Im letzten Teil haben wir gesehen, dass es keine magnetischen Ladungen gibt. Nach allem, was wir bisher wissen, können magnetische Felder also nur durch elektrische Felder entstehen. Wie wir gleich sehen werden, kann das aber so nicht stimmen. Magnetische Felder entstehen auch, wenn Ladungen sich bewegen.

Um zu sehen, dass unsere Maxwellgleichungen noch eine kleine Lücke enthalten, schauen wir nochmal auf die zweite Maxwellgleichung


rot B =(1/c2) dE/dt

Wir machen jetzt ein – leicht kompliziertes – Gedankenexperiment, das uns zeigen soll, dass in dieser Gleichung etwas fehlt. Ich zeichne den Aufbau erst einmal hin, dann erkläre ich ihn.

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Wir haben links und rechts einen Draht, die beide an einer Metallplatte enden. Über den Draht führen wir elektrische Ladungen zu oder ab, so dass sich die Metallplatten aufladen. (Das ist mehr oder weniger die Definition eines Metalls: Ein Stoff, den man mühelos elektrisch laden kann.) Auf der linken Metallplatte sammeln sich positive Ladungen, auf der rechten negative. (Eigentlich sammeln sich links keine positiven Ladungen, sondern negative, nämlich Elektronen, fließen ab. Aber über Elektronen wusste Maxwell noch nichts.)
Da sich die beiden Metallplatten aufladen, entsteht zwischen ihnen ein elektrisches Feld. Außerhalb der beiden Metallplatten (also ganz links und ganz rechts) ist das elektrische Feld sehr klein, weil sich die beiden Felder der Metallplatten fast aufheben.

Das kann man relativ einfach zeigen, wenn man sich unendlich große Platten vorstellt: Das elektrische Feld einer unendlich großen geladenen Platte fällt nicht ab, sondern ist in jedem Abstand gleich. Das wiederum sieht man graphisch genauso, wie wir im letzten Teil das Feld einer Ladung in einer Dimension hergeleitet haben. Bei zwei unendlich großen Platten mit entgegengesetzter Ladung heben sich die beiden Felder außerhalb genau auf, innerhalb verstärken sie sich. Wer’s nicht glaubt, kann es mit den Mitteln aus Teil 4 selbst nachprüfen.

Wir betrachten jetzt eine Schleife direkt rechts von der linken Platte. Im Innern dieser Schleife ändert sich das elektrische Feld, wenn wir die Platten aufladen. Nach unserer Maxwellgleichung oben ist also rotB ungleich Null, es muss also ein Magnetfeld da sein.
Betrachten wir eine zweite Schleife ein Stückchen links von der Platte, so ist in dieser das elektrische Feld Null (weil sich die Felder der beiden Platten gerade aufheben), also ist auch rotB Null. Das Magnetfeld macht also direkt an der Platte einen Sprung. Das wäre ja o.k., wenn dort magnetische Ladungen säßen, aber da es die nicht gibt ist das seltsam. Nach unseren bisherigen Maxwellgleichungen “sieht” das Magnetfeld von den elektrischen Ladungen ja nichts. Dieser “Sprung” würde zu einer Komponente der Rotation in der Ebene der Platte führen (ganz ähnlich zu der Konstruktion aus Teil 3), es würde also ein elektrisches Feld entstehen, das am Ort des Sprunges extrem (um Idealfall unendlich) groß wird. Irgendetwas stimmt hier also nicht.

Das einzige, was die linke Schleife sonst noch von der rechten unterscheidet, ist der Strom durch die Platte. Wenn dieser auch für eine Rotation des Magnetfelds sorgt, dann ist das Magnetfeld links und rechts der Platte gleich und wir haben keinen Sprung.
Wir ändern also kühn unsere Maxwellgleichung wie folgt ab:


rot B =(1/c2) dE/dt + j /(c2 ε0)

Dabei ist j der Strom durch die Schleife, mit der wir die Rotation messen (genauer gesagt ist es die Stromdichte, weil die Schleife ja unendlich kleingeschrumpft werden muss, aber das ist wieder was für die Mathematenfraktion.). Und ich habe noch zwei Konstanten eingebaut, die wir schon kennen, nämlich die Lichtgeschwindigkeit und die Dielektrizitätskonstante des Vakuums aus dem letzten Teil. (Manchmal steht hier auch eine neue Konstante μ0, das ist dasselbe.)

Der Strom ist dabei nichts als die Anzahl der Ladungen, die pro Zeit durch die Schleife in eine Richtung fließen – negative Ladungen zählen natürlich negativ, und man muss die Richtung, in der sich die Ladungen bewegen, berücksichtigen: Eine positive Ladung, die nach rechts fließt, hat den gleichen Strom wie eine negative Ladung, die nach links fließt. Der Strom selbst ist ein Vektor (fettgedruckt) weil er in eine beliebige Richtung fließen kann – für die Rotation betrachtet man jeweils die Komponente durch jede der drei Schleifen.

Damit erzeugen jetzt auch elektrische Ströme Magnetfelder. Historisch ging Maxwell übrigens genau umgekehrt vor wie ich hier: man kannte den Zusammenhang zwischen rotB und j schon lange, und mit fast genau demselben Argument wie hier schloss Maxwell, dass dann auch dE/dt einen Beitrag zum Magnetfeld leisten muss.

Betrachten wir einen stromführenden Draht, so erzeugt dieser also ein Magnetfeld. Wenn der Draht senkrecht aus der Zeichenebene herausragt, dann sieht das so aus:

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In der Mitte ist der Draht mit Strom j (der uns genau entgegen fließt), außen herum liegt das Magnetfeld. (Auch hier gilt wieder eine Korkenzieherregel: Strom fließt immer von Plus nach Minus, wenn man die Weinflasche in diese Richtung hält, dann sieht man beim Reindrehen des Korkenziehers den Drehsinn des Magnetfelds.)
An diesem Bild sieht man übrigens auch endlich, warum die “Rotation” eigentlich so heißt – hier scheint das Feld wirklich um den Draht herumzurotieren.

Fließt kein Strom durch die Schleife, dann ist die Rotation des Feldes Null. Genau wie im letzten Teil für das elektrische Feld können wir damit herausbekommen, wie das Magnetfeld nach Außen abfällt:
Wir zeichnen wieder eine Schleife, die von zwei Kreisbögen begrenzt ist:

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Auf dem linken Teil der Schleife hat das Feld einen Wert von B1, den wir über eine Länge l der Schleife nehmen müssen. Da Feld und Schleife entgegengesetzt zeigen, zählt dieser Beitrag zur Rotation negativ. Weiter Außen zeigt das Feld B2 in Richtung der Schleife, der Beitrag ist also positiv. Hier ist die Strecke doppelt so lang.
Wir haben also wieder fast dieselbe Rechnung wie beim letzten Mal: Draußen ist die Strecke doppelt so lang, also muss das Feld auf die Hälfte abfallen, damit die Rotation in der Schleife verschwindet (die beiden geraden Stücke tragen nichts bei, weil hier das Feld senkrecht draufsteht.):
– l*B1+ 2*l *B2 =0, also
B2/B1 = 1/2
Wieder fällt das Feld nach Außen wie 1/r ab.
Beim elektrischen Feld war dies allerdings der Fall in zwei Dimensionen – in drei Dimensionen fällt das Feld ja wie 1/r2.

Hier gilt der Abfall mit 1/r allerdings schon in drei Dimensionen – das liegt daran, dass der Draht eben kein Punkt ist, sondern selbst ausgedehnt. In jeder Ebene senkrecht zum Draht haben wir dasselbe Bild, deswegen durfte ich zweidimensional zeichnen.

Stromdurchführte Drähte erzeugen also magnetische Felder. Das ist auch das Geheimnis von Elektromagneten: in ihnen fließt Strom durch einen Draht und so entsteht das Feld.
Meist biegt man dazu den Draht zu einer Schleife und stapelt dann mehrere davon übereinander. Das Ergebnis sieht so aus:

i-5ade8214399a660719fc994aec17f929-Spule-thumb-540x458.jpg

Dieses Gebilde nennt man eine Spule. In der Praxis legt man natürlich nicht einzelne Drahtschleifen übereinander, sondern wickelt sie alle zu einer Spule auf. Die Felder außen heben sich dann zunächst auf, die Felder innen addieren sich, so dass ein starkes Magnetfeld in einer Richtung im Inneren liegt. Das Feld schließt sich dann Außen wieder, da ja seine Divergenz verschwindet (es gibt keine magnetischen Ladungen, das haben wir ja gesehen.)

Das Bild oben stammt übrigens von hier, wo man auch sehr schön sehen kann, wie man mit Magneten und Drähten Elektromotoren (für Modelleisenbahnen) bauen kann.

Unsere Maxwellgleichungen sind damit vollständig. Hier sind sie noch einmal in voller Schönheit:


rot E =- dB/dt

rot B =(1/c2) dE/dt + j /(c2 ε0)
div E = ρ/ε0
div B=0

Diese vier Gleichungen beschreiben das Verhalten elektromagnetischer Felder. Sie sagen, wie die Felder zusammenhängen. Das einzige, was uns noch fehlt, ist die Frage, welche Kräfte die Felder auf elektrische Ladungen ausüben. Das tun wir im nächsten Teil, dann haben wir die gesamte klassische Elektrodynamik “im Prinzip” verstanden. (Es gibt so ein paar triviale Sache, die man daraus ableiten kann, wie Optik oder so, aber das sind ja bloß Anwendungen.)

Eins ist hierbei – eher philosophisch – wichtig zu bemerken: Die Gleichungen erklären ihre Bestandteile nicht. Sie sagen nicht, warum die Rotation und die Ableitung von E und B zusammenhängen. Dazu schreibe ich demnächst gesondert etwas mehr.


Hier ein Überblick über die ganze Serie:

Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 1. Felder
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 2. Im Vakuum
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 3. Wir bauen eine Welle
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 4. Voll geladen
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 5. Unter Strom
Die Maxwellgleichungen (fast) ohne Formeln: 6. Spieglein, Spieglein

Kommentare (12)

  1. #1 kommentarabo
    30. August 2010

  2. #2 Jürgen Bolt
    30. August 2010

    Super, diese Blogreihe. Damit habe ich mich seit meinem Physik-LK vor 30 Jahren nicht mehr beschäftigt. Und es macht wieder Spaß. Danke, Martin!

  3. #3 Jürgen Bolt
    30. August 2010

    Super, diese Blogreihe. Damit habe ich mich seit meinem Physik-LK vor 30 Jahren nicht mehr beschäftigt. Und es macht wieder Spaß. Danke, Martin!

  4. #4 Bjoern
    30. August 2010

    Hey, hübsche Idee, es genau andersrum wie Maxwell damals zu machen (als er den Verschiebungsstrom herleitete)! 🙂

    Was mir beim Thema Magnetismus hier ein bisschen fehlt, sind Elementarteilchen mit eigenen magnetischen Momenten (Elektron!). Wäre nett, wenn du kurz was dazu sagen könntest, wie man die hier einbaut… (geht meines Wissens eigentlich nur, wenn man das “böse” H-Feld verwendet statt dem B-Feld… 😉 )

    Insgesamt muss ich aber echt sagen: sehr hübsche Serie!

    Was mich als theoretischen Physiker stört, sind nur:
    * Verwendung des SI-Systems – im Gauß-System sehen die Gleichungen doch viel hübscher symmetrischer aus. 😉 (o.k., dafür ist die Gleichung für rot E im SI-System halt einfacher – didaktisch gesehen wohl sinnvoller)
    * Theoretiker schreiben die Gleichungen lieber leicht anders: alle Felder nach links, rechts gehören nur die Quellen hin! (also z. B, rot E + dB/dt = 0) Macht sowohl die Umschreibung in Gleichungen für die Potentiale einfacher als auch die Formulierung mit dem Feldstärke-Tensor… (aber auch hier: didaktisch sinnvoller ist wahrscheinlich deine Schreibweise, weil man damit eher Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge sieht wie z. B. ein zeitlich veränderliches B-Feld “erzeugt” ein E-Feld).
    * Noch hübscher werden die Gleichungen natürlich in der relativistischen Schreibweise mit dem Feldstärke-Tensor… vor allem sieht man da dann erst richtig, dass ein E- und ein B-Feld halt eigentlich praktisch dasselbe sind, nur unterschiedliche Betrachtungsweisen derselben Sache. Wäre hübsch, wenn du darauf vielleicht irgendwann in einem späteren Teil mal eingehen könntest…

    ‘tschuldigung, hatte eigentlich nicht beabsichtigt, soviel zu schreiben, das wie Kritik aussieht… wie gesagt, ich verstehe, dass deine Methode didaktisch sicher sinnvoller ist – und insgesamt gefällt mir die Reihe echt gut!

  5. #5 Jürgen Bolt
    30. August 2010

    Super, diese Blogreihe. Damit habe ich mich seit meinem Physik-LK vor 30 Jahren nicht mehr beschäftigt. Und es macht wieder Spaß. Danke, Martin!

  6. #6 MartinB
    30. August 2010

    @Bjoern
    Danke für das Lob.
    Also, ich bin ja auch theoretischer Physiker, von daher…
    “dafür ist die Gleichung für rot E im SI-System halt einfacher”
    Bingo, das war der Grund.
    “alle Felder nach links, rechts gehören nur die Quellen hin”
    Ja, das wollte ich nicht weil ich im Vakuum anfangen wollte. Und dann ist rotE=-dB/dt wesentlich verständlicher.
    “Noch hübscher werden die Gleichungen natürlich in der relativistischen Schreibweise”
    Na klar, und noch hübscher sind sie mit Differentialformen
    dF=0
    d*F=*J
    Aber das anschaulich zu machen, ist tüftelig – hab ich vor Ewigkeiten mal nen Zettel zu gehabt, den muss ich nur wiederfinden.
    Und Potentiale könnte man auch noch erklären, und 1000 andere Sachen, und dann nenne ich den Blog “Maxwell’s Blog”…
    Heute oder morgen schreib ich hoffentlich Teil 6 (sobald ich die blöde Phasenverschiebung bei der Reflexion richtig hingebogen habe, die wollte ich gern als beispiel nehmen, bin aber immer um 90Grad daneben. Entweder ich krieg das noch hin oder ich muss was anderes nehmen…) Aber dann mach ich vermutlich erstmal Pause – gibt ja noch ne Menge andere interessante Themen, schade, dass man nebenbei noch arbeiten muss…

    @Jürgen Bolt
    Das freut mich besonders, dass auch ein nicht-Physik-Studierter hier bis Teil 5 mitgekommen ist. Danke.

  7. #7 rolak
    30. August 2010

    Maxwells Blog? Dann doch besser -analog zum Nürnberger Trichter- Maxwell’s Silver Hammer. To hammer the cranks 😉

  8. #8 definition
    31. August 2010

    “Na klar, und noch hübscher sind sie mit Differentialformen”
    Also ich finde am aller hübschesten sind sie mit Differentialformen und der Definition der Koableitung delta:
    delta (p-Form)=(-1)^(4p+4+1) *d* (p-Form)
    Dabei sind d die cartanische Ableitung, * ist die duale Ergänzung hodge, p ist die Stufe des antisymmetrischen Tensors, 4 ist die Anzahl der Dimensionen
    und 1 ist die Anzahl der negativen Elemente im metrischen Tensor (oder 3, Hauptsache ungerade für Minkowski-Räume und gerade für euklidische Räume).
    Dann kann man den einen Stern in der inhomogenen Maxwellgleichung noch auf die andere Seite werfen und die Gleichungen werden zu:

    dF=0
    delta F=-J

    Mit dem üblichen: dem Faraday-Tensor F, einer antisymmetrischen Matrix mit den Komponenten vom E- und B-Feld und der Viererstromdichte J, einem Vektor/Differenzialform mit den Komponenten der Stromdichte als räumliche Komponenten und der Ladungsdichte als Zeitkomponente.

    Ganz besonders toll finde ich dann die Herleitungen der wichtigsten Formeln mit ganz wenigen Rechenoperationen. Da die zweite cartanische Ableitung null ist (was quasi die Verallgemeinerung ist von rot(grad)=0 und div(rot)=0 oder über den verallgemeinerten Stoke’schen Integralsatz (Austauschbarkeit von Randoperator und cartanischer Ableitung) auch äquivalent ist zur der Bianchi-Identität, dass der Rand von dem Rand einer Menge stets null ist.), folgt sofort die Potenzialgleichung mit dem Potenzial A:

    F=dA

    Und außerdem folgt sofort die Eichgleichung für ein neues Potenzial A’:

    A’=A+df

    Dabei ist f ein beliebiges Skalarfeld. Und für Skalarfelder vereinfacht sich die cartanische Ableitung natürlich zur vollständigen/totalen Ableitung.
    Aus der Definition von delta, dem Verschwinden der zweiten cartanischen Ableitung und der Tatsache, dass * zu sich selbst invers ist, bis auf eventuell ein kompliziert berechnetes Vorzeichen, folgt auch sofort, dass die zweite Koableitung null wird. Die Anwendung von delta auf die inhomogene Maxwellgleichung liefert dann:

    0=delta J

    Die Koableitung ist für Vektorfelder gleich der Divergenz, bis auf eventuell ein Vorzeichen. Die Vierer-Divergenz der Vierer-Stromdichte verschwindet und das ist gerade die Kontinuitätsgleichung. Eine andere Formulierung der Ladungserhaltung.

    Aber die Beste Herleitung kommt jetzt. Man bilde die Ableitungen der beiden Maxwellgleichungen so, dass sie nicht trivialerweise verschwinden und addiere sie. Man erhält:

    (d delta+delta d)F=-dJ

    Da (d delta + delta d) gerade der Laplaceoperator für alle antisymmetrischen Tensoren ist (für Skalarfelder verschwindet der linke Summand, weil delta die Stufe eines Tensors immer um eines verringert und für Skalarfelder geht das nicht mehr) und der Laplaceoperator im vierdimensionalen Minkowski-Raum ja gerade der d’Alembert-Operator ist, sind (d delta+delta d)F=-dJ gerade die Elektromagnetischen Wellen.

    Also wenn man die Maxwellgleichungen bisher noch nicht schön fand, dann doch spätestens jetzt.

    (PS: Ich finde es schade, dass die Koableitung im Misner-Thorne-&-Wheeler nicht verwendet wird (da haben die auch nur d*F=*J zu stehen), aber wir hatten Vektoranalysis sehr ausführlich Ende zweites, Anfang drittes Semester und bis auf die letzten beiden Gleichungen hatten wir alle Definitionen, Identitäten und Herleitungen, die man dafür braucht.)

  9. #9 timon
    nürnberg
    19. September 2013

    Toller blog ! Mich würde interessieren, wie das Zusammenspiel der Maxwellgleichungen urächlich zu erklären ist. Du hattest ja noch einen separaten Artikel dazu in Aussicht gestellt. Oder gibt es den schon ?

    “Dazu schreibe ich demnächst gesondert etwas mehr”

    Gruß,
    Timon

  10. #10 Christian
    5. Juni 2014

    Hallo Martin,

    ich habe eine Frage:

    Ist die Rotation des Magnetfeldes, welches von dem stromführenden Leiter erzeugt wird, konstant (Vorausgesetzt gleichmäßige Zunahmen, wie bei dem “Im Vakuum” Feld wo wir eine Schleife reingelegt haben) und negativ?

    Sagt der Wert der Rotation etwas über die Stromrichtung aus, also ob der Strom uns genau entgegen fließt oder in den Bildschirm rein? Muss man dabei nach der technischen Stromrichtung+- gehen oder der physikalischen -+?

    Danke für die Hilfe.

    Hintergrund ist folgender: Wenn die Rotation des Magnetfeldes vom stromführenden Leiter oben negativ ist – also in den Bildschirm rein zeigt – der Strom uns aber entgegen zeigt positiv ist, dann passt das bei mir im Kopf nicht so toll zusammen wie bei E-Felder und B-Felder von “Wir bauen eine Welle”.

    Bitte um Hilfe habe im Internet dazu nichts finden können.

  11. #11 MartinB
    5. Juni 2014

    @Christian
    Es gilt zunächst mal die Korkenzieher-regel oder die Rechte-hand-regel: daumen in Richtung des Stroms (der von + nach – fließt, hier gilt die technische Stromrichtung), dann zeigen die Finger der rechten Hand in Richtung des Magnetfelds.
    Es gilt rot B ist proportional zu I, wenn I der Strom ist.
    Ob das Vorzeichen der Rotation jetzt positiv oder negativ ist, hängt davon ab, wie dein koordinatensystem relativ zu I liegt. Fließt der Strom zum Beispiel in die +z-Richtung (nach “oben”), dann ist die Rotation positiv, fließt er nach unten (-z), dann ist die Rotation negativ. (Wenn ich von hinten durch eine durchsichtige Uhr gucke, dreht sich der Uhrzeiger auch gegen den Uhrzeigersinn…)
    Siehe auch z.B. hier (etwas mathematisch, aber vielleicht genau das, was du wissen willst?)
    http://www.uni-kassel.de/fb10/fileadmin/datas/fb10/physik/oberflaechenphysik/exp2/Lehre/ExpPhysII/Magnetfelder.pdf
    Hoffe das hilft.

  12. #12 Christian
    6. Juni 2014

    Danke für den schnellen Hinweis. Ich hab’s, ich dachte einfach die Rotation wäre negativ, sie ist ja aber positiv.. Habe mir eine Paddeltechnik zusammengereimt und diese hatte noch eine Lücke – jetzt passt es.

    Und auch nochmal danke für den klasse Blog.