr relevanter Spezialfall. Über den ihr deswegen in der nächsten Folge der Sternengeschichten sehr viel mehr erfahren werdet.

Kommentare (38)

  1. #1 haariger Troll
    5. Januar 2018

    Ich warte ja schon seit langem sehnsüchtig auf das Computerspiel “Miegakure”, in dem Drehungen um eine vierte “Raum”achse zum Lösen der Rätsel nötig sind. Bin schon gespannt, ob das Denken in vier Dimensionen halbwegs intuitiv vonstatten geht!

  2. #2 Heino Wedig
    Eckernförde
    5. Januar 2018

    Der letzte Satz ist mal wieder ein absoluter Cliffhanger. Ich kann die nächste Folge kaum erwarten.

  3. #3 Jasper
    5. Januar 2018

    Meine Erinnerungen aus dem Mathestudium zu vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten waren ja eher “das ist ja wirklich schräg” :-p

  4. #4 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Vor einigen Tagen habe ich mit einer Freundin noch darüber gesprochen, daß ich mir gerne vierdimensionale Räume (oder auch Räume mit noch mehr Dimensionen) plastisch vorstellen können würde. Sie hat mich ganz ungläubig gefragt “Gibt es denn überhaupt vierdimensionale Räume?”, und da habe ich ihr mit einer Erklärung zu Phasenräumen geantwortet. Aber auch mit mathematischen Funktionen: Eine Funktion aus der Menge der komplexen Zahlen in die Menge der komplexen Zahlen bräuchte zu ihrer Visualisierung ein vierdimensionales Koordinatensystem.

    Es ist einer meiner sehnlichsten Wünsche, mir einen vierdimensionalen euklidischen Raum plastisch vorstellen zu können. Auch wenn ich ein vierdimensionales räumliches Objekt nicht herstellen kann, weil ich in einer Welt aus drei Raumdimensionalen lebe, müsste ich mir doch Vierdimensionalität gedanklich vorstellen können. Meine Gedanken sind doch eigentlich nicht an die Realität gebunden! Aber ich schaffe es nicht. Ich kann stundenlang auf die Animation des rotierenden Tesserakts schauen, und es stellt sich bei mir doch kein visueller Eindruck einer Vierdimensionalität ein. Es ist so deprimirend! Warum schaffe ich es nicht, mir in meinen Gedanken einen vierdimensionalen euklidischen Raum vorzustellen?

    Der Torus ist nach seiner Definition eigentlich ein vierdimensionales Objekt: Es ist das Kreuzprodukt zweier Kreislinien. Ich würde es mir gerne vorstellen, wie das Kreuzprodukt zweier Kreislinien im vierdimensionalen Raum aussieht, und warum das Ergebnis ein dreidimensionales Objekt ist. Aber ich schaffe es nicht.

    Ich bin auf Youtube auf ein Video gestoßen, in dem Carl Sagan etwas über vier Dimensionen erklärt:
    https://www.youtube.com/watch?v=N0WjV6MmCyM

    Natürlich kann ich mir eine Reduktion auf weniger Dimensionen vorstellen. Ich kenne auch das Buch “Flächenland”. Ich kann Analogien bilden zu fiktiven Lebewesen einer zweidimensionalen Welt, die von einem Wesen aus der dreidimensionalen Welt besucht werden. Aber das erfüllt alles nicht meinen Wunsch, mir vierdimensionale Raum-Objekte plastisch vorstellen zu können.

  5. #5 Roland B.
    5. Januar 2018

    Ich habe als Kind, so vielleicht zehn oder zwölf, mal irgendwie ein Buch in die Hand bekommen, das von einer zweidimensionalen, also flächigen Welt erzählt hat und dann übergegangen ist in eine geometrisch vierdimensionale, und aufgezeigt hat, wie wir diese sehen würden, analog zum blick der Flachländler auf unsere. Und umgekehrt.
    Hat mich sehr beeindruckt, und in dem Alter war ich da auch nicht nur aufgeschlossen, sondern richtig empfänglich.
    Mich hat später immer irritiert, daß intelligente Menschen sich so absolut nicht vorstellen konnten, daß es weitere geometrische Dimensionen geben könnte.
    Schade, daß das Buch ausgeliehen war, und ich mir den Titel nicht notiert habe. Bin aber recht sicher, daß es aus dem Polnischen oder Russischen übersetzt war.

  6. #6 Chemiker
    5. Januar 2018

    @Roland Deine Beschreibung trifft grob auf Flatland zu, aller­dings eine viktorianische Ge­sell­schafts­satire. Oder auf „Das Planiversum“ von Alexander K Dewdney, das ich als Jugendlicher auch gelesen habe.

    Sind aber beide aus dem Englischen.

  7. #7 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Ich bin noch auf ein anderes Video gestoßen, wo versucht wird, Vierdimensionalität mit Alltagsobjekten zu veranschaulichen. Es ist zwar eigentlich ein Werbevideo für virtuelle Spielsachen, aber ich finde es wegen der darin dargelegten Erklärungen und Veranschaulichungen sehr schön:
    https://www.youtube.com/watch?v=0t4aKJuKP0Q

    Allerdings stellt sich auch nach dem x-ten Absehen dieses Videos in meiner Gedankenwelt noch keine konkrete Vorstellung vierdimensionaler Raumobjekte ein. 🙁

  8. #8 Daniel Rehbein
    Dortmund
    5. Januar 2018

    Man kann versuchen, sich eine vierdimensionale Welt vorzustellen, indem man zu den drei Raumdimensionen die Zeit hinzunimmt. Ein vierdimensionaler Würfel wäre dann ein dreidimensionaler Würfel, der zu einem bestimmten Zeitpunkt x plötzlich auftaucht und zu einem Zeitpunkt x+t (wobei t die Kantenlänge des Würfels ist) plötzlich verschwindet.

    Aber selbst mit dieser erst mal sehr anschaulich klingenden Beschreibung habe ich Probleme, mit vorzustellen, wie man auf die 32 Kanten kommt, die so ein vierdimensionaler Würfel (ein Tesserakt) laut Wikipedia hat.

    Diese Vorstellung versagt aber ohnehin, sobald ich den vierdimensionalen Würfel anfassen und drehen möchte, sobald er also nicht mehr rechtwinklig zur Zeit steht.

    Genau das finde ich in dem Video aus dem vorigen Beitrag sehr schön dargestellt: Wenn wir uns unseren dreidimensionalen Raum als Schnittfläche eines vierdimensionalen Raums vorstellen, daß muß es nicht so sein, daß die Objekte immer rechtwinklig dazu stehen.

    Ein vierdimensionaler Würfel kann auch irgendwie schräg im vierdimensionalen Raum stehen. Dann bekommen wir in unserem dreidimensionalen Raum als Schnitt dieses vierdimensionalen Würfels keinen dreidimensionalen Würfel, sondern eine andere (eher unregelmäßige und sonderbar anmutende) Form. Bevor ich auf dieses Video gestoßen bin, habe ich das noch nie so dargestellt und erklärt gesehen.

  9. #9 Stephan.
    6. Januar 2018

    FF
    Ich las heute, daß lt. “Daily Mail” eine Frau Prof. Sharkowa und ihr russisch-englisches Team für 2020 und 2050 eine neue kleine Eiszeit voraussagen. Grundlage der Behauptung sind Untersuchungen zur Sonnenaktivität und sich daraus ergebende Änderungen der Solarkonstanten. Alles in meinen Augen reichlich mysteriös. Kannst Du uns darüber etwas berichten und bewerten ??

  10. #10 pane
    6. Januar 2018

    @Daniel Rehbein:

    Wie sieht ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene usw. im 4-dimensionale aus? Als 4. Dimension wird die Zeit genommen.

    Ein Punkt ist ein Punkt im Raum zu einer ganz bestimmten Zeit. Er ist nur für einen bestimmten Zeitpunkt da, und vorher sowie nachher weg.

    Eine Gerade ist ein Punkt im Raum, der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit über eine Gerade im Raum bewegt. Dabei betrachten wir die idealisierte Raumzeit und nicht die reale. Das heißt, die Lichtgeschwindigkeit ist keine Grenze. Der Punkt könnte sich auch schneller bewegen.

    Zu diesem Bild gibt es zwei Extremfälle. Zum einen ein Punkt, der sich nicht bewegt, sondern still steht. Auch das soll eine Gerade sein. Zum anderen eine Gerade, die zu einem bestimmten Zeitpunkt da ist, ansonsten nicht. Auch das ist eine Gerade.

    Eine Ebene schließlich ist eine Gerade, die sich gleichförmig und senkrecht zur eigenen Ausrichtung bewegt. Auch hier gibt es zwei Extreme, einmal eine Gerade, die still steht und zum anderen, eine Ebene, die nur zu einem bestimmten Zeitpunkt existiert.

    Eine Hyperebene schließlich ist eine Ebene, die sich gleichmäßig zur eigenen Senkrechte im Raum bewegt mit den beiden Extremen einer still stehenden Ebene und den ganzen Raum für einen bestimmten Zeitpunkt.

    Das ganze stellt man sich am Besten erst einmal mit einer Dimension weniger vor. Man nimmt den 3-dimensionalen Raum wie man ihm kennt, tut da irgend welche Objekte rein und scannt ihm mit einer Ebene ab. Man kann nun den 3-dimensionalen Raum mit der 2-dimensionalen Ebene und der Zeit beschreiben.

    Zum 4-dimensionalen Würfel, dem Tesserakt: Es ist wohl der am einfachsten zu verstehende 4-dimensionale, regelmäßige Hyperkörper.

    Wie Du richtig beschrieben hast, kann man ihm sich als Würfel vorstellen, der plötzlich auftaucht, sich nicht verändert und nach einer bestimmten Zeit verschwindet.

    Die Eckpunkte des Tesserakt sind die Eckpunkte des Würfels, wenn er auftaucht und die, wenn er verschwindet.

    Die Kanten des Tesserakt sind zum einen die Kanten des Würfels, wenn er auftaucht und die Kanten des Würfels, wenn er verschwindet. Zudem kommen die Eckpunkte des Würfels, die während der ganzen Zeit, wo der Würfel da ist auch da sind.

    Insgesamt sind es zwölf Kanten des Würfels, einmal zum Anfang und einmal zum Ende. Das macht 24 Kanten. Hinzu kommen die acht Ecken des Würfels. Das ergibt 32.

    Genauso wird mit den Flächen verfahren: Es sind zum einen die sechs Flächen des Würfels. Und zwar einmal zum Anfang und einmal zum Ende. Das machen zusammen zwölf Flächen. Hinzu kommen die zwölf Kanten und die ganze Zeit da sind. Es sind somit auch Flächen. Also hat der Tesserakt insgesamt 24 Flächen.

    Und da sind noch die Zellen, die 3-dimensionale Gebilde im 4-dimensionalen Raum: Ein Würfel am Anfang und ein Würfel am Ende sowie die sechst Flächen. Machen zusammen acht Zellen.

  11. #11 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    Eine Kugel passt gerade noch in eine Kiste, und doch ist sie darin praktisch nicht mehr zu finden. Solche Merkwürdigkeiten erwarten jeden Besucher hochdimensionaler Räume.

    Wenn man einen Ball in einem höherdimensionalen Raum verliert, würden wir vermutlich noch heute nach ihm suchen. 😉

  12. #12 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @Stephan.

    Vor nicht allzu langer Zeit hat es bei FF mehrere umfangreiche Artikeln zum Thema Klimawandel gegeben. Ach und sie heißt nicht Frau Prof. Sharkowa sondern Valentina Zharkova

  13. #13 Mars
    6. Januar 2018

    alles kommt eben wieder (und voll im off)
    2015 gabs schon diverse artikel darüber
    so abwegig erscheint mir das nicht, denn so ein sonnenminimum wie derzeit hatten wir lange keines mehr.

    http://www.tagesspiegel.de/wissen/wenn-die-sonne-pause-macht-droht-eine-kleine-eiszeit/12179602.html

  14. #14 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    Spamfiltertest

    @ Rehbein

    In welchem Raum hat die Kugel das größte Volumen? (Exakt: in welchem Raum passen die
    meisten n-Einheitswürfel in eine n-Einheitskugel? 1D: Faktor 2, 2D: Faktor 3.14…, usw.) Wie sieht das bei der Oberfläche aus?

    Viel Spaß dabei, wenn man nicht abstrahiert sondern versucht sich das Ganze mit den bekannten Erfahrungen vorzustellen.

  15. #15 tomtoo
    6. Januar 2018

    @Daniel Rehbein
    Schade ich finde den Link nicht mehr. Aber bei Numberphile hat auch eine Topoligin schon gesagt, sie könne sich 4 Räumliche Dimensionen nicht wirklich vorstellen. Da würde ich mich also nicht alzusehr sorgen, ; )

  16. #16 Karl-Heinz
    6. Januar 2018
  17. #17 Alderamin
    6. Januar 2018

    @Mars

    Man muss nur den letzten Absatz lesen, da steht alles drin, was man zu dem Artikel wissen muss. Neulich gab‘s irgendwo wieder eine Veröffentlichung, dass die Sonne mit der „kleinen Eiszeit“ nichts zu tun hatte, und angesichts des Klimawandels (die heißesten Jahre seit der Klimaaufzeichnung jetzt just im Sonnenminimum) droht uns ganz anderes als eine „kleine Eiszeit“.

  18. #18 Mars
    6. Januar 2018

    uups, bitte nicht falsch verstehen.
    ich hab nur den beitrag rausgesucht, weil das schon seit jahren so geht.
    der klimawandel wird dennoch alles in den schatten stellen (schatten nicht wörtlich).
    ich glaube nicht, dass wir da wirklich noch was aufhalten können – zumindest nicht willentlich.
    wenn uns dabei eine kleine abkühlung zugute kommt, bis sich CO2-arme/ -freie technologien durchgesetzt haben – gerne.

  19. #19 Fluffi
    6. Januar 2018

    Weiß jemand, wieviel die Winkelsumme in einem rechtwinkligen Dreieck im Vierdimensionalen ist?

  20. #20 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @Fluffi

    Ich würde sagen 180 Grad.

    Aber zum Glück gibt’s für dich ja noch die Hyperpyramide.
    Eine eindimensionale Hyperpyramide ist eine Strecke, eine zweidimensionale Hyperpyramide ein Dreieck und eine dreidimensionale Hyperpyramide die gewöhnliche Pyramide. Das Pentachoron ist eine vierdimensionale Hyperpyramide mit einem Tetraeder als Basis.

  21. #21 tomtoo
    6. Januar 2018

    Denke der Phytagoras geht in allen Dimensionen. Naja solange die halt gerade sind ? *Schulterzuck* ?

  22. #22 tomtoo
    6. Januar 2018

    Misst. Stelle mir gerade so ein dreick, innerhalb einer Gummikugel vor, und was mit dem passiert , wenn die Kugel deformiert wird. Habt ihr einen rennen ? Warum bin ich armer Troll nur auf SB gelandet ?

  23. #23 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @tomtoo
    Aber zum Glück kann man ja den n-Dimensionalen Raum, wie deinen Gummiball krümmen.

  24. #24 tomtoo
    6. Januar 2018

    @K-H
    Jetzt hör mal auf. Hatte gerade sowas wie eine spirituelle Erkenntniss. Hab ja von Mathe keinen Plan. Manchmal scheints ok zu sein das Hirn zu überfordern. Zumindest hat’s bei mir jetzt echt Denken im nur 3D Raum gefördert. Was willst machen ?

  25. #26 tomtoo
    6. Januar 2018

    @K-H
    Will mal so sagen. Für euch Mathe Menschen ist der Raum sowas wie ein Gummiball. In dem kleine Murmeln eingebettet sind. Die verändern die Elasziät des Gummis um sich rum sozugen ?

  26. #27 Fluffi
    6. Januar 2018

    @KarlHeinz #20
    Steiler Konjunktiv.
    In der Ebene sind zwei Geraden, die keinen Schnittpunkt haben, parallel. Im Raum ist das nicht so.
    Also eine Oberflächliche Antwort?

  27. #28 pane
    6. Januar 2018

    @tomtoo: Ich glaube, hier schmeißt Du etwas durcheinander. Es gibt Euklidische Geometrie in zwei Dimensionen, in drei, vier, fünf usw. Wenn man will auch in einer Dimension oder in 0 Dimensionen. Hier ist es aber besonders langweilig.

    Was ganz anderes sind nicht euklidische Geometrien. Etwa elliptische oder hyperbolische. Auch die gibt es in zwei, drei, vier, fünf usw. Dimensionen. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist in der euklidischen Geometrie immer 180°, ganz egal, ob die Geometrie zwei, drei, vier oder wieviel auch immer Dimensionen hat. Bei nur einer Dimension kann man kein Dreieck konstruieren.

    In einer elliptischen Geometrie ist die Winkelsumme eines Dreiecks immer größer als 180°, ganz egal, ob die Geometrie zwei, drei, vier, fünf Dimensionen hat.

    Bei einer hyperbolischen Geometrie ist die Winkelsumme immer kleiner als 180°. Auch hier unabhängig von der Dimension.

    Wie kann man eine elliptische Geometrie basteln? Ganz einfach: Man nehme eine euklidische Geometrie von einer um eins höheren Dimension und darin einen Punkt.

    Die Geraden der euklidischen Geometrie, die durch diesen Punkt gehen, bilden die Punkte der elliptischen Geometrie. Und die Ebenen der euklidischen Geometrie, auf denen dieser Punkt liegt, sind die Geraden der elliptischen Geometrie.

  28. #29 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @Fluffi

    In der Ebene sind zwei Geraden, die keinen Schnittpunkt haben, parallel. Im Raum ist das nicht so.
    Also eine Oberflächliche Antwort?

    Zwei Geraden (im Raum) sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden.
    Wo ist jetzt genau das Problem? 😉

  29. #30 tomtoo
    6. Januar 2018

    @pane
    Ich denke meine Vorstellung ist für eine Mathe Menschen trivial. Aber ich nehme einen Gummiball, ziehe in allen richtungen gerade fäden durch.Mache die Fäden aussen, in einem Kubischen Gitter fest. Die Fäden sind aber sozusagen mit den Gummie verwachsen. Schrumpft der Ball jetzt, bekomme ich eine hyperbolische Geometrie im Ball, wächst der Ball eine Elliptische ?

  30. #31 Karl-Heinz
    6. Januar 2018

    @tomtoo

    Am besten du trinkst mal aus diesem heiligen Gral.

  31. #32 tomtoo
    6. Januar 2018

    @K-H
    Sag mal dachte wir sind sowas wie Kumpels ? Hab ja schon öfter mal was getrunken, aber so schwurbelig, hab ich mich schon lange nicht mehr gefühlt. Warte, harter Stoff, muss ich geniesen. ; )

  32. #33 hmann
    7. Januar 2018

    tomtoo,
    um deine Phantasie zu beflügeln. Wenn man Dimension als Freiheitsgrad begreift, also als Richtung in die man sich bewegen kann, dann wurde eine Richtung vergessen.
    Die in sich selbst hinein. Der Geist in der Flasche ist ja nur so ein Beispiel in diese Denkrichtung.
    Wir können ja bis 10 hoch – 15 m “blicken”, aber dann ist uns ein ganzes Universum verschlossen. Z.B. bis 10 hoch -80m. Wer weiß was sich darin verbirgt.
    Und wir haben auch noch die gebrochenen Dimensionen vergessen. Wie sieht ein Raum aus, mit der Dimension 3,1 ?
    Und um es noch toller zu treiben, was hat es mit der Dimension – 3 auf sich.

  33. #34 hmann
    7. Januar 2018

    Nachtrag tomtoo,
    erik weiß sicher eine Antwort.

  34. #35 Joselb
    17. Januar 2018

    Das blöde am Nachlesen: Hab schon wieder die ganze Diskussion verpasst.

    @Daniel Rehbein
    Falls du das noch liest: Hatte mal für eine Weile versucht, mir eine Vorstellung von vierdimensionalen Räumen/Körpern an zu trainieren. Kam dabei immerhin so weit, mir eine Rotation eines Tesserakts um die 6 Basisebenen vorstellen zu können.
    Meine Erfahrung dabei war, dass die Vorstellung von Zeit als 4. Dimension sehr gut zum Verbildlichen der grundsätzlichen Zusammenhänge (wie von @pane erklärt) sind, aber eher ungünstig um sich damit eine Vorstellung des ganzen zu schaffen. Das Problem ist, dass unsere Wahrnehmung sich auf den Raumanteil (= Hyperebene) der Raumzeit beschränkt [1] und man analog mit Schnittflächen durch einen 3D-Körper auch nur schwer eine plastische Vorstellung von diesem bekommt.
    Ich habe mir zum Training einen Farbverlauf (z.B. von Rot nach Blau) als 4. Dimension vorgestellt. So hat jeder Punkt im Raum unendlich viele Unterpunkte, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden, z.B. kann man sich die Oberraum-Zellen (kann man das so nennen?) von einem Tesserakt so vorstellen:
    – 2 Würfel die komplett im roten bzw. blauen Bereich liegen (zum Grundraum parallele Zellen)
    – die 6 Flächen, die sich jeweils komplett vom roten zum blauen erstrecken und an jedem Punkt alle Zwischenfarben haben (zum Grundraum senkrechte Zellen)
    Um damit was anfangen zu können, ist es hilfreich sich erst einmal auf einzelne Zellen zu beschränken und für diese eine Intuition zu bekommen, das heißt sie ohne große Mühe im Kopf in 4D drehen zu können. Drehungen um Ebenen die parallel zur Farbrichtung (oder anders gesagt senkrecht zum Grundraum) sind entsprechen der von uns gewohnten Rotation um eine Achse im 3D-Raum, bei der nur zusätzlich alles rote rot, alles blaue blau und auch alles dazwischen so wie gehabt bleibt.
    Bei einer Drehung entlang der Farbachse und einer weiteren unserer Grundachsen wird’s aber schon schwieriger. Nehmen wir erst einmal eine Zelle die in unserem Grundraum liegt (also ein Würfel der weder rot noch blau ist). Fängt man diesen zu drehen an, wird eine der Seitenflächen langsam rot werden (und die gegenüberliegende blau). Zusätzlich (aber am Anfang deutlich langsamer) werden beide Seiten sich Richtung Mitte bewegen. Das gleiche passiert nicht nur für die Grenzflächen sondern in geringerem Maße auch für alle Flächen dazwischen. Kurz vor der vollen 90° Drehung hat man dann eine sehr rote Fläche und eine knapp daneben liegende sehr blaue Fläche und einen vollständigen Farbverlauf dazwischen. Bei 90° bleibt dann nur noch eine Fläche die an jedem Punkt von rot bis blau alles enthält. Und so haben wir einen zum Grundraum parallel Würfel zu einem zum Grundraum senkrechten Würfel gedreht. Für echte Intuition muss man das und alle anderen möglichen Drehungen und Verschiebungen von Grenzzellen verinnerlichen und dann auf den Tesserakt erweitern.
    Da der Kommentar aber sowieso schon viel zu lang ist (und mit Sicherheit im Spamfilter landet) hebe ich mir das für ein ander mal auf.

    @Florian: Falls du willst kann ich gerne mal einen ausführlicheren Gastbeitrag mit Animationen dazu machen (im Schreibwettbewerb klappt das leider nicht, zu viel Druck und zu wenig Freizeit, die ich dann lieber entspannter verbringe).

    [1] Dank Lichtgeschwindigkeit ist unsere Wahrnehmung genau genommen ein in die Vergangenheit gerichteter Hyperkegel. Aber erstens nehmen wir das nicht bewusst wahr und zweitens kann man den leicht zur Hyperebene deformieren. Oder wir beschränken uns gleich auf Newton.

  35. #36 Alderamin
    17. Januar 2018

    @Joselb

    Hab’ mir damals auf dem Amiga mal die Simulation eines 4D-Würfels programmiert, den man um alle Hauptachsen mit Tastendrücken rotieren konnte. Zur Visualisierung habe ich die 4. Koordinate in der Darstellung auf dem Bildschirm einfach weggelassen und das 3D-Gebilde aus zwei versetzten Perspektiven betrachtet auf den Schirm gezeichnet, in hellblau und hellrot, so dass es mit einer entsprechenden Brille dreidimensional betrachtet werden konnte.

    Bei einer der Rotationen kam so was wie bei dem GIF oben raus, ein Tesserakt, bei dem der Innen- und Außenwürfel die Positionen tauschten. Bei anderen Achsen drehte sich der Tesserakt im 3D-Raum. Und bei einer Rotation wuchs der innere Würfel in den äußeren hinein und dann wurde der äußere kleiner.

    Ganz ähnliche Effekte erhält man, wenn man den Schattenwurf eines 3D-Drahtwürfels auf einem Blatt Papier betrachtet, das ergibt zwei an den Ecken verbundene Quadrate (also “2D-Würfel”), die je nach Drehung die Plätze tauschen oder aufeinander fallen. Durch die Analogie kann man einen Menge lernen. Aber vorstellen kann man sich den 4D-Würfel natürlich trotzdem nicht.

  36. #37 Joselb
    22. Januar 2018

    @Alderamin: Ich behaupte, dass eine 4D Vorstellung für Menschen nicht prinzipiell unmöglich ist. Dafür ist das menschliche Hirn zu flexibel und lernfähig und kommt mit Übung auch mit sehr abstrakten Konzepten klar (z.B. Pointer in Informatik oder Funktionen höherer Ordnung etc.). Was 4D deutlich schwieriger macht ist die Tatsache, dass wir uns sehr auf unsere auf die 3D-Welt beschränkte visuelle Wahrnehmung verlassen und dabei auch vieler unbewusster Tricks bedienen (sonst würden optische Täuschungen nicht funktionieren).
    Daher sehe ich es als unpraktisch an, mit Bildern und Animationen eine unserer Erfahrung komplett widersprechende 4D Vorstellung erreichen zu wollen:
    1. Jeder Punkt auf dem Bildschirm entspräche nicht nur einem nach hinten gehenden Strahl sonder einer ganzen durch diesen Strahl und der vierten Grundrichtung aufgespannten Ebene
    2. Jeder Punkt in dem 3D Gebilde entspricht immer noch einem in die vierte Grundrichtung gehenden Strahl
    3. An die 3D Welt gewöhnt versuchen wir ständig unbewusst den Punkten eine 3D Position zu geben. Dieser Automatismus hindert uns daran, uns so etwas wie eine Position im 4D Raum vorzustellen (wer kennt nicht die Kippbilder die man zufällig in einer von mehreren möglichen Perspektiven sieht und man diese nur schwer bewusst wählen kann? Nur dass hier die richtige Perspektive gar nicht wählbar ist)
    4. Sehr wichtig für ein wirkliches Begreifen sind die Grenzbereiche eines Körpers (Konturen in 2D, Oberflächen in 3D). Ein Tesserakt hat 8 Grenzwürfel, die man sich mit ihrer Lage im 4D Raum vorstellen können muss.

    Meiner Meinung nach muss man 4D Vorstellung komplett im eigenen Kopf beginnen. Dabei wird man nicht darum herum kommen, sich wie bei anderen abstrakten Konzepten auch mit einem “Learning by doing”-Ansatz zuerst die einfachen Aspekte anzueignen. Und mit deren Hilfe kann man sich dann einer immer vollständigeren Vorstellung annähern. Nach sehr langer Zeit entwickelt man dann eine Intuition, die zwar nie an unsere 3D Vorstellen heran reichen kann (die wir ja bereits als Baby beginnen und dann ein Leben lang trainieren), aber trotzdem schon eine echte Vorstellung genannt werden kann.

    Und genau diese ersten Aspekte wollte ich in meinem vorherigen Post erklären. Und man könnte sie auch sehr gut als Grafiken darstellen, die ohne sie zu verinnerlichen immer noch nett aussehen dürften.

    5D und mehr halte ich hingegen für (nahezu) ausgeschlossen, weil wir uns erstens wegen 5+ Grundrichtungen noch weniger orientieren könnten und gleichzeitig die Geometrie so komplex wird, dass wir uns auch einen ähnlich komplexen 3D Körper nur schwer vorstellen könnten. (Ein 5D Würfel hätte einen Grenzraum bestehen aus 10 Tesserakten, die wiederum durch 40 Würfel, 80 quadratische Flächen, 80 Kanten und 32 Eckpunkten begrenzt sind)

  37. #38 Joselb
    22. Januar 2018

    Nur für den Fall, dass sich mein Post eben zu aggressiv liest: Ich bin nicht der Meinung, dass die Darstellungen wie oben im Post nutzlos sind. Man kann viel aus ihnen lernen und man bekommt auch eine gewisse Vorstellung. Mit Übung sogar von den unterschiedlichen Richtungen. Nur eine echte Vorstellung kann man sich aus den von mir genannten Gründen wohl kaum damit machen.

    Auf jeden Fall ist 4D sehr faszinierend und schon alleine die Tatsachen der 6 grundlegende Rotationsebenen, die senkrecht auf jeweils einer anderen Grundebenen stehen, ist unglaublich und toll zugleich.