Im ersten Teil dieser kleinen Serie habe ich erklärt, dass das elektrische und das magnetische Feld Vektorfelder sind. An jedem Punkt des Raumes muss man sich also zwei Pfeile befestigt denken, einen für das elektrische Feld E, einen für’s Magnetfeld B. Im zweiten Teil schauen wir uns jetzt die Maxwellgleichungen im Vakuum an, also dann, wenn keine elektrischen Ladungen in der Nähe sind.

Die Maxwellgleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen der zeitlichen und der räumlichen Änderung der EM-Felder. (EM ist ab jetzt das Kürzel für elektromagnetisch, das spart dem faulen Blogger etwas Tipperei.)

Die zeitliche Änderung eines Vektors kennen wir noch aus Teil 1

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Habe ich ein Vektorfeld, das sich ändert, dann gibt es an jedem Punkt im Raum einen Wert für die zeitliche Ableitung. Die zeitliche Ableitung eines Vektorfeldes ist also selbst auch ein Vektorfeld.

Die räumliche Änderung eines Vektorfeldes ist nicht ganz so einfach. Für die Maxwellgleichungen im Vakuum brauchen wir die sogenannte Rotation.
Zunächst mal schauen wir uns die Rotation in zwei Dimensionen an, das lässt sich leichter zeichnen. Wir zeichnen ein Vektorfeld und dann zeichnen wir eine kleine “Schleife” in das Vektorfeld – die Form der Schleife ist egal, am einfachsten ist es, wir nehmen ein Quadrat:

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Wir laufen die Schleife entlang, und zwar gegen den Uhrzeigersinn. Dabei treffen wir auf jede Menge Vektoren in unserem Vektorfeld (eigentlich auf unendlich viele, aber ich habe nur vier gezeichnet…). Wenn wir nach oben oder unten laufen, dann nehmen wir von jedem Vektor, dem wir begegnen, die Komponente, die in die senkrechte Richtung zeigt, wenn wir nach links oder rechts laufen, nehmen wir die horizontale Komponente. (Die Zerlegung in Komponenten haben wir in Teil 1 kennengelernt.)
In dem kleinen Bildchen auf der rechten Seite oben habe ich die linke untere Ecke der Schleife rausgezeichnet, um das zu illustrieren: Der Vektor an der Ecke hat eine senkrechte Komponente von 4 Kästchen, eine horizontale von -1 Kästchen. Da wir die Schleife gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, und an der linken unteren Ecke sind, zeigt die senkrechte Komponente entgegen unserer Laufrichtung, deshalb bekommt sie ein Minuszeichen. Die horizontale Komponente zeigt auch gegen unsere Laufrichtung (auf der unteren Kante), deshalb hat sie auch ein Minus. Insgesamt bekommen wir für den Vektor an dieser Ecke einen Wert von -5.
So laufen wir jetzt um die ganze Schleife herum und sammeln alle Komponenten auf, die jeweils in der Richtung unserer Schleife zeigen. Am Ende kommt ein Zahlenwert heraus. Dieser Wert ist die Rotation des Vektorfeldes an diesem Punkt (dem Mittelpunkt meines Quadrats).

So eine Schleife setzt man jetzt an jeden Punkt des Raumes, so dass man an jedem Punkt eine Zahl hat.

Hier in meiner Zeichnung hängt der Wert, der am Ende rauskommt, natürlich von der Form und Größe der Schleife ab – um einen korrekten Wert zu bekommen, muss man die Schleife immer kleiner schrumpfen lassen, und dann kann einem ein freundlicher Mathematiker beweisen, dass dann der Wert der Schleife von der genauen Form und allem Möglichen anderen unabhängig ist. Im Folgenden mache ich die Schleife immer gleich groß, dann kommen auch sinnvolle und konsistente Werte heraus.

Als Beispiel – das wir später noch brauchen – nehmen wir noch mal ein einfaches Vektorfeld, bei dem alle Pfeile immer nach oben zeigen und bei dem die Vektoren von links nach rechts immer länger werden, aber in jeder “Spalte” immer gleich sind:

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Wir durchlaufen wieder unsere Schleife. An der oberen und unteren Kante passiert nichts, weil die Vektoren ja senkrecht darauf stehen. Links und rechts bekommen wir einen Beitrag, der Beitrag links geht gegen die Laufrichtung und zählt negativ, der Beitrag rechts geht in Laufrichtung, ist also positiv. Insgesamt bekommen wir links einen Wert -2 und rechts einen Wert +3 . Zählt man alles zusammen, ergibt sich für die Rotation ein Wert von +1 für diese Schleife. Anders als oben habe ich hier auf jeder Kante nur einen Vektor angeguckt – das spielt keine Rolle, solange man konsistent bleibt und das Vektorfeld sich schön langsam von Ort zu Ort ändert.

Lege ich die Schleife woanders hin, bekomme ich immer denselben Wert, weil immer der Pfeil rechts ein Kästchen länger ist als der Pfeil links. Das Feld hat also eine konstante Rotation (wer’s nicht glaubt, malt noch ein paar Schleifen und prüft es nach).

Noch etwas Geduld, gleich sind wir bei den Maxwellgleichungen.

Eine Kleinigkeit fehlt uns noch, dann können wir die Maxwellgleichungen im Vakuum hinschreiben: Bisher waren wir in zwei Dimensionen, aber unsere Welt ist ja dreidimensional. In drei Dimensionen müssen wir uns natürlich fragen wie wir die Schleife für die Berechnung der Rotation legen sollen. Dafür gibt es (bei unserer quadratischen Schleife) drei Möglichkeiten: (Das Bild sieht schlimmer aus, als es ist)

i-9834eb7c3f9b78e396e809d0dfc61dac-rot3d-thumb-540x557.jpg

Wir können die Schleife um die x- um die y- oder um die z-Richtung herumlegen.
Für jede der drei Schleifen bekommen wir einen Wert der Rotation. Den Wert für die Schleife in der y-z-Ebene ordnen wir der x-Achse zu (links), den Wert für die x-z-Ebene der y-Achse (mitte) und den Wert für die x-y-Ebene der z-Richtung (rechts).
Die Rotation hat also drei Komponenten, und damit ist sie selbst auch ein Vektor.

(Anmerkung für die, die selbst rechnen wollen: Mit dem Drehsinn der Schleife muss man etwas aufpassen – am einfachsten denkt man sich, dass man einen Korkenzieher in eine Flasche 2002er Cabernet Sauvignon (zur Not tut’s auch ein anderen Wein) steckt, die man in Richtung der jeweiligen Achse gestellt hat. Die Schleife muss sich so drehen, dass der Korkenzieher sich in den Korken hineindreht. Alternativ kann man die Finger der rechten Hand in Schleifenrichtung biegen, dann zeigt der Daumen in die Richtung der Achse.)

Ich hoffe, es hat noch irgendwer bis hierher durchgehalten, denn jetzt kommt sie: Unsere erste Maxwellgleichung:


rot E =- dB/dt

In Worten: Die Rotation des elektrischen Feldes E ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des Magnetfeldes. Diese Gleichung gilt an jedem Punkt des Raumes (und auch zu jedem beliebigen Zeitpunkt).
Was bedeutet das?
Nehmen wir an, das zweidimensionale Vektorfeld von eben, das nach rechts immer größer wird, wäre ein elektrisches Feld und ich hätte kein Magnetfeld vorliegen. Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein räumlich konstantes Magnetfeld entstehen.

Wenn ich andersherum ein Magnetfeld zeitlich verändere (indem ich beispielsweise einen Magneten bewege), dann erzeuge ich dadurch automatisch ein elektrisches Feld. Das ist beispielsweise der Trick bei einem Dynamo – ein Magnet dreht sich, erzeugt ein elektrisches Feld, das übt eine Kraft auf Ladungen in einem Draht aus und – voila – die Fahrradlampe leuchtet.

Und? Bereit für die zweite Maxwellgleichung? Sie lautet


rot B =a dE/dt

a ist dabei eine (positive) Zahl, zu der ich später mehr sage. Die zweite Maxwellgleichung sieht der ersten ziemlich ähnlich – E und B haben ihre Rollen getauscht und wir haben statt eines Minuszeichens eine Konstante a.
Wenn also ein B-Feld vorhanden ist, dessen Rotation nicht Null ist, dann ändert sich das E-Feld. Und wenn ich das E-Feld ändere, dann bekomme ich ein B-Feld.

Zeitlich sich ändernde elektrische Felder erzeugen also Magnetfelder. Wenn die erzeugt werden, dann ändern sie sich, also erzeugen sie wiederum elektrische Felder. Klingt ein bisschen so, als hätten wir so eine Art Perpetuum mobile – da müsste man ja lauter sich gegenseitig erzeugende EM-Felder bekommen, immer macht das eine das andere.
Geht sowas?
Und ob das geht! So ein tolles Felder-erzeugen-sich-gegenseitig-Gebilde hat auch einen Namen: Elektromagnetische Welle, auch bekannt als Licht.
Wie man so eine Lichtwelle im Detail baut, sehen wir im dritten Teil der Saga, in dem das böse Imperium – ääh, nein, das war eine andere Saga…


Hier ein Überblick über die ganze Serie:

Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 1. Felder
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 2. Im Vakuum
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 3. Wir bauen eine Welle
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 4. Voll geladen
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 5. Unter Strom
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 6. Spieglein, Spieglein

Kommentare (94)

  1. #1 rolak
    25. August 2010

    Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein konstantes Magnetfeld entstehen

    rot(E)[=const + ≠0] => B~t, also nicht konstant oder habe ich mich verlaufen? Ein wenig auf jeden Fall, da ich iwie davon ausging, daß Maxwells Gleichungen fast formellos hergeleitet würden. Doch das scheint mir nach etwas Nachdenken illusorisch, spätestens bei so etwas wie ‘Forminvarianzen unter Eichtransformationen’ dürften zu viele weiße Fahnen zu sehen sein 😉

  2. #2 MartinB
    25. August 2010

    @rolak
    Ich meinte im Raum konstant, nicht in der Zeit. Ich betrachte hier immer nur einen einzigen Zeitschrittvon “jetzt” nach “gleich”.

    Maxwellgleichungen *herleiten*? Aus der Quantenelektrodynamik?
    Gibt’s anschaulich bei Feynman besser, als ich sowas kann.

    Nein, mein Ziel ist es, Leuten, die sich vor Formeln gruseln, aber Physik interessant finden, eine Idee zu geben, was in solchen Formeln steckt.

  3. #3 MartinB
    25. August 2010

    PS: Eichtransformationen sind gar nicht so schlimm, jedenfalls wenn man sich auf ein Gitter beschränkt – man verbindet Stäbe an Gitterpunkten mit verdrillten Gummibändern (die sind das U(1)-Eichfeld), ne Eichtransformation ist dann ein Drehen der Stäbe – dazu gab’s vor Ewigkeiten mal einen Spektrum-Artikel…

  4. #4 rolak
    25. August 2010

    /Raum,Zeit/ aaahso
    /herleiten/ es ging mir nur um das Erzählen von meiner (durch nichts begründeten) Extrapolation aus dem Titel der posts. Andererseits erinnere ich mich an die (saugute) Analysisvorlesung (im Rahmen des Physikgrundstudiums), wo ausgehend von ‘diffusen’ Aussagen über Mengen nach&nach alles abgehakt wurde, was in der Analysis eben relevant ist. Speziell anfangs erzeugte die Antwort auf die vom Dozent gestellte Frage “Weiß einer, welchen bekannten Satz wir hier soeben bewiesen haben?” reihenweise erstaunte bis ungläubige Gesichter. Später nahm dann die Dichte im Hörsaal ab 😉
    /Eichen/ Es sind die Wortungetüme, die die Fahnen und den Unmut hervorzaubern – merke ich immer wieder bei meinen Versuchen, Anderen ihren Rechner etwas näher zu bringen, techspeak kills. Hintenrum zum Ziel bringt eher mal ein angemessenes ‘ach so, ist ja recht einfach’ hervor

  5. #5 kommentarabo
    25. August 2010

  6. #6 Niels
    25. August 2010

    @MartinB

    Maxwellgleichungen *herleiten*? Aus der Quantenelektrodynamik?
    Gibt’s anschaulich bei Feynman besser, als ich sowas kann.

    Darf man fragen wo?
    (Wenn das im Feynmans Buch “Quantenelektrodynamik: Eine Vorlesungsmitschrift” steht, war das nicht meine klügste Frage…)

    Im übrigen halte ich die integrale Formulierung für leichter verständlich für Laien. Gerade wenn es (wie im nächsten Beitrag?) um die Divergenz eines Vektorfeldes geht.

  7. #7 MartinB
    26. August 2010

    @Niels
    Feynman QED-strange theory of light and matter
    O.k., er leitet die Maxwellgleichungen nicht wirklich her, er erläutert “nur” das Verhalten von Licht und Materie direkt aus der QED.

    Integralformulierung? Wenn ich ehrlich bin, nutze ich die, ohne es zu sagen (siehst Du im 2. teil – im Endeffekt diskretisiere ich die Ableitungen, das kommt aufs selbe raus), aber in Integralformulierung sind die Maxwellgleichungen zu hässlich, das geht nicht…
    Divergenz gibt’s aber erst in Teil 4…

  8. #8 Georg Hoffmann
    26. August 2010

    @MartinB
    Gefaellt mir wirklich gut. Ich schlage das schon mal fuer den Didaktikpreis bei Scienceblogs vor.

  9. #9 rolak
    26. August 2010

    Oha, ja, das habe ich ganz vergessen – unabhängig von meinem Gegrummel ganz oben bezgl ganz weniger Punkte die mir am post und an mir aufgefallen sind ist nicht nur dieser Post, sondern die ganze ( 😉 2-teilige) Serie bisher äußerst anfängergeeignet und allgemein gut zu lesen. Oder halt zum Stöbern, wenn man selber es Anfängern (auf deren Wunsch) nahebringen möchte.
    Die scribbles sind an diesem positiven Eindruck übrigens beteiligt, sie passen so gut zum Rest.

  10. #10 MartinB
    26. August 2010

    Danke für die Blumen. Mit wieviel Millionen ist denn der Didaktikpreis dotiert? 😉

    Die scribbles sind übrigens aus Faulheit entstanden – im Grafikprogramm macht sowas einfach mehr Mühe als zeichnen und einscannen. Dann wurden sie mir aber auch ganz sympathisch.

  11. #11 Jonas
    26. August 2010

    Anfängerfrage: In der Schule haben wir die Maxwellgleichungen mit Kurvenintegralen hingeschrieben. Ist das das Gleiche wie die Rotation?

  12. #12 MartinB
    26. August 2010

    @Jonas
    Ja, die Kurven- und Flächenintegrale sind im Prinzip das gleiche wie Rotation und Divergenz (Divergenz kommt in Teil 4…)
    Meine kleinen Schleifen hier sind ja eigentlich Linienintegrale – ich zähle ja lauter Vektorkomponenten entlang der Linie zusammen.
    Maxwellgleichungen mit Integralen in der Schule find ich ganz schon cool – ist das ein Physik-LK, wo man sowas macht?

  13. #13 MartinB
    26. August 2010

    @Jonas
    Ja, die Kurven- und Flächenintegrale sind im Prinzip das gleiche wie Rotation und Divergenz (Divergenz kommt in Teil 4…)
    Meine kleinen Schleifen hier sind ja eigentlich Linienintegrale – ich zähle ja lauter Vektorkomponenten entlang der Linie zusammen.
    Maxwellgleichungen mit Integralen in der Schule find ich ganz schon cool – ist das ein Physik-LK, wo man sowas macht?

  14. #14 lambda
    29. August 2010

    Die Maxwell-Gleichungen in Integralform sind ganz anschaulich. Das kann man den Schülern auch verständlich erklären. Habe sie selbst über mehrere Stunden vor dem Kurs “hergeleitet”.

  15. #15 Gwunderi
    3. April 2011

    Seit wann kann man denn senkrecht aufeinanderstehende Vektoren einfach addieren? Wie im Beispiel x=-1 und y=-4 = -5 ? Kommt da nicht Pythagoras zur Anwendung, sollte das Resultat also nicht +/- Wurzel 17 sein?

  16. #16 Bjoern
    3. April 2011

    @Gwunderi: Was da addiert wird, sind nicht direkt die Vektoren, sondern die Komponenten der Vektoren entlang einer “Schleife”, wie im Text beschrieben (mathematisch: da wird das Integral über Vektor E mal Vektor ds gebildet, wobei das “mal” für ein Skalarprodukt steht und der infinitesimale Vektor ds jeweils lokal tangential zur Schleife steht).

  17. #17 bertram
    18. Juni 2011

    Hilfe !
    “…
    rot E = -dB/dt
    Nehmen wir an, das zweidimensionale Vektorfeld von eben, das nach rechts immer größer wird, wäre ein elektrisches Feld und ich hätte kein Magnetfeld vorliegen. Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein konstantes Magnetfeld entstehen. …“

    Also const =-dB/dt
    Integriert :
    const * t = -B , also ein zeitlich veränderliches Magnetfeld .
    Und schon kapier ich’s nicht. Wo ist der Baum oder das Brett , das ich vor lauter Wald nicht sehe ?
    Danke im Voraus, bertram

  18. #18 bertram
    18. Juni 2011

    sorry ,

    B=const – Frage hat sich erledigt, hab’s nur verpennt.

    Grüße, bertram

  19. #19 Klaus
    28. September 2011

    Maxwell im vakuum – Rotation – addieren der Vektoren: Frage : Warum wird die Komponente -1 negativ gezählt? Ist nicht -1 gegen Zählrichtung +1 ?

  20. #20 MartinB
    28. September 2011

    @Klaus
    Der Laufrichtungspfeil geht nach rechts (wir sind in der linken unteren Ecke), der Komponentenpfeil geht gegen die Laufrichtung, also bekommt er ein Minus.
    Vielleicht ist das verwirrend, weil ich die -1 auch in einem globalen Koordinatensystem angegeben habe? Beim Laufen auf dem Pfad ist das globale x-y-System aber egal, man projiziert einfach den Pfeil auf die Laufrichtung, zeigt er in dieselbe Richtung, zählt er positiv, andernfalls negativ.
    War das jetzt verständlich (bin mir nicht sicher…)?

  21. #21 gm
    20. Dezember 2011

    Es ist einfach super, dass es so etwas gibt, dass Wissenschaftler komplexe wissenschaftliche Zusammenhänge dem Normalbürger zu erklären versuchen. Zudem ist die hier gebotene Art sehr erfrischend und angenehm. Dennoch bleiben für mich einige Fragen offen :

    a) Aufgrund der Vereinbarung im 1.Teil gehören die jeweiligen Vektoren zu genau dem Ort, an dem sich der Fußpunkt des jeweiligen Vektors befindet. Dann sind doch eigentlich die Beiträge der beiden Vektoren am linken oberen und rechten oberen Eckpunkt der eingezeichneten Schleife genau so bei der Berechnung von rot E zu berücksichtigen wie die der Vektoren an den beiden unteren Eckpunkten; oder nicht? Oder gibt es eine physikalische Notwendigkeit, dies nicht zu tun? Wenn nicht, dann müsste doch eigentlich für diese Schleife gelten: rot E = 2. Könnte man nicht einfach, um diesem Problem auszuweichen, die Schleife so legen, dass die oberen Eckpunkte nicht direkt auf dem Weg liegen?
    Oder (was möglicherweise noch sinnvoller wäre) stellen die eingezeichneten Vektoren einer jeden senkrechten Spalte und waagrechten Zeile lediglich den entsprechenden Mittelwert-Vektor pro Seitenlänge der stets gleich groß gedachten und anschließend einzuzeichnenden Schleifenwege dar? Dann wäre es meiner Ansicht nach sinnvoll, die quadratisch gezeichneten Schleifenwege so zu legen, dass die Fußpunkte der gezeichneten Mittelwert-Vektoren halbwegs in der Mitte der Seitenlängen der Wegschleifen zu liegen kämen. Dann wäre dem Gedankengang entsprechend an jeder Seite nur jeweils ein Vektor (als Ersatz für alle anderen) aktiv.

    b) rot E hat hier in diesem Beispiel nur eine Komponente; so bräuchte man dazu zur Veranschaulichung ja auch nur eine Achse. Wäre es möglich, eine zusätzliche Skizze nachzutragen, um diesen einkomponentigen Vektor rot E (oder gar B) in einem 3-dimensionalen Schrägbild (als Erweiterung der bereits gezeichneten zweidimensionalen elektrischen Feldvektoren) sichtbar zu machen?

    c) In den Trugschluss “Wenn die Ableitung nach der Zeit konstant ist, kann doch B nicht konstant sein” bin ich, genau wie bertram, Kopf über hineingestolpert. Könnte man zur Vermeidung dieses (zugegeben selbstverschuldeten) Missvertändnisses an geeigneter Stelle ein Adjektiv einfügen?

    Danke und Gruß an den Autor

  22. #22 MartinB
    20. Dezember 2011

    @gm
    Danke für’s Lob, so ganz komme ich mit deinen Fragen leider nicht klar:
    a) Irgendwie kann ich dir nicht folgen, fürchte ich. Du beziehst dich auf das rotE-Bild bei dem rotE=-2+0+3+0 ist, richtig? Da nehme ich in der Berechnung doch alle vier eingezeichneten Vektoren an den Ecken mit.

    Nochmal zum Mitschreiben:
    Links oben fangen wir an und gehen von oben nach unten. Die Kante hat die Länge 1 und der Vektor ist konstant und in Richtung der Kante ist seine Komponente -2. Also ist der Beitrag dieser Kante gleich -2.
    Dann gehen wir unten horizontal, Kante und Vektor senkrecht, Beitrag ist Null.
    Dann gehen wir rechts nach oben, der Vektor bleibt konstant, die Länge der Kante ist wieder ein, also +3*1=3. Und oben horizontal passiert nichts, in der Summe also -2+0+3+0=1.
    Oder meinst du, weil ich einen Vektor oben und einen unten gezeichnet habe, zählt der auf der Kante zweimal? So ist es nicht – du musst eigentlich den Wert desVektors auf der Kante mit der Länge der Kante multiplizieren. Wenn der Vektor oben anders wäre als unten, dann müsstest du entsprechend z.B. den Mittelwert des Vektors auf der Kante nehmen.
    Ich hätte es auch anders zeichnen können, so wie du es vorschlägst – mathematisch ist das am Ende egal, weil man die Kanten unendlich kurz macht.

    Ganz sicher bin ich mir nicht, ob ich die Frage richtig verstanden habe, im Zweifel einfach nochmal beschweren.

    b) Das ist doch in dem unteren Bild dargestellt, und im 3. Teil mache ich das ja auch nochmal – weiß nicht genau, was dir fehlt. Eigentlich müsstest du es dir damit überlegen können, sonst musst du die Frage noch etwas präzisieren.

    c) Ja, das hätte ich gleich machen sollen, jetzt ist es drin.

  23. #23 gm
    21. Dezember 2011

    Entschuldige, ich glaube (“hoffe”) ich hab’s inzwischen kapiert. Nachdem du ausdrücklich betonst, dass du doch die Beiträge aller vier Vektoren berücksichtigt hast, denen man beim Umlaufen der Schleife begegnet, kann unser Missverständnis höchstens in meiner Fehlinterprätation der von dir verwendeten Einheiten liegen.
    Folgende Bemerkung in deinem Artikel spräche ebenfalls für diesen Umstand:

    Zitat: “Insgesamt bekommen wir links einen Wert -2 und rechts einen Wert +3”

    Dummerweise hatte ich den Zahlenwert +2, der am linken untere Ecke der Schleife beim dortigen Vektor seht, als dessen zweite Koordinate angesehen. In Wirklichkeit hat dieser Vektor jedoch lediglich die Koordinaten Null und zwei Kästchen, also 0 und +1, was in der Summe mit dem oberen Vektor den Wert +2 ergibt.

    Es kann wohl nicht anders sein — oder?

  24. #24 MartinB
    21. Dezember 2011

    @gm
    “In Wirklichkeit hat dieser Vektor jedoch lediglich die Koordinaten Null und zwei Kästchen”
    Ja, die +2 ist einfach die Länge des Vektors in senkrechter Richtung.

    Ist damit alles klaro? Sonst einfach weiterfragen.

  25. #25 MartinB
    21. Dezember 2011

    @gm
    “In Wirklichkeit hat dieser Vektor jedoch lediglich die Koordinaten Null und zwei Kästchen”
    Ja, die +2 ist einfach die Länge des Vektors in senkrechter Richtung.

    Ist damit alles klaro? Sonst einfach weiterfragen.

  26. #26 gm
    21. Dezember 2011

    Es ist mir schon klar, dass das Linienintegral von E um die Schleife gleich der negativen Ableitung des magnet. Fusses durch die Schleife nach der Zeit ist. Dann ergibt sich bei der Seitenlänge 1LE der von dir angegebene Wert 1.
    Ich hatte lediglich versucht, deinen Weg der Bildung von rotE nachzuvollziehen, wie ich ihn laut deiner Vorschrift und Texterklärung verstanden habe; wonach man die entsprechenden Komponenten der vier Vektoren an den Ecken mit den entsprechenden Zählrichtungen einfach addiert. Auch mein letzter “Rettungsversuch” mit den Längeneinheiten 2 Kästchen = 1LE haut nicht hin. Möglicherweise sehe ich einfach vor lauter Bäume den Wald nicht.
    Macht aber nichts.
    Dies tut der Sache insgesamt keinen Abbruch: Deine Texte und Erklärungen sind summa summarum einfach super.
    Und dafür nochmals vielen Dank!
    … und jetzt werde ich Teil 3 verschlingen.

  27. #27 MartinB
    22. Dezember 2011

    @gm
    “wonach man die entsprechenden Komponenten der vier Vektoren an den Ecken mit den entsprechenden Zählrichtungen einfach addiert.”
    Vielleicht hilft das hier weiter: Wenn du eine Kante entlang läufst, dann betrachtest du die beiden Vektoren an den Enden und bildest daraus den Mittelwert, und machst jetzt mit dem dieselbe Rechnung. Das ist, glaube ich, das, was du in deinem ersten Kommentar auch wolltest – es kommt genau aufs selbe hinaus. Ich versuche hier einfach, das Linienintegral möglichst simpel zu umschreiben – aber wenn du das kennst, dann siehst du ja, dass wir eigentlich E ds berechnen, und meine Beispiele sind immer so gebaut, dass sich die relevante Komponente von E auf ds nicht ändert.

  28. #28 gm
    23. Dezember 2011

    Hab schon verstanden.
    Darf ich in aller Bescheidenheit einen kleinen Vorschlag machen?
    Vielleicht könntest du im ersten Teil von “Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln” eine kleine Ergänzung anbringen: eine anschauliche Erklärung der Begriffe “Fluss” und “Zirkulation” — mit ein paar Bildchen und ohne Integral — so ganz nach der gewohnten Art eines MartinB, (und ein bisschen so wie einst R. Feynmann).
    Es wäre zum besseren Verständnis dessen, was hier physikalisch vor sich geht, sicher sehr hilfreich.
    Darf ich Danke sagen?
    Gruß gm

  29. #29 MartinB
    23. Dezember 2011

    @gm
    “Fluss” und “Zirkulation” als Begriffe nochmal einzuführen, ist vermutlich ne gute Idee – ich verwende ja nur “Divergenz” (Teil 4) und “Rotation”. Ich habe das aber absichtlich nicht im 1. Teil gemacht, weil ich möglichst schnell dahinkommen wollte, die Maxwell-Gleichungen hinzuschreiben. Muss ich nochmal drüber nachdenken, ob und wie ich das hier einbauen kann.
    “Darf ich Danke sagen?”
    Na immer doch :-))

  30. #30 gm
    26. Dezember 2011

    Anfangs versuchte ich durch meine etwas “dämlichen” Fragen lediglich heraus zu finden, mit welcher Methode du rot E überhaupt berechnest. Aufgrund deiner Hilfestellungen …

    Zitat vom 22.12.:
    “Ich versuche hier einfach, das Linienintegral möglichst simpel zu umschreiben – aber wenn du das kennst, dann siehst du ja, dass wir eigentlich E ds berechnen.”

    … war dann klar: Um das für den Laien gewiss unverständlichere Vektorprodukt aus dem vektoriellen Differentialoperator und dem elektrischen Feldvektor E zu vermeiden, hast du einfach die “Zirkulation des Vektors E” um ein relativ großes Quadrat mit dem Umfang von vier LE gebildet und dieses Ergebnis rot E zugeschrieben, obwohl rot E eigentlich eine punktuelle Größe ist.
    Führt man beide unterschiedlichen Berechnungsmethoden durch, so stellt man fest, dass sich – aufgrund deiner raffinierten Wahl des linearen Anstiegs der y-Komponente Ey = mx+t und dem dazu gehörigen Einheitsquadrat – tatsächlich jeweils dieselbe Maßzahl m für rot E ergibt. Und im vorliegenden Fall ist m eben gleich 1.
    Dies gelingt dir, wie mir scheint, allerdings nur, weil du die Trümpfe der theoretischen Physiker didaktisch gezielt einsetzt bzw. ausnützt, die alle unliebsamen Konstanten einfach gleich EINS setzen und dies samt den zugehörigen Größeneinheiten. Die ganze Geschichte vereinfach sich dadurch und macht wohl den Blick frei auf das Wesentliche der Physik. Dass man anschließend, nach der Integration, das Resultat der Integration noch durch den Wert der Fläche der Integrationsschleife dividieren müsste (und dies theoretisch wohl auch tut), ist nicht weiter der Rede wert, denn nicht ohne Grund wurde sie wohl von dir von vorneherein exakt gleich 1 FE gewählt. So, dass nicht einmal R. Feynman etwas dagegen einwenden kann (könnte), der in seinen Vorlesungen detailliert beweist:

    Zitat aus Band II / Elektromagnetismus und Materie Teil 1 (ISBN: 3 – 486 – 33701 – 7):
    “Unser Ergebnis ist das folgende: die Zirkulation eines Vektors C um ein unendlich kleines Quadrat ist die Komponente von rot C normal zur Fläche mal dem Flächeninhalt des Quadrats.”

    Kurzum: deine Ideen und Wege sind einfach überraschend, Klasse und erfrischend.
    Einen Gedanken würde ich dennoch gerne anbringen.

    Zitat:
    “Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein räumlich konstantes Magnetfeld entstehen.”

    Wäre mit dem Ausdruck “homogen” die herrschende Situation nicht ebenso gut zu beschreiben — analog zum homogenen Magnetfeld einer langgestreckten Spule, bei der die Stromstärke kontinuierlich erhöht wird?

  31. #31 MartinB
    27. Dezember 2011

    “Dies gelingt dir, wie mir scheint, allerdings nur, weil du die Trümpfe der theoretischen Physiker didaktisch gezielt einsetzt bzw. ausnützt”
    Stimmt genau. Ich habe ja oben einen kleinen Warnungssatz eingebaut, in dem Absatz, der mit “hier in meiner Zeichnung” beginnt – der war genau dazu gedacht, um Leute, die sich wundern, wieso das hier mit endlichen Schleifen funktioniert, zu beruhigen. Vielleicht kommt das auch alles daher, dass ich im Gebiet Gittereichtheorie promoviert habe – da macht man alles auf nem gitter und die kleinsten Schleifen haben Kantenlänge 1.

    “Homogen” – ja, das wäre wohl präziser, aber mit dem Zusatz “räumlich” sollte das “Konstant” ja jetzt hoffentlich auch unmissverständlich sein.

  32. #32 JulianeM
    6. Mai 2012

    Ich bin unglaublich froh, diese Seite gefunden zu haben! Ich endlich eine Vorstellung bekommen! Vielen Dank für die tolle Arbeit

  33. #33 MartinB
    7. Mai 2012

    @Juliane
    Freut mich, wenn’s gefällt. Am besten gleich weiterempfehlen 😉

  34. #34 Biba
    30. August 2012

    Hallo,
    ich versuche die Maxwell Gl. zu verstehen, kann es soweit auch etwas nachvollziehen.
    Nur habe ich dennoch eine Frage,
    – Wieso kommt im Vektorfeld, wo alle Pfeile einer Spalte gleich sind, unten Links +2 und nicht -2 ?
    Der Pfeil unten Links, zeigt doch entgegengesetzt dem Richtungspfeil, somit würde ich MINUS hinschreiben.
    Für den oberen Pfeil links, hast du -2 angenommen, was ich auch machen würde, und beide Pfeile links oben und unten zeigen in dieselbe Richtung, aber haben andere Vorzeichen.
    Das verstehe ich eben nicht.
    Danke.

  35. #35 MartinB
    30. August 2012

    @Biba
    Es ist so gemeint: Alle Pfeile des Vektorfeldes zeigen nach oben, mit jedem Kästchen nach rechts werden sie um 1 länger.
    Es ist also der Vektorfeld-Pfeil, der den Wert +2 hat (und der rechts hat +3) – die +2 gehört nicht zum Wert entlang des Weges, sondern zum Vektorfeld selbst.
    Der Weg geht nach unten, also entgegengesetzt, deshalb kommt dann -2 raus, wie ich es an den Weg geschrieben habe.
    Vermutlich hätte ich die zeichnungen farbig machen sollen…

  36. #36 Biba
    31. August 2012

    Danke, hab es etwas besser verstanden, aber noch nicht vollkommen, trotz des Durchlesens der anderen Kommentare 🙁

    Ich werde dir versuchen meine Denkweise aufzuschreiben, vielleicht wirst du mich dann besser verstehen und meine Lücken füllen können:
    Also, ich sehe das Quadrat (Schleife) an jedem Eckpunkt sind Vektoren (4 Pfeile), alle zeigen senkrecht nach oben, rechts sind die Pfeile um ein Kästchen länger.
    Und die Laufrichtung ist laut Skizze für mich wie folgt: UNTEN LINKS –> Ordinate zeigt nach unten, Abszisse zeigt nach rechts, Klartext: Gegen Uhrzeigersinn.

    Ich beginne mit dem Vektor (Pfeil 1) oben links: da er Senkrecht; gegen Laufrichtung und 2 Kästchen lang ist, schreibe ich: – 2
    Vektor (Pfeil 2) unten links: Ebenfalls Senkrecht, gegen Laufrichtung (wie Pfeil 1) und 2 Kästchen lang: -2
    Da jeweils keine Horizontalen Komponenten vorhanden sind: 0
    Vektor (Pfeil 3) unten rechts: ist in Laufrichtung und 3 Kästchen lang, daher: +3
    Vektor (Pfeil 4) oben rechts: ebenfalls in Laufrichtung und 3 Kästchen lang, daher: +3
    Somit würde ich das so rechnen: rot E= -2-2+3+3= +2

    So gehe ich vor, obwohl ich meine, ich denke „falsch“ und es nicht verstanden zu haben.
    Ich hoffe du verstehst nun meine Denkweise und kannst mein „falsches“ denken korrigieren

    Danke im Voraus,
    🙂

  37. #37 MartinB
    31. August 2012

    @Biba
    Ja, die zeichnung ist wirklich etwas irreführend.
    Du musst es so betrachten – als Beispiel nehme ich die linke Kante:
    Auf der ganzen Kante ist der Wert des Vektorfeldes +2
    Ich laufe auf der ganzen Kante dem vektorfeld entgegen, das gibt ein Minuszeichen.
    Insgesamt ergbibt sich deswegen -2.
    Dein fehler ist also, dass du die Kante doppelt zählst, weil zwei Pfeile drangemalt sind – die Zahl der Vektorpfeile ist aber irrelevant, es sitzt ja eigentlich an jedem Raumpunkt ein Vektorpfeil, also unendlich dicht (das kann ich nur nicht malen).

    Mathematisch etwas genauer muss man die Komponente des Vektors in Laufrichtung nehmen und mit der Länge der Kante multiplizieren. (Und wenn sich der vektor entlang der Kante ändert, dann müsste man den mittleren Wert des Vektors nehmen.)

    Jetzt klarer?

  38. #38 ben
    Dt
    27. November 2012

    Hallo,

    in anderer Literatur (z.B. Prof. Meyl), finde ich die folgende Formel als 2.Maxwell Gleichung:
    rot E= – dB/dt
    Du bezeichnest diese als 1. Maxwell Gleichung, wie ist das zu verstehen?
    Danke

  39. #39 MartinB
    27. November 2012

    @ben
    Ich glaube, für die Durchnummerierung gibt es keine feste Vorschrift. Ich betrachte erst die Vakuum-Gleichungen, deswegen nummeriere ich die so herum. Im Studium war div E= rho und div B=0 die 1. und 2. Maxwell-Gleichung.

  40. #40 Niels
    27. November 2012

    Eine einheitliche Standard-Nummerierung ist auch unnötig, da die einzelnen Gleichungen jeweils eigene Namen haben.
    Deswegen können da eigentlich keine Missverständnisse entstehen.
    “rot E= – dB/dt” heißt ja zum Beispiel “differentielle Form des Faraday’schen Induktionsgesetzes”.

    Bei Prof. Meyl geht es aber hoffentlich nicht wieder um den hier, oder?
    http://psiram.com/ge/index.php/Konstantin_Meyl

  41. #41 ifkn
    Potsdam
    24. April 2013

    Müsste nicht eigentlich bei der ersten erklärung der Schleife die linke untere Ecke einen Wert von 3 haben?
    Denn die senkrechte Komponente hat einen Wert von 4 die entgegengesetz der Laufrichtung zeigt, also in der Rechnung mit einem (-) versehen werden muss (soweit kann ich noch folgen). Die horizontale Komponente hat einen Wert von -1, zeigt ebenfalls entgegen der Laufrichtung, bekommt in der Rechnung also auch ein Minus. Müsste die Rechnung dann nicht so aussehen:
    -4 – (-1) = 3 ?

  42. #42 ifkn
    24. April 2013

    Ich meine natürlich einen Wert von -3!

  43. #43 MartinB
    25. April 2013

    @ifkn
    Nein, das sehe ich nicht. Ich laufe beide Male gegen die Richtung des Pfeils an, also zählen auch beide Pfeile mit demselben (negativen) Vorzeichen.
    Man kann es auch anders sehen (vielleicht mathematisch sauberer):
    Bei der 4 laufe ich nach unten (in die minus-Richrtung) und der Feldwert ist 4. Macht insgesamt minus 4.
    Bei der 1 laufe ich nach rechts (positives Vorzeichen für’s laufen), aber der Wert des Feldes ist negativ, also minus 1.
    Zusammen minus 5.

  44. #44 Tina
    13. September 2013

    Kann es sein, dass sich bei der Erklärung mit der Weinflasche ein Fehler eingeschlichen hat? Wenn ich die Beschreibung der rechten Hand verwende, lege ich z.B. die rechte Hand auf den Tisch, Finger gekrümmt, Daumen nach oben. Jetzt stelle ich eine Weinflasche daneben und drehe einen Korkenzieher rein: Der dreht sich dann aber entgegen der Richtung meiner gekrümmten Finger!
    Daraus schließe ich, dass man die Richtung der Schleife verwendet, die dem Herausdrehen des Korkenziehers entspricht…

  45. #45 MartinB
    14. September 2013

    @Tina
    Wenn ich die Weinflasche auf den Tisch stelle, dann muss ich den Daumen nach unten halten, damit er in Richtugn der Korkenzieherachse zeigt. Oder ich verstehe dich falsch…?

  46. #46 Tina
    15. September 2013

    Ahh, ich hatte angenommen, die Achse geht in Richtung des Korkenziehergriffes. Jetzt passt die Logik wieder, Danke!

  47. #47 MartinB
    15. September 2013

    Na prima.

  48. #48 xy
    3. Januar 2014

    “Hier in meiner Zeichnung hängt der Wert, der am Ende rauskommt, natürlich von der Form und Größe der Schleife ab – um einen korrekten Wert zu bekommen, muss man die Schleife immer kleiner schrumpfen lassen, und dann kann einem ein freundlicher Mathematiker beweisen, dass dann der Wert der Schleife von der genauen Form und allem Möglichen anderen unabhängig ist.”

    Was ist denn alles Mögliche andere, wenn man fragen darf?

  49. #49 xy
    3. Januar 2014

    “Anders als oben habe ich hier auf jeder Kante nur einen Vektor angeguckt – das spielt keine Rolle, solange man konsistent bleibt und das Vektorfeld sich schön langsam von Ort zu Ort ändert.”

    Ich verstehe diesen Satz nicht 🙁
    Man kann sich doch nicht aussuchen, wieviele Vektoren man berücksichtigt, oder?

  50. #50 MartinB
    3. Januar 2014

    @xy
    Vielleicht bin ich hier einfach zu salopp – man muss mathematisch einen sauberen Grenzübergang machen, korrekt zu beweisen, dass das immer funktiioniert ist ein bisschen aufwändig; man teilt das Gebiet in lauter kleine Quadrate und addiert diese kleinen schleifen auf usw. Die genauen mathematischen Tricks habe ich nicht mehr parat, deswegen die etwas schwammige Formulierung.

    Was die Zahl der Vektoren angeht, ist das letztlich das gleiche Problem: Eigentlich sitzen die ja unendlich dicht und man muss unendlich viele unendlich kleine Beiträge aufsumieren. Ich mache das nicht sondern setze mich auf ein Gitter – und dann muss man natürlich sicherstellen, dass das Gitter regelmäßig ist.

  51. #51 xy
    4. Januar 2014

    Dankeschön für die schnelle Erlklärung! 😉

  52. #52 DerZimmermann
    10. Juni 2014

    Ich hab diese Seite gerade gefunden, und muss wirklich sagen, alle Achtung. Ich glaube nicht, dass man woanders im Internet eine bessere und ausführlichere Erklärung findet.
    Was mich aber noch etwas irritiert, ist dieser Absatz:
    “Nehmen wir an, das zweidimensionale Vektorfeld von eben, das nach rechts immer größer wird, wäre ein elektrisches Feld und ich hätte kein Magnetfeld vorliegen. Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein räumlich konstantes Magnetfeld entstehen. ”
    Das klingt für mich danach, als wäre das elektrische Feld zeitlich konstant und nur räumlich variabel (“nach rechts immer größer”). Ich dachte immer, ein Magnetfeld kann nur induziert werden, wenn sich ein elektrisches Feld zeitlich ändert?

  53. #53 MartinB
    10. Juni 2014

    @DerZimmermann
    Es ist ja rot E = -dB/dt
    Ein Feld, bei dem ich ein zeitlich konstantes E-Feld mit einer räumlichen Rotation habe, würde also ein Magnetfeld entstehen lassen. Allerdings ist die Situation nicht stabil, denn das zeitlich veränderliche Magnetfeld würde ja jetzt wiederum ein elektrisches Feld induzieren. Außerdem ist nicht klar, wo man überhaupt so ein E-Feld mit ner Rotation herbekommen soll (ich sehe momentan jedenfalls nicht wie man ein in dieser Weise variierendes E-Feld erzeugen kann, außer über zeitlich veränderliche Magnetfelder).

  54. #54 Dan
    20. Juni 2014

    Grundstudium Physik 2, noch eine Woche zur Prüfung…
    mit dem Durchlesen dieser Seite das erste mal was gerafft darüber 😀
    Absolut TOP, Danke.

    mfg dan

  55. #55 MartinB
    21. Juni 2014

    @Dan
    Supi, freut mich. Am besten gleich weiterempfehlen 😉

  56. #56 Philipp
    29. August 2014

    Allgemein wirklich sehr gut geschrieben!
    Könntest du den Wert der ersten Schleife zum besseren Verständnis einmal komplett berechnen, da sich hier der Vektor ja ändert…
    Vielen Dank und viele Grüße!

  57. #57 mattes
    paderborn
    2. September 2014

    Frage zur zweiten Grafik: warum addiere ich die x- und y-Komponenten zu einer Zahl ? müßte ich nicht wie im R3, für x- und y- jeweils eine Komponente erhalten ?

  58. #58 MartinB
    9. September 2014

    @Philipp
    Da ich da nur skizziert habe, habe ich da keine genauen Zahlenwerte, insofern kann ich da nicht ganz genau rechnen.
    Rechts unten hat der Pfeil vielelicht ne Länge von 6 und zeigt in die Richtung der Schleife, leistet also einen Beitrag von +6. Rechts oben Laufen wir immer noch nach oben, also hat der Pfeil einen Beitrag von vielleicht +5 aus der senkrechten Komponente und so etwa -1 aus der waagerechten Komponente usw.

    @mattes
    In 2D ist die Rotation eines Vektorfeldes eine einzige Zahl – oder verstehe ich die Frage falsch?

  59. #59 Maik Keller
    Dresden
    27. Juli 2015

    @MartinB
    Hallo Martin,
    zuerst einmal meine Gratulation zu dieser super gelungenen Erklärung der Maxwell “Gleichungen”! Ich habe seit Ewigkeiten nach solch einer absolut simplen und nachvollziehbaren Dokumentation über dieses Thema gesucht, leider bisher erfolglos. Ich bin selber gerade dabei einen Maxwell-Solver über die Finite Integrations Technik in C zu programmieren…Ich habe bereits alle Teile deiner Serie verschlungen und bin nun gedanklich sehr viele Schritte weiter gekommen. Leider habe ich kein Physik, sondern “nur” Automatisierungstechnik studiert. In diesem Studiengang wird allerdings leider auf dieses Thema sehr wenig eingegangen.
    Nun zu meiner Frage (ich hoffe sie passt zum Thema):
    Ist es möglich das Vektorfeld auf Bild 3 dieser Seite in ein skalares Potentialfeld zurückzutransformieren? Falls ja, gehen bei erneuter Transformation dieses neu erhaltenen Potentialfeldes in ein Spannungsfeld (E-Feld) nicht die “Informationen” über die Lage der Wirbel verloren? Oder habe ich einfach nur etwas übersehen?
    Würde mich freuen von dir zu hören. Vielen Dank im Vorraus!
    Gruß, Maik

  60. #60 MartinB
    27. Juli 2015

    @Maik
    “Ist es möglich das Vektorfeld auf Bild 3 dieser Seite in ein skalares Potentialfeld zurückzutransformieren?”
    Falls du damit meinst, ob man das E-feld mit der nicht.verschwindenden Rotation über ein Potential darstellen kann (mit E=-grad phi) – nein, das kann nicht gehen, weil wir hier ja ein feld mit einer Rotation haben, und die Rotation von einem Gradientenfeld ist immer Null.

  61. #61 Michael
    10. Mai 2016

    Also bei dem Satz: ” Für die Maxwellgleichungen im Vakuum brauchen wir die sogenannte Rotation.” bin ich ins stolpern gekommen.
    Ich frage mal ganz naiv: Warum und wozu brauchen wir die Rotation?
    Ich erkenne zwar, dass mit dieser Rotation “irgendwas” und auch folgerichtig, gemacht wird, aber ich weiß nicht was. OK. Eine Art Differential entlang einer Kurve. aber warum?
    Oder anders: Rotiert denn das E-Feld von allein? Oder rotiert es unter der Einwirkung eines Magnetfeldes?

    Mögen Sie in Bezug darauf bitte eine anschauliche Erklärung versuchen? Das wäre nett.

  62. #62 MartinB
    11. Mai 2016

    @Michael
    Eigentlich enthält der Artikel die anschauliche Erklärung – vielleicht ist nicht so richtig klar, was das Ganze überhaupt soll. Bei einem Vektorfeld habe ich ja überall Vektoren, die in irgendwelche Richtungen zeigen. Wenn man jetzt wissen will, wie sich das Vektorfeld von Ort zu Ort ändert, dann wird es kompliziert – wie ändert sich die x-Komponente, wenn ich in x-Richtung gehe? Oder die z-Komponente, wenn ich in y-Richtung gehe?
    Um das etwas übersichtlicher zu halten, definiert man zwei besondere Größen, die die Änderung des Vektorfelds beschreiben, das eine ist die Rotation, das andere die Divergenz. Und der Artikel erklärt, wie man die Rotation ausrechnet. Gerechtfertigt wird der Nutzen am Ende dadurch, dass die Maxwellgleichungen dann die Natur korrekt beschreiben.
    Hilft das?

  63. #63 Michael
    16. Mai 2016

    @ MartinB

    ich möchte mich zunächst für Ihre freundliche Antwort herzlich bedanken.

    Um mit Ihrer Frage zu beginnen, ob Ihre Antwort hilft, muss ich leider sagen: Ja und Nein und dann noch “Jain” – nicht so richtig.

    Ich fürchte(te) Ihre Geduld zu sehr zu strapazieren, denn letztlich vermute ich, ein eher triviales Problem zu haben. Deswegen habe ich meine Frage sehr lakonisch gestellt, ohne sie im Detail zu erläutern. Die “Quittung” 🙂 ist, dass mir ein Physiker sagen muss, dass die Rechtfertigung von Modellen in ihrer Anwendbarkeit besteht. Das ist lustig und der Witz geht zurecht auf meine Kosten.

    Ich habe inzwischen nochmal gelesen und nachgedacht und meine, Folgendes verstanden zu haben:

    1. rot ist zunächst ein (Art) Integral (nicht Differential, da irrte ich mich wohl) von Vektoren an jedem der infinitesimal kleinen Örter im Raum. Danach wird das auf den dreidimensionalen Fall erweitert, und das skalare Resultat anhand der Flächennormalen und dem Drehsinn wiederum im dreidimensionalen Raum orientiert. Zunächst, und für sich genommen, hat das nichts mit einer physikalischen Realität oder dem Modell davon zu tun. (Ich habe da allerdings noch ein gedankliches Problem, was Infinitesimale in diesem Besonderen Fall betrifft, – obwohl ich sie in gewissen Bereichen durchaus sicher anwende -, denn wenn die Fläche des rot infinitesimal klein wird, nähert sich dann der Wert dem Vektorbetrag oder ist das falsch? Aber das gehört vielleicht nicht hierher).

    2. mit rot E = – dB/dt postulieren Sie (resp. Hr. Maxwell) nun eine physikalische Realität mit der Aussage, dass das elektrische und magnetische Feld, als Vektoren betrachtet, über die mathematische Operation rot, als verknüpft beschrieben werden können.
    Hingegen besteht _nicht: die Absicht auszusagen, dass in irgendeiner Hinsicht eine “Rotation von Vektorrichtungen” (analog etwa zu Rotation eines Körpers) vorliegt.
    Letzteres war zunächst mein Eindruck und das hat mich – als Lernenden – irritiert.

    Nicht, dass Ihre Darstellung allgemein Probleme bereitet – jeder fasst Erklärungen ein wenig anders auf -; allein für mich persönlich wäre eine ausdrückliche einführende Nennung der Tatsache von Vorteil gewesen, dass es sich zunächst um das Problem handelt, eine Grösse zu beschreiben, die es erlaubt, Vektoren in analoger Weise zu vergleichen, wie es mit der Steigung einer Kurve (einer ungerichteten Grösse) an zwei ihrer Punkte, mittels Differential handelt – falls ich das soweit richtig verstanden habe.

    Falls Sie noch Bemerkungen zu meinem derzeitigen Verständnis, wie ich es nun beschrieb, für sinnvoll hielten und machen wollten, wäre ich Ihnen dafür sehr dankbar.

    Mit freundlichem Gruß
    Michael

  64. #64 MartinB
    16. Mai 2016

    @Michael
    “rot ist zunächst ein (Art) Integral (nicht Differential, da irrte ich mich wohl) von Vektoren an jedem der infinitesimal kleinen Örter im Raum.”
    Naja, man kann rot auch als echtes Differential formulieren (macht man in der Mathematik auch so) – ich finde es aber anschaulicher, ein kleines Gitter zu nehmen und dann darauf zu integrieren. Daher kommt vielleicht auch dein problem mit dem Infinitesimalen.

    “Hingegen besteht _nicht: die Absicht auszusagen, dass in irgendeiner Hinsicht eine “Rotation von Vektorrichtungen” (analog etwa zu Rotation eines Körpers) vorliegt.”
    Genau. Das ist immer (oder oft) ein problem in der Physik und Mathematik: es werden oft Altagsbegriffe verwendet, um etwas zu beschreiben, das zur Alltagsvorstellung nicht wirklich passt (schönes Beispiel ist der Begriff Wirkung, da “wirkt” auch nix).

    Und es ist immer interessant zu sehen, wie manches, was man für völlig klar hält, andere Leute verwirren kann.

    Hoffe das hilft und danke für’s feedback.

  65. #65 Michael
    16. Mai 2016

    @ MartinB

    Ui. Das ging ja schnell.

    “…man kann rot auch als echtes Differential formulieren …”
    Dann setze ich nochmal Tee auf und unterhalte mich heute Abend damit.

    “Und es ist immer interessant zu sehen, wie manches, was man für völlig klar hält, andere Leute verwirren kann.”
    Klarheit ist halt auch nur “relativ”. 🙂

    Dankeschön.

  66. #66 MartinB
    17. Mai 2016

    @Michael
    Wenn du etwas tiefer in die Edynamik einsteigen (und Dinge wie rotation etc im Detail verstehen) willst, dann sind die Feynman Lectures vol II ne gute Adresse:
    http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_toc.html
    besonders ch 2 und 3

  67. #67 Michael
    17. Mai 2016

    @ MartinB

    Ja. Der Herr Feynman erklärt auch sehr gut.
    Danke.

  68. #68 Guido
    XYZ
    7. November 2016

    Tolle Erklärung, allerdings habe auch ich, wie einige andere Kommentatoren auch, Probleme die Scheife nachzuvollziehen. Wenn man den Artikel liest und sich die Zeichnungen anschaut, bekommt man den Eindruck das man bei Abgehen der Schleife VIER Vektoren “antrifft”. In der Berechnung
    rotE=-2+0+3+0 scheinen aber die Senkrechen Pfeile oben am Quadrat nicht einbezogen zu sein, und nur die beiden unteren Pfeile gehen mit +2 und +3 in die Rechnung ein.
    So wie ich den Text verstehe sollten die beiden oberen Vektorpfeile jedoch auch noch mit ihrem “senkrechten” Wert von 3 (Plus oder minus lasse ich jetzt mal weg) in die Rechnung eingehen…

    Du schreibst ja auch, dass auf dem Weg der Schleife vier Vektoren angetroffen werden (Zumindest in diesem Beispiel)

    Freundliche Grüße
    Guido

  69. #69 Guido
    XYZ
    7. November 2016

    Mit ihrem senkrechten Wert von 3 (rechter oberer Vektor) bzw. 2 (linker oberer Vektor) meine ich natürlich!

  70. #70 MartinB
    7. November 2016

    @Guido
    Man nimmt nur die Komponente des Vektors, die in Richtung des Weges zeigt – bei zwei der Wegstücke stehen die Vektoren senkrecht und zählen deshalb nicht.
    Auf den beiden senkrecht verlaufenden Wegstücken sind die Vektorpfeile jeweils konstant, deshalb bekomme ich da Werte von -2 und +3.

  71. #71 Guido
    7. November 2016

    d.h. bei den oberen beiden Vektoren würde nur eine Komponente hinzukommen, wenn die Vektoren “schräg” in Laufrichtung stehen?

    z.B. der Vektor oben rechts ist um ein Kästchen nach links geneigt, dann würde ich ihn mit +1 einrechnen?

  72. #72 MartinB
    7. November 2016

    @Guido
    genau.

  73. #73 MartinB
    7. November 2016

    PS: Naja, fast genau: Wenn der Vektor rechts oben ne -1-Komponente hat, der links oben aber nicht, dann ist auf der kante im Mittel der Wert -0,5, den würde man dann nehmen.

  74. #74 Guido
    7. November 2016

    aha..ok! das heisst dann auch, dass bei den oberen Vektoren der senkrechte Anteil generell nicht einbezogen wird (da er ja niemals auf dem Laufweg liegt) sondern immer nur die seitliche Abweichung,ja?

  75. #75 MartinB
    7. November 2016

    @Guido
    Jupp. Siehe auch die Erklärung im ersten Bild zur Rotation oben

  76. #76 Guido
    7. November 2016

    hmm..wenn ich mir die erste Erklärung zur Rotation und das zugehörige Bild ansehe, würde ich demnach wieder von dem Vektor oben rechts (leicht nach rechts geneigt) -4 und -1 “mitnehmen”. Er hat eine senkrechte Komponente entgegen der Laufrichtung und eine horizontale entegen der Laufrichtung.

    Zitat:
    “Dabei treffen wir auf jede Menge Vektoren in unserem Vektorfeld (eigentlich auf unendlich viele, aber ich habe nur vier gezeichnet…). Wenn wir nach oben oder unten laufen, dann nehmen wir von jedem Vektor, dem wir begegnen, die Komponente, die in die senkrechte Richtung zeigt, wenn wir nach links oder rechts laufen, nehmen wir die horizontale Komponente.”

    Das gestrichelte bei dem Vektor lässt ebenfalls vermuten, dass bei dem Vektor ebenfalls die senkrechte Komponente einbezogen wird.

    Um das abzuschliessen: Welchen Wert würdes du von besagtem Vektor einbeziehen, angenommen er geht vier Kästchen nach oben und eines nach rechts.

    Vielen Dank schonmal für die Geduld;-)

  77. #77 MartinB
    7. November 2016

    @Guido
    “Welchen Wert würdes du von besagtem Vektor einbeziehen, angenommen er geht vier Kästchen nach oben und eines nach rechts.”
    Naja, wenn ich nach oben laufe, dann die 4, wen ich gerade nach rechts laufe, dann die 1.
    Wobei man natürlich eigentlich eben auch noch berücksichtigen muss, wie der Vektor am anderen Ende der Kante aussieht.

    Ich erklär’s nochmal neu:
    Nimm an du bist auf einer horizontalen Kante. Nimm die horizontale Komponente des Vektors am Startpunkt und die des Vekrors am Endpunkt. Bilde aus beiden den Mittelwert. Multipliziere den mit der Länge der Kante (Richtung beachten!) – das gibt dann den Beitrag dieser Kante zur Rotation.

  78. #78 Jan
    Bielefeld
    22. Februar 2017

    Hallo
    Ich hätte mal ne Frage wie auch bei anderen hier zu den rotE=const, da versteh ich nicht warum das magnetische feld ,auch wie du sagtest räumlich, konstant sei. Wenn ich doch ne zeitliche Änderung des Feldes habe, wie rotE= const ja impliziert, dann müsste ich doch auch ein veränderliches Feld haben.

  79. #79 MartinB
    22. Februar 2017

    @Jan
    Das Feld ändert sich zeitlich, aber überall im Raum gleich, weil an jedem Raumpunkt rotE denselben Wert hat. Deswegen ist es zeitlich veränderlich, aber räumlich konstant.

  80. #80 Jan
    22. Februar 2017

    Achso das ist so gemeint das es überall einfach den gleichen Wert hat?

  81. #81 MartinB
    22. Februar 2017

    @Jan
    Genau, deswegen stand da ja
    “Lege ich die Schleife woanders hin, bekomme ich immer denselben Wert”
    Deswegen war im Zusammenhang “konstant” als “räumlich konstant” gemeint – hätte ich sicher deutlicher schreiben können…

  82. #82 Sven
    23. Juni 2017

    Hallo Martin,

    ich “kämpfe” mich gerade durch deine Erklärung der Maxwell-Gleichungen und dabei sind mir auch einige Fragen zu deiner Berechnung von rot(E) in Bild 3 aufgekommen.

    Zitat 1:
    “Der Vektor an der Ecke hat eine senkrechte Komponente von 4 Kästchen, eine horizontale von -1 Kästchen. Da wir die Schleife gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, und an der linken unteren Ecke sind, zeigt die senkrechte Komponente entgegen unserer Laufrichtung, deshalb bekommt sie ein Minuszeichen. Die horizontale Komponente zeigt auch gegen unsere Laufrichtung (auf der unteren Kante), deshalb hat sie auch ein Minus. Insgesamt bekommen wir für den Vektor an dieser Ecke einen Wert von -5.”

    Zitat 2:
    “Wenn wir nach oben oder unten laufen, dann nehmen wir von jedem Vektor, dem wir begegnen, die Komponente, die in die senkrechte Richtung zeigt, wenn wir nach links oder rechts laufen, nehmen wir die horizontale Komponente.”

    Zitat 3:
    “Wir durchlaufen wieder unsere Schleife. An der oberen und unteren Kante passiert nichts, weil die Vektoren ja senkrecht darauf stehen. Links und rechts bekommen wir einen Beitrag, der Beitrag links geht gegen die Laufrichtung und zählt negativ, der Beitrag rechts geht in Laufrichtung, ist also positiv. Insgesamt bekommen wir links einen Wert -2 und rechts einen Wert +3 . Zählt man alles zusammen, ergibt sich für die Rotation ein Wert von +1 für diese Schleife. Anders als oben habe ich hier auf jeder Kante nur einen Vektor angeguckt – das spielt keine Rolle, solange man konsistent bleibt und das Vektorfeld sich schön langsam von Ort zu Ort ändert.”

    Zitat 4:
    “Weil die Rotation des Feldes überall konstant ist, würde deshalb ein räumlich konstantes Magnetfeld entstehen.”

    Zitat 1 bezieht sich auf das Bsp. in Bild 2, in dem du erklärst, wie du den Wert eines Vektors bestimmst, der in die Rotation mit eingeht. Betrachte ich allerdings Zitat 2 und beziehe deine Vorgehensweise zur Berechnung der Rotation für Bild 3 (Zitat 3) mit ein, so macht es für mich den Eindruck, als bestimmst du die Werte der KANTEN, die für die Rotation relevant sind.

    Warum erklärst du dann in Bild 2, wie du den Wert eines VEKTORS ermittelst, der für die Rotation relevant ist?
    In Zitat 2 steht doch explizit erklärt, dass wenn man sich senkrecht bewegt, werden die senkrechten Komponenten der Vektoren verwendet, denen man auf diesem Weg begegnet, wenn man sich waagerecht bewegt, die horizontalen Komponenten. Heisst für mich (bezogen auf Bild 3):
    Ich fange unten rechts an, gegen den Uhrzeigersinn zu laufen. Meine erste Kante, die es zu betrachten gilt, ist somit die rechte Kante/Seite des Quadrates. Der erste zu betrachtende Vektor liegt also gleich unten rechts in der Ecke. Er besitzt die Komponenten (0,3). Da ich mich senkrecht bewege, geht nur die senkrechte Komponente ein. Die senkrechte Komponente ist 3, der Vektor liegt auf meinem Weg, sprich zeigt in Laufrichtung, der erste relevante Wert für Kante 1 ist somit 3. Da zu einer Seite/Kante immer 2 Ecken, also 2 Vektoren gehören, muss ich für den Wert pro Kante, der für die Rotation relevant ist, allerdings auch noch den Vektor oben rechts in der Ecke betrachten, denn in Zitat 2 hast du ja gesagt, man solle den Wert von JEDEM Vektor mitnehmen, dem man begegne. Dessen senkrechte Komponente ist wieder 3, liegt allerdings nicht auf dem Weg und weil diese nicht auf dem Weg liegt, geht sie nicht in meine Betrachtung mit ein. Sehe ich das richtig?

    Denn entweder ist deine Erklärung so zu verstehen, dass nur die Komponenten in die Berechnung mit einfließen, die mir tatsächlich auf meinen Weg zeigen, wobei die Komponenten, die entgegen meiner Laufrichtung zeigen, negativ einbezogen werden, die, die in Laufrichtung zeigen, positiv.
    Oder aber ich muss deine Erklärung so verstehen, dass überhaupt und ausschließlich nur die Komponenten relevant sind, die auf der eingezeichneten Schleife liegen. Denn für mich macht es gerade den Anschein, als würdest du nur den unteren linken und unteren rechten Vektor betrachten.

    Also generell habe ich gerade das Problem die Konsistenz in deiner Vorgehensweise zu erkennen.

    Meine letzte Frage bezieht sich auf Zitat 4. Wenn doch die Rotation des E-Feldes konstant ist, sagen wir bspw. rot(E)= const. = 1 (das E soll fett gedruckt sein), dann bedeutet das ja, das lediglich die negative zeitliche Ableitung von B (soll auch fett gedruckt sein) konstant gleich 1 ist. Ich habe also ein B-Feld, das im Raum immer um 1 größer wird. Selbst wenn ich, so wie du, nur einen sehr kurzen Zeitpunkt “jetzt” betrachte, hat das B-Feld doch einen konstanten räumlichen Anstieg. Räumlich konstant würde ich nämlich so verstehen, dass die Vektoren im gesamten B-Feld bspw. die Länge x hätten und die zeitliche Änderung somit gleich Null wäre.
    Oder ist mit räumlich konstant einfach gemeint, dass die zeitliche Ableitung vom B-Feld konstant ist, weil rot(E) konstant ist?

    Entschuldige diesen langen Kommentar, aber zerbreche mir darüber gerade wirklich den Kopf und ich muss das verstehen, um deinen Text weiterlesen zu können.

    Vielen Dank
    Gruß Sven

  83. #83 MartinB
    23. Juni 2017

    “Warum erklärst du dann in Bild 2, wie du den Wert eines VEKTORS ermittelst, der für die Rotation relevant ist?”
    Ich erkläre, wie die Komponenten eines Vektors funktionieren, das muss man ja wissen.
    “Dessen senkrechte Komponente ist wieder 3, liegt allerdings nicht auf dem Weg und weil diese nicht auf dem Weg liegt, geht sie nicht in meine Betrachtung mit ein. Sehe ich das richtig?”
    Jein. Am besten ist es, du denkst dir den Vektor auf der Mitte der Linie. Spielt hier keine Rolle; wenn der Vektor aber unten rechts und oben rechts ein anderer ist, dann würde man einfach den Mittelwert von beiden nehmen. Mathematisch ist die Vorschrift: Komponente des Vektors auf der Kante mal Länge der Kante.

    Räumlich konstant heißt, dass es sich im Raum nicht ändert – wenn es sich in der Zeit nicht ändert, ist es zeitlich konstant…

  84. #84 Sven
    23. Juni 2017

    “Am besten ist es, du denkst dir den Vektor auf der Mitte der Linie. Spielt hier keine Rolle; wenn der Vektor aber unten rechts und oben rechts ein anderer ist, dann würde man einfach den Mittelwert von beiden nehmen. Mathematisch ist die Vorschrift: Komponente des Vektors auf der Kante mal Länge der Kante.”

    Das erschließt sich mir noch nicht ganz.

    könntest du diese Rechnung mal auf das Bild 3 hier anwenden?

  85. #85 MartinB
    23. Juni 2017

    An der Rechnung ändert sich dadurch nichts, wenn die Vektoren oben und unten gleich lang sind, ist auch ihr Mittelwert derselbe.

  86. #86 Sven
    23. Juni 2017

    Das ist mir durchaus klar, aber was ich meinte, ist, ob du mir mal Schritt für Schritt vorführen könntest, wie und von was du hier den Mittelwert bilden würdest und mit welcher Kantenlänge du diesen dann multiplizieren würdest.

    Angenommen die vier Vektoren auf der Schleife in Bild 3 hätten nun folgende Komponenten:

    Vektor unten rechts: (1,3)
    Vektor oben rechts: (-1,4)
    Vektor oben links: (-1,3)
    Vektor unten links: (1,2)

    mit Kantenlänge L der Schleife L = 5
    (so wie die Schleife eben bei dir in Bild 3)

    Dabei seien die Komponenten und Längen in Längeneinheiten (LE) angegeben, mit 1 LE = 1 Kächsten.

    Wie sähe dann die Rechnung aus?

  87. #87 MartinB
    23. Juni 2017

    Vektor unten rechts: (1,3)
    Vektor oben rechts: (-1,4)
    Mittelwert ist (0, 3,5), wen Kantenlänge 5, dann Wert der Kante 5*3,5
    usw.

  88. #88 MartinB
    23. Juni 2017

    PS: Lies dir auch mal die anderen Kommentare durch; einiges wurde da auch schon mal beantwortet…

  89. #89 Sven
    23. Juni 2017

    Sähen die Werte der anderen Kanten dann so aus

    obere Kante:
    Vektor oben rechts: (-1,4)
    Vektor oben links: (-1,3)
    Mittelwert (-1,3.5) ➟ Wert der Kante = -5

    untere Kante:
    Vektor unten links: (1,2)
    Vektor unten rechts: (1,3)
    Mittelwert (1,2.5) ➟ Wert der Kante = 5

    linke Kante:
    Vektor oben links: (-1,3)
    Vektor unten links: (1,2)
    Mittelwert (0,2.5) ➟ Wert der Kante = 12,5

    rechte Kante:
    Mittelwert (0,3.5) ➟ Wert der Kante = 17,5

    rot(E) = 5-5+12,5+17,5 = 30

  90. #90 MartinB
    23. Juni 2017

    Ich glaube, du hast die Vorzeichen nicht ganz richtig, die obere und untere sowie linke und rechte Kante werden ja jeweils in entgegengesetzte Richtung durchlaufen. Wenn du die obere Kante nach links läufst, hast du
    – (5*(-1)), also 5 usw.

  91. #91 Sven
    23. Juni 2017

    Hm, das verwirrt mich jetzt wieder ein bisschen. Sind dann die Vorzeichen aller Kanten falsch?

    Wieso kommt das Extra-Minus noch dazu, wenn ich die obere nach links lang laufe?

  92. #92 Sven
    23. Juni 2017

    Oder gehen mir bei der oberen Kante quasi bei beiden Vektoren (Vektoren oben rechts und links) die Minuszeichen verloren, weil beide Horizontalkomponenten in Laufrichtung zeigen?

    Und hätte ich dann bei der linken Kante einen Mittelwert von -2.5, anstatt +2.5, da dort dann quasi die Senkrechtkomponenten gegen meine Laufrichtung zeigen?

    usw.

  93. #93 MartinB
    23. Juni 2017

    O.k., jetzt hatte ich mich selbst verwirrt, hatte nnicht genau genug hingeguckt.
    Also: Das Vorzeichen ist immer so dass die Richtugn des Vektors zu der in der ich laufe passen muss.
    Also:
    rechte kante, ich laufe nach oben, y-Komponente des vektors ist 3,5, also 5*3,5
    Obere Kante, ich laufe nach links, x-Komponente des Vektors -1, also Wert 5.
    Linke Kante: Ich laufe nach *unten*, Mittelwert des Vektors +2,5, also nach oben, also entgegengesetzt zu meiner Laufrichrtung, also -12,5
    und unten Mittelwert 1, also 5.

    Einfach in die Mitte der Schleife einen Kreis mit feil gegen den Uhrzeigersinn malen, dan sieht man, welcher Vektor auf der Kante mit welchem Vorzeichen eingeht.
    Im Zweifel nochmal die Beispiele in Teil 3 angucken, die sollten auch stimmen – ich klinke mich nämlich erstmal aus…

  94. #94 Sven
    23. Juni 2017

    Ich werde mich nochmal dran setzen. Vielen Dank für deine Zeit, Mühe und Geduld.