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Mathematische Detektivarbeit – Vom Lösen eines Integrals

von Lucas Treffenstädt

Ich bin Promotionsstudent an einem Lehrstuhl für theoretische Physik an der Universität Bayreuth. Über meine Promotion berichte ich regelmäßig in meinem Podcast “Making a Physicist”. Die Zeichnungen sind, sofern nicht anders angegeben, von meiner Frau Lisa.

Kopfschüttelnd steht Privatdetektiv Newtnitz vor dem Tatort. Eine dunkelgrüne Tafel, dicht beschrieben in zwei Zeilen. Die erste Zeile, ein schier undurchdringlicher Wust von Symbolen, spärlich durchsetzt von einzelnen Zahlen, und dort, ganz links: gleich vier der gefürchteten Integralzeichen! Die zweite Zeile dagegen ist ein Ausdruck voll Eleganz und Präzision. Dazwischen: Ein Gleichheitszeichen! Doch irgendetwas stimmt hier nicht – diese Terme sollen gleich sein? Der Detektiv legt seinen Hut beiseite und runzelt die Stirn. Irgendwie muss dieser Schurke das Integral gelöst haben. Und die Spur ist noch ganz frisch…

Detektiv Newtnitz untersucht seinen neusten Fall. (Bild selbst erstellt aus Vorlagen in Public Domain und Creative Commons (CC0))

Detektiv Newtnitz untersucht seinen neusten Fall. (Bild selbst erstellt aus Vorlagen in Public Domain und Creative Commons (CC0))

Das Telefon schrillt. Newtnitz schreckt aus seinem Nachmittagsnickerchen hoch. Ein neuer Fall? Schnell nimmt er den Hörer ab.
Der Doktorand hat wieder zugeschlagen! Kommen Sie schnell!”
Sofort ist die Müdigkeit verflogen. “So so, der Doktorand, der alte Schurke. Bin schon auf dem Weg.”.
Newtnitz schlüpft schnell in seinen langen Mantel, zieht sich den Schlapphut tief in die Stirn und eilt zum Tatort.

Es ist eine dunkelgrüne Tafel, gewöhnliches Fabrikat, an einer Wand in einem verlassenen Hörsaal. Mit weißer Kreide hat jemand eine Gleichung darauf gekritzelt:

Die mysteriöse Formel (selbstgemacht)

Die mysteriöse Formel (selbstgemacht)

Die Handschrift ist eindeutig. Der Doktorand. Keiner weiß, was sich in seinem wirren Kopf abspielt. Aber um diesen Fall zu lösen, muss Detektiv Newtnitz die Rechnung nachvollziehen und Schritt für Schritt zur Lösung finden.

Zunächst mal das Offensichtliche: Integriert (keine Ahnung, was Integrale sind? Hier gibt es zwei Videos) wird über Theta, Phi, Theta-Strich und Phi-Strich. “Dann werden die restlichen Symbole wohl Konstanten sein.” murmelt Newtnitz und beginnt, in sein Notizbuch zu kritzeln. “Dann können wir diesen Teil ja mal vor das Integral schreiben.”

Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden. Ob ich eine Funktion mit einer Konstanten multipliziere und dann integriere oder erst integriere und dann multipliziere, ist also egal. selbstgemacht)

Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden. Ob ich eine Funktion mit einer Konstanten multipliziere und dann integriere oder erst integriere und dann multipliziere, ist also egal. selbstgemacht)

War’s das schon an Konstanten? “Nein, da musst du dich schon besser verstecken, wenn du meinem scharfen Auge entgehen willst!”.
Die Exponentialfunktion lässt sich zerlegen. Aus einer Summe im Exponenten kann man ein Produkt mehrerer Exponentialfunktionen machen.
Aber Vorsicht, nicht den Bruchstrich vergessen! “Aha, da haben wir ja eine weitere Konstante.”

Durch eine Eigenschaft der Exponentialfunktion lässt sich ein weiterer Faktor aus dem Integral ziehen. Beim Aufteilen der Summe müssen natürlich beide Teile den Bruchstrich mitnehmen. (selbstgemacht)

Durch eine Eigenschaft der Exponentialfunktion lässt sich ein weiterer Faktor aus dem Integral ziehen. Beim Aufteilen der Summe müssen natürlich beide Teile den Bruchstrich mitnehmen. (selbstgemacht)

“Das sieht aber immer noch nicht gut aus.” Der Detektiv wischt sich über die Stirn. “Aber Moment mal… der Sinus, der ist doch doppelt. Hehe, dich krieg ich!”
Und damit wird ein Term ausgeklammert, wieder wird ein Teil etwas übersichtlicher. Übrig bleibt eine Summe von einem Sinus- und einem Kosinus-Term.
“coco plus sisi? Hmm… alte Detektivregel: cos(x-y) = cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y).” Newtnitz nickt zufrieden.

Gemeinsame Faktoren in einer Summe kann man ausklammern. Die restliche Summe kann mit einem sogenannten Additionstheorem vereinfacht werden. Additionstheoreme sind Regeln für Summen von trigonometrischen Funktionen wie Cosinus und Sinus. (selbstgemacht)

Gemeinsame Faktoren in einer Summe kann man ausklammern. Die restliche Summe kann mit einem sogenannten Additionstheorem vereinfacht werden. Additionstheoreme sind Regeln für Summen von trigonometrischen Funktionen wie Cosinus und Sinus. (selbstgemacht)

Aber noch ist keines der Integrale ausgewertet. Newtnitz kneift die Augen zusammen. Muss er das überhaupt in der Reihenfolge auswerten, wie es da steht?
“Dieser Schurke meint wohl, er kann mich verscheißern. Die Grenzen sind ja alle unabhängig! Mal sehen…” Er schreibt die Integralzeichen in einer anderen Reihenfolge.

Bei der Auswertung mehrerer verschachtelter Integrale kann die Reihenfolge beliebig vertauscht werden, wenn die Grenzen nicht voneinander abhängig sind. Das bedeutet auch, dass ich Teile, die nur von manchen der Integrationsvariablen abhängen, an den Integralen vorbeiziehen kann, von denen sie nicht abhängen. (selbstgemacht)

Bei der Auswertung mehrerer verschachtelter Integrale kann die Reihenfolge beliebig vertauscht werden, wenn die Grenzen nicht voneinander abhängig sind. Das bedeutet auch, dass ich Teile, die nur von manchen der Integrationsvariablen abhängen, an den Integralen vorbeiziehen kann, von denen sie nicht abhängen. (selbstgemacht)

Kann er nun eines der Integrale auswerten? Die beiden Phis sehen doch irgendwie verdächtig aus. Sie kommen schließlich nur in einem Cosinus vor, und das ist eine periodische Funktion. Und die Integrale gehen auch noch über die ganze Periode, also einmal im Kreis. “Na klar! Das Phi-Strich ist völlig irrelevant! Egal, wo ich im Kreis anfange, solang ich ihn einmal ablaufe, bekomme ich dasselbe Ergebnis!”
Zack! Das Phi-Strich wird gestrichen. “Und was bleibt von dem Phi-Strich-Integral übrig? Der Integrand ist konstant – also nur die Differenz der Grenzen: 2 Pi!”.
Ein Integral erledigt – drei verbleiben. Newtnitz gönnt sich ein Grinsen. “Dich hab ich gleich, Halunke!”.

Eine periodische Funktion wiederholt sich immer wieder. Es ist daher egal, wo man mit der Integration beginnt, solange man dort auch wieder endet, also eine komplette Periode durchläuft. Ein Integral mit konstantem Integranden ergibt immer nur die Größe des Integrationsgebietes. (selbstgemacht)

Eine periodische Funktion wiederholt sich immer wieder. Es ist daher egal, wo man mit der Integration beginnt, solange man dort auch wieder endet, also eine komplette Periode durchläuft. Ein Integral mit konstantem Integranden ergibt immer nur die Größe des Integrationsgebietes. (selbstgemacht)

Dann also das andere Phi-Integral. “Das kann doch eigentlich nicht so schwierig sein – eine Exponentialfunktion mit einem Cosinus… hmm.”. Eifrig kritzelt er los. Doch die Euphorie über das gelöste Integral verfliegt bald. Partielle Integration, Substitution – keiner der üblichen Detektivtricks hilft.
“Zeit für einen Kaffee” brummt Newtnitz und zückt sein Handy. “Hey Bronstein, alte Socke! Lust auf einen Kaffee? Ich brauch mal deine Hilfe bei einem Fall.”

Kurze Zeit später trifft der Detektiv im Café Lebesgue (“Café Lebesgue: Kaffee und Gebäck”) ein. Ein schmieriger Laden, aber der Kaffee ist gut. An einem Ecktisch sieht er schon Bronstein sitzen.
Nach einer knappen Begrüßung sitzen die beiden sich gegenüber, zwei dampfende Tassen zwischen sich. Von draußen schlägt dichter Herbstregen gegen die Fenster.
“Dann mal raus mit der Sprache, wo drückt der Schuh?” fragt Bronstein. Schweigend kritzelt Newtnitz ein paar Symbole auf eine Serviette.
“Was isn das Alpha?” – “Ach, bloß irgendeine Konstante.”
Bronstein grübelt einen Moment.
“Tut mir leid, keine Ahnung.” – “Verdammt. Das ist wirklich wichtig.” – “Pass auf, ich kenn da einen Typ. Wolfram. Hab ihn noch nie persönlich getroffen, aber ich weiß, wo er sich im Internet rumtreibt.” – “Du möchtest, dass ich irgendeinem Typen aus dem Netz vertraue?” – “Er ist schon okay. Manchmal ein bisschen schwer von Verstand, aber wenn er was rafft, dann gibt er schon ne ordentliche Antwort. Hier, kannst mein Smartphone verwenden, deine alte Gurke schafft das ja nicht.”

Wenn man nicht weiter weiß, hilft manchmal ein Blick ins Buch oder ins Internet. Aber auch wolfram|alpha kann nicht jedes Problem lösen (probiert es doch mal mit anderen Teilen dieses Integrals). (selbstgemacht, Screenshot von wolframalpha.com)

Wenn man nicht weiter weiß, hilft manchmal ein Blick ins Buch oder ins Internet. Aber auch wolfram|alpha kann nicht jedes Problem lösen (probiert es doch mal mit anderen Teilen dieses Integrals). (selbstgemacht, Screenshot von wolframalpha.com)

“Tatsächlich. Ja, da muss ich nur noch für A die Vorfaktoren von meinem Cosinus einsetzen.” – “Sag ich doch. Und das ist jetzt die Lösung zu deinem Fall?” – “Naja, nicht ganz. Das ist nur ein Teil eines größeren Integrals. Zwei von vier hab ich jetzt gelöst. Hier, so schaut es jetzt insgesamt aus.” – “Puh, das ist aber ziemlich hässlich. Sinus, Cosinus, Exponentialfunktion und dann auch noch eine Besselfunktion? Da kann dir der Wolfram auch nicht mehr weiterhelfen. Ich fürchte, da wirst du dich in zwielichtigere Gegenden begeben müssen.” – “Denkst du da an jemand speziellen?” – “Naja. Bin mir nicht sicher, ob du das wirklich willst. Der Typ heißt Gradshteyn, ist öfter unten am Hafen zu treffen. Hängt da mit seinem Kumpel Ryzhik rum. Aber pass bloß auf, die Typen sind knallhart.” – “Ich kann auf mich aufpassen. Danke für den Tipp.”
Newtnitz wirft einen Fünfer auf den Tisch und verschwindet durch die leicht klemmende Eingangstür. Bronstein lehnt sich zurück und nimmt einen großen Schluck aus seiner Tasse. “Soll bloß nicht sagen, ich hätte ihn nicht gewarnt.”

Zum Nachschlagen eines Integrals ist es sinnvoll, mehrere Konstanten zu einer zusammenzufassen und danach wieder einzusetzen. Was muss man hier für A aus der Lösung von wolfram|alpha einsetzen? (selbstgemacht)

Zum Nachschlagen eines Integrals ist es sinnvoll, mehrere Konstanten zu einer zusammenzufassen und danach wieder einzusetzen. Was muss man hier für A aus der Lösung von wolfram|alpha einsetzen? (selbstgemacht)

Der Hafen. Es dämmert schon. Der kalte Herbstregen peitscht hier noch heftiger auf den Detektiv ein. Trotz dem großen Schlapphut läuft ihm Regenwasser in den Kragen.
“Ich hasse diese Gegend.”
Aus einer Kneipe an der Ecke dringt durch schmutzige Scheiben trübes Licht auf die Straße. Hier muss es sein.

Von innen sieht die Kneipe noch schäbiger aus als von außen, was wirklich etwas heißen soll. Das Klientel ist nicht weniger schäbig.
Am Tresen putzt eine Dame gehobenen Alters gelangweilt mit einem Lappen über die Arbeitsfläche. “Was darf’s denn sein, Schätzchen?”
Newtnitz schielt zu den Biergläsern. “Ich bin nicht hier um zu trinken. Ich brauche Information.” – “So, so. Und was für eine Art Information sollte ein unschuldiges Täubchen wie ich schon haben?” – “Du vielleicht nicht. Aber ich hab von jemandem gehört, der etwas wissen könnte. Sagt dir der Name Gradshteyn was?”
Die Bardame wirft einen flüchtigen Blick auf eine unauffällige Tür neben dem Tresen. “Nie gehört.”
Gerade möchte Newtnitz etwas erwidern, da wird besagte Tür mit einem Krachen aufgeschlagen. Zwei zwielichtige Gestalten treten hindurch. Es ist plötzlich totenstill im Raum.
“Was bist du denn für ein Vogel?” knurrt der ältere der beiden in Richtung Tresen.
“Ich?” sagt Newtnitz “Ich bin ein Wanderfalke, und ich bin auf Rattenjagd.”
“Pass bloß auf, diese Ratten könnten bissig sein!” erwidert der andere gereizt.
“Na wenn ihr so hart seid, dann könnt ihr doch bestimmt das hier lösen.” sagt Newtnitz und wirft den Gestalten einen zerknüllten Zettel zu.
Der ältere fängt den Zettel auf, entfaltet ihn und wirft einen kurzen Blick darauf.

Ob Gradshteyn und Ryzhik dieses Problem lösen können? (selbstgemacht)

Ob Gradshteyn und Ryzhik dieses Problem lösen können? (selbstgemacht)

“Pah. Warum sollten wir uns mit so was abgeben? Und dann auch noch von jemandem, der nicht mal die simpelsten Vereinfachungen machen kann?”
Newtnitz runzelt für einen Moment die Stirn. Dann hat er eine Idee. Er schnappt sich den Zettel und kritzelt eine neue Zeile.
Mit einem Grinsen gibt er ihn dann zurück an das Duo.
“Variablensubstitution. Wir benutzen einfach den Cosinus selbst als Integrationsvariable. Den Sinus kann man damit auch darstellen. Und die beiden Sinusterme vor der Exponentialfunktion werden wir sogar durch die Funktionaldeterminante los.”

Variablensubstitution ist ein wichtiger Trick, um Integrale zu vereinfachen. Eine Teil einer Funktion wird durch eine neue Variable ersetzt, mit der sich insgesamt hoffentlich ein einfacherer Integrand ergibt. Dieses Video erklärt euch das etwas ausführlicher. (selbstgemacht)

Variablensubstitution ist ein wichtiger Trick, um Integrale zu vereinfachen. Eine Teil einer Funktion wird durch eine neue Variable ersetzt, mit der sich insgesamt hoffentlich ein einfacherer Integrand ergibt. Dieses Video erklärt euch das etwas ausführlicher. (selbstgemacht)

Die beiden finsteren Gestalten werfen erneut einen Blick auf den Zettel. “Du hast ganz schön Eier, hier aufzutauchen und mit solchen Formeln um dich zu werfen.” sagt der ältere. “Aber du hast Glück. Wir mögen Kerle mit Eiern. Hier, nimm das und verzieh dich.”
Mit diesen Worten schmiert der andere zwei Zeilen auf das Papier, knüllt es zusammen und wirft es Newtnitz zu. Dieser möchte sein Glück nicht länger strapazieren und verlässt die Kneipe.

Das Buch "Table of Integrals, Series and Products" von I. S. Gradshteyn und I. M. Ryzhik ist ein absolutes Monster. Auf über 1200 Seiten sind alle erdenklichen Integrale aufgeschrieben, für die Lösungen bekannt sind. (selbstgemacht)

Das Buch “Table of Integrals, Series and Products” von I. S. Gradshteyn und I. M. Ryzhik ist ein absolutes Monster. Auf über 1200 Seiten sind alle erdenklichen Integrale aufgeschrieben, für die Lösungen bekannt sind. (selbstgemacht)

Zurück in seinem Büro, glättet Newtnitz den Zettel, den er in der Kneipe erhalten hat. Tatsächlich: Die Formel lässt sich auf das Integral über Theta-Strich anwenden.
Und das Ergebnis ist sogar unabhängig von Theta! Das letzte Integral ist damit auch nur noch ein konstanter Faktor.
Erschöpft lehnt sich der Detektiv in seinem Stuhl zurück und vergleicht sein Ergebnis mit der Formel des verbrecherischen Doktoranden.
Es sieht ähnlich aus. Sehr ähnlich.

Versuche selbst, die Variablen a und b aus Gradshteyns Formel zu identifizieren. Es ist verblüffend, wie sich die Terme gegenseitig eliminieren, so dass keine Abhängigkeit von Theta mehr übrig bleibt. (selbstgemacht)

Versuche selbst, die Variablen a und b aus Gradshteyns Formel zu identifizieren. Es ist verblüffend, wie sich die Terme gegenseitig eliminieren, so dass keine Abhängigkeit von Theta mehr übrig bleibt. (selbstgemacht)

Doch diese Funktion, die noch verbleibt – ein Sinus Hyberbolicus! Den kann man doch umformen – richtig, in eine Summe zweier Exponentialfunktionen!
Das ist es! So hat der Doktorand es geschafft. Und jetzt weiß Newtnitz auch, wo er ihn finden kann. Wie sonst hätte Gradshteyn so schnell die richtige Formel zur Hand haben sollen?

Natürlich kann man die Regel mit den Produkten von Exponentialfunktionen auch rückwärts anwenden. Der letzte Schritt ist dann einfach - erinnerst du dich noch an die binomischen Formeln? (selbstgemacht)

Natürlich kann man die Regel mit den Produkten von Exponentialfunktionen auch rückwärts anwenden. Der letzte Schritt ist dann einfach – erinnerst du dich noch an die binomischen Formeln? (selbstgemacht)

Knall! Triefend nass und von seinem Rücken mit Blitzen erleuchtet, steht Detektiv Newtnitz im Eingang der Hafenkneipe. Der Raum ist leer, bis auf einen runden Tisch in der Mitte, an der drei Karten spielende Gestalten sitzen: Gradshteyn, Ryzhik und… natürlich! Wie konnte er nur so blind sein? Der geheimnisvolle Doktorand, dem er auf der Spur gewesen ist, es ist kein anderer, es konnte kein anderer sein als: Leibton, sein ehemaliger Praktikant.
“Du hast es also gelöst.”
Sagt dieser und erhebt sich langsam von seinem Stuhl.
“Aber hast du dir auch nur einen Moment lang Gedanken darum gemacht, warum ich es getan habe?”
Newtnitz, der eben noch auf ihn zurennen wollte, um ihn zu überwältigen, stockt.
“Natürlich nicht. Du purer Mathematiker hast nicht mal daran gedacht, dass jemand damit einen Zweck verfolgen könnte, Integrale zu lösen. Für dich sind Theta, Phi und r nur Symbole. Für mich jedoch sind sie KUGELKOORDINATEN!” Es donnerte. “Und was du berechnet hast, ist nichts geringeres als eine gaußsche Wechselwirkung in einem isotropen System!”
Wie vom Donner gerührt steht der Detektiv in der Kneipe. Es ist zu viel Vor seinem geistigen Auge kreisen Sphären, tauschen Kugelschalen Kräfte aus, dabei rotiert die ganze Welt und NICHTS VERÄNDERT SICH…

Wer soll das alles noch verstehen? (selbstgemacht)

Wer soll das alles noch verstehen? (selbstgemacht)

Vom Zuschlagen einer Tür wird Newtnitz aus seiner Verwirrung gerissen. “Verdammt!” Leibton ist entwischt. Fürs erste. Eines Tages wird er ihn erwischen. Er wird ihn erwischen und dieser ekligen angewandten Mathematik ein Ende bereiten…

Kommentare (36)

  1. #1 Lucas
    Bayreuth
    19. September 2018

    Guten Morgen, hier ist der Autor dieses Textes! Ich beantworte euch gern alle Fragen :-)

  2. #2 Heljerer
    19. September 2018

    Das erinnert mich an eine Anekdote, die ich vor vielen Jahren mal gelesen habe. Ein Physiker (ich meine es war Arnold Sommerfeld, bin aber nicht 100%ig sicher) musste ein 6fach-Integral lösen. Nach langer Zeit war es ihm zumindest gelungen es zu einem 4fach-Integral zu vereinfachen. Dann kam er aber nicht mehr weiter. Also hat das 4fach-Integral einem befreundeten Mathematiker gegeben, mit der Bitte es zu lösen. Als der Mathematiker es endlich geschafft hatte, sagte er: “Das war verdammt schwer. Schließlich ist es mir aber gelungen, das 4fach-Integral in ein 6fach-Integral umzuformen. Von da an war dann alles ganz einfach.”

  3. #3 Mars
    19. September 2018

    eine nette art, höhere mathe ins einfache leben umzusetzen (umzuformen).
    die zeiten als ich mich mit integralen – ja, manchmal auch quälen musste – sind lange vorbei. ob bei der umformung jeder schritt richtig war …. bleibt dem autor überlassen, scheint logisch, aber nachgeschaut hab ich nicht jeden schritt.
    trotzdem, schön geschrieben … und wie @Heljerer schreibt, am ende dann ganz einfach!

  4. #4 Heljerer
    19. September 2018

    Ich kann aus eigener Erfahrung nur sagen: Häufig liegt der Fehler schon bei der Formulierung der Integrale. Also:
    – passendes Koordinatensystem wählen
    – der klassische Satz von Stokes und der Gaußsche Integralsatz ersparen einem häufig auch unnötige Rechnerei

    Was wird denn mit diesem Integral aus dem “Krimi” eigentlich konkret berechnet? Jedensfalls trotzt es förmlich dannach, dass es von Anfang an unnötig kompliziert formuliert wurde.

  5. #5 Dampier
    19. September 2018

    Nett gemacht. Leider habe ich nichts draus gelernt, aber das liegt sicher an mir und nicht am Autor ;]
    Ich habe den Eindruck, dass die Rahmenhandlung eher für eine jüngere Zielgruppe passt als der transportierte Inhalt.

  6. #6 Lucas
    Bayreuth
    19. September 2018

    Wie es “Der Doktorand” am Ende sagt. 😉 Ein gauß’scher Faltungskern in drei Dimensionen wird durch Ausintegration der Winkelanteile reduziert für den Fall zweier radialsymmetrischer (isotroper) Funktionen. In der Tat kann man das einfacher haben: Das Argument im exp der Ausgangsformel ist nur ein (r-r’)^2. Da das nur vom Betrag des Abstandsvektors |r-r’| abhängt und das System isotrop ist, kann ein r auf die z-Achse “festgenagelt” werden und dann ist nur noch die z-Komponente von r’ relevant, so dass die Abhängigkeiten von phi, theta und phi’ direkt eliminiert werden können und nur noch eine Integration über theta’ explizit ausgeführt werden muss.

    Das ist mir aber, als ich dieses Integral ursprünglich selbst lösen musste, nicht aufgefallen, und daher bin ich tatsächlich ziemlich genau den Weg des Detektivs gegangen. Vielleicht ist das auch die Moral von der Geschichte: Erst ausführlich über das Problem und seine Symmetrien nachdenken, bevor man los rechnet.

  7. #7 tomtoo
    19. September 2018

    @Dampier
    Kein Ahnung ob es dir ein Trost ist, aber mir geht es genauso.

  8. #8 Lucas
    Bayreuth
    19. September 2018

    Liebe/r Dampier,
    ich denke eher, dass ich noch viel zu lernen habe, wenn es um die einfache, allgemeinverständliche Darstellung von komplexer Mathematik geht. Im Kern ging es mir beim Schreiben aber vor allem um die Analogie: Das Lösen solcher Aufgaben ist tatsächlich in vielerlei Hinsicht Detektivarbeit: Das Problem genau betrachten, Hinweise sammeln und ggf. externe Quellen zurate ziehen. Aber auch, und da scheitern sowohl ich als auch der Detektiv: Das große Ganze nicht aus den Augen verlieren.

  9. #9 tomtoo
    19. September 2018

    Also wenn es des Autors Ziel war einem ob der geringen Mathekenntnisse komplett zu frustrieren so ist es ihm gelungen. ; )

  10. #10 jere
    19. September 2018

    Also ich hatte viel Spaß beim Lesen, aber ja, die Zielgruppe ist wahrscheinlich eine etwas andere als die der übrigen im Wettbewerb. Aber anders ist ja nichts schlechtes :)

    Klitzekleine Klugscheißer-Anmerkung:

    Bei der Auswertung mehrerer verschachtelter Integrale kann die Reihenfolge beliebig vertauscht werden, wenn die Grenzen nicht voneinander abhängig sind

    Das funktioniert, wenn es funktioniert. Aber im konkreten Fall kein Problem, weil das Ding ganz offensichtlich integrierbar ist.
    Trotzdem auch so eine Physikerkrankheit, Fubini und Tonelli auf alles drauf zu werfen, das nicht schnell genug abhaut 😀

  11. #11 Heljerer
    19. September 2018

    ich denke eher, dass ich noch viel zu lernen habe, wenn es um die einfache, allgemeinverständliche Darstellung von komplexer Mathematik geht.

    Das, was man innerhalb einer Universität als “allgemeinverständlich” bezeichnet, hat mit der Zielgruppe “Allgemeinheit” nicht das Geringste zu tun. Das wurde mir aber erst bewusst, als ich die Uni verlassen hatte.

  12. #12 tomtoo
    19. September 2018

    Das ist immer so. Ich mag ja Mathe, bin nicht abgeneigt. Aber da wird so reingehauen das ich nur Bahnhof und Abfahrt verstehe. Ist aber OK, geht mir ja bei @Thilo genauso. Aber warum muss ausgerechnet Mathe, das logischste des Logischen so kompliziert dargestellt werden?

  13. #13 Fluffy
    плоскaя Земля
    19. September 2018

    “Café Lebesgue: Kaffee und Gebäck”

    ist der coolste Teil im Beitrag.
    Bewertung: sehr schön.

  14. #14 Fluffy
    19. September 2018

    p.s.
    @ Autor:
    Ich hab grad wenig Zeit.
    Der Rand meines Buches ist zu schmal.
    Mein Kuli schreibt grad nicht.
    Um es selbst zu machen…

    Wie sieht denn das Integral in Vektorschreibweisweise inklusive Skalarprodukt aus?

  15. #15 Lucas
    Bayreuth
    19. September 2018

    @tomtoo: Ich wollte bestimmt niemanden frustrieren. Aber ich hab wohl ordentlich unterschätzt, was an Vorwissen nötig ist, um folgen zu können.

    @Fluffy: Der ursprüngliche Integrand in Vektorschreibweise hat im exp ein (r-r’)^2, also (r-r’).(r-r’) (mit r und r’ als Vektoren). Zum Café Lebesgue: Es musste einfach sein ^^

  16. #16 jere
    19. September 2018

    Noch ne Buchempfehlung, dalls jemand allgemein Spaß an sowas hat:

    Inside Interesting Integrals von Paul Nahin

    Da wird auf mehreren hundert Seiten nichts anderes getan, als Schritt für Schritt Integrale gelöst mit immer neuen Tricks und Ideen.

  17. #17 tomtoo
    19. September 2018

    @Lucas
    Absolut kein Problem. Ich sehe einen liebevoll gemachten Artikel.
    Aber warum ist es immer bei Mathe so das man so abhebt?
    IT Leute geben sich Mühe ein IP Netzwerk zu erklären. Biologen erklären etwas über Taxonomie. Warum muss die Mathematik einem immer gleich so in die F… hauen?

  18. #18 Fluffy
    19. September 2018

    @Lucas
    Um Missverständissen vorzubeugen
    Café Lebesgue – Kaffee und Gebäck
    find ich genial, 100 mal besser als Café Einstein..
    ….
    Fehlen noch die Differentiale.
    Sin θ dθdφ erinnert mich an einen Raumwinkel.
    Hast du eine komplette formale Darstellung des Integrals?

  19. #19 Fluffy
    19. September 2018

    @tomtoo #17
    Fanne mit F?

  20. #20 alex
    19. September 2018

    @tomtoo

    Aber warum muss ausgerechnet Mathe, das logischste des Logischen so kompliziert dargestellt werden?

    Ich denke nicht dass dieses Problem alleine an der Darstellung liegt. Die Mathematik hat in den letzten Jahrtausenden ein riesiges Gebäude an Erkenntnissen aufgebaut. Es gibt unzählige Definitionen von Begriffen und Objekten, Sätze über diese, und Beweise dieser Sätze. Jeder Beweis kann im Prinzip geschrieben werden als eine endliche Abfolge kleinster Schritte, deren Gültigkeit jeweils ohne Vorwissen leicht nachvollzogen werden kann.

    Aber Beweise so zu schreiben hat zwei große Nachteile:

    Zum einen werden sie dann sehr lang. Die Berechnung des Integrals aus dem Artikel würde dann nicht ein paar Bildschirmseiten füllen, sondern hunderte wenn nicht gar tausende. Man müsste eine ganze Menge Analysis entwickeln (was sind Sinus und Kosinus, was ist die e-Funktion, was ist ein Integral, vielleicht sogar was sind reelle Zahlen, und welche hier wichtigen Eigenschaften haben diese Objekte). Für den Blog-Schreibwettbewerb wäre das sicher nicht geeignet.

    Der zweite Nachteil ist, dass der Leser dann zwar nachvollziehen kann, dass die einzelnen Schritte “erlaubt” sind, aber nicht warum man sie macht. Der Erkenntnisgewinn ist also sehr beschränkt.

    Alternativ könnte man so etwas ähnliches wie Allgemeinverständlichkeit dadurch erreichen, dass man einfach viele Lücken lässt, die nicht richtig erklärt werden. Und ob das dann besonders hilfreich ist…?

    Aber der eigentliche Witz des Artikels ist doch, dass man das Integral gar nicht so kompliziert berechnen muss (siehe den Abschnitt vor dem letzten Bild). Wenn man erkennt was da im Zähler in der e-Funktion steht und das Integral entsprechend transformiert, kommt man sehr viel schneller auf das Ergebnis.

  21. #21 Dampier
    19. September 2018

    @Lucas

    ich denke eher, dass ich noch viel zu lernen habe, wenn es um die einfache, allgemeinverständliche Darstellung von komplexer Mathematik geht.

    Nimm mich da lieber nicht als Maßstab. Komplexe Mathematik werde ich in diesem Leben nicht mehr verstehen. Von daher ist es absolut legitim, dass du den Punkt, an dem du deine Leser abholst, höher ansetzt.

    Ich bin halt nicht die Zielgruppe, das ist ja völlig ok.
    :]

    Mag mir noch jemand diesen Insiderwitz erklären?

    Café Lebesgue: Kaffee und Gebäck

  22. #22 tomtoo
    19. September 2018

    @Fluffy #19
    Aber sicher dat! ; )

  23. #23 Manuel
    19. September 2018

    Nettes Wortspiel, Newtnitz, Newton & Leibniz vereint.

    (wobei das t mich verwunderte)

    Danke für den tollen Artikel.

  24. #24 Lucas
    Bayreuth
    19. September 2018

    @Fluffy: die phi und theta sind die Winkel aus den kanonischen Kugelkoordinaten (r,θ,φ). Das ganze ist Teil eines Raumintegrals über zwei allgemeine Vektoren, bei dem allerdings die Integration über den Radius jeweils weggelassen wurde. Die beiden Sinus-Terme kommen aus dem differentiellen Volumenelement r^2sin(θ)dr dθ dφ, wobei ich die r^2 wiederum weggelassen habe, weil sie in dem Integral nichts tun.

    @tomtoo: Also zuerst sollte ich vielleicht klarstellen, dass ich Physiker bin und kein Mathematiker 😉 Mir war schon bewusst, dass man für manche Dinge Kontext braucht und habe an 2 Stellen ja auch entsprechende Videos verlinkt. Es ist wie alex schreibt: Wenn ich jeden einzelnen Schritt detaillierter ausgeführt hätte, hätte das den Rahmen des Blogs deutlich gesprengt (auch ohne alles zu beweisen, allein schon um es zu erklären). Ein Weg, es besser zu machen, wäre also gewesen, ein Integral mit deutlich weniger Schritten zu beschreiben, so dass man sich denen intensiver widmen kann.

    @Dampier: Der Witz am Café Lebesgue ist, dass sich Lebesgue, französisch ausgesprochen (in etwa: Lebeck), auf Gebäck reimt. Henri Léon Lebesgue war ein französischer Mathematiker und hat nach Riemann eine ganz neue Theorie der Integration begründet.

  25. #25 tomtoo
    19. September 2018

    Ich will mich ja garnicht beschweren, das einzige Integral das ich kenne ist die Regentonne im Garten, die integriert die Regenmenge über das Jahr. Für’s Differential mach ich jeden Sonntag einen Strich auf der gegenüberliegenden Seite. Nur die Funktion der Regenmenge hab ich noch nicht gerafft.

    Ist OK, die Mathemenschen sollen auch ihren Spass haben. ; )

  26. #26 tomtoo
    19. September 2018

    @Lucas
    Sry, wir sind heute wohl Parallel unterwegs.
    Ist alles gut, war nicht böse gemeint. Ist halt doof sich so als abgehängter zu fühlen. ; )

  27. #27 Lucas
    Bayreuth
    19. September 2018

    @tomtoo: Ich kenn die Frustration, wenn was nicht ordentlich erklärt wird. Und ich würde es gern selbst vermeiden, die zu erzeugen. Von daher: auf jeden Fall weiter kritisieren, davon kann ich lernen!

  28. #28 tomtoo
    19. September 2018

    @Lucas
    Schön ist das du interagierst. Aber Kritisieren will ich gar nicht. Das ganze ist eh soweit weg von mir, das ich mir eine Sinnvolle Kritik nicht anmaßen würde.
    Da wird soviel vorrausgesetzt das mir die Ohren im Wind wedeln. Gelernt hab ich nur das Integrale wohl doch etwas komlexer sind als mal eben eine Gleichung mit a zu multiplizieren .

  29. #29 Heljerer
    19. September 2018

    Gelernt hab ich nur das Integrale wohl doch etwas komlexer sind als mal eben eine Gleichung mit a zu multiplizieren.

    In der Praxis ist das aber immer ganz einfach: Entweder das Integral ist so simpel, dass man sofort die Stammfunktion hinschreiben kann, oder das Integral ist so kompliziert, dass man es sowieso nur noch numerisch lösen kann.

    Das Komplexe ist nur, dass diese Aussage in dieser Form leider doch nicht immer gilt.

  30. #30 Naya
    19. September 2018

    Ich weiß nicht, ob ich die Mathematik hinter dem Blogbeitrag und die Umformungen alle verstehen würde – manches vielleicht, halt das, was ich aus dem Ingenieurstudium kenne. Aber ich habe heute Abend nicht mehr die Konzentration, das mir genau anzuschauen (btw ist es dafür auch nicht richtig hilfreich, daß die Formel, wenn man sie im Text eingebunden betrachtet, so eine kleine Schriftgröße hat)
    Ich habe also die Mathematik beim Lesen weitgehend ignoriert. Und um die Geschichte originell und vom übrigen Text her gut lesbar zu finde, war das auch gar nicht nötig, die Formel näher zu betrachten.

    Ich finde die Idee super, mir gefällt der Schreibstil und auch die Analogie finde ich sehr gelungen!

  31. #31 Einherjer
    Avalon
    19. September 2018

    In der Tat. NICHTS wird sich NICHT verändern!

  32. #32 Dennis
    19. September 2018

    @Lucas

    ich denke eher, dass ich noch viel zu lernen habe, wenn es um die einfache, allgemeinverständliche Darstellung von komplexer Mathematik geht.

    Es muss gar nicht mal daran liegen, dass du die Sache nicht gut erklärt hast. Aber der Text richtet sich eindeutig an eine spezielle Zielgruppe, nämlich Menschen, die ein ziemlich fundiertes mathematisches Vorwissen mitbringen. Da ich nicht wirklich zu diesen Menschen gehöre, geht es mir da ähnlich wie tomtoo. Am ehesten konnte ich noch die Wort- und Namensspiele verstehen. :-)

  33. #33 Laie
    22. September 2018

    @Dennis
    Er hat es ja eh schon vorgerechnet und die verwendeten Rechenregeln angegeben. Die Kenntnisse von Rechenregeln muss man schon voraussetzen, auch die einfachen Sinus-Cosinus-Summensätze sind nicht sehr unbekannt.

    Wollte man diese alle miterklären, dann ginge sich der Platz nicht aus.

  34. #34 Stephan
    24. September 2018

    Der Artikel ist absolut 1a, ein wahrhaftiger Integral-Erklärer
    Der Бронштейн steht hinter mir
    “trotz” verlangt den Genitiv

  35. #35 Stephan
    24. September 2018

    PS
    der Artikel zeigt die Kunst und Schönheit der Integralrechnung

  36. […] Mathematische Detektivarbeit – Vom Lösen eines Integrals […]