Manchmal gibt es Forschung die ein bisschen sinnfrei erscheint. Zum Beispiel das, was der Mathematikprofessor Sunil Chebolu von der Illinois State University kürzlich veröffentlicht hat: “Packing Moons Inside the Earth”. Es geht um die Frage: Wie viele Monde kriegt man innerhalb der Erde unter? Was wie gesagt sinnfrei ist: Weder ist die Erde innen hohl um Platz für Monde zu haben, noch haben wir mehr als den einen Mond den wir haben. Und von dem wissen wir, dass er definitiv innerhalb der Erde Platz hätte, wenn sie hohl wäre. Was sie nicht ist. Aber die Frage ist interessanter als sie auf den ersten Blick aussieht.

Man könnte sich ja denken, dass die Sache simpel zu lösen ist. Die Erde hat einen Radius von 6371 Kilometern. Der Radius den Mondes beträgt nur 1737,4 Kilometer. Angenommen, es handelt sich bei beiden Himmelskörpern um perfekte Kugeln hat die Erde ein Volumen von 1,08 x 1021 m³ und beim Mond sind es 2,197 x 1019 m³. Das eine, dividiert durch das andere ergibt 49,31. Es passen also ein bisschen mehr als 49 Monde ins Innere der Erde.

Das ist allerdings falsch. Denn die simple Rechnung sagt uns nur, dass das Volumen der Erde 49,31 mal größer ist als das Volumen des Mondes. Wenn wir aber wissen wollen, wie viele echte Kugeln von der Größe des Mondes wir im Inneren einer Kugel der Größe der Erde unterbringen können, muss man genauer nachdenken. Und landen bei der berühmten Keplerschen Vermutung. Die hat der Astronom Johannes Kepler im Jahr 1611 aufgestellt und sie lautet, dass die dichteste Kugelpackung im dreidimensionalen Raum durch eine kubisch-flächenzentrierte oder hexagonale Packung erfolgt.

Ein wenig einfacher formuliert: Wenn man einen Haufen Orangen hat und sie auf möglichst kleinem Raum übereinander stapeln will, dann kann man das auf verschiedene Weisen tun. Irgendeine der Möglichkeiten wird dabei die “dichteste Kugelpackung” sein, also die Art, bei der das nicht von Orangen ausgefüllte Volumen minimal wird. Wenn man die Orangen einfach zufällig in die Kiste schmeisst, wird der Raum zu circa 65 Prozent gefüllt. Wenn man es aber so macht, wie es in den Obstläden passiert, also die Orangen in der untersten Lage in Form eines hexagonalen Gitters anzuordnen, die nächste Lage dann in die tiefsten Punkte der ersten Lage legt, und so weiter, dann kriegt man das Volumen zu knapp 74 Prozent gefüllt. Und mehr geht nicht; optimaler kann man es nicht schaffen. Hat Kepler vor mehr als 400 Jahren vermutet. Und bis heute ist die Sache nicht vollständig klar. 1998 hat der Amerikaner Thomas Hale einen Beweis veröffentlicht der Keplers Vermutung bestätigt. Es war aber ein Beweis der mit Hilfe eines Computers durchgeführt worden ist und man ist sich bis heute nicht sicher, ob da alles richtig gelaufen ist oder nicht (weil der Computer so enorm viele Daten produziert und analysiert hat, dass man das als Mensch nicht sinnvoll nachprüfen kann). Im Prinzip ist man sich mehr oder weniger sicher dass alles passt mit Hales Beweis. Aber halt nicht absolut sicher und in der Mathematik zählt nur Absolutheit.

Wenn wir wissen wollen, wie viele Monde in die Erde passen, müssen wir natürlich die dichteste Kugelpackung verwenden. Und wenn man davon ausgeht, dass Kepler und Hale richtig liegen – was Sunil Chebolu in seiner Arbeit tut – dann kommt man zu dem Schluss dass nur maximal 74 Prozent des Erdvolumens durch Monde angefüllt werden können. Was dem circa 37fachen des Mondvolumens entspricht. Womit wir aber noch nicht die genaue Anzahl der Monde kennen, die wir in die Erde stecken könnten – die 37 sind nur die Obergrenzen. Das lässt sich dann auch nicht mehr so simpel ausrechnen, sagt Sunil. Man kann sich dem ganzen per Computersimulation annähern und kommt auf eine Zahl die zwischen 13 und 32 liegen muss. Man kann das ganze natürlich auch im praktischen Experiment (durch entsprechende Modelle) testen. Das Resultat hier: 23 oder 24 Monde.

Sunil hat sich für die kleinere Zahl als vernünftigste Vermutung entschieden. Wir könnten 23 Monde in die Erde stecken! Hätten wir das auch geklärt.

Kommentare (21)

  1. #1 xspect
    4. Juni 2020

    Die einen stapeln die Elemente um (https://www.scinexx.de/news/technik/das-periodensystem-mal-anders/), die anderen stapeln Monde in die Erde…

    Hochstapelei oder Sommerloch?

  2. #2 schlappohr
    4. Juni 2020

    Eigentlich geht es hier nicht um Mond und Erde, sondern um Kugelpackungen. Also ein mathematisches Problem, und zwar ein sehr bemerkenswertes: Auf den ersten Blick ein sehr einfaches Problem, das sich (zumindest bei eckigen Bounding-Boxen) intuitiv (vermutlich richtig) lösen lässt, aber mathematisch schwer zu fassen ist.
    Wobei ich mich völlig verschätzt hätte: Der Radius der Erde ist nur 3.6 mal so groß wie der des Mondes, trotzdem passen 23 Monde in die Erde, das ist schon erstaunlich. Ohne lange drüber nachzudenken, hätte ich auf 10..12 getippt.

    Bei einem zu 99% mit Corona gefüllten Sommerloch jedenfalls eine mehr als willkommene Abwechslung.

    BTW, ich lese gerade das Buch Amalthea von Neill Stephenson, in dem der Mond aus unbekanntem Grunde zerbricht und die Teile auf die Erde herabregnen und alles Leben vernichten. Kennt jemand die Geschichte?

  3. #3 Ingo
    4. Juni 2020

    Das Packungsproblem hat interesannte Anwendungen in der Digitaluebertragungstechnik:

    Wenn man einen Kanal hat, kann dieses einen analogen Wert uebertragen. Man kann beispielsweise dort jetzt 4 Werte definieren, die bestimmte, digitale diskrete Zustaende repraesentieren. z.b. (1V = 00, 2V=01, 3V=10, 4V=11).
    Da die Uebertragung mit einen Rauschen versehen ist kommen am Ziel nicht 1V, 2V, 4V an,- sondern 0.95V, 2.04, 4.4V.
    Wenn ich die Codierungsschritte zu dicht wähle, kommt es zu Uebertragungsfehlern, da der Empfaenger bei 3.5V nicht weiss ob es das Messergebnis als 10 oder 11 interpretieren soll.

    Bei zwei Kanaelen (2Dimensional), kann man zwei “Leitungen” verwenden (1V,1V=0000, 1V,2V=0001, 2V,1V=0100 usw)
    Damit verdoppelt man den Aufwand, und verdoppelt auch die Uebertragunsgeschwindigkeit.
    Da das Rauschen einer Gausglocke folgt, ist die Fehlerverteilung im zweidimensionalen Fall jedoch eher ein ausgefranster Kreis.
    Das kann man ausnutzen, indem man die Werte “diagonal stapelt”,- und so 15% mehr Uebertragunsgechwindigkeit herausholt. Man verdoppelt also die Kanalkapazitaet, aber ver 2.15facht die Geschwindigkeit.
    Im 3D-Fall (3 Kanaele) ist der Gewinn bereits 42%. Bei 4 Kanälen holt man sogar 100% Steigerung heraus.
    Hier sind die Arbeiten von Maryna Viazovska interessant,- die Mathematikerin hat bewisen wie die optimale Packungsdichte bei 8 und 24 Dimensionen aussieht.

    In der tatsaechlichen Uebertragunstechnik verwendet man natuerlich verschiedene Uebertragunsfrequenzen um die Kanaele darzustellen, und die Schrittweite “1V,2V,4V” ist natuerlich nur modelhaft zu verstehen.

    Solche mathematischen Modelle sind auch der Grund, warum heutzutage “viel mehr Daten ueber ein Kabel passen” als vor einigen Jahrzehnten.

  4. #4 Florian Freistetter
    4. Juni 2020

    @schlappohr: “Eigentlich geht es hier nicht um Mond und Erde, sondern um Kugelpackungen.”

    Tatsächlich? So ein Zufall dass mein Artikel auch von Kugelpackungen handelt…

    “ich lese gerade das Buch Amalthea von Neill Stephenson, in dem der Mond aus unbekanntem Grunde zerbricht und die Teile auf die Erde herabregnen und alles Leben vernichten. Kennt jemand die Geschichte?”

    Siehe hier: http://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2015/05/28/der-mond-explodierte-ohne-warnung-und-ohne-ersichtlichen-grund-seveneves-von-neal-stephenson/?all=1

  5. #5 Karl-Heinz
    4. Juni 2020

    @Ingo

    Geht es bei dir um Decodierkugeln?

  6. #6 Karl-Heinz
    5. Juni 2020

    @Ingo

    Wieso bringt man heutzutage bei der Übertragung so viel Daten über eine Datenleitung. Wie funktioniert das genau. Ich habe es noch nicht ganz verstanden. 🙂

  7. #7 Ingo
    5. Juni 2020

    @Karl-Heinz:
    Die Dekodierkugeln sind natuerlich nur eine von vielen Methoden um die Uebertragungen schneller zu machen,- aber dennoch eine wesentliche.
    Der Gewinn, den man durch eine höhere Packungsdichte von mehrdimensionalen Kugeln bekommt ist jedenfalls enorm,- viel mehr als es die Intuition sagen wuerde.

    Dimensionen | normale Packdichte | optimale Packdichte | Gewinn
    2 | 78,54% | 90,69% (bewiesen) | 15,47%
    3 | 52,36% | 74,05% (bewiesen) | 41,42%
    4 | 30,84% | 61,69% (bewiesen) | 100,00%
    5 | 16,45% | 46,53% (vermutet) | 182,84%
    6 | 8,07% | 37,29% (vermutet) | 361,88%
    7 | 3,69% | 29,53% (vermutet) | 700,00%
    8 | 1,59% | 25,37% (bewiesen) | 1500,00%
    24 | 0,00000001150% | 0,1930% (bewiesen) | 1.677.721.491,82%

    unter “normaler Packungsdichte” wird hier verstanden die Kreise/Kugeln/Spaeren einfach an den Schnittpunkten eines gedachten Gitters auszurichten.

    DIe Rechnung ist relativ einfach:
    Beispiel 3 Dimensionen: In einen Würfel der Kantenlaenge 1 passt eine Kugel des Radiuses 0.5. Die Kugel hat das Volumen: (4/3) * π * r³ = (4/3) * π * 0,5³ = 0,52
    Der Würfel hat das Volumen 1*1*1=1
    Daher die Ausnutzung von 52% des Würfel-Volumens in der “normalen Packungsdichte”.
    Die optimale Packungsdichte (“Orangenstapel”) ist wesentlich komplizierter zu berechnen und etwas fuer Mathematiker – sie Nutzt jedoch 74% des Volumens. Ein Gewinn von 41%.

    Wenn ich bei 3 Kanaelen meine Kodierungskugeln wie einen Melonenstapel anordne, hab ich genau diese 41% als Gewinn (Das ist natuerlich gelogen, da die optimale Packungsdichte nur bei einen unendlich grossen Volumen erreicht wird. Wenn ich irgendwo eine Wand habe, kann ich dort ja keine durchgeschnittenen halben Kugeln platzieren.)

    An der Tabelle sieht man aber trotzdem dass der Gewinn enorm wird, je mehr Kanaele zur Verfuegung stehen.
    Viel mehr, als die Intuition sagt.

    Andere Gruende warum heute so viele Daten ueber das Kabel passen sind sicherlich verfahren wie Echokompensation, – das herrausrechnen von Uebersprecheffekten, wenn die Daten des Nachbarkabels bekannt sind (Vektoring) und all die Wunder der modernen Signalverarbeitung.

    Fuer die Luftschnittstelle kommen noch Effekte wie das Auseinanderfummeln von Funksignalen die aus unterschiedlichen Richtungen kommen, indem man mehrere Empfangsantennen benutzt und den Zeitunterschied in dem das Signal dort jeweils ankommt auswertet. (Die Lichtgeschwindigkeit ist heute im Vergleich mit den Taktungen der Signalprozessoren viel langsamer als vor einigen Jahrzehnten).
    Auf Senderseite kann man ebenfalls (wie bei 5G) jeden Handy seinen eigenen Sendestrahl zukommen lassen, und auf diese Weise die gleiche Frequenz fuer sehr viele Telefone gleichzeitig benutzen.

    Es ist ein faszinierendes Thema,- und zeigt, dass hoeherdimensionale Mathematik, das Stapeln von Melonen oder Monden, Funktechnik und Datenuebertragunstechnik alles das gleiche ist 🙂

  8. #8 UMa
    5. Juni 2020

    Hallo Ingo,
    das klingt sehr interessant.

    Welche Anzahl von Kanälen, also Dimensionen wählt man denn in der Praxis? Es sieht so aus, als wäre mehr besser, da der Gewinn überproportional steigt.

    Könnte man auch 100 oder 1000 Kanäle nehmen? Selbst wenn man die optimale Packungsdichte/Anordnung nicht kennt, könnte der Gewinn selbst einer suboptimalen gegenüber der normalen noch viel höher sein, als die der optimalen bei 24, oder?

  9. #9 Karl-Heinz
    6. Juni 2020

    @Ingo

    Vielen Dank für die Antwort. Was ich ganz und gar nicht verstehe ist, was ein Kanal mit einer Kugel zu tun haben soll. Wie definierst du den Abstand auf mehrere Kanäle?
    Meiner Meinung hat der Abstand etwas mit dem Code zu tun. Ich denke da an den Hamming-Abstand.
    Liege ich damit richtig? 🙂

  10. #10 Karl-Heinz
    6. Juni 2020
  11. #11 bote
    7. Juni 2020

    Karl-Heinz,
    Wovon hängt die Übertragungsrate ab.
    Bei der analogen Datenübertragung , z.B. Musik in UKW hängt sie von der Breite des Kanals ab, bei UKW , MW, LW sind das 9 kHz. Dabei wird die Trägerwelle, die eine Sinuswelle ist , bei UKW sind das etwa 100 MHz mit der Musikfrequenz moduliert. Entweder durch Phasenmodulation oder Frequenzmodulation. Die Übertragung ist zeitgleich mit der Musik, die man im Radio hören kann.

    Bei DAB , der digitalen Übertragung von Musik hängt sie nicht von der Kanalbreite ab, die beträgt sogar nur 4,5 kHz, aber bei einer Trägerfrequenz die in den GigaHz Bereich geht und damit sehr viele Datenkanäle ermöglicht, wenn ich nicht irre, sondern von der Frequenz der bits ab, die übertragen werden.
    Und wenn dein Prozessor mit 2 MHz getaktet ist, dann ist das die Obergrenze für die Datenübertragung. Ob jetzt dabei gleichzeitig mehrere Kanäle verwendet werden, das konnte ich noch nicht herausfinden.

  12. #12 Karl-Heinz
    7. Juni 2020

    @bote

    Es gibt in der Nachrichtentechnik schon einen Zusammenhang zwischen Datenübertragungsrate und Bandbreite, nämlich die Speltrale Effizienz.
    https://de.m.wikipedia.org/wiki/Spektrale_Effizienz

    Das mit den Packungsdichten von Kugeln von Ingo, ist total interessant und wird natürlich auch in der digitalen Übertragungtechnik eingesetzt.
    Nur was Ingo suggeriert (siehe UMa), dass man, wenn man höherdimensional wird, einfach massiv Bandbreite einsparen kann, ist natürlich Humbug. Man erkennt es auch daran, dass der Begriff Kanal von Ingo als Dimension vergewaltigt wird.
    Sorry Ingo, ich finde aber deinen Beitrag spannend und gut, nur halt nicht ganz richtig und vollständig verdaut. 😉

  13. #13 Karl-Heinz
    8. Juni 2020

    Dichte Kugelpackungen in höheren Dimensionen haben große Bedeutung für die Kodierungstheorie (fehlerkorrigierende Codes).

  14. #14 Ingo
    8. Juni 2020

    @Karl-Heinz:
    > Sorry Ingo, ich finde aber deinen Beitrag spannend
    > und gut, nur halt nicht ganz richtig und vollständig
    > verdaut.

    Bitte verwechsle einen Kommentar, den man mal eben ohne Recherche frei Hand und ohne Rechtschreibkorrektur zwischen zwei Telefonkonferenzen schreibt nicht mit einen Artikel 🙂

    > Ich denke da an den Hamming-Abstand.
    > Liege ich damit richtig?

    Hamming-Abstand ist eher ein Mass “wie kaputt eine Uebertragung ist” (Wenn waehrend einer Uebertragung aus “00110” eine “01110” wird, dann ist das weniger kaputt als wenn “11110” daraus wird- sowas in der Art wird mit den Hamming-Abstand quantisiert)

    > Was ich ganz und gar nicht verstehe ist,
    > was ein Kanal mit einer Kugel zu tun haben soll.

    Bei drei Kanelen eine Kugel,-
    Bei zwei Kanaelen ein Kreis.

    Ich fang mal mit dem eindimensionalen Model an (1 Kanal).

    Ich vereinfache jetzt mal etwas,- und stelle mir vor, ich habe ein Kabel wo ich Spannungen uebertragen kann.
    4 definierte Spannungswerte (Sagen wir 1V, 2V, 3V und 4V) sollen die Symbole “00”, “01”, “10”, “11” darstellen. (Wer sich mit Frequenzen und Kabeln auskennt, wird jetzt die Haende ueber den Kopf zusammen schlagen,- aber als Modell fuer das Verstaendniss der “Kugeln” ausreichend.)
    Im 1-Kanal Fall kann ich dann eine getaktete Sequenz abschicken. Sagen wir mal ich will “01 11 00 00” verschicken. Dann muss ich nach meiner Ingo-Kodierung 2V, 4V, 1V, 1V abschicken.
    Wegen dem Rauschen kommt aber nur 1,8V, 3,9V 1,5V, 0,8V auf der anderen Seite an.
    Der Emfaenger dekodiert dann folgendes
    0,5V – 1,4V -> 00
    1,5V – 2,4V -> 01
    2,5V – 3,4V -> 10
    3,5V – 4,4V -> 11
    Dies ergibt: “01 11 01 00”. Dabei hat sich ein Fehler eingeschlichen,- da der dritte Schritt als 1V (00) abgeschickt wurde, jedoch 1,5V (01) angekommen sind.
    Das Rauschen (der analoge Fehler) verteilt sich nach einer Gaus-Glocke um den jeweiligen Soll-Wert herum. Falls ich auf die Idee komme meine Volt-Schritte zu dicht zu legen dann laufe ich Gefahr, dass das Rauschen meine Symbole verfaelscht und zu Uebertragungsfehlern fuehrt.

    Wenn ich 2 Kabel verwende kann ich folgende Kodierung aufbauen:
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 1V = 00 00
    1.Kabel 1V, 2.Kanel 2V = 00 01
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 3V = 00 10
    1.Kabel 1V, 2.Kanel 4V = 00 11
    1.Kabel 2V, 2.Kabel 1V = 01 00
    1.Kabel 2V, 2.Kanel 2V = 01 01
    1.Kabel 2V, 2.Kabel 3V = 01 10
    1.Kabel 2V, 2.Kanel 4V = 01 11
    1.Kabel 3V, 2.Kabel 1V = 10 00
    1.Kabel 3V, 2.Kanel 2V = 10 01
    1.Kabel 3V, 2.Kabel 3V = 10 10
    1.Kabel 3V, 2.Kanel 4V = 10 11
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 1V = 11 00
    1.Kabel 4V, 2.Kanel 2V = 11 01
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 3V = 11 10
    1.Kabel 4V, 2.Kanel 4V = 11 11
    Nun kann ich die Sequenz “01 11 00 00” in nur 2 Schritten uebertragen:
    1. Schritt: 1.Kabel 2V, 2.Kanel 4V
    2. Schritt: 1.Kabel 1V, 2.Kabel 1V
    damit bin ich natuerlich doppelt so schnell,- habe aber auch 2 Kabel anstatt nur eines. Soweit nichts Besonderes.
    Der Rausch-Fehler ist natuerlich immer noch da,- auf beiden Kabeln.

    Bilder hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung

    Aus der Gaus-Glocke, wird ein zwei-Dimensionales Konstrukt.
    Wenn ich folgendes Uebertrage:
    1.Kabel 2V, 2.Kanel 4V
    dann kann daraus z.b. werden:
    1.Kabel 2V, 2.Kanel 4V (grosse Wahrscheinlichkeit)
    1.Kabel 2,2V, 2.Kanel 4V (mittlere Wahrscheinlichkeit)
    1.Kabel 2V, 2.Kanel 3,8V (mittlere Wahrscheinlichkeit)
    1.Kabel 2,2V, 2.Kanel 3,8V (kleine Wahrscheinlichkeit)

    Es ist einfach unwahrscheinlicher, dass beide Kabel eine extreme Abweichung waehrend der Uebertragung produzieren, als das nur eines eine extreme Abweichung produziert.
    Die Grenzen die ich zum Nachbarsymbol ziehen muss damit ich eine Unterscheidung der Symbole gewaherleiste, sind also idealerweise nicht 4-Eckig (wie bei meiner ersten 2-Kabel-Ingo-Kodierung, sondern besser kreisfoermig.
    Diese Wahrscheinlichkeiten sind die Kreise (Bei 3 Kabeln: Kugeln)
    Ich kann meine Kodierung also verbessern:

    Kabel 1 hat jetzt 5 Zustände:
    1 Volt, 1.75 Volt, 2.5 Volt, 3.25 Volt, 4Volt
    Kabel 2 hat sogar 7 Zustände:
    1 Volt, 1.5 Volt, 2 Volt, 2.5 Volt, 3Volt, 3.5 Volt, 4 Volt

    Ich darf jetzt aber nicht auf die Idee kommen alle Zustaende mit Symbolen zu belegen,- da ansonsten der Sicherheitsabstand zum Nachbarsymbol zu gering ist.

    1.Kabel 1V, 2.Kabel 1V -> 0000
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 1.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 2 -> 0001
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 2.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 3V -> 0010
    1.Kabel 1V, 2.Kabel 3.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 1V, 2.Kabel,4V -> 0011

    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel 1V -> nicht belegt
    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel 1.5V -> 0100
    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel 2 -> nicht belegt
    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel 2.5V -> 0101
    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel 3V -> nicht belegt
    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel 3.5V -> 0110
    1.Kabel 1,75V, 2.Kabel,4V -> nicht belegt

    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel 1V -> 0111
    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel 1.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel 2 -> 1000
    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel 2.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel 3V -> 1001
    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel 3.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 2,5V, 2.Kabel,4V -> 1010

    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel 1V -> nicht belegt
    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel 1.5V -> 1011
    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel 2 -> nicht belegt
    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel 2.5V -> 1100
    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel 3V -> nicht belegt
    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel 3.5V -> 1101
    1.Kabel 3,25V, 2.Kabel,4V -> nicht belegt

    1.Kabel 4V, 2.Kabel 1V -> 1110
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 1.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 2 -> 1111
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 2.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 3V -> EXTRA-SYMBOL1
    1.Kabel 4V, 2.Kabel 3.5V -> nicht belegt
    1.Kabel 4V, 2.Kabel,4V -> EXTRA-SYMBOL2

    Hier ist der Gewinn. Ich kann jetzt mit einen Schritt nicht nur 16, sondern 18 Symbole unterscheiden.
    Der Trick ist einfach die jeweiligen kreisformigen Sicherheitsabstaende gegeneinander zu verschieben.
    Anders ausgedrueckt: Es wird ausgenutzt, dass es unwahrscheinlich ist, dass beide Kanaele gleichezeitig einen extremen Uebertragunsfehler produzieren.
    Anders ausgedrueckt: Die Kreise (der Sicherheitsabstaende) sind besser gestapelt.
    Ich habe hier einen Gewinn von 12,5% Uebertragungsgeschwindigkeit (18 anstatt 16 Symbole pro Schritt).

    Bei 3 Kabeln muss man sich entsprechend kugelfoermige Sicherheitsabstaende vorstellen,- und diese Kugeln entsprechend stapeln.
    Bei 4 Kabeln muss man sich Hyperkugeln vorstellen und einen Mathematiker zu Hilfe rufen,- und diese Hyperkugeln effizient stapeln.
    Mit jeden zusaetzlichen Kabel (Dimension) wird der Gewinn groesser.

    Es gibt sogar Webseiten wo man sich solche stapelverfahren Downloaden und ansehen kann: http://codes.se/packings/

    Eigentlich muss man sich auch nicht Kabel und Spannungswerte vorstellen,- sondern Kanaele und Amplitudenausschlaege. Das Model bleibt aber das gleiche.
    Natuerlich ist dies nicht DER Trick um alles schneller zu machen,- sondern einer von vielen in der modernen Wunderwelt der Signalkodierung.

    Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wie viele Kanaele in der Praxis ineinander verschachtelt werden,- immerhin wird mit jeden Kanal die Signalverarbeitung komplexer.
    Dazu muesste man dann eine sauber recherchierten Artikel mit Bildern machen,- und keinen einfachen Kommentar zwischen zwei Terminen.
    Deswegen bitte ich die schlechte Qualitaet zu entschuldigen,- ich muss jetzt in die naechste Telefonkonferenz.

  15. #15 Karl-Heinz
    8. Juni 2020

    @Ingo

    Danke Ingo
    Ich muss mir deine Antwort genauer ansehen.
    Wird deshalb sicher einige Zeit dauern bis ich antworte.
    Wünsche einen schönen Home-Office Tag.

    PS: Ist für mich ein interessantes Thema. 😉

  16. #16 Ingo
    8. Juni 2020

    Nachtrag:

    Besonders haeufig werden solche Modelationsverfahren in Verbindung mit QAM (Quadraturamplitudenmodulation) eingesetzt.
    Mit “QAM”-Modulation koennen 2 Kanaele auf einer Frequenz uebertragen werden, indem die Phasen des Signals mit der Traegerwelle hin-und-her verschoben werden. (Kompliziert in 2 Saetzen zu beschreiben,- aber schon uralt. Beim analogen Farbfernsehn wurde das frueher benutzt um 2 analoge Farbhilfskanaele auf einer Frequenz zu uebertragen.)

    In der digitalen Variante werden diese 2 Kanele (beide auf der gleichen Freuqenz) dann genau wie in meinen Beispiel verwendet um verschiedene Symbole darzustellen.
    Dies waere dann der “2Dimensionale Fall”. Auch die alte Fax-Uebertragung hatte ein solches QAM-16-Signal verwendet.
    QAM-16 bedeutet, dass in einen Signalschritt 16 Symbole unterschieden werden koennen.
    QAM-128 ist heute veraltet,- je nach Medium geht das hoch bis QAM-1024.
    Normalerweise orientiert man sich verstaendlicherweise an den Binaergrenzen, damit ganze Bits pro Signalschritt uebertragen werden koennen. Es gibt aber auch krumme Werte.

    In manchen Anwendungen werden dann mehrere Frequenzen (jeweils mit QAM) kombiniert,- um so 4 oder mehr Dimensionen fuer die Stapelung zu haben.

    https://www.researchgate.net/publication/224575480_Sphere_Packing_Optimization_and_EXIT_Chart_Analysis_for_Multi-Dimensional_QAM_Signaling

  17. #17 Ingo
    8. Juni 2020

    @UMa #8

    > Welche Anzahl von Kanälen, also Dimensionen
    > wählt man denn in der Praxis? Es sieht so aus, als
    > wäre mehr besser, da der Gewinn überproportional
    > steigt.

    Ich bin kein Experte,- aber “mehr ist besser” scheint hier gefuehlt richtig zu sein.
    Das Problem wird sein, das der Aufwand auch steigt.
    Du musst ja fuer jedes Symbol was du uebertragen willst in irgendeiner Kodierungstabelle nachschauen wie du deine jeweiligen Kanaele/(Freiheitsgraede in der Modulation) konkret setzen musst.
    Je mehr Symbole pro Uebertragungsschritt und je mehr Kanaele,- desto groesser wird die Tabelle.
    Nicht vergessen: Das muss alles sehr schnell passieren, da die Uebertragunsfrequenz natuerlich sehr hoch ist,- und eine Symboldauer nur sehr kurz ist.
    Wenn du unabhaenige Kanaele hast (ohne verschachtelung), kann man natuerlich viel einfachere Kodierungs/Dekodierungs-aperate bauen,- da muss dann einfach nur der Bitstrom aufgeteilt werden, und jeder unabhaenige Kanal hat eine unabhaenige Kodierung, mit unabhaenigen Hardwareeinheiten.
    Bei solchen verschachelten und gestapelten Kodierungen geht das nicht mehr.

    > Könnte man auch 100 oder 1000 Kanäle nehmen?
    > Selbst wenn man die optimale
    > Packungsdichte/Anordnung nicht kennt, könnte de
    > Gewinn selbst einer suboptimalen gegenüber der
    > normalen noch viel höher sein, als die der optimalen
    > bei 24, oder?

    Prinzipiell richtig,- aber der Aufwand wird bei so viel Dimensionen dann vermutlich immens werden. (s. oben)
    Am haeufigsten begegnet einen der relativ einfache 2-Dimensionale Fall (in Kombination mit QAM,- wo bereits 2 Kanaele auf einer Frequenz uebertragen werden).
    In der optischen kommunikation via Glasphaser gibt es 4-Dimensionale Beispiele,- da hier mehr Freiheitsgrade (=Kanaele) zur Verfuegung stehen. (Lichtstaerke,- Polarisation, Frequenz etc etc).
    Diese Information habe ich aber auch nur irgendwann in der Kantine aufgeschnappt,- und ist daher als “plausibles Geruecht” zu werten

  18. #18 bote
    9. Juni 2020

    Ingo, Karl-Heinz, UMa

    “Im Dezember 2014 verkündete die deutsche Kultusministerkonferenz, dass die Morsetelegrafie in das bundesweite Verzeichnis des immateriellen Kulturerbes im Sinne des Übereinkommens zur Erhaltung des Immateriellen Kulturerbes der UNESCO aufgenommen wird.”

    Wer sich mit dem Thema Nachrichtenübertragung beschäftigt, kommt am Morsen nicht vorbei.
    Alles, worüber wir sprechen ist nur eine erweiterte Form des Morsens.

  19. #19 Ingo
    9. Juni 2020

    @bote #18

    > Wer sich mit dem Thema Nachrichtenübertragung
    > beschäftigt, kommt am Morsen nicht vorbei.

    Das gute alte Morsen! Digital, – und sogar mit variabler Bitlaenge pro Zeichen um Platz zu sparen. Sehr fortschrittlich. Entropiekodierung gab es schon vor 200 Jahren.

    Wobei ich meistens gerne vom Telex (Fernschreiben) erzaehle. Das ist digital, automatisch vermittelt, echtzeit, maschinell lesbar und war vor 100 Jahren weltweit verfuegbar.
    Dort wurde ein 5-Bit-Code verwendet um Buchstaben und Zahlen zu codieren. (CCITT-2).
    Der Vorgaenger (CCITT-1 / Baudot), ebenfalls 5Bit, lang und wurde 1870(!!) spezifiziert.
    Die Leute hat sich schon sehr lange ueber kodierung Gedanken gemacht.

    Es ist erstaunlich, dass das Telex-Netz nicht als Vorgaenger des Internets wahrgenommen wird, und viele Leute das Telex-Netz nicht mal kennen.

  20. #20 Karl-Heinz
    9. Juni 2020

    Puh …
    Lege nur mal kurz einen Begriff ab.
    https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kanalkapazit%C3%A4t

  21. #21 Wer
    Tölz
    30. Juni 2020

    23 na klar – sind ja auch 23 Chromosomenpaare – R.A.Wilson (Illuminatus-Trilogie) läßt grüßen.