In den Artikel meines 50tägigen Countdowns zum 50. Jubiläum der Mondlandung habe ich vor allem jede Menge Geschichten, Anekdoten, Bücher und ähnlich Vermischtes aufgegriffen und nur zwischendurch immer wieder mal über konkrete Wissenschaft geschrieben. Unter anderem deswegen, weil die Landung auf dem Mond zwar durchaus eine absolute wissenschaftliche und technische Meisterleistung war aber eben auch ein mindestens ebenso wichtiges historisches und kulturelles Ereignis. Aber ganz ohne Wissenschaft geht es nicht und auch nicht ohne Mathematik. Darum ist heute, bei Nummer “8” des Countdowns die Raketengrundgleichung das Thema.

Diese mathematische Formel ist – wie der Name nahelegt – die Grundlage des Raketenfluges. So sieht sie aus:

Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Masse und Geschwindigkeit einer Rakete und wurde 1903 von Konstantin Eduardowitsch Ziolkowski aufgestellt. Kein Wissenschaftler im engeren Sinn, sondern Mathelehrer in der russischen Provinz. Aber trotzdem derjenige, der die Grundlage für die moderne Raumfahrt geschaffen hat. Die Gleichung ist eigentlich recht simpel, aber trotzdem sehr tiefsinnig. Die Geschwindigkeit v der Rakete hängt, wie man in der Formel sehen kann, hauptsächlich von der Masse m ab. Was man aber auch sieht, und was vielleicht nicht gleich offensichtlich ist: m ist in dieser Gleichung eine Variable. Das heißt, die Masse der Rakete ändert sich im Laufe der Zeit und nur weil das passiert, kann sie fliegen!

Wie schnell eine Rakete ist, hängt davon ab mit welcher Geschwindigkeit (vG) sie die sogenannte “Stützmasse” ausstößt. Ganz vereinfacht gesagt: Je mehr und je schneller die Rakete hinten Masse ausstößt, desto schneller fliegt sie in die andere Richtung davon (das folgt aus der Impulserhaltung und dem dritten Newtonschen Gesetz). Alles will man natürlich unterwegs nicht loswerden; deswegen gibt es in der Formel auch den Term “m0”, die “Grundmasse” zu der unter anderem auch die Nutzlast gehört. Aber auch die Masse des Treibstoffs und die der Struktur selbst.

Da bleibt nicht viel übrig (Bild: NASA, gemeinfrei)

Das variable “m” in der Formel ist die “Restmasse” und je kleiner dieser Wert wird, desto höher kann die Endgeschwindigkeit sein die die Rakete haben kann. Und weil man die nicht beliebig verkleinern kann (irgendwas soll ja am Ende auch im All ankommen) muss man schauen, dass man davor möglichst viel los wird. Das ist einmal der Treibstoff, der ja verbrannt wird um möglichst hohe Werte für vG zu erreichen mit der die Verbrennungsprodukte ausgestoßen werden können. Und es bleibt die “Strukturmasse”, als das, aus dem die Rakete selbst besteht. Das ist auch der Grund, warum moderne Raketen aus “Stufen” aufgebaut sind. Ist der Treibstoff in einer solcher Stufe verbraucht, dann wird die gesamte Stufe abgeworfen um möglichst viele Masse loswerden zu können. Am Ende bleibt dann nur wenig übrig. Von den fast 3000 Tonnen die die Saturn-V-Rakete der NASA hatte mit der die Astronauten 1969 zum Mond flogen sind nur 133 Tonnen Nutzlast gewesen…

Natürlich ist die Raumfahrt mathematisch deutlich komplexer als diese eine Formel. Aber sie ist ein Anfang und man kann schon allein aus ihr einiges darüber lernen, wie man ins All gelangen kann…
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Der komplette Countdown: 50 | 49 | 48 | 47 | 46 | 45 | 44 | 43 | 42 | 41 | 40 | 39 | 38 | 37 | 36 | 35 | 34 | 33 | 32 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 09 | 08 | 07 | 06 | 05 | 04 | 03 | 02 | 01 | 0

Kommentare (8)

  1. #1 Karl-Heinz
    13. Juli 2019

    @Florian Freistetter

    v_end = v_g · ln( m_0/m_end)

    m_0 … Startmasse
    m_end … Restmasse
    v_g … Austrittsgeschwindigkeit
    v_end … Endgeschwindigkeiten der Restmasse

    Meine Frage lautet: Wenn ich v_g verdopple, wird das Verhältnis m_0/m_end kleiner, wenn die gleiche Endgeschwindigkeit erreicht werden soll. Wie sieht’s jetzt mit der Energieeffizienz aus?
    Wie ist das Verhältnis E( 2 · v_g) / E(v_g) wenn die gleiche Endgeschwindigkeit v_end erreicht werden soll?

    Ich hoffe, dass meine Frage so einigermaßen verständlich ist. 😉

  2. #2 Karl-Heinz
    13. Juli 2019

    myself damit es eindeutig ist.

    E( 2 · v_g, v_end, m_end) / E(v_g, v_end, m_end) =?

    E … Energiebedarf

  3. #3 Karl-Heinz
    14. Juli 2019

    Oh …
    Kann irgendjemand wenigstens angeben, welche Leistung ein Raketentriebwerk hat?
    Oder noch einfacher. Von welchen zwei Parametern hängt die Leistung des Raketentriebwerkes ab?

  4. #4 UMa
    14. Juli 2019

    @Karl-Heinz:
    Hier sind die Grundlagen der Raumfahrt beschrieben
    https://www.bernd-leitenberger.de/grundlagen-der-raumfahrt.shtml

  5. #5 Karl-Heinz
    14. Juli 2019

    @UMa

    Danke für den wirklich sehr interessanten Link.
    Eigentlich wollte ich nur gucken, ob’s jemand gibt, der Formeln so aus dem Handgelenk schüttelt.

  6. #6 Karl-Heinz
    14. Juli 2019

    m_g=Masse des Gases
    d(m_g)/dt …Massenausstoß des Gases
    v_g … Geschwindigkeit des Ausströmenden Gases
    P …Leistung Raketentriebwerk

    P= dE/dt = (d(m_g)/dt) · (v_g)² / 2

    Wenigstens diskutiere ich nicht, ob Pi gleich Pi ist wie nebenan. 😉

  7. #7 Rainer Kirmse
    Altenburg
    14. Juli 2019

    Ein kleines Gedicht zu 50 Jahre bemannte Mondlandung:

    WETTLAUF ZUM MOND

    Amerika traf der Sputnikschock,
    Danach kam Gagarins Wostok.
    Die Russen eilten im All voraus,
    Sonnten sich lange im Applaus.

    Da hatte Kennedy die Vision,
    Zum Mond sollte geh’n die Mission.
    Der Kampf der Systeme setzte ein,
    Nur ein Land konnte Sieger sein.

    Man hat dafür alles gegeben,
    Beklagte leider Menschenleben.
    Mit Apollo in den Mondumlauf,
    Die Landefähre Eagle setzt auf.

    Neil Armstrong war es vorbehalten,
    Das Sternenbanner zu entfalten;
    Doch stand am Ende im Wettstreit
    Ein großer Sieg für die Menschheit.

    Lang genug hat man ihn verschont,
    Nun will man wieder hin zum Mond.
    Höchste Zeit, dass ein Astronaut
    Mal wieder nach Frau Luna schaut.

    Rainer Kirmse , Altenburg

    Mit freundlichen Grüßen

  8. #8 Karl-Heinz
    14. Juli 2019

    @Rainer Kirmse

    Oh, hauseigene Poesie zur Mondlandung. 😉