In den ersten drei Teilen dieser Serie haben wir die Maxwellgleichungen im Vakuum hingeschrieben. Felder erzeugen andere Felder, und auf wundersame Weise ergeben sich daraus Wellen. Aber irgendwoher müssen die Felder ja auch kommen. Dafür sind elektrische Ladungen und Ströme zuständig. In diesem Teil geht es erstmal um Ladungen.

Schaut man sich noch mal die Vektorfelder an, die wir bisher gezeichnet haben, so war ihnen allen eins gemeinsam: Es gab nie einen Punkt, an dem die Pfeile “gestartet” sind. Das ist auch kein Wunder, denn im Vakuum können elektromagnetische Felder nicht beginnen oder enden. (Das habe ich nie gesagt, sondern immer nur stillschweigend vorausgesetzt.)

Betrachten wir zunächst elektrische Felder. Elektrische Felder “beginnen” und “enden” an Ladungen – genauer gesagt “beginnen” sie an positiven und “enden” an negativen Ladungen. Um uns das anschaulich zu machen, zeichne ich ein Feld in einer Dimension (ja, ich weiß, Physiker nehmen immer so viele Dimensionen, wie es ihnen gerade passt, ich nehme mal eine, mal zwei, mal drei, aber immerhin nehme ich hier nicht elf oder so wie die bösen, bösen Stringtheoretiker…).
In einer Dimension passiert alles entlang einer Linie. Das sieht dann so aus:

i-04e108356effc14429e6c6a21c89cbf8-e-feld1d-thumb-540x187.jpg

In der Mitte sitzt eine elektrische Ladung. Sie ist positiv, also zeigen die Vektorpfeile für das elektrische Feld von ihr weg. (Wenn sie negativ wäre, müsste man die Pfeile umdrehen.)
Da nur Ladungen elektrische Felder erzeugen können, sind die Pfeile weiter weg von der Ladung alle gleich lang. Das kann man wie folgt einsehen: Nehmen wir an, der erste Pfeil wäre 2 Einheiten lang, der nächste nur eine. Dann hätte sich zwischen dem ersten und dem zweiten das Feld um eine Einheit geändert. Das kann aber nicht sein, denn dazu müsste eine Ladung dort sitzen. In einer Dimension ist das Feld einer einzelnen Ladung also konstant.

In zwei oder drei Dimensionen ist allerdings komplizierter. Schauen wir nochmal auf eins unserer Vektorfelder:

i-cc4159cc44f26665a3509a2122c3a20e-vektorfeld-thumb-540x585.jpg

Hier werden die Pfeile von unten nach oben immer kürzer, also müssen dort vermutlich irgendwo Ladungen sitzen. Aber wie genau bekommen wir das heraus? Und wie können wir, wenn wir wissen, wo Ladungen sind, das Vektorfeld ausrechnen?

Da das elektrische Feld an Ladungen losgeht, nennt man Ladungen auch die Quellen (oder Senken, wenn die Linien aufhören) des Feldes. Was wir also ausrechnen wollen, können wir die Quellstärke des elektrischen Feldes nennen. Vornehm spricht man auch von der Divergenz.

Um die Divergenz zu verstehen, gehen wir noch einmal zurück in eine Dimension. Dort ist es zwar auf einen Blick klar, ob eine Ladung vorliegt (weil man sofort sieht, ob die Pfeile kürzer oder länger werden), aber es hilft, eine Idee zu bekommen, wie wir in zwei Dimensionen vorgehen müssen.
Dazu zeichnen wir zwei senkrechte Striche links und rechts um unsere Ladung. Auf den linken Strich machen wir einen kleinen Pfeil nach links, auf den rechten nach rechts. Jetzt gehen wir ähnlich vor wie im 2. Teil bei der Berechnung der Rotation, aber diesmal gucken wir nicht den Anteil des Vektors an, der parallel zur Linie liegt, sondern den, der senkrecht zur Linie liegt:

i-60909e06dad18e0556cf7e73416d8e0e-div1d-thumb-540x150.jpg

Direkt links von der Ladung zeigt unser Feld nach links, der Pfeil auf der Linie auch. Wenn unser Feldvektor die Länge 1 hat, dann ist die Komponente des Vektors in Pfeilrichtung auch gleich 1.
Rechts von der Ladung ist es genauso. Wir zählen die beiden Werte zusammen und bekommen einen Wert von 2 für die Divergenz unseres Feldes.
Spielen wir das gleiche Spiel weiter links, wo keine Ladung sitzt, dann sieht die Sache anders aus: Am senkrechten Strich ganz links ist die Komponente des Feldes in Pfeilrichtung wieder gleich +1, aber auf dem rechten Strich zeigen die Pfeile nach rechts, die Vektoren nach links. Es ergibt sich also +1-1=0. Die Divergenz, also die Quellstärke unseres Feldes verschwindet.

Wen wir das gleiche in zwei Dimensionen machen wollen, dann müssen wir wieder eine Schleife zeichnen, ähnlich wie bei der Rotation. Die Schleife hat jetzt aber keinen Drehsinn, weil wir ja keine Komponente des Feldes parallel zur Schleife angucken, sondern sie hat stattdessen kleine Pfeile, die senkrecht nach Außen zeigen:

i-6af31dcfcff27bfcf850bd4a3511719d-div2d-thumb-540x368.jpg

An jedem Punkt auf der Schleife berechnen wir jetzt wieder die Komponente, die in Richtung der kleinen Pfeile zeigt. Man sieht sofort, dass diese in der Zeichnung immer positiv ist, weil alle Pfeile von der Ladung aus nach außen zeigen. Rechts habe ich für einen der Vektorpfeile herausgezeichnet, wie man die Komponente berechnen muss.

Was wir hier tun ist also (sowohl in einer als auch inzwei Dimensionen), dass wir gucken, ob mehr Vektorpfeile aus einem Gebiet heraus- als hereinzeigen. Zeigen gleich viele Pfeile rein und raus, dann ist die Divergenz des Feldes Null, ansonsten nicht.

In drei Dimensionen ist das Ganze etwas unübersichtlich zu zeichnen. Zunächst muss man sich überlegen, was aus der Schleife wird. Bei der Rotation mussten wir ja statt einer Schleife drei Schleifen betrachten. Jetzt aber interessieren wir uns ja für die Vektorenanteile, die aus einem Gebiet heraus- bzw. in es hineinzeigen.
In einer Dimension begrenzt man ein Gebiet durch zwei Punkte (dass ich oben zwei Linien genommen habe, war nur, weil es leichter zu zeichnen ging – was aus der Linie herausragt, ist aber ja außerhalb der eindimensionalen “Welt” und deshalb irrelevant.). In zwei Dimensionen begrenzt man ein Gebiet durch eine geschlossene Linie – deswegen hatte ich eine Schleife gezeichnet. In drei Dimensionen braucht man eine geschlossene Fläche. Ich versuche es mit einer Kugelfläche:

i-a59582e10638fbaf40b0741a32441b83-div3d-thumb-340x367.jpg

Ich geb’s zu, meine 3D-Zeichenkünste sind nur mäßig gut. Hoffentlich erkennt man trotzdem, was ich meine: In der Mitte der Kugel sitzt die Ladung, die Vektoren des Feldes zeigen alle von der Ladung nach Außen weg. Wieder würde man an jedem Punkt der Oberfläche den Anteil berechnen, der senkrecht auf der Fläche steht und so die Divergenz bekommen. Anders als die Rotation ist die Divergenz auch in drei Dimensionen nur eine einzige Zahl, kein Vektor.

Nachdem wir die Divergenz jetzt definiert haben, können wir die dritte Maxwellgleichung hinschreiben:

div E = ρ/ε0

E ist natürlich das elektrische Feld. ρ misst die Stärke der Ladung an dem Punkt, an dem wir die Divergenz berechnen wollen. (Da wir eigentlich unser Gebiet wieder unendlich kleinschrumpfen müssten, so wie auch die Schleifen für die Rotation, ist ρ eine Ladungsdichte, aber diese Feinheit ist für uns nicht so wichtig.)
ε0 ist wieder eine Konstante, die ganz viele Namen hat: Dielektrizitätskonstante des Vakuums, Permittivität des Vakuums oder elektrische Feldkonstante sind üblich.

Die dritte Maxwellgleichung sagt in Formeln das, was wir hier die ganze Zeit bereits verwendet haben: elektrische Feldvektoren können nur an Ladungen beginnen oder enden.

Können wir denn mit dieser Gleichung auch etwas anfangen? Und ob!
Wir können nur durch Zeichnen (und mit ein bisschen Mathematik aus der Schule) herausbekommen, wie das elektrische Feld einer einzelnen elektrischen Ladung sich mit dem Abstand ändert – das ist das berühmte Coulomb-Gesetz.
In einer Dimension haben wir es oben schon gesehen: Das elektrische Feld ist überall konstant.

In zwei Dimensionen sieht es anders aus. Um herauszubekommen, wie genau, setzen wir eine kleine Ladung an einen Punkt. Das elektrische Feld muss genau von dieser Ladung wegzeigen – die Feldlinien können nicht irgendwie schräg verlaufen. Warum nicht? Betrachten wir eine Linie, die genau von unserer Ladung aus nach rechts zeigt. Würde dort ein elektrischer Feldvektor liegen, der nicht nach rechts zeigt, dann müsste er also eine Komponente in Oben-Unten-Richtung haben. Aber soll sie nach oben oder unten zeigen? Das ganze ist ja völlig symmetrisch, es gibt also keinen Grund für eine der beiden Richtungen – also kann es auch keine Komponente in eine der beiden Richtungen geben. Theoretische Physiker lieben solche Argumente und sagen dann “aus Symmetriegründen” ist das so.

Gut. Unser Feld zeigt also immer genau von der Ladung weg. Jetzt malen wir einen Kreisbogen um unsere Ladung, so dass alle Punkte auf dem Kreisbogen exakt denselben Abstand zur Ladung haben. Nehmen wir als Abstand einen Wert von 1 und einen Kreisbogen der Länge l. Im doppelten Abstand malen wir einen zweiten Kreisbogen.
Das sieht dann so aus:

i-e1ce461681e40141f7601b2d2c477576-coulomb2d-thumb-540x550.jpg

Wir verbinden die beiden Kreisbögen mit einer Linie an jedem Ende. Damit haben wir ein Gebiet eingegrenzt, das keine Ladung enthält. Die Divergenz des elektrischen Feldes muss also Null sein.
Das elektrische Feld auf dem kürzeren Kreisbogen hat eine bestimmte Länge – hier genau drei Kästchen. Die Vektoren zeigen alle genau senkrecht weg vom Kreisbogen, also ist der Beitrag zur Divergenz – 3*l. Das Minuszeichen deshalb, weil die Linien ins Innere hineinzeigen.

Da der zweite Kreisbogen doppelt so weit weg ist, hat er die doppelte Länge, 2l. Auf ihm sitzen also “doppelt so viele” Vektorpfeile. Sein Beitrag zur Divergenz ist also 2*l*(unbekannte Feldstärke). Die beiden Linien oben und unten leisten keinen Beitrag, weil hier das Feld genau in Richtung der Linie zeigt. Damit können wir die unbekannte Feldstärke berechnen:
-3*l+2*l*Feldstärke=0
also hat die Feldstärke den Wert 3/2.
Im doppelten Abstand fällt das elektrische Feld also auf die Hälfte seiner Stärke ab.

In drei Dimensionen geht das genauso. Jetzt müssen wir aber zwei Kugeoberflächenstücke zeichnen, von denen eins doppelt so weit weg ist wie das andere. Die beiden verbinden wir mit einer Mantelfläche. Mit meinen bescheidenen Zeichenkünsten sieht das so aus:

i-0fbc64c345d4a0d1b80d1534ebad5781-coulomb3d-thumb-540x577.jpg

Die beiden Flächen sind gerade so gekrümmt, dass die Vektorpfeile wieder genau senkrecht darauf stehen. Die Pfeile sind dann auch genau parallel zum Mantel und dieser leistet dann wieder keinen Beitrag zur Divergenz.
Ist die erste Fläche im Abstand r und hat eine Fläche von 1, dann hat die zweite Fläche im Abstand von 2r eine Fläche von 4. (Die Oberfläche einer Kugel ist ja 4πr2 – für Kugelsegmente ist der Vorfaktor anders, aber das Wachstum mit r dasselbe.)
Nennen wir das Feld auf der ersten Fläche E1 (Achtung: Das ist jetzt kein Vektor, weil wir nur die Komponente angucken, die senkrecht steht) und das auf der zweiten Fläche E2, dann gilt
-1*E1 + 4*E2=0
also E2 /E1 =1/4
Im doppelten Abstand fällt das elektrische Feld auf ein Viertel seines Wertes.

Das ist auch die Aussage des berühmten Coulomb-Gesetzes, nach dem sich zwei Ladungen mit einer Kraft anziehen, die sich wie 1/r2 verhält. (Die Kraft war ja Feldstärke mal Ladung, wenn also die Feldstärke wie 1/r2 abfällt, dann auch die Kraft.)

Häufig findet man eine andere Darstellung für elektrische Felder, bei der keine Vektorpfeile an bestimmte Raumpunkte angeheftet werden, sondern bei der sogenannte Feldlinien gezeichnet werden. Diese zeigen an jedem Punkt des Raumes in die Richtung des Feldes, aber sie haben keine Länge, sondern werden als durchgehende Linien gezeichnet, die nur an Ladungen beginnen oder enden können. Das sieht dann für eine einzelne Ladung so aus:

i-b3c65bd76e56b68e82a511d956fc89ef-feldlinien-thumb-300x141.gif

(Bild von der RWTH Aachen.)

Diese Darstellung hat einen großen Vorteil: Anders als bei unserer Vektorfelddarstellung ist hier sofort ersichtlich, an welchen Punkten Ladungen sitzen und die Divergenz somit ungleich Null ist. Die Dichte der Linien gibt die Feldstärke an – die Abnahme des Feldes mit größerer Entfernung ist deshalb graphisch sofort zu sehen. Allerdings hat diese Darstellung auch einen Nachteil: Da man keine Pfeile mit Länge hat, kann man Felder nicht addieren, wie wir es im letzten Teil zum Bauen der Welle gemacht haben. Deswegen verwende ich meist die Vektorfeld-Darstellung – die Feldlinien erkläre ich hier nur, weil man sie so oft sieht.

Wir haben hier die ganze Zeit nur über das elektrische Feld geredet. Was ist mit der Divergenz des Magnetfeldes? Sieht die Maxwellgleichung für das Magnetfeld ähnlich aus, nur mit magnetischen Ladungen?

Die Antwort lautet: Nein. Es gibt nämlich keine magnetischen Ladungen! Deshalb ist die Divergenz des magnetischen Feldes immer Null. Die vierte Maxwellgleichung lautet also ganz einfach

div B=0

Magnetische Ladungen werden auch als magnetische Monopole bezeichnet (normale Magneten sind Dipole, weil sie immer einen Nord- und einen Südpol haben – oder eine Tag- und Nachtseite, wie es bei Jim Knopf heißt…). Einen isolierten Nordpol oder Südpol hat bisher noch keiner finden können (außer Jim Knopf natürlich), obwohl viele theoretische Physiker sie für ihre Theorien gut gebrauchen könnten. (Schon Dirac hat gezeigt, dass ein einziger magnetischer Monopol im Universum eine Erklärung dafür geben würde, dass alle elektrischen Ladungen gequantelt sind – aber das führt jetzt ziemlich weit ab vom Thema.)

Magnetfelder entstehen also nicht durch Ladungen. Sie entstehen, wie wir schon wissen, durch räumlich sich ändernde elektrische Felder. Sie können aber auch auf eine andere Weise entstehen: Nämlich durch elektrische Ströme. Um das zu sehen brauchen wir nicht etwa eine fünfte Maxwellgleichung, sondern müssen eine unserer ersten beiden Vakuumgleichungen modifizieren.
Aber das verschiebe ich auf den nächsten Teil…


Hier ein Überblick über die ganze Serie:

Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 1. Felder
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 2. Im Vakuum
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 3. Wir bauen eine Welle
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 4. Voll geladen
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 5. Unter Strom
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 6. Spieglein, Spieglein

Kommentare (29)

  1. #1 kommentarabo
    28. August 2010

  2. #2 Disciple of Maxwell
    28. August 2010

    Wieder mal Klasse!

    Aber ich meine mich dunkel erinnern zu können, dass letztes Jahr ein paar Wissenschaftler des HZB in Zusammenarbeit mit einigen Magnetleuten des FZD magnetische Monopole “entdeckt” haben…

    Ich steh da nicht so drin in der Materie, drum kann ich nicht genau sagen was da dran ist, wollte das aber nur mal einwerfen… 😉

  3. #3 MartinB
    28. August 2010

    @Disciple
    Du meinst bestimmt das hier:
    http://www.scienceblogs.de/diaxs-rake/2009/09/magnetische-monopole-im-spineis.php
    Das sind aber keine “echten” Monopole, sondern “nur” Quasiteilchen.
    Echte Monopole hättest Du mitbekommen, das würde nen Riesenwirbel verursachen, da müsste schon zeitgleich was ungeheuer wichtiges passieren, dass das nicht durch alle nachrichten geht (ne Fussball-WM oder so…)

  4. #4 rolak
    28. August 2010

    Ich halte dagegen, MartinB: Da die magnetischen Monopole doch so intensiv in der overunity-Szene als Erklärung diverser PMs bemüht werden, dürfte das Netz geradezu explodieren und die frohe Botschaft mit Sicherheit auch in die ‘normalen’ Medien überschwappen, Fußball hin oder her, wie jüngst bei dem SonnenTsunami (einer kann nicht lesen, alle anderen schreiben ab) oder etwas älter bei climategate (einer behauptet, die anderen plappern unreflektiert nach).
    Da müßte schon der GottSeiBeiUns höchstpersönlich dem Vatikan einen Besuch abstatten 😉

  5. #5 MartinB
    28. August 2010

    @rolak
    Stimmt schon, Monopole wären sicher ne Schlagzeile – wollte nur trotzdem anmerken, dass die Wissenschaft verglichen mit anderen Gebieten bei uns eher selten in die Nachrichten kommt….

  6. #6 SingSing
    28. August 2010

    Stellvertretend (denke ich) für einige der “Fußgänger” hier:

    Dass wir momentan nicht kommentieren, bedeutet nicht, dass wir das Interesse verloren hätten. Aber erst muss man die einzelnen Teile mehrfach durchlesen, bevor man halbwegs intelligente Fragen stellen kann 🙂

  7. #7 rolak
    28. August 2010

    /eher selten/ das ist aber sehr freundlich formuliert. Besonders zu bedenken ist dabei, daß bei weitem nicht überall, wo ‘Wissenschaft’ beisteht, auch davon die Rede ist.
    War nur so eine Art Wette, die allerdings meiner bescheidenen Abschätzung nach nie entschieden wird 😉

  8. #8 MartinB
    28. August 2010

    @SingSing
    Danke, freut mich, das zu hören.
    Klar, hier gibt’s weniger Zündstoff als bei Esoterik-Themen…

    @rolak
    Ja, das nennt man “understatement”, oder?
    O.k., falls ich nen Monopol entdecke, veröffentliche ich erst während der nächsten Fussball-WM am Tag des Endspiels.

  9. #9 rolak
    28. August 2010

    Obgleich die Gärzeit der wwwMeinung dann fehlen wird: Gemacht – ich richte bei Verlust gerne ein feierliches Essen aus.
    –genug offtopic

  10. #10 Thomas Weise
    17. Februar 2013

    OK, die Serie ist jetzt schon 2.5 Jahre alt, aber ich bin erst jetzt hier angekommen. Die Serie ließt sich sehr schön, aber ich gebe zu, ich habe noch nicht annähernd alles verstanden und meine Mathe- und Physik-Kenntnisse sind so erschreckend degeneriert, dass sie mir nicht mehr weiterhelfen. Daher auch eine wahrscheinlich sehr blöde Frage:

    Was ist der Gültigkeitsbereich der Maxwellgleichungen? Rein mathematisch könnte ich die prinzipiell immer und überall für alle Größen und Ladungen anwenden.

    Wenn ich beispielsweise die Newtonsche Mechanik hernehme, dann ist die “gültig” für “vernünftige” Massen und Geschwindigkeiten. Sag ich jetzt mal so, ich denke, Ihr wisst was ich meine. Außerhalb dieses Kontextes, für Geschwindikeiten sehr nahe c, “gehen” die Gleichungen der Newtonschen Mechanik zwar mathematisch Problemlos, “passen” aber physikalisch/experimentell nicht mehr.

    Wie ist das mit den Maxwellgleichungen, speziell im Hinblick auf den “Mikrokosmos”? Wenn ich ein Elektron hernehme, dann hat das ja eine Ladung. Wie “mache” ich damit Divergenz oder Rotation?

    Ich könnte sagen: Bei mir ist das Elektron eine Welle, eine Welle ist eine mathematische Funktion, da kann ich gut differenzieren und da Divergenz und Rotation ja im Prinzip sowas sind, geht das alles Prima und ist gar kein Problem. Würde man also Elektronen als Wellen betrachten, wenn man Maxwell-Gleichungen auf dieser Größenordnung anwendet – mit anderen Worten, würde die Anwendung der Maxwell-Gleichungen ein Wellenmodell für Elektronen implizieren? (Da fällt mir ein, sind Protonen eigentlich auch Wellen in diesem Sinne, ich erinnere mich nur daran, das im Kontext von Elektronen gehört zu haben?)

    Andernfalls, wenn man ein Elektron als Teilchen betrachtet, dann ist es entweder eine “Punktladung” oder es muss irgendeine Form oder Volumen haben. (Denke ich mir mir meinem beschränkten Verstand – ich bin weder Physiker noch Mathematiker).

    Wenn es eine Punktladung ist, ein unendlich kleiner Punkt, eine “Sprungstelle” oder so, müsste dann nicht irgendwie das Differenzieren/Rotieren/Divergieren schief gehen? Oder ist das kein Problem? (Oh Gott ist Mathe lange her, bitte nicht lachen…)

    Und wenn es kein Punkt ist sondern ein Volumen hat, welche Form hat das Volumen dann? Wäre es eine Kugel? Warum? Müsste ich doch irgendwie wissen, wenn ich differenzieren will, oder? Und wie sähe das Feld – mathematisch – innerhalb eines Elektrons aus? Oder kann man die Gleichungen dann nicht mehr oder nur mathematisch (ohne physikalischen Sinn) anwenden?

    Also ich denke, der Sinn meiner Frage ist klar: Kann ich die Maxwell-Gleichungen immer physikalisch sinnvoll anwenden, oder gibt es eine Grenze, ab der sie nur noch “mathematisch” funktionieren, aber sinnlose Ergebnisse produzieren?

    Oder ist das alles ganz anders und man sagt: Das ist weder Welle noch Teilchen, das ist Quantenmechanik.

  11. #11 MartinB
    17. Februar 2013

    @Thomas
    Wenn ich das Elektron als Punktteilchen ansehe, dann kannich es mit den gewöhnlichen Regeln der Maxwell-Gleichungen behandeln. Das funktioniert z.B. dann ganz gut, wenn ich hinreichend weit weg vom Elektron bin.
    Direkt am Ort des Elektrons gibt es schon in der klassischen Physik ein Problem (unendlich große Felder, da hast du genau Recht, sowie ein Problem mit der Selbstwechselwirkung – welche Kraft übt ein Elektron auf sich selbst aus?). Das ist nett und ausführlich in den Feynman Lectures on Physics, Band II Kap. 28 erklärt.
    Tatsächlich gilt aber für Elektronen natürlich die Quantenmechanik bzw. die Quantenfeldtheorie – in der sind die Maxwellgleichungen in gewisser Weise als Grenzfall enthalten (auch wenn das im Detail durchaus Probleme macht), aber auf kleiner Längenskala kommen zusätzliche Dinge hinzu. Die Maxwell-Gleichungen werden dazu “quantisiert” – das heißt, man behandelt das elektromagnetische Feld mit den Regeln der Quantenmechanik (beispielsweise muss das elektrische Feld an einem Ort nicht mehr einen bestimmten Wert haben, sondern kann in einem Überlagerungszustand vorliegen). Viele dieser Aspekte habe ich in meiner Quantenfeldtheorie-Serie zumindest angerissen (insbesondere in den letzten Teilen).
    Für Protonen gilt das alles genauso – mal abgesehen davon, dass die aus Quarks zusammengebastelt sind.

  12. #12 Mario B
    14. April 2013

    Vielen Dank für die Erklärungen! Ich studiere Mathematik und habe Physik als Nebenfach und wüsste nicht, wie ich ohne diese Hilfe die Maxwell-Gleichungen verstehen sollte. Danke auch denjenigen, der dafür gesorgt hat, dass dieser Artikel auf Wikipedia verlinkt ist!

  13. #13 MartinB
    14. April 2013

    @Mario
    Das war ich selbst (ein bisschen Eigenwerbung schadet ja nicht…)
    Schön, wenn’s geholfen hat, und am besten gleich an die kommilitonen weiterempfehlen 😉

  14. #14 Biathe
    25. Mai 2013

    Vielen Dank für die tollen Erklärungen, leider habe ich trotzdem große Probleme mit dieser Materie, vermutlich mangels ausreichender Physikkenntnisse.
    Besonders die Erläuterungen über zwei Dimensionen bereiten mir Probleme.
    Welche Linien zeigen denn in welches Innere?
    Woher kenne ich den Wert 3 für den ersten Kreisbogen (Und was genau sagt der nochmal aus?) und wieso kenne ich keinen Wert für den anderen Kreisbogen?

  15. #15 MartinB
    25. Mai 2013

    @Biathe
    Ich zeichne einfach einen Kreisbogen, von dem ich annehme, dass er die Länge l hat. Und dann einen zweiten, der doppelt so weit von der Ladung weg ist, so wie im Bild. Der muss dann die Länge 2l haben. (Denn der Kreisumfang ist proportional zum Radius.)

    Wie lang l ist, spielt gar keine Rolle, das hebt sich ja am Ende wieder raus.

    Dass der Wert des feldes am Anfang auf dem ersten Kreisbogen gleich 3 ist, ist auch vollkommen egal; die Rechnung würde mit jedem anderen Wert genauso funktionieren. Der Wert ist also vollkommen willkürlich gewählt – aber weil der zweite Kreisbogen doppelt so lang ist, muss die feldstärke darauf halb so groß sein, damit das mit der Divergenz passt.

    Hoffe das hilft.

  16. #16 Biathe
    25. Mai 2013

    Dankeschön, jetzt ist mir das Ganze doch etwas klarer geworden!
    Abgesehen davon würde mich noch interessieren, wo der Unterschied zwischen dieser Schreibweise der Gleichungen und der durch Kurvenintegrale liegt. (Falls es keine Umstände bereitet.)

  17. #17 MartinB
    25. Mai 2013

    @Biathe
    Eigentlich ist das mehr eine Geschmacksfrage, die Darstellungen sn dja mathematisch äquivalent. (Wenn du genau hinguckst siehst du ja auch, dass ich eigentlich auch immer mit den Integralen arbeite in meinen Zeichnungen.)
    Manche Rechnungen gehen in der einen, manche in der anderen Schreibweise leichter.
    Die Schreibweise mit Divergenzen und Rotationen hat zwei (miteinander zusammenhängende) Vorteile: Zum einen ist sie insofern hübscher, als sie nur mit Größen arbeitet, die an einem punkt (bzw. in einer unendlich kleinen Umgebung davon) definiert sind und man muss nicht noch spezifizieren, welche Kurven oder Flächen man meint; insofern ist sie etwas kompakter.
    Und sie hat den anderen Vorteil, dass sie sich leichter in die Quantenmechanik (oder Quantenfeldtheorie) übertragen lässt, wo man auch mit Größen arbeitet, die so geschrieben werden.
    Die Integralschreibweise ist dafür etwas einfacher für leute, die schon Integrale kennen, die müssen sich dann nicht an die komischen Vektor-Ausdrücke wie rot und div gewöhnen.
    Beide Darstellungen sind aber gleich “gut”.

  18. #18 Biathe
    25. Mai 2013

    Alles klar, dann bevorzuge ich die Divergenzen- und Rotationsschreibweise, da ich mit Kurvenintegralen nicht besonders bewandert bin.
    Nochmal herzlichen Dank!

  19. #19 sk
    3. Januar 2014

    Hi, ihre serie finde ich ausser ordentlich interessant! Also immer mehr komme ich auf neue frage! Also wenn es keine raumladung waere, waere das E-Feld nie aendern und div E waere immer null? Egal in welche diemension ist man? Sie sagten die bewgte ladung (der Strom) erzeugt magnetfelder. Also der gleich stom werde ein zeitlich konstantes E-Feld (magnetfeld) erzeugen und der wechsel strom wuerde ein zeitlich veranderliches E-feld (magnetfeld) erzeugen.Aber wenn wir E-Feld reden als beispiel nimmt man immer ein nicht bewegliche Ladung. Wenn es eine nicht bewgliche ladung ein feld erzrugen kann dann eine bewgliche ladung kann auch ein Feld erzeugen, ausserdem diese bewgliche ladung auch dazu faehig zusatzlich ein magetfeld zu erzeugen oder?

  20. #20 MartinB
    3. Januar 2014

    @sk
    Wenn es keine elektrische Ladung gäbe, wäre das E-Feld wie das B-Feld. Wenn sich eins ändetr, ändert sich das andere mit (wie bei der em-Welle); allerdings gäbe es dann keinen Weg- solche Felder überhaupt zu erzeugen.

    Gleichstrom erzeugt ein konstantes Magnetfeld, Wechselstrom ein veränderlichen. Ströme als solche erzeugen keine E-Felder (solange der Draht elektrisch neutral bleibt).

    Also:
    Elektrische Ladungen erzeugen E-Felder (die können sich aber ausbalancieren, wenn gleich viele positive und negative Ladungen da sind).
    Bewegte elektrische ladungen erzeugen B-Felder.

    Ein herumfliegendes Elektron erzeugt also sowohl ein E- als auch ein B-Feld.

  21. #21 Sven
    23. Juni 2017

    Hallo Martin,

    die Texte bleiben weiterhin sehr schön zu lesen!

    Gleich zu Beginn des 4. Teils machst du folgende Aussage: “Da nur Ladungen elektrische Felder erzeugen können, sind die Pfeile weiter weg von der Ladung alle gleich lang. Das kann man wie folgt einsehen: Nehmen wir an, der erste Pfeil wäre 2 Einheiten lang, der nächste nur eine. Dann hätte sich zwischen dem ersten und dem zweiten das Feld um eine Einheit geändert. Das kann aber nicht sein, denn dazu müsste eine Ladung dort sitzen. In einer Dimension ist das Feld einer einzelnen Ladung also konstant.”

    Dass das E-Feld einer einzigen Ladung im gesamten Raum konstant ist, kann doch gar nicht sein, oder?

    Wenn ich meine Formel für das E-Feld betrachte:

    E = 1/(4 ∙ π ∙ ε₀) ∙ Q/r²

    Dann erkenne ich doch, je weiter ich von meiner Ladung Q entfernt bin, desto kleiner ist das E-Feld.
    Oder wie meinst du das?

    Vielen Dank
    LG

  22. #22 Sven
    23. Juni 2017

    Ich hätte noch eine Frage und zwar was meinst du mit “[…] weil die Linien ins Innere zeigen.” ?

    Von welchen Linien sprichst du? Den Kreisbögen? Den Verbindungslinien zwischen den Kreisbögen oder von den Vektoren des Feldes?
    Und vor allem: Von was für einem Inneren sprichst du?

    Ich erkenne nämlich im 6. Bild partout keine Linien die irgendwie in das Innere von etwas laufen könnten.

    Nochmals vielen Dank!
    Gruss

  23. #23 MartinB
    23. Juni 2017

    “Dass das E-Feld einer einzigen Ladung im gesamten Raum konstant ist, kann doch gar nicht sein, oder?”
    Doch. Abewr nur, wenn – wie in dem Beispiel – der Raum eindimensional wäre.

    “Von welchen Linien sprichst du? Den Kreisbögen? Den Verbindungslinien zwischen den Kreisbögen oder von den Vektoren des Feldes?
    Und vor allem: Von was für einem Inneren sprichst du?”
    Gemeint ist das Innere des gebiets, das von den beiden kreisbögen und den geraden Kanten eingegrenzt wird, in das zeigen die Linien am kleineren Kreisbogen hinein.

  24. #24 Sven
    23. Juni 2017

    Danke für die schnelle Antwort.

    Frage 2 ist für mich nun klar.

    Warum kann nur im eindimensionalen das E-Feld im gesamten Raum konstant sein?

  25. #25 MartinB
    23. Juni 2017

    In 1D ist das Feld einer Punktladung konstant. In 3D ist das Feld einer (unendlichen) Flächenladung konstant, weil die Feldlinien nicht auseinanderlaufen. Es gibt also auch in 3D ein konstantes E-Feld, zum Beispiel in nem Plattenkondensator.

  26. #26 Sven
    23. Juni 2017

    Hm, für den Plattenkondensator (PK) macht das für mich absolut Sinn, weil bei einem unendlichen großen PK die Ladungen im Innern immer den selben Abstand und den gleichen Betrag haben. Aber beim PK wird ja auch nicht von einer einzigen Punktladung ausgegangen.

    Wenn ich aber eine einzige Punktladung in 1D betrachte, die z.B. im Nullpunkt der x-Achse liegt, dann kann doch der Einfluss des E-Feldes nicht überall auf der x-Achse, egal wie weit weg ich mich von der Punktladung befinde, identisch sein.

    Eigentlich ist es doch egal in welcher Dimension wir uns befinden: Das E-Feld einer Punktladung strebt in unendlich weiter Entfernung von der einzeln betrachteten Punktladung immer gegen Null, egal ob im 1D- oder im 3D-Raum?

    Wo ist mein Denkfehler?

  27. #27 MartinB
    23. Juni 2017

    @Sven
    In einer Dimension können die feldlinien nicht auseinanderlaufen (wohin auch), also kann das Feld auch nicht abnehmen. Sieh es als einen dünnen Scnitt durch den 3D-Plattenkondensator.

  28. #28 Sven
    23. Juni 2017

    Ich verstehe. In 2D kann sich die Feldstärke bei doppelter Entfernung halbieren, weil der der Kreisbogen doppelt so lang wird und in 3D kann sie sich vierteln, weil die Fläche bei doppeltem Abstand 4 mal so groß ist.

    In 1D habe ich sowohl im Abstand r, als auch im Abstand n∙r, die Feldstärke x, weil es da einfach nicht sowas wie eine Linie im 2D oder eine Fläche im 3D gibt, was sich verändern könnte, damit mehr Platz für mehr Feldvektoren entstehen könnte, auf die sich Feldstärke verteilen müsste, sprich, dass es einfach keine Möglichkeit für die Feldlinien gibt, auseinanderzulaufen.

    Kann ich das so verstehen?

  29. #29 MartinB
    23. Juni 2017

    So isses