Bei der Lektüre dieses Artikels in der “New York Times” (in dem sich der Verfasser John Tierney mit der Frage beschäftigt, ob der Erwerb einer Reiseversicherung etwa vergleichbar ist zu den den Stieropfern antiker griechischer Reisender oder der rituellen Schlachtung zweier Ziegen auf dem Flughafen von Katmandu im vergangenen September, mit der ein hartnäckiger Schaden an einer Boeing 757 behoben werden sollte) stieß ich auf eine bereits im vergangenen Herbst veröffentlichte Studie, die das öfter schon zitierte “Ziegenproblem” (das nichts mit dem gerade erwähnten Tieropfer zu tun hat) um einen meiner Ansicht nach sehr erleuchtenden Aspekt bereichert.

Im “Ziegenproblem”, das im amerikanischen Sprachgebrauch auch “Monty Hall Problem” genannt wird (nach dem Leiter der TV-Spielshow “Let’s Make A Deal”, die auf diesem Problem beruhte), muss der Spieler eine von drei verschlossenen Türen auswählen – hinter einer befindet sich ein neues Auto, das er damit gewinnt, hinter den beiden anderen eine Ziege. Der Clou des Spiels ist, dass der Kandidat sich für eine Tür entscheidet, die erst mal verschlossen bleibt. Der Spielleiter (der genau weiß, hinter welcher Tür das Auto ist), öffnet dann eine der beiden “Ziegentüren” und bietet dem Spieler an, entweder bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben oder seine Entscheidung zu ändern. Die Frage ist: Sollte er sich umstimmen lassen, oder wäre es besser, wenn er bei seiner ursprünglichen Wahl bleibt?

Rein statistisch gesehen wäre es besser, wenn er sich umentscheidet (wer wissen will, warum, der sollte “Ziegenpoblem” einfach mal googeln), weil die vom Spielleiter übrig gelassene Tür mit einer Zweidrittel-Wahrscheinlichkeit das Auto enthält, während die Chancen des Spielers in der ersten Runde ja nur bei eins zu drei lagen.

Die spannendere Frage schien mir hier immer, warum trotz der schlüssigen Mathematik so viele Menschen Probleme mit der Lösung haben. Und hier kommen die Beobachtungen ins Spiel, die Jane L. Risen von der University of Chicago Graduate School of Business und Thomas Gilovich von der Cornell University in Ithaca (New York) im Experiment mit Studenten gemacht und in einem Artikel für das Journal of Personality and Social Psychology veröffentlicht haben. Leider gibt’s den Artikel nicht frei im Internet, aber so weit ich verstanden habe, zeigten sich die Probanden unwillig, ein Lotterieticket gegen ein anderes mit gleichen Chancen auszutauschen, weil sie befürchteten, damit eventuell ein Siegerlos aus den Händen zu geben.

Und dies kommt auch beim Ziegenproblem ins Spiel. Sicher, rein statistisch wären die Chancen größer, wenn man dem Moderator folgt, der ja erstens nicht raten musste, sondern über einen Informationsvorsprung verfügt, und zweitens garantiert immer mindestens eine Niete = Ziege aus dem Verkehr zieht, (und damit die Erfolgswahrscheinlickeit der verbliebenen Tür verdoppelt).

Aber andererseits ist dies ja kein Roulette, wo man das Spiel theoretisch unbegrenzt oft wiederholen und damit statistisch existierende Vorteile seiner Gewinnstrategie trotz unvermeidlicher gelegentlicher Verluste überhaupt erst realistisch ausnutzen kann – jeder hat eine einzige Möglichkeit zum Spiel, mehr nicht. Und dies ist der Aspekt, der bei einer rein mathematischen Analyse des Problems übersehen wird: Da jeder Kandidat das Spiel nur ein einziges Mal spielen darf, wiegt die statistische Chancenverteilung (die ja erst in der zahlreichen Wiederholung wirklich relevant wird) weitaus geringer, als die Angst, seiner eigenen Intuition misstraut und dadurch den Sieg verspielt zu haben.
Mit anderen Worten: Verlieren alleine ist nicht so schlimm wie der Gedanke, einen möglichen Gewinn schon in den Händen gehalten und dann unbedacht abgegeben zu haben.

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Kommentare (8)

  1. #1 Ulrich Berger
    8. Mai 2008

    Kleine Korrektur vorweg: Den Artikel gibt es doch im Internet, und zwar auf Gilovichs Homepage: http://psych.cornell.edu/sec/pubPeople/tdg1/Risen&Gilovich.lottery.07.pdf

    > unwillig, ein Lotterieticket gegen ein anderes mit gleichen
    > Chancen auszutauschen, weil sie befürchteten, damit eventuell
    > ein Siegerlos aus den Händen zu geben.

    Das stimmt zwar, ist aber schon viel länger bekannt (Stichwort “regret aversion”). Was Risen & Gilovich behaupten, ist, dass es noch einen kleinen zusätzlichen Effekt gibt: Die Probanden unterliegen dem (Aber-) Glauben, dass die Gewinnchance eines Lotterietickets steigt, wenn sie es gegen ein anderes austauschen – wenn sie auf diese Weise quasi “das Schicksal herausfordern”.

    Aber der Konnex zum Ziegenproblem ist tatsächlich interessant – unabhängig davon ob dieser zusätzliche Effekt existiert oder nicht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln verdoppelt sich. Gleichzeitig ändert sich aber der Bezugspunkt, von dem aus Gewinn/Verlust gemessen wird, und ein nach einem Wechsel nicht gewonnenes Auto wird als “verlorenes Auto” wahrgenommen. Die Faustregel in der Prospect-Theorie besagt, dass Verluste etwa doppelt so stark negativ empfunden werden wie gleich hohe Gewinne positiv. Mit der objektiven Gewinnwahrscheinlichkeit multipliziert kommt man so ungefähr auf Indifferenz. Das könnte erklären, warum so viele Probanden im Ziegenproblem nicht wechseln wollen.

    (Na gut, das war jetzt eigentlich eine Wiederholung von dem was Sie im letzten Absatz gesagt haben. Aber zumindest mit anderen Worten…)

  2. #2 Jürgen Schönstein
    10. Mai 2008

    >(Na gut, das war jetzt eigentlich eine Wiederholung von dem was Sie im letzten
    >Absatz gesagt haben. Aber zumindest mit anderen Worten…)

    … und besser, als ich es hätte formulieren können. Vielen Dank!

  3. #3 Stefan W.
    9. Juli 2010

    Ich würde eine ganz andere Erklärung versuchen.

    Wenn der Kandidat schon eine Niete hat – wieso sollte der Moderator sich bemühen den Kandidaten umzustimmen? Das Zerren am Los wird als Versuch des Überlegenen gedeutet, den Kandidaten zu täuschen. Solange man die Statistik also nicht durchschaut hat dominiert die Menschenkenntnis, die zurecht im Spielleiter einen fiesen Betrüger vermutet. 🙂

    Ich habe mich trotz solider statistischer Kenntnisse gesträubt die Rechnung zu verstehen, und musste erst 4x nachfragen, ob der Moderator wirklich immer eine Tür öffnet, unabhängig davon, ob man die Niete oder den Hauptgewinn gezogen hat.

  4. #4 S.S.T.
    11. Juli 2010

    Die beste Realsatire zum Zigenproblem hat immer noch J. Lopez geliefert.
    http://www.ekkehard-friebe.de/Jocelyne-und-die-Ziegen.pdf (u.v.a.m.)

  5. #5 BS
    Salzburg
    26. April 2018

    Ich sehe es auch anders, nämlich, dass die neue Situation “nur mehr zwei Türen” eine anders Ausgangslage darstellt als die alte “drei Türen”. In der neuen Sitation gibt es daher keine 2/3 Wahrscheinlichkeit pro Tür, sondern nur mehr eine fifty-fifty Chance. Eine Umentscheidung auf die andere Tür ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit.

    Abgesehen davon, sollte ich mich jetzt irren, weil auch ich ein Opfer der unverstandenen Wahrscheinlichkeiten wäre, betrachten wir noch mal die 2/3 Wahrscheinlichkeit. In dem Fall gilt die aber für jede der beiden Türen, unabhängig davon, für welche ich mich entschieden hätte.
    Jede Tür hätte somit dieselbe 2/3 Wahrscheinlichkeit, die richtige zu sein, aber auch dieselbe 2/3 Wahrscheinlichkeit, die falsche zu sein. Somit stehen die Chancen ja wieder 1:1.

    Fazit: Ein Umentscheiden ist nicht sinnvoller als bei der alten Entscheidung zu bleiben.

  6. #6 con2art
    26. Oktober 2018

    @BS
    Schade, dass Sie dem ersten Tipp nicht gefolgt sind und erstmal nach “Ziegenproblem” gegoogelt haben. Schon in der Wikipedia wird Ihnen in Bildfolgen gezeigt, dass Sie falsch liegen. Was Sie übrigens hätten selber machen können, um sich zu beweisen, dass Sie falsch liegen, statt einfach die Behauptung in den Raum zu werfen, dass man aus der dreimaligen Wahrscheinlichkeit 2/3 einfach 1:1 machen könnte.
    Ich glaube das ist ein Gedankensprung, der ganze Lehrbücher füllen könnte. 😉

    Zum Thema:
    Ich denke, dass in der Mathematik der evolutionäre oder anthropologische Faktor nicht vorkommt, ist mit der Hauptgrund warum sich Mathematiker fragen, wieso die Menschen sich nicht so verhalten, wie sie es für rational halten.

    Denn seien wir doch ehrlich, Statistiken sind wunderschön und man kann damit viele Sachen machen, aber für die Realität kann man es dann doch wieder auf folgendes Gleichnis bringen: Wenn ich und mein Fressfeind statistisch gesehen jeder einen Apfel haben, habe ich trotzdem keinen.

    Das heisst nicht, dass Statistiken Unsinn sind. Aber würden Mathematiker nicht dauernd vergessen, dass nicht alle Variablen berücksichtigt werden können, würden die Ökonomen nicht heute noch glauben, dass es einen Homo oeconomicus gibt.

  7. #7 Der Souverän
    24. März 2019

    BS

    Lass dich nicht verrückt machen, Du hast es 100% richtig erkannt und beschrieben. Du hast dir Logik zunutze gemacht und die steht weit über jeder Statistik.

    Natürlich ist die Chance aufgrund der veränderten Situation 1 zu 1. Mit dem öffnen der Tür ist der Vorgang abgeschlossen und kann nicht mehr für das weitere Vorgehen in Betracht gezogen werden.

  8. #8 Basilios
    Angel Beats!
    28. März 2019

    @Der Souverän
    Du hast es also auch nicht für nötig befunden die Erklärung des Ziegenproblems zum Beispiel in der Wikipedia nachzulesen, gell?
    -_-