In der Mathematik ist vieles möglich. In der Mathematik ist alles möglich, was sich widerspruchsfrei denken und in die logischen Grundlagen einarbeiten lässt. Diese Freiheit der Mathematik ist ihre große Stärke und das, was sie so faszinierend macht. Aber manches geht eben nicht. Man kann nicht durch Null dividieren. Aber warum eigentlich? Was hindert uns daran, diese Rechnung durchzuführen? Oder uns etwas auszudenken, dass diese Rechnung möglich macht? Das wird in diesem Video sehr schön und kurz erklärt:

Besonders wichtig finde ich in diesem Video auch den Hinweis darauf, dass 1/0 eben nicht einfach als “unendlich” gelesen werden kann. Denn das hört man ja durchaus oft. Und es kann sogar sinnvoll sein – allerdings nur unter ganz speziell definierten Umständen. 1/0 = ∞ funktioniert nur, wenn man sich vorher ganz genau darüber Gedanken gemacht hat, was Worte wie “Zahl” oder “Menge” bedeuten; was es bedeutet zu zählen und was man unter “unendlich” verstehen kann. Ich kann zu diesem Thema nur ein weiteres Mal das Buch “Beyond Infinity” von Eugenia Cheng emfehlen (Ich habe es hier ausführlich besprochen) in dem genau diese Dinge sehr anschaulich und verständlich erklärt werden.

Kommentare (77)

  1. #1 hmann
    9. Mai 2018

    Nach diesem video ist die Null keine natürliche Zahl.
    In der Mengenlehre repräsentiert die Null die leere Menge.
    Und da stellt sich auch die Frage, ob eine leere Menge noch eine Menge ist.
    Anmerkung: In der Mengenlehre muss es eine leere Menge geben, weil sonst die “und” Verknüpfung nicht vollständig wäre, d.h. die Schnittmenge von zwei Mengen, die kein Element gemeinsam haben.

  2. #2 Captain E.
    9. Mai 2018

    @hmann:

    Nun ja, aber man kann natürlich ganz penibel die Menge “N” (denkt euch noch einen senkrechten Strich dazu!) definieren als {1, 2, 3, 4, …} und die Menge “N0” als {0, 1, 2, 3, 4, …}. Eine abelsche Gruppe ( Z , + ) wäre ohne das neutrale Element 0 ja auch gar nicht zu definieren, geschweige denn die Körper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die 0 ist also eine ganz besondere Zahl und wurde daher auch erst relativ spät erfunden und natürlich macht sie zuweilen Ärger. Die Vorteile überwiegen jedoch.

    Wie soll man denn die Annahme treffen, dass für ein beliebig kleines ε trotzdem “ε > 0” gilt, wenn man keine 0 zur Verfügung hat? 😉

  3. #3 Conz
    9. Mai 2018

    Die anschaulichste Erklärung warum 1/0 nicht einfach gleich ∞ ist, ist der limes von der negativen Richtung aus betrachtet. Siehe “Numberphile” zu dem Thema:

  4. #4 hmann
    9. Mai 2018

    Captain E
    “Die Vorteile überwiegen jedoch”.
    Das sehe ich ganz genau so und die Erfindung der 0 war ja eine der großen Meilensteine in der Mathematik.

    Bei den Mengen hast du allerdings gemogelt, es solte ja eine Menge mit natürlichen Zahlen sein, und wenn du die O als natürliche Zahl hineintust, dann kommt sie als natürliche Zahl bei diesem Plausibilitätsbeweis wieder heraus.
    Interessant ist ja auch die Tatsache, dass x hoch 0 = 1

  5. #5 Captain E.
    9. Mai 2018

    “Gemogelt” würde ich das nicht nennen. Die Definition ist aber halt nicht ganz eindeutig. Mal enthält “N” als die Menge der natürlichen Zahlen bereits die 0, mal ist es erst “N0”, wo die 0 auftaucht. Zumindest kann man die Menge Z als Vereinigung aller Elemente {1, 2, 3, 4, …} und ihrer inversen Elemente {-1, -2, -3, -4, …} bzgl. der additiven Verknüpfung “+” ohne 0 nicht sinnvoll definieren.

  6. #6 stone1
    9. Mai 2018

    Die Null ist schon eine tolle Erfindung, ohne sie gäbe es auch keine Halbnull (H0) und Modellbauer hätten sich was anderes ausdenken müssen.
    1:87 rules! ; )

  7. #7 Laie
    9. Mai 2018

    Man soll auf die Probe nie vergessen!
    z.B. 12/4=3 und 3×4 =12

    Wer dass mit einer Null schafft hat gewonnen.

  8. #8 Laie
    9. Mai 2018

    -s

  9. #9 Jolly
    9. Mai 2018

    @ hmann

    „In der Mengenlehre repräsentiert die Null die leere Menge.“

    Es mag sein, dass hier so manche Null etwas teilen will (mitteilen), aber die leere Menge wird üblicherweise eher nicht durch die Null, bzw. durch 0 repräsentiert.

    https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Menge

  10. #10 hmann
    9. Mai 2018

    Jolly,
    Ja, Ja, Zahlen und Mengen darf man nicht durcheinanderbringen. Was schlägst du vor , Ordnungswidrigkeit oder Nachsitzen ?

  11. #11 hmann
    9. Mai 2018

    Laie 7
    (12 modolo 4) / (12 modolo 3) = (12 modolo 3) mal (12 modolo 4)

  12. #12 rolak
    9. Mai 2018

    modolo

    Was bitte soll das denn für ein Operator sein, hmann? Falls Du ‘modulo’ meinen solltest und dies überall ersetzt wird, ist die von Dir niedergetippte Gleichung allerdings immer noch völlig sinnfrei.

  13. #13 stone1
    9. Mai 2018

    Mist, @rolak war schneller. Modolo, gute Güte! Die ehemaligen Schüler des Wortspenders bedauere ich mit jedem weiteren seiner Kommentare noch etwas mehr.

  14. #14 rolak
    9. Mai 2018

    gute Güte!

    Gut gesagt, alternativ ginge evtl auch ein ‘Trololo!’, stone1, schon wegen des ‘o’Ausgleichs.

  15. #15 Jolly
    9. Mai 2018

    @hmann ist auf jeden Fall eine Nummer für sich.

    Für modolo spricht, da sind gleich drei kleine Nuller drin.

    Wie schon im alten Modolo, Hauptsache, man lässt sich kein X für ein V vormachen.

  16. #16 stone1
    9. Mai 2018

    Trololo: Sovietbot to entertain and overwhelm… kannte ich gar nicht, ist aber leider wieder stark in Mode (US-Wahl 2016, Brexit, …). Immer diese Retroshyse. ; )

  17. #17 hmann
    9. Mai 2018

    rolak, stone jolly
    Meine Aufgabe war für Laie bestimmt.
    Der hat guten Willen und ein wenig Phantasie.
    In meinem Computerhandbuch heißt es mod, Abkürzung für modulo.
    Was gibt es sonst noch zu meckern?

  18. #18 rolak
    9. Mai 2018

    sonst noch?

    s.o.

    In meinem

    Im www ist ratsam: erst lesen – dann denken – dann schreiben!

  19. #19 hmann
    9. Mai 2018

    rolak
    jetzt mal ernsthaft !
    Laie wollte den Ausdruck 12/4 = 3 und 3 mal 4 = 12
    mit einer Null dargestellt haben.

    Und das geht so :
    ( 12 mod 3 ) / (4 mod 3) = (3 mod 3) weiter

    (3 mod 3) mal (4 mod 3 ) = (12 mod 3) q.e.d.

    Zur Erläuterung: 12 mod 3 = 0 , 4 mod 3 = 1, 3 mod 3 = 0

  20. #20 Hans
    9. Mai 2018

    @rolak, #12:
    Wieso, das ergibt doch einen Sinn, nämlich Unsinn. 😉

    (12 modolo 4) / (12 modolo 3) = (12 modolo 3) mal (12 modolo 4)

    Also; 0 / 0 = 0 * 0
    ist doch schöner Unsinn, oder etwa nicht. :mrgreen:

  21. #21 Laie
    9. Mai 2018

    @hmann
    Beim Denken um unstetige Ecken hast Du die Nase vorn, daher auch Punktesieger! :)

    Die Leute wollen was Sicheres, so wie De Hospital oder gleichmässige Stetigkeit.

  22. #22 alex
    9. Mai 2018

    @hmann:
    Nein, Laie wollte offensichtlich ausdrücken, dass das ganze mit Null als Nenner des Bruchs im ersten Ausdruck (und damut auch als Faktor im Produkt auf der linken Seite im zweiten Ausdruck) nicht funktioniert.

  23. #23 rolak
    9. Mai 2018

    ernsthaft!

    Sorry, hmann, den Blödsinn, den Du (nicht nur) hier verzapfst, kann man nicht ernst nehmen. btw: zum Lachen ists auch nicht.
    Ist Dir nicht einmal aufgefallen, daß die beiden von Dir völlig sinn- und kontextfrei dargelegten, nur aus formalen Gründen ‘Gleichung’ zu nennenden ZeichenWolken etwas völlig Verschiedenes formulieren?

    Laie wollte den Ausdruck 12/4 = 3 und 3 mal 4 = 12 mit einer Null dargestellt haben

    Aber doch nicht von einer Null – denn daß Du Laies erstaunlich sinnvollen Beitrag entweder vorsätzlich oder völlig falsch verstanden hast, sollte Dir alex bereits klargemacht haben

  24. #24 KKs Ranger
    10. Mai 2018

    Hmnnn …. Ich versteh das Problem des Problems beim Teilen durch 0 nicht wirklich. Nun gut, ich bin aber auch eher Philosoph als Mathematiknerd. Für mich ist die Kardanilität des Dezimalsystems nicht 10, sondern 2x2x2,5

    Aber es heißt doch noch immer 0/0=?, oder?

    Die Mathematik hat bisher weder bewiesen, dass nicht durch 0 Teilbar ist, sondern sich dieser Beweisführung nur angenähert, man hat aber noch nicht entkräftet, dass durch 0 teilen nicht möglich ist.

    Heißt, derjenige der x/0 Definieren möchte, macht den Schlussstrich

    Das Dualsystem zeigt doch theoretisch, wie es funktioniert.

    Im Dualsystem wird die Hand x und Hand y nicht als Menge 2 zusammengefasst, sondern ist der Quersummensummand des Systems und damit seine Basis. Dafür ist aber Hand X und Y unterscheidbar

    Also geh ich doch an x/0 so ran, wie es im Dualsystem aufgezeigt wird – Denn die Quersummanden der Basis des Dezimalsystem entspricht auch ihrer Wertigkeit im Dualsystem (1)

    (x/y)=(y/y)=x
    sowie
    (y/x)=(x/x)=y

    Geh ich da mit mod ran, bleibt wie im Dualsystem nur die Frage nach den Vorzeichen, welches x und y voneinander unterscheidet.

    Wieso also nicht über die Basis des Dezimalsystems bzw. seiner Quersumme beweisen, dass der Exponent des Potenzwertes 1 bei der Basis 1 0(x) oder 1 (y)sein kann.

    Also definiere ich für beide Gleichungen die Fälle, in denen die Variablen gleich sind, (0), in denen eine Variable 1 ist, sowie wo sie sich zwischen 0 und 1 bewegen und wo sie größer als 1 sind. (Fehler sind hier mathematisch möglich, weil ich mir an der Stelle nicht sicher bin, ob die Fallbetrachtung 1 mit einschließen muss, und zu faul bin rauszusubtraiheren, wo sie nicht hingehört)

    Gut, okey das liefert nur den Nachweis der Disjunktion und Konjunktion zwischen 0 und 1, ist aber schon mal ein Anfang. Halte ich zwar für total dämlich, weil die Parität von Null vorgegeben ist aber hey, mathematik.

    Danach ist die Frage, ob man die Parität von 0 als dahingestellt annimmt oder wie man mit den Gleichungen umgeht – Durch die neutralität der 0 bei Vorzeichen, ist die Parität der 0 eine Annahme, die als bewiesen zählt.

    . Denn zähl für x sowie y 0, ist keine Fallbetrachtung nötig, zerfällt mir also das Rechenbeispiel, und als Philosoph würde ich den Mathematiker fragen, ob es seine Devisionsrechte nicht einschneidet, wenn ich das Beispiel fallen lasse. Heißt, Parität beweisen.

    Ergo an dieser Stelle: Parität nicht zweifelsfrei bewiesen, wir dürfen passieren, also das Tor zur weiteren Beweisführung der Division durch 0 passieren, wie auch Realität nur durch Division durch 0 passieren kann.

    Die Lateinische Sprache hat sich schon was dabei gedacht, Materie und Realität den selben Begriff zu geben.

    Die Frage ist also, wie geht man da ran – Nun, ich würde für die Schnittmengen von x sowie y = 0 wissen wollen, ob die mindestens eine weitere Variablenlösung möglich ist, die nicht 1 oder 0 ist.

    Würde also heißen, dass man sich nen Erklärungsmuster auf Basis der Basis des Dezimalsystems Herauskramen , welche die Nullstellen sowie die Zahl Eins anhand des “Zählers” Der Division herleiten lassen kann, also:

    Transzendente Zahlen, weil sie die einzigen Zahlen sind, bei der die Division durch 0 nicht zweifelsfrei in einer Sackgasse enden. (Erklärung für die Verwendung: Buhh Sinus von 1, der Summandenanzahl der Basisquersumme des Dezimalsystems – Also wie man anhand der Basis 10 und der Quersumme versucht geometrisch um die Variablen mal 0 zu erweitern)

    Wie das Herleitung der Nutzung der Transzendenten Zahlen aussieht, gerade bezüglich Sinus von 1, der Summandenanzahl der Basisquersumme des Dezimalsystems, … nobody knows, ich vermute ein Quadrat mit der Einheit 10, darin ein Quadrat, dass die Teilmenge einer Variable beeinhaltet, sowas in der Art halt)

    End vom Lied wäre aber, dass man bewiesen hat, das man aufgrund periodische Betrachtung der Zahl 0 nicht sicher sagen kann, dass x/y nicht eine Nullstelle einer transzendenten Zahl sein könnte, aber die Transzendente Zahl tatsächlich keine algebraische Zahl ist – Warum das so wichtig ist:

    Diese Betrachtung, transezendte Zahl, ist die Einzige Betrachtungsweise, die es Mathematisch zweifelsfrei erlaubt, denn dezimalbruch einer geraden Zahl darauf zu untersuchen, ob sie wirklich “0” ist.

    (Hehe – Ende vom Lied, dank der Periodenregeln, hat man die 0 im Zähler, muss also aufgrund der Nennerbetrachtung 0xunendlich, sowie der Betrachtung als Nullmenge sowie leere Menge die 0 stehen lassen, weil 0/0 nur metaphysisch unendlich ist, real 0xunendlich aber 0 bleibt.)

    Von hier an ist es ja relativ einfach

    Wir suchen ja nicht einen Faktor, der uns Erlaubt die Gleichung (1/0)*x=1 aufgehen zu lassen (bisschen schon, nevermind), wie es im Ted Talk erklärt wird, wir suchen eine Mathematische Möglichkeit, , die es es unser erlaubt, 1/0=1/x so zu erweitern, dass wir x gleich 0 setzen können, ohne den Zähler zu verändern.

    Heißt, das ganze Wirr Warr schön brav auflösen und sauber darstellen und aufgrund 0/0 eben noch die Gegenrechnung und Fallreduzierungen durchfüren.

    …. Wahrscheinlich werf ich da aber auch alles nur in einem Topf und rühre gut rum.

    Aber wer mathematisch behaupt, etwas geteilt durch 0, sei mathematisch unendlich, der hat sie wahrlich nicht mehr alle.

    Endweder bleibt geteilt durch 0 der Zähler sowie eine Nullmenge (Beispiel: Aussetzen beim Poker, sofern der Spieler per Algo analysiert wird) ,

    – ist aufgrund der vorher festgelegten Mengenbetrachtungsfunktionen eine leere Menge sowie der Zähler (Beispiel: Ich teile 99 Luftballons durch niemanden, so sind noch immer 99 Lufballons vorhanden, aber diese Luftballons sind einfach 99 Luftballons für 0 Personen – Der Der Betrachter ja nicht sich selbst festlegt )

    oder die Gleichung x/0 ist für weitere Nenner vorhanden, womit man gleichzeitig eine Leere Menge in Abhängigkeit von X definiert, also 0/0xUnendlich, als auch eine Nullmenge.

    Das ist Metaphysisch in Anwendung nicht unendlich, sondern einfach etwas in die Unendlichkeit werfen, und aufgrund dessen, dass es nicht geteilt wurde, unendlich wird, also sich transformiert.

    Es sei denn, ist 0/0 beziehungsweise unendlich/0.

    Bei der Betrachtung ist aber Unendlich als eine Leere Menge nur eine Nullmenge, sobald man rein mathematisch wird.

    Wenn niemand da war, kann Jesus Wasser in Wein Verwandelt haben und tausende Fische Geangelt haben, hat er sich tausendmal als eine andere Person ausgegeben ist das quasi wahr, aber für den Leser 0/0 – In vino veritas

  25. #25 hmann
    10. Mai 2018

    alex 20
    du hast den Spaß wenigstens verstanden . Anders habe ich es auch nicht gesehen.

    rolak
    habe ich dein ersthaftes Bemühen durchkreuzt?
    Die Steilvorlage von Laie habe ich natürlich ausgenützt.
    “Wer dass mit einer Null schafft hat gewonnen.”
    Bei dem Wort “gewonnen” hättest du merken können, dass Mathematik auch Spaß macht.
    Natürlich steckt auch ein wenig Ernsthaftigkeit darin, ich wollte die “Restklassen” in Erinnerung bringen.

  26. #26 hmann
    10. Mai 2018

    KK Ranger

    mit dir kann man etwas anfangen.
    Nimm dir mal meine Gleichung von #19 und stelle sie um !
    du erhältst : (12 mod 3)/ (3 mod3) = (4mod3) mal (4 mod 3)

    Und das ergibt 0 / 0 = 1 mal 1
    Und schon ist das Problem gelöst ! 0/0 = 1

    Rolak nicht verzweifeln ! (Mathematik muss Spaß machen )

  27. #27 KKs Ranger
    10. Mai 2018

    hmaan

    Ahhhh … Aber, wenn du bei #19 mit einer Primzahl argumentierst, und dann nicht das Ergebnis anhand der Faktorisierung betrachtest, dann argumentierst du dass der Zähler bei der Division durch Null ungerade ist, auch dann, wenn der Zähler Gerade ist.

    Die angesetzte Lösungsweg bei #19 zeigt nur, dass bei 0/0 die Zähler 0 ungleich des Nenner 0 ist, also M=0 ungleich N=0 ist, also wir uns nicht 0/0 anschauen, sondern (0*m)/(0*n ).

    Mache ich da die Mathematik, habe ich 0/0= m/n, aber aufgrund der Parität der Vordefinierten Werte von m und N muss es ja 0/0= 1+(-1m/-1n) heißen

    Aufgrund dessen aber, dass ich hier eben nicht zwei gleiche Nullen habe, aber mit Parität arbeite, betrachte ich ja wieder nur zwei ungleiche Nullen, mit einem Rest, bei anderen Zählern durch 0, ein undefinierten Rest

    Eine Endlosschleife, solange wir nicht ohne Regelbruch vom Dezimalsystem ins Dualsystem schleifen können.

    Mod zeigt uns nur auf, dass durch die Basis 10 die Quersumme der Dezimalsystembasis immer mit durch 0 zu teilen ist und wir mathematisch gezwungen sind, diesen Fall immer mit anzugeben

    Definiere ich aber, dass diese Betrachtung endweder zu einer Nullmenge als Leeren Menge führt und eine bei 0/0 als 1 definierte Leere Menge als Schnittmenge mit x/2 hat

    Demensprechend ist 0/0 nur Eins, wenn die Mengendefinition des Gesuchten Ergebnis es mir erlaubt, das Ergebnis mit 1 gleichzusetzen. (Das funktioniert aber nur als Teilschritt weil du ja dann in der schnittmenge weitermachen musst)

  28. #28 hmann
    10. Mai 2018

    KK
    du hast ja Recht.
    Streng genommen operiere ich nicht mit der Zahl 0, sondern mit der Restklasse 0 .
    Die Restklasse 0 ist die Menge aller Quotienten mit dem Rest 0. Das sind unzählig viele.
    Und wenn ich rechne:( Restklasse 0) / (Restklasse 0) ergibt das (Restklasse 1) mal (Restklasse 1) oder 1².
    Weil ja die Faktoren auf dem Bruchstrich den gleichen Wert haben wie die Faktoren unter dem Bruchstrich. Gekürzt ergibt das 1.
    Mit den Primzahlen hast du mir einen Knüppel zwischen die Beine geworfen, weil der Quotient aus 2 Primzahlen nie eine ganze Zahl sein kann.
    Aber probieren wir es dennoch:

    19 / 17 = 19/17
    (19 mod 17) / (1 7 mod 17) = (19/17 mod 17)
    2 / 0 = (2/ 0)

    und jetzt vertauschen
    (19 mod 17) / (19/17 mod 17) = (19/17 mod 17) mal (17 mod 17)
    ausgerechnet
    2/ (2/0) = 2/0 mal 0
    0 = 0
    Hier habe ich tatsächlich durch 0 dividiert, aber die 1 ist mir abhanden gekommen. so ein Mist!

  29. #29 Laie
    10. Mai 2018

    @KKs Ranger
    Zwei Nullen haben den Vorteil damit genau 1 WC beschriften zu können.

    @hmann
    Du hast die volle Punkteanzahl erreicht! :)
    (Sowas Ähnliches hab ich zwar schon geschrieben, aber es gab bei den Scienceblogs gabs wohl eine Datenverschindungspanne)

  30. #30 Jolly
    10. Mai 2018

    @hmann

    Mathematik muss Spaß machen

    Dann sollte es sich bei dem Spaß aber auch um Mathematik handeln, nicht? Sonst könnte man ja weiterhin sagen, nur anderes würde Spaß machen. Ein besonderer Spaß wäre es gar, die Mathematik durch den Kakau zu ziehen.

    Es sollte versucht werden, Fehler zu vermeiden, z.B. solche durch Vertauschen von o und u (Ausnahme: ausgleichende Gerechtigkeit); 0 und 1; 0 und ∅

    4 mod 3 = 1

    Was ist 4 mod 0 ?

  31. #31 Tox
    10. Mai 2018

    @KKs Ranger:

    Für mich ist die Kardanilität des Dezimalsystems nicht 10, sondern 2x2x2,5

    Was bedeutet das? Insbesondere, was ist “Kardanilität”? In der Mengenlehre gibt es den Begriff der “Kardinalität” oder “Mächtigkeit”. Aber dieser bezieht sich stets auf eine Menge (z.B. ist die Kardinalität {1,2,3} gleich 3) und ein Stellenwertsystem ist keine Menge.

    Im Dualsystem wird die Hand x und Hand y nicht als Menge 2 zusammengefasst,

    Was bedeutet das? Was genau meinst du mit “Hand x” und “Hand y”? Was meinst du mit “als Menge 2 zusammengefasst”?

    sondern ist der Quersummensummand des Systems und damit seine Basis. Dafür ist aber Hand X und Y unterscheidbar

    Was bedeutet das? Was ist ein “Quersummensummand”? Was genau meinst du mit “Basis”?

    Und so weiter und so fort.

    Wenn du dich mit anderen austauschen willst, wäre es hilfreich, nicht deine eigene Privatterminologie zu verwenden.

  32. #32 KKs Ranger
    10. Mai 2018

    @Tox

    Ist es legitim dich “Rechtschreibnazi” auf einen Blog, der sich mit Wissenschaft befasst, zu nennen, oder verarscht du gerne Kurzsichtige, denen um Mitternacht langweilig ist xD Dazu nochmal lesen, was ich eingangs geschrieben hatte (Philosophie), was du ja erfragst bezieht sich nicht auf x/0 sondern, den Gedankengang, denn ich dorthin genommen habe

    Das mit der Mächtigkeit sollte also nur darstellen, dass man mit der Mathematischen Logik spielen bzw. jene ausreizen muss, wenn man durch 0 teilen möchte.

    Für mich ist die Zehn eine Erweiterung der Einstelligen Zifferzahl , bei der beschrieben wird, das man bei 9+1 nicht eine neue Ziffer erschafft, also für über die 9 hinausgehende Zahle eine eigene Ziffer genutzt wird, sondern dass man sich einen Trick einfallen, nämlich jenen, dass man eben die zweistellige Menge anhand einer neuen Zählung darstellen lässt

    2x2x2,5 ist als Mengenfunktion 10, ich hab die Menge also nur anhand dessen beschrieben, wie ich als “erschaffer” eines Stellenwertsystem die Zahlziffer Null rechtfertigen würde. Muss man nicht verstehen, darf man selber rumknobeln, die Idee wird im Ted Talk ab 1:26 gut dargestellt

    “Was genau meinst du mit “Hand x” und “Hand y”? Was meinst du mit “als Menge 2 zusammengefasst”?”

    Im Dezimalsystem sind Fünf Finger der einen Hand + Fünf Finger der anderen Hand insgesamt 10 Finger.

    Heißt also 1×5+1×5=10

    Das Dezimalsystem schafft es aber nicht, die 5 Finger einer Hand der Hand zuzuschreiben – X ist also X, egal ob das eine X nun links ist, und das andere X rechts ist. Zwar kannst du durch den Absolutbetrag in einer Gleichung denn Unterschied ziehen, mathematisch bleibt jener aber nicht vorhanden.

    Ist mathematisch ja normalerweise auch völlig untragisch, weil man die Variable auch ändern kann, also x=5, y=5. Dann ist x=y.

    Wenn aber X und Y undefiniert sind, bzw gleichgesetzt sind und als Ziffer (5+5=10) angegeben sind, kannst du unmöglich einen Rückschluss darauf abgeben, welche Finger welcher Hand gemeint ist. Das ist ja ein Teil des mathematische Problem, wenn man Erklären möchte, weshalb man durch 0 teilen kann

    Das Dualsystem dagegen macht diesen Unterschied, besser gesagt, lässt ihn offen, also die eine Hand ist gleich 0 definiert, die andere Hand gleich 1, bzw linker daumen 0, rechter daumen 1, usw.

    Einfacher gesagt: Arbeitet man im Dualsystem mit Variablen, ist es einfacher etwas zu definieren, als wenn es im Dezimalsystem getan wird

    Die Menge im Dualsystem ist ist immer 2, also am Beispiel der Hand gesagt, hast du zwei Hände, deren Seite du als variable selbst definieren kannst (Also du bzw. die angewendete Technik entscheidest ob rechts nun 1 oder 0 ist)

    Wie gesagt, das geht im Dezimalsystem nicht. Eine Hand bleibt eine Hand mit der Menge 1, egal ob du ihr nun die Variable x oder y zuweist. Durch Absolutbetrag kannst du das zwar Festlegen, dann dann hast du aber z.b nicht alle rechten Hände in Abhängigkeit ihrer Anzahl definiert , sondern eben nur eine Hand in Abhängigkeit ihrer Seite.

    Zur Basisfrage, das war etwas hastig formuliert.

    Ich hab da einen zulässigen, aber nicht erklärten Trick angewendet.

    Die Basis im Dualsystem ist zwei. Alles was über die 0 und 1 an Zahlen hinausgeht, kann nur durch diese Zahlen dargestellt werden (Stellen und Wertigkeit)

    Die Zahl zwei ist ja nicht 2, sondern 1 0, deshalb ist 1 auch nicht einfach 1, sondern 0 1, und 0 eben 0 0.

    Die Zwei, die Basis des Dualsystems, hat also zwei (oder unendlich) Stellen, deren Wert bei jeder Stellenerweiterung mit dem Basisstellenwert exponentzial um die Basis erweitert wird (2,4,8,16

    Man kann also sagen, dass im Dualsystem jede Zahl mehrstellig ist (Weil man ansonsten Variablen, nicht Zahlen betrachtet), und daher man auch die Quersumme von Zahlen berechnen kann

    Ihre Quersumme ist also 2^1 also 2 , weil wir, auch wenn wir es mathematisch etwas anders definieren, aus dem Dezimalsystem (Zahlensystem) heraus auf das Dualsystem schauen.

    Quersummensummanden wäre hier also 2+0 oder (0hoch unendlich) + (1+1) + (0 hoch1). Da wir jedoch hier bei der Basiszahl 2 sind, kann man argumentieren, dass die Menge ihrer Unendlichen Nullen der Anzahl ihrer Stellen Nullen entspricht, sie nicht Unendlichx0+1+1+0 Stellen hat, sondern nur eine. Die Zwei ist im Dualsystem quasi die 1.

    Was daran Privattermonologie ist, weiß ich ehrlich gesagt nicht wirklich, ich bin aber gerne bereit zuzugeben, dass ich an dem Punkt aufgrund der philosophischen Betrachtung nicht genau mit der mathematischen Nutzung des Begriffs Quersummand umgegangen bin – Obwohl die Quersummenbetrachtung durchaus Zulässt, die Stellenfolge als Ziffernfolge zu betrachten.

  33. #33 hmann
    10. Mai 2018

    Jolly
    4 mod 0 Ist nur eine andere Schreibweise für 4 / 0
    Was da herauskommt, wollen wir ja gerade festsstellen, also nicht voreilig werden !

    Aber, da heute Feiertag ist :
    Folgende Definition:

    0/0 = k, wenn gilt a/b = c und

    (a mod c) / (b mod c) = (c mod c)

    dann ist k = (b mod c)
    oder 0 / 0 = k
    Damit hätten wir eine Definitionslücke geschlossen.

    Um konstruktive Kritik wird ausdrücklich gebeten !

  34. #34 hmann
    10. Mai 2018

    KK Ranger
    Zahlen als Informationsträger.
    Deine Idee , dass man beim Dualsystem gleich erkennt, welche Zahl von der linken oder der rechten Hand repräsentiert wird ist. gut.
    Aber auch im Dezimaslsystem geht das. Die ungeraden Zahlen sind an der linken Hand, die geraden Zahlen an der rechten Hand.
    Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

  35. #35 Tox
    10. Mai 2018

    @KKs Ranger:

    Es geht mir nicht um Rechtschreibung. Die ist mir relativ egal, solange einigermaßen klar ist was gemeint ist. Bei deinen Kommentaren ist das nicht der Fall. Und das liegt nicht an der Rechtschreibung.

    Was daran Privattermonologie ist, weiß ich ehrlich gesagt nicht wirklich …

    Für dieses Problem gibt es zwei ziemlich offensichtliche Lösungen: Du könntest entweder ein wenig Mathematik lernen und dadurch erfahren, mit welchen Bedeutungen Mathematiker bestimmte Begriffe verwenden. Oder du könntest die Begriffe die du verwendest definieren. Leider hast du dich gegen beides entschieden.

    Als Beispiel nehme ich den dritten Satz aus deinem Kommentar #24

    Für mich ist die Kardanilität des Dezimalsystems nicht 10, sondern 2x2x2,5

    Anscheinend hast du ja “Kardinalität” statt “Kardanilität” gemeint. Nur leider macht dieser Satz auch dann in der Standardterminologie keinen Sinn. Wie ich bereits schrieb, haben nur Mengen eine Kardinalität. Und ein Stellenwertsystem ist keine Menge. Daher gibt es keine “Kardinalität des Dezimalsystems”.

    Nun gibt es mehrere Möglichkeiten: Entweder du verstehst nicht was “Kardinalität” bedeutet, oder du verstehst nicht was ein Stellenwertsystem ist, oder du verwendest deine eigene private Definition von “Kardinalität”, für die dieser Satz möglicherweise einen Sinn hat. Aus Gründen der Höflichkeit ging ich in Kommentar #31 von dieser letzten Möglichkeit aus. Daher “Privatterminologie”.

    Nun hast du es vorgezogen, auf keine meiner Fragen ernsthaft zu antworten, und mich zudem zu beleidigen. Daher tendiere ich inzwischen eher zu einer der anderen Möglichkeiten. Und ich sehe auch keine Sinn mehr darin, mich mit dir zu unterhalten. Viel Spaß noch mit deiner Privat-Mathematik.

  36. #36 pane
    10. Mai 2018

    @Captain E.: » “N” (denkt euch noch einen senkrechten Strich dazu!)«

    Ursprünglich wurden die Mengen wie N, Z, Q, R und C einfach halbfett gesetzt. Aber an der Tafel ist das mit dem halbfetten so eine Sache, deshalb behalf man sich mit Doppelstrich. Und das hat sich wohl durchgesetzt.

    @hmann: Die leere Menge ist vor allem wichtig, damit man überhaupt mal ein Element hat. Wenn man reale Dinge nimmt, wie in der naiven Mengenlehre, stößt man sofort auf Probleme. Nimm z.B eine Menge von drei Streichhölzer. Dies ist sicherlich eine dreielementige Menge. Nun brich ein Streichholz durch. Und jetzt? Ist es auf einmal vierelementig? Was ist mit drei Ästen? Einer fault in Laufe der Zeit durch. Und nun? Zweielementig? Aber da ist ja noch Moder übrig. Wie man sieht, mit realen Dinge hat man nur Probleme. Daher geht man in der Mathematik dazu über nur noch abstrakte Mengen zu nehmen. Zum Beispiel die leere Menge oder die Menge, die nur die leere Menge als Element hat, die Menge die sowohl diese Menge als auch wieder die leere Menge als Elemente hat. Usw. genauso werden die natürlichen Zahlen definiert.

    @all: Es wird die ganze Zeit vorausgesetzt, dass das Distributivgesetz gilt. Wieso eigentlich? Wenn wir einen Ring im algebraischen Sinn haben. Also eine Abelsche Gruppe bzgl + und der 0 als neutrales Element, sowie das Assoziativgesetz bzgl * und verbunden mit dem Distrubutivgesetz, so geht ein Teilen mit der 0, also dem neutralen Element der Addition nicht.

    a geteilt b bedeutet, man muss ein x finden mit x * b = a und dieses x muss eindeutig sein. Nun gilt aber in jedem Ring 0 * b = (0 + 0) *b da 0 das neutrale Element der Addition ist. Weiter gilt mit dem Distributivgesetz
    0 * b = (0 * b) + (0 * b)
    Nun ist 0 * b ein Element des Rings und somit der abelschen additiven Gruppe. In einer Gruppe ist die Addition eines Elements eineindeutig. Es gilt:
    0 * b = 0

    Es gilt für jedes b: 0 * b = 0 und entsprechend für jedes a: a * 0 = 0 Das gilt für alle Ringe. Hat der Ring mehr als ein Element, gibt es somit keine eindeutige Lösung x für unsere ursprüngliche Frage nach x * 0 = a. Ist a ungleich 0, so gibt es gar keine Lösung, ist a = 0, so ist jedes Element des Rings eine Lösung und somit nur eindeutig, wenn der ganze Ring nur aus einem einzigen Element besteht. Dieses Element kann man dann auch 0 nennen und es gilt sowohl 0 + 0 = 0, als auch 0 * 0 = 0. Nicht sonderlich interessant, aber alle Regeln sind erfüllt, es ist ein Ring.

    Also mit Ausnahme dieses kranken, einelementigen Rings gibt es keine Ringe bei denen man durch 0 teilen kann. Um das zu zeigen braucht man kein epsilon, dass immer mehr der 0 angenähert wird. Man braucht noch nicht mal eine Ordnungsstruktur. Viele Ringe haben auch gar keine.

  37. #37 PDP10
    10. Mai 2018

    @pane:

    0 * b = (0 * b) + (0 * b)

    Etwas verwirrendes Beispiel IMHO.

    Wenn man das “wörtlich” nimmt steht da nämlich (linksdistributiv):

    (0 * b) + (0 * b) = 0 * (b + b)

    Ändert nix, sieht aber komisch aus. Insbesondere könnte man fragen wieso 0 * b dasselbe ist wie 0 * 2b. (Ist es. Macht dem nicht-so-mit-Mathe-Auskenner aber eventuell Zahnschmerzen).

    Ansonsten gute Zusammenfassung übrigens!

  38. #38 pane
    10. Mai 2018

    ja, das war verwirrend. Das Distributivgesetz bezog sich auf:
    (0 + 0) * b = 0 * b + 0 * b

    In Ordentlich sieht das so aus: (Ich hoffe mal, dass das mit den Umbrüchen so klappt.)

    0 * b = (0 + 0) * b | 0 ist neutrl. El. der Addition
    = (0 * b) + (0 * b) | Distributivgesetz
    0 = (0 * b) | Auf beiden Seiten – (0 * b)

    Also ordentlich sähe es aus, wenn die = übereinander stünden.

  39. #39 PDP10
    10. Mai 2018

    @pane:

    Also ordentlich sähe es aus, wenn die = übereinander stünden.

    Tun sie nicht. Macht aber nix. So ist viel ordentlicher – meint besser verständlich. Passt! :-).

  40. #40 rauskucker
    10. Mai 2018

    “Black holes are where God divided by Zero.”
    Steht da ganz am Anfang. Und ich dachte, das wäre der Grund, warum das Thema hier auftaucht.

  41. #41 PDP10
    10. Mai 2018

    @rauskucker:

    Steht da ganz am Anfang. Und ich dachte, das wäre der Grund, warum das Thema hier auftaucht.

    Tja. Ist es offensichtlich nicht. Die Überschrift über dem Artikel hätte dir das auch verraten können.

    Und jetzt?

  42. #42 PDP10
    10. Mai 2018

    @rauskucker:

    Nachtrag:

    Wenn deine Frage ernst gemeint war und dich das wirklich interessiert … hier hat Florian schon mal was dazu geschrieben:

    http://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2014/10/13/ist-ein-schwarzes-loch-eine-singularitaet-und-kann-es-sowas-ueberhaupt-geben/?all=1

  43. #43 hmann
    11. Mai 2018

    pane
    Danke für die erschöpfende Analyse über die Eigenschaften eines Ringes .
    Besonders dieser Satz:
    “x * 0 = a. Ist a ungleich 0, so gibt es gar keine Lösung, ist a = 0, so ist jedes Element des Rings eine Lösung und somit nur eindeutig, wenn der ganze Ring nur aus einem einzigen Element besteht. Dieses Element kann man dann auch 0 nennen und es gilt sowohl 0 + 0 = 0, als auch 0 * 0 = 0. ”

    Wenn ich also x mal 0 = 0 umforme in:
    x = 0 / 0 , wobei x =0, dann wäre der Ausdruck 0/0 =0
    zulässig oder nicht ?

  44. #44 gedankenknick
    11. Mai 2018

    @Stone #6
    Wurde ja schon ausgedacht. Nennt sich z.B. “N” (1:160)… 😉

  45. #45 Zhar
    11. Mai 2018

    @hmann
    “Wenn ich also x mal 0 = 0 umforme in:
    x = 0 / 0 , wobei x =0, dann wäre der Ausdruck 0/0 =0
    zulässig oder nicht ?”

    hier wird 0/0 ja bereits in der umformung genutzt, auch wenn du es anscheinend nicht weißt und zwar als neutrales element der multipikation also 0/0=1, somit hast du einen widerspruch. im detail:
    x*0=0 | :0
    (x*0)/0 = 0/0
    x *(0/0) = 0/0 | 0/0=1 <- deine annahme
    x* 1 = 0/0
    x=0/0

  46. #46 hmann
    11. Mai 2018

    Zhar
    gut erklärt!
    0/0 kann nicht gleichzeitig 1 und dann wieder 0 sein !

    gedankenknick
    bei 1: 160 wären viele Leute nur noch 1 cm groß !
    Ob die Größe von Gedanken auch von der Körpergröße abhängt? (eigener gedankenknick)

  47. #47 stone1
    11. Mai 2018

    @gedankenknick
    Es geht mit “Z” sogar noch kleiner (1:220), das macht aber keinen Spass mehr wenn man größere Hände als Trump hat und nicht dauernd eine Lupe verwenden will. : )

  48. #48 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @hmann

    Man wandle folgenden Ausdruck (n-1) mod n in einen Ausdruck ohne mod um. Dabei sei n Element der Ganzen Zahlen ohne 0.
    Wie lautet der Term?

  49. #49 hmann
    11. Mai 2018

    Karl-Heinz
    das wäre – 2 / – 1 = 2
    mit mod = 0

  50. #50 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @hmann
    Schmunzel … Nein
    Gesucht ist eine Funktion f von n, die äquivalent zu „(n-1) mod n“ ist.

  51. #51 Captain E.
    11. Mai 2018

    @Karl-Heinz:

    Nur mal so aus Interesse: Forderst du tatsächlich die Ganzen Zahlen ohne Null als Wertemenge, oder doch nur die Natürlichen Zahlen ohne Null?

  52. #52 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @ Captain E.
    Die ganzen Zahlen ohne 0. (…,-3,-2,-1,1,2,3,…)

  53. #53 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @ Captain E.
    Von mir aus könnte n auch reell ohne 0 sein.
    „(n-1) mod n“ äquivalent zu ?
    Ich erwarte mir schon, dass @hmann auf diese triviale Frage eine Antwort eine Antwort weiß.

  54. #54 Captain E.
    11. Mai 2018

    @Karl-Heinz:

    Das sollte er wohl, nur wird die von dir geforderte Funktion durch diese Forderung schon ein klein wenig spezieller, nicht wahr?

  55. #55 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @ Captain E.
    Für ganze Zahlen ohne 0, muss man unterscheiden:

    f(n) für n>0
    f(n) für n= -1
    f(n) für n < -1

    Für reelle n ohne 0, müsste man noch überlegen welcher Funktion zwichen 0 und -1 gebildet wird.

  56. #56 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @ Captain E.
    Ups … Sorry
    Wenn n eine reelle Zahl ohne null ist, dann wirds doch spezieller. Muss am Abend, das mal angucken.

  57. #57 hmann
    11. Mai 2018

    Karl-Heinz,
    du willst eine Funktion die äquvalent zu mod ist, aber ohne mod auskommt. Wie soll das gehen? Die mod Funktion liefert den Rest einer Division. Die Division liefert den Quotient ohne Rest, bei ganzen Zahlen.
    Ich denke du meinst , dass der Quotient bei der Division den gleichen Wert hat , wie der Rest bei der mod-Funktion?

    Deshalb folgende Vorüberlegung. Wenn sich der Divisor und der Divident nur um eins unterscheiden, dann gibt es höchstens einen Rest von 1 bei der mod Funktion.
    Bei der Division ohne mod gibt es nur eine ganzahlige Lösung, wenn der Divisor 1 ist. Dann ist aber der Quotient 2. Also brauche ich nur noch eine kleine Änderung.

    2 mal ((n) mod (n-1)) = (n/1) / (n)

    Diese Gleichung hat nur eine Lösung für n = -1
    Also. 2 mal 1 = -2 / -1

  58. #58 hmann
    11. Mai 2018

    Karl-Heinz
    Fehlerkorrektur: 2 mal ((n)mod(n-1)) = (n-1) / (n)

  59. #59 hmann
    11. Mai 2018

    Karl-Heinz
    zweite Korrektur ’58 entspricht nicht der Vorgabe, muss wegen Zeitmangel auf morgen verschieben.

  60. #60 hmann
    11. Mai 2018

    Karl-Heinz
    Oh Mann, was bin ich blind!
    (n-1) mod n = n-1
    (n-1) mal 1 = n-1

  61. #61 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @ hmann
    Fast richtig ; -)

    Für ganze Zahlen ohne 0 ist „(n-1) mod n“ äquivalent zu folgender Funktion f(n)
    f(n) für n>0: f(n)= n-1
    f(n) für n= -1: f(n)=0
    f(n) für n < -1: f(n)= -1

  62. #62 Karl-Heinz
    11. Mai 2018

    @ hmann
    Und für reelle Zahlen ohne 0 ist „(n-1) mod n“ gleichwertig mit?

  63. #63 Sven
    11. Mai 2018

    @Karl-Heinz:
    Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, mod für negative Argumente zu definieren. Manche Autoren definieren es so, dass für alle ganzzahligen a, b mit b ungleich 0 stets gilt 0 <= a mod b < |b|. Bei einer anderen Definitionen hat a mod b stets das selbe Vorzeichen wie a (oder ist gleich 0). Oder man setzt a mod b := a – [a/m] m, wobei [ ] die Gaußklammer ist.

    Ebenso gibt es unterschiedliche Varianten wie man mod auf den reellen Zahlen definieren kann.

  64. #64 Karl-Heinz
    12. Mai 2018

    @Sven

    Da hast du vollkommen Recht. Ich habe wenn bei mod negative Zahlen vorkam, einfach nachgeguckt, wie Wolfram Alpha rechnet und dann diese Darstellung von Modulo verwendet. Ich wollte die Sache mit dem Modulo nicht zu sehr verkomplizieren. Ich habe gerade eben bemerkt, dass man Modulo sogar auf komplexe Zahlen erweitern kann.
    Aber auf jeden Fall danke für deinen Einwand bzw Hinweis. Ich bin immer wieder überrascht, dass es Leute gibt, die sich das antun und sowas wie Modulo durchlesen. : -)

  65. #65 hmann
    12. Mai 2018

    Karl-Heinz
    Da wir eine allgemeine Lösung zum Ersetzen von mod suchen, ist mir noch eine andere Methode eingefallen.

    Da ja bei mod unterschieden wird zwischen dem Rest und der Zahl vor dem Komma, will ich die Zahlen als Summe von ganzer Zahl + Rest schreiben.

    Ganze Zahl 3 + Rest 1 oder Ganze Zahl 0 + Rest 4

    Anmerkung: Diese Umwandlung ist nur gültig bei einer Division mit 1
    Wenn wir durch n dividieren sieht die Umwandlung so aus.

    Ganze Zahl3 + Rest1 daraus wird Ganze Zahl 0 + Rest 3n + 1n
    Ganze Zahl n-1 +Rest 0 daraus wird Ganze Zahl 0+ Rest n² – n

    Wir können also jetzt den gazzahligen Ausdruck n – 1 als Rest als n² – n schreiben-

    n-1 mod n = ( n² – n ) / n = n – 1
    Da der Ausdruck n-1 / n kleiner ist als 1 und also nicht erlaubt umgehen wir diese Klippe
    mit ( n² – n ) / n

    Daraus ergibt sich die verkürzte Form ( n- 1) / n/n = n-1

    Bei n mod n gilt
    (Ganze Zahl n Rest 0) mod n = Ganze Zahl n / n + Rest0/n – Ganze Zahl n/n = 0

  66. #66 hmann
    12. Mai 2018

    Karl – Heinz
    ….reell…
    ob das geht?

    (i – 1 ) mod i = ( i² – i ) / i ) = i – 1

  67. #67 Karl-Heinz
    12. Mai 2018

    @hmann

    (i-1) mod i = 0, wobei i die imaginäre Zahl √(-1) ist.

  68. #68 hmann
    12. Mai 2018

    Karl-Heinz
    Vielen Dank für deine Bemühungen. Für mich ist das Thema so weit abgehakt. Wenn du zufällig einen Beweis findest, indem bewiesen wird, dass es nur 5 Platonische Körper gibt, dann hätte ich Interesse. Vor 20 Jahren hatte ich einmal diesen Beweis. Er wurde mit Permutation geführt, mehr weiß ich auch nicht mehr.

  69. #69 Sven
    12. Mai 2018

    @hmann:
    Was die platonischen Körper angeht, gibt es ja einen ziemlich einfachen geometrischen Beweis und einen einfachen topologischen Beweis (wenn man die eulersche Polyederformel als gegeben ansieht). Und wie sollte man das beweisen, ohne auf Geometrie oder Topologie Bezug zu nehmen?

  70. #70 hmann
    13. Mai 2018

    Sven
    der Beweis nahm Bezug auf Topologie. Und dabei wurden alle Möglichkeiten ausgeschlossen, die nicht möglich sind. Und übrig blieben die 5 platonischen Körper. Ich hatte den Beweis damals nicht verstanden, deswegen kann ich ihn auch nicht reproduzieren.

  71. #71 Sven
    13. Mai 2018

    @hmann:
    Der einfachste mir bekannte topologische Beweis geht etwa wie folgt:

    Die Oberfläche des Polyeders bestehe aus n-Ecken und zwar aus s Stück davon. Und an jeder Ecke des Polyeders sollen sich m Stück davon treffen.

    Dann besteht die Oberfläche des Polyeders aus E = n*s/m Ecken, K = n*s/2 Kanten, und F = s Flächen. Das in die eulersche Polyederformel eingesetzt ergibt

    2 = E – K + F = n*s/m – n*s/2 + s.

    Beide Seiten durch n*s dividiert:

    1/m – 1/2 + 1/n = 2/(n*s)

    Auf beiden Seiten 1/2 addiert:

    1/m + 1/n = 2/(n*s) + 1/2

    2/(n*s) ist immer positiv, also gilt

    1/m + 1/n > 1/2

    Und jetzt kann man sich überlegen, für welche Werte von n und m diese Ungleichung erfüllt ist. Dabei ist zu beachten, dass beides ganze Zahlen sind die nicht kleiner als 3 sein können.

    Für n = 3 gibt es die Möglichkeiten m = 3, m = 4, und m = 5.

    Für n = 4 gibt es nur die Möglichkeit m = 3.

    Für n = 5 gibt es auch nur die Möglichkeit m = 3.

    Und für größere n gibt es gar keine Werte von m, die die Ungleichung erfüllen.

    Es gibt also nicht mehr als fünf Paare (n,m), für die man einen Polyeder erhalten kann. Jetzt muss man sich noch überlegen, dass es für jedes Paar (n,m) auch höchstens einen Polyeder geben kann. Aber auch das ist eigentlich ziemlich klar, weil die Polyederformel für jedes Paar (n,m) auch die Anzahl s an n-Ecken liefert. Z.B. erhält man für n = m = 3 so s = 4, und es gibt nicht mehr als eine Möglichkeit, vier Dreiecke so zur Oberfläche eines Polyeders zusammenzusetzen, dass sich an jeder Ecke drei Stück treffen.

    Also gibt es höchstens fünf platonische Körper. Dass es genau fünf Stück gibt, zeigt man dann, indem man die fünf bekannten platonischen Körper angibt.

  72. #72 hmann
    14. Mai 2018

    Sven
    Super , Danke für diesen einfachen Beweis. Ja, Ja, der Euler war ein Genie!
    Man sollte mal untersuchen, was der immer getrunken oder gegessen hat. Vielelicht ist das Bier in Basel ja intelligenzfördernd.

  73. #73 neand
    15. Mai 2018

    Cuck Norris dividiert durch Null !

    Und ausserdem hat er zweimal bis unendlich gezählt.
    Beim zweitenmal rückwärts !

  74. #74 Karl-Heinz
    15. Mai 2018

    @neand

    Die Witze von Chuck Norris sind so witzig, weil sie so Sau dumm sind. So wie der jetzt. 😉
    Übrigens Chuck schreibt man mit “h”

  75. #75 Florian Freistetter
    15. Mai 2018

    @neand: Ich hab schon darauf gewartet, dass dieser religiöse Fundamentalist erwähnt wird. Ist echt erstaunlich, wie populär diese “Witze” sind. Vor allem, da ein religiöser Irrer wie Norris diese Popularität wirklich nicht verdient hat.

  76. #76 Karl-Heinz
    15. Mai 2018

    Man­no­mann, Chuck Norris ist ja wirklich extrem.

    Chuck Norris gehört der evangelikal geprägten christlichen Rechten in den USA an. Er ist Anhänger des Kreationismus und hält die Evolutionstheorie für falsch. Norris ist überzeugter Unterstützer der Republikanischen Partei und erstellte 2008 mit dem republikanischen Präsidentschaftskandidaten Mike Huckabee einen Wahlwerbespot, in dem auf die „Chuck Norris Facts“ angespielt wird. 2012 warnten er und seine Frau Gena in einem Wahlkampfvideo vor einer Wiederwahl von Barack Obama, da diese ihrer Meinung nach die USA in den Untergang führen würde. Sie mahnten an, dass 30 Millionen evangelikale Christen 2008 nicht gewählt und so Obamas Wahlsieg ermöglicht hätten.

  77. #77 SonnenKlar
    23. Mai 2018

    Gut, daß das hier mal erwähnt wird.