Der Quantenmechanik wird ja oft vorgeworfen, dass sie, anders als die klassische Physik, sehr unanschaulich sei. Tatsächlich aber sind auch manche Größen in der klassischen Physik nicht so ohne weiteres anschaulich zu verstehen. In Teil 1 habe ich über “Energie” gesprochen. Ein anderes Beispiel ist das “Prinzip der kleinsten Wirkung” in der klassischen Mechanik.

Man versteht das Prinzip der kleinsten Wirkung (leicht vereinfacht) am besten an einem Beispiel: Ich jongliere mit einen Ball, so dass er zur Zeit t=0 in meiner linken Hand ist und ich ihn eine Sekunde darauf in meiner rechten Hand wieder auffangen kann. Um herauszufinden, welchen Weg der Ball genommen hat, sieht man alle denkbaren Wege an, bei denen der Ball bei t=0s in der linken und bei t=1s in der rechten Hand ist – nicht nur die Parabelbahn, die der Ball tatsächlich genommen hat, sondern auch einen Weg, bei der er dreimal um die Deckenlampe kreist, plötzlich beschleunigt, zum Fenster hinaussaust und zur offenen Terassentür wieder hereinkommt. Dabei ist “Weg” so zu verstehen, dass man nicht nur ansieht, wo sich der Ball gerade befindet, sondern auch, wann er sich an welchem Ort befindet.

Technische Randbemerkung: Mathematisch schaut man also alle Funktionen an, die zu jeder Zeit sagen, wo der Ball gerade ist, mit der Einschränkung, dass die Funktionen bei t=0 und t=1 festliegen und keine Sprünge machen, weil der Ball nicht an einem Ort verschwinden und woanders wieder auftauchen kann – es sei denn, Chief O’Brien hat mal wieder die Finger nicht von den Transporterkontrollen genommen…

Für jeden dieser Wege berechnet man eine Größe namens “Wirkung”. Der Weg, den der Ball tatsächlich nimmt, ist derjenige, bei dem die Wirkung am kleinsten ist.

Wie berechnet man nun die Wirkung? Dazu muss man zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der kinetischen (also der Bewegungs-) Energie und der Energie im Schwerefeld (oder allgemein der potentiellen Energie) ermitteln und in einen Graph einzeichnen. Wichtig ist hier, dass es die Differenz der beiden Energien ist, nicht ihre Summe – die wäre einfach gleich der Gesamtenergie, das wäre noch etwas anschaulicher (soweit die Energie selbst anschaulich ist…). Diese Größe schreibt man also als Funktion der Zeit auf und nennt das die “Lagrange-Funktion”. Zu jedem Weg gehört also eine Lagrange-Funktion.

Die Wirkung ist dann die Fläche unter der Kurve der Lagrange-Funktion (mathematisch also das Integral). Die Wirkung hat die Einheit Joule-Sekunde, weil sie die Fläche unter einer Kurve ist, bei der eine Energie gegen die Zeit aufgetagen wird. Für alle unendlich vielen Wege, die der Ball nehmen kann, berechnet man also dieses Integral (und weil man meist nicht unendlich viel Zeit hat, braucht man ein spezielles mathematisches Werkzeug namens “Variationsrechnung”, mit dem Physikstudenten irgendwann in den ersten Semestern gequält werden.) und sucht dann dasjenige aus, das am kleinsten ist. Damit hat man den Weg gefunden, den der Ball tatsächlich nimmt.

So lässt sich also der Weg des Balles berechnen. Anschaulich bedeutet die Wirkung damit – äh, mal überlegen… Moment … hmmm, – gar nichts? Es ist einfach nur eine Rechenvorschrift. Noch dazu eine ziemlich seltsame, weil wir, um den Weg des Balles zu berechnen, Anfangs- und Zielpunkt vorgeben müssen, wir müssen also schon wissen, wo der Ball am Ende landen soll, damit wir seinen Weg richtig berechnen können.

Die Physiker des 19. Jahrhunderts hat das nicht weiter gestört. Sie konnten nämlich beweisen, dass das Prinzip der kleinsten Wirkung mathematisch dasselbe aussagt wie die guten alten newtonschen Axiome, die wir alle mal in der Schule lernen mussten, und die sind mit Begriffen wie Kraft und Beschleunigung ja einigermaßen anschaulich.

Hätte man seinerzeit nur das Prinzip der kleinsten Wirkung gekannt, dann hätte man sich vermutlich auch damals schon über seine Interpretation Gedanken gemacht und sich gefragt, ob es nicht eine anschauliche Bedeutung besitzt. So aber hat man es einfach als “mathematischen Trick” angesehen – eine andere, ungewöhnliche, aber manchmal nützliche Umformulierung der Newtonschen Axiome. (Es gibt einige wenige Fälle, wo man mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung Probleme tatsächlich schneller lösen kann als mit den anderen Rechentechniken der Mechanik.)

Das Prinzip ist aber auf jeden Fall ein schönes Beispiel dafür, dass es auch in der klassischen Physik Rechenvorschriften und Formalismen gibt, die die Welt korrekt beschreiben, aber keine anschauliche Interpretation haben.

Tatsächlich hat die Geschichte noch eine interessante Wendung, denn das Prinzip der kleinsten Wirkung hat eine direkte Interpretation, wenn man zur Quantenmechanik übergeht, aber dazu schreibe ich ein andermal etwas.

Kommentare (25)

  1. #1 Patrick
    16. August 2010

    Hallo,

    schöner Artikel, überhaupt gefällt mir dein ganzer Blog sehr gut.

    Rein aus Neugierde: Meinst du mit dem Hinweis auf die Quantenmechanik den Pfadintegralformalismus? Diesen Formalismus finde ich aber nicht anschaulicher als das Prinzip der kleinsten Wirkung. Überhaupt kann man ja zu jedem physikalischen Formalismus immer auch eine äquivalente Formulierung über ein Extremalprinzip finden, so z.B. auch zu den Maxwellgleichungen. Wobei ich persönlich das Extremalprinzip der klassischen Mechanik noch am anschaulichsten finde.

  2. #2 MartinB
    16. August 2010

    @Patrick
    Ja, ich meinte den Pfadintegralformalismus – da hat S immerhin die Bedeutung der Phasenrotation für den jeweiligen Pfad – für ne super-Anschauung empfehle ich feynman’s QED-Buch. Werd’ ich irgendwann nochmal ausführlich was zu schreiben.

    Maxwellgleichungen mit Extremalprinzip hab ich noch nie gehört, klingt interessant. Hast du dazu ein Stichwort oder ne referenz zum Nachlesen?

  3. #3 kommentarabo
    16. August 2010

  4. #4 Patrick
    16. August 2010

    @MartinB
    In Feynmans “Lectures on Physics Vol. 2” gibt es ein Kapitel namens “The Principle of Least Action” welches eine Transkription einer Vorlesung ist. Er zeigt dort, dass das Volumenintegral über (∇ϕ)² – ρϕ genau für das richtige Potential ϕ minimal wird, das Extremalprinzip also äquivalent zur Poissongleichung ist.

    Mein Prof meinte in Theoretischer Mechanik auch, dass sich wohl praktisch für jedeTheorie in der Physik auch eine Formulierung als Extremalprinzip finden lässt.

  5. #5 MartinB
    16. August 2010

    @Patrick
    Ah, danke, daran hätte ich denken können – das Eichtheorieäquivalent dieser Gleichung hat mich in der Promotion beschäftigt, ist aber schon ne Weile her… Das betrifft aber ja nur Maxwell 1+2, nicht die zeitabhängigen Gleichungen. Wahrscheinlich kann man letztlich wirklich jede Gleichung in ein Minimum-Problem umformen, aber bei der kleinsten Wirkung (oder dem fermat-Prinzip oder der minimalen Eigenzeit in der ART) ist das halt so schön “einfach”. Wenn’s da was für die maxwellgleichungen als ganzes gäbe, wär das sicher interessant.
    (Vielleicht kriegt man das hin, wenn man die Gleichungen für die Potentiale und Vektorpotentiale nimmt und umformt?)

  6. #6 perk
    17. August 2010

    so wie hier ab der mitte zum beispiel

  7. #7 MartinB
    17. August 2010

    @perk
    Aua – manchmal ist man echt vernagelt. Na klar, man braucht ja nur die Lagrange-Funktion für die E-dynamik hinzuschreiben, dann ist ein Minimierungsprinzip automatisch erfüllt. (Und im Nu ist man auch bei der QED.) Danke für die Erinnerung.

  8. #8 hattori hansen
    18. August 2010

    Hallo, Gratulation zu dieser wunderbaren Artikelserie! Wenn ich an meine verstaubte Vorlesung in klassischer Mechanik denke, hätten dort ein paar didaktische Schmankerl wie dieser Artikel prima gepasst. (Meine persönlichen Favoriten unter den unanschaulichen Größen sind ja die thermodynamischen Potentiale.)
    Bin gespannt, was noch folgen wird und wünsche weiterhin viel Eingebung beim Bloggen.

  9. #9 MartinB
    18. August 2010

    @hattori hansen
    Thermodynamische Potentiale sind eigentlich ne super-Idee für einen Blog-Post. Ich setze es auf meine Ideenliste, die aber im Moment täglich länger wird…

  10. #10 973
    30. August 2010

    Zur Ähnlichkeit zwischen Wirkung und Energie, sei noch angemerkt, das man zBsp die Arbeit als eine ihrer Formen, auch über ein Integral des Ablaufes darstellen kann, nämlich der Kraft über den Weg, und es dafür auch ein Minimalprinzip gibt, das von d’Alembert.

  11. #11 Peter
    20. Mai 2012

    Bin hier auf der Suche nach der quasi sich selbst hinschreibenden Lagrange-Funktion in der QFT zwischengelandet…

    Es gibt einen Artikel in Rev. Mod. Phys., der recht allgemein Minimalprinzipien konstruiert, kann ich ‘raussuchen, falls noch Interesse besteht.

    In der QM gibt’s h – wie soll da eine Wirkung minimal werden?

    Für die kräftefreie Bewegung eines klassischen Körpers wird die kleinste Wirkung zum kürzesten Weg. Bei konstanter Gesamtenergie ist immerhin noch die Leibnizsche Wirkung,

    Integral m v ds

    minimal.

    Ersetzt man dt = dr/v mit v = SQRT(2T/m), erhält man das Fermatsche Prinzip mit dem “mechanischen Brechungsindex”

    n = (T – V)/SQRT(2T/m)

    Ich behaupte nicht, dass das anschaulicher ist als die Einsteinschen Feldgleichungen 😉

  12. #12 MartinB
    20. Mai 2012

    @Peter
    “In der QM gibt’s h – wie soll da eine Wirkung minimal werden?”
    Wird sie ja auch nur im klassischen Grenzfall, ansonsten schlägt das Pfadintegral zu.

  13. #13 Peter
    20. Mai 2012

    @MartinB

    Danke für die Zustimmung – meine Frage bezog sich auf die Vermutung, zu jeder physikalischen Theorie gibt es ein Prinzip der kleinsten Wirkung.

    Wo finde ich die quasi sich selbst hinschreibende Lagrange-Funktion in der QFT?

  14. #14 MartinB
    20. Mai 2012

    @Peter
    Die schreibt sich nicht selbst hin – aber die wirst du nicht aus der klassischen Physik ableiten können, weil es da Größen wie Spinorfelder nicht gibt.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_Model_%28mathematical_formulation%29
    In Kurzform auch hier sehr schön:
    http://www.quantumdiaries.org/wp-content/uploads/2011/06/cernmug.jpg

  15. #15 Peter
    20. Mai 2012

    @MartinB

    Vielen Dank für die Links, die Tasse ist wirklich köstlich! Und sie erinnert mich an ein altes Haus in Berlin-Prenzlauer Berg, an dem die Schrödinger-Gleichung stand…

    Auf http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_Model_%28mathematical_formulation%29 stehen tatsächlich Lagrange-Dichten, die ziemlich allgemeinen Prinzipien entstammen. Das spricht natürlich für Deine Argumentation. Des weiteren impliziert Deine Behauptung, dass sie auf analoge, gleichwohl experimentell und theoretisch viel schwierigere Weise gewonnen werden können, wie Maxwell zu seinen Gleichungen gelangt ist. Das lasse ich mal so hingestellt, da ich es nicht wirklich beurteilen kann.

  16. #16 Peter
    20. Mai 2012

    @MartinB

    Das Argument “weil es da Größen wie Spinorfelder nicht gibt” ist nicht stichhaltig. Ich kenne zwei Verallgemeinerungen der KM aus der KM heraus (d.h. ohne nicht-mechanische Annahmen), die eine charakteristische Geschwindigkeit enthalten, die es in der KM nicht gibt.

  17. #17 MartinB
    20. Mai 2012

    “Ich kenne zwei Verallgemeinerungen der KM aus der KM heraus”
    Hmmm. Merkst du nicht langsam, dass es beliebig viele Verallgemeinerungen der KM gibt? Aber eine, bei der du a Ende makroskopische Spinorfelder findest, wäre soweit ich sehen kann ein nature-paper wert (nachfolgende Nobelpreise nicht ausgeschlossen).

  18. #18 Peter
    20. Mai 2012

    “Merkst du nicht langsam, dass es beliebig viele Verallgemeinerungen der KM gibt?”

    Das kann ich nicht merken, weil es nicht stimmt, jedenfalls nicht so. Es gibt nicht “beliebig viele” grundlegende physikalische Theorien, und die wenigsten lassen sich direkt aus der KM ableiten. Für die QFT brauche ich Quanten und Wellenfelder, beides habe ich nicht in der Klassischen Punktmechanik, und zwei neue Dinge auf einmal erhalten zu wollen, halte ich für vermessen.

  19. #19 MartinB
    20. Mai 2012

    @Peter
    Aber du kannst doch aus der Punktmechanik die Kontinuumsmechanik ableiten (hat man ja auch so gemacht) und dann die quantisieren.

    Aber ich muss ehrlich sagen, dass diese Diskussion zu nichts führt, weil ich immer noch keinen Schimmer einer Idee habe, was du eigentlich erreichen willst.

  20. #20 Peter
    20. Mai 2012

    1) “Aber du kannst doch aus der Punktmechanik die Kontinuumsmechanik ableiten (hat man ja auch so gemacht) und dann die quantisieren.”

    Gute Idee, werd’ ich mal ausprobieren 🙂

    2) “Aber ich muss ehrlich sagen, dass diese Diskussion zu nichts führt, weil ich immer noch keinen Schimmer einer Idee habe, was du eigentlich erreichen willst.”

    Wie gesagt, ich möchte das Hertzsche Programm durchführen und die Forderungen von Schrödinger erfüllen. Das führt vielleicht nicht zu neuen Ergebnissen, hilft jedoch, die vorhandenen Ergebnisse zu ordnen, zu systematisieren und vielleicht sogar besser zu verstehen. Die Einheit der Physik kann dann auf niedrigerem Niveau dargestellt werden. Die Darstellung auf dem Niveau des Standard-Modells ist nur einem sehr kleinen Kreis zugänglich.

  21. #21 MartinB
    21. Mai 2012

    @Peter
    Vielleicht ist unser Kommunikationsproblem darin begründet, dass du mehr wie ein Philosoph als wie ein Physiker argumentierst – du zitierst Namen, benennst aber keine Inhalte (vermutlich in der Annahme, die seien ja klar). Was genau das hertzsche Programm ist und welche Forderungen Schrödinger im einzelnen aufgestellt hat, weiß ich nicht und soweit ich sehe hast du das hier auch nie wirklich genau dargestellt (außer mit Beispielen wie der Erhaltung der kin. Energie). Ähnliches gilt für den Begriff “Einheit der Physik” – auch da hast du bisher nicht gesagt, was du darunter verstehst.
    Warum Hertz, der von Quantenphysik nichts wusste, hier der richtige Wegweiser sein soll, leuchtet mir jedenfalls nicht ein.

  22. #22 Helmut Wiedemann
    3. September 2016

    Langrange Funktion
    ich glaube, hier beginnt schon ein tieferes Verständnis.
    Wenn sie die Differenz von potentieller energie und kinetischer Energie pro Zeiteinheit darstellt, dann ist das doch die Leistung einer Energieumwandlung.

  23. #23 MartinB
    3. September 2016

    @Helmut
    Kann man so nicht sehen, glaube ich – denn die Differenz aus KE und PE heißt ja nicht zwingend, dass sich KE in PE umwandelt. (Die Lagrangefunktion ist ja auch nicht null, wenn die KE und PE konstant bleiben, da wandelt sich aber dann ja nichts um).

  24. #24 Helmut Wiedemann
    3. September 2016

    Sie merken, ich denke immer in Beispielen. Ich hatte wieder den Asteroiden vor Augen, der sich der Erde nähert. Beschreibt dann die Langrange Funktion diesen Vorgang. ? Oder welchen Zweck erfüllt die Funktion?

  25. #25 MartinB
    3. September 2016

    “Beschreibt dann die Langrange Funktion diesen Vorgang. ?”
    Klar, das kann man mit der Lagrangefunktion berechnen.