Wieviele Ameisen gibt es auf der Welt? Wieviele Grashalme in Deutschland? Wieviele Sandkörner auf der Erde? Fragen dieser Art sind Fermi-Probleme, Probleme, bei denen es sehr schwer ist, eine Antwort wirklich zu ermitteln, bei denen man aber durch geschicktes Abschätzen eine ungefähre Antwort herausbekommen kann.

Fermi-Probleme begegnen einem gar nicht so selten (na gut, man muss schon ein bisschen hingucken, um sie zu entdecken): Letzte Woche war ich auf einer Konferenz, und beim üblichen Smalltalk erzählte jemand von einem Freund, der eine 2-Terabyte-Festplatte voll Musik hätte – “mehr, als man im Leben je hören könnte”. Mit am Tisch saß noch ein anderer theoretischer Physiker und wir beide bekamen leuchtende Augen: Stimmt das? Wieviel Musik passt auf so eine Platte? Sekunden später waren wir dabei, Zahlen zu jonglieren, unter den leicht verwunderten Blicken der anderen.

Das Schöne an Fermi-Problemen ist, dass man trotz der großen Zahlen, um die es oft geht, nur wenig Mathematik braucht, um sie zu lösen. Man braucht natürlich ein paar Zahlen, mit denen man anfangen kann. Einer am Tisch wusste, dass etwa 300 Lieder auf einen 1Gigabyte-Speicher passen. Damit kommt man auf 600000 (sechshunderttausend) Lieder auf einer 2Terabyte-Festplatte. Wenn jedes davon 3 Minuten braucht, dann sind so etwa zwei Millionen Minuten. Wie lang sind 2 Millionen Minuten?

Das kann man natürlich ausrechnen (machen wir gleich), aber zum Glück wusste ich auswendig (ja, ich geb’s zu, was Zahlen angeht, bin ich etwas seltsam…), dass das Jahr etwa 30Millionen Sekunden hat. Mit 60 Sekunden in einer Minute hat ein Jahr 500000 Sekunden Minuten (danke, verquer), also sind 2Millionen Minuten etwa vier Jahre, die man non-stop Musik hören könnte. Hört man nur 8 Stunden am Tag (als Hintergrundmusik), dann hat man Musik für 12 Jahre.

Wozu so etwas gut ist? Solche Abschätzungen sind immer nützlich, wenn man sich schnell ein Bild verschaffen will, ob eine komplizierte Überlegung korrekt sein kann oder wenn man gar kein Gefühl hat. Ludmilla hatte neulich eine ähnliche Abschätzung im Zusammenhang mit Planetentransits.

Ich selbst habe neulich vor einem neuen Hochleistungslaser gestanden und wir haben uns gefragt, wie lange der Laser brauchen würde, um die Gehäusewand durchzubrennen, wenn er falsch ausgerichtet würde – eine schnelle Abschätzung (bei der wir die Wärmeleitung in der Wand und Reflexionen vernachlässigt haben) ergab einen Wert von mindestens zwei Sekunden, eine genaue Berechnung nach einer komplizierteren Formel ergab etwa 14 Sekunden – die Größenordnung hat also etwa gepasst.

Wer selbst Abschätzungen dieser Art versuchen will, stößt schnell auf das Problem, dass die Zahlen sehr groß werden. (Wieviele Nullen hat z.B. eine Quadrilliarde?) Deshalb ist es sinnvoll, sich eines Rechentricks zu bedienen, nämlich der Exponentialschreibweise. Zwei Millionen beispielsweise ist eine zwei mit 6 Nullen, man schreibt sie als 2*106 (gesprochen “zwei mal zehn hoch sechs”) oder vereinfacht als 2E6. (So machen es auch viele Taschenrechner.)
Die “2” nennt man oft den “Vorfaktor” (vornehme Leute sagen “Mantisse”), die “6” ist der “Exponent”.
Multipliziert man zwei Zahlen in Exponentialschreibweise, muss man die Mantissen multiplizieren, die Exponenten addieren. Beispielsweise ist 200*3000=600000:
2E2 * 3E3 = (2*3)E(2+3) = 6E5.
Das klappt dann auch super für beliebig große Zahlen: Wenn jeder Mensch einhunderttausend Haare auf dem Kopf hat, wieviele Haare gibt es dann auf der Welt?
Sieben Milliarden Menschen sind 7E9, also
7E9*1E5 = 7E14, also siebenhundert Billionen Haare.
Falls der Vorfaktor größer wird als zehn, verändert man den Exponenten entsprechend:
40*40=1600
4E1 * 4E1 = 16E2 = 1,6E3 (Dank an Frank für den Hinweis auf einen Rechenfehler)
Das Dezimalkomma (oft nimmt man auch einen Dezimalpunkt) sagt, wo die Nullen anfangen müssen, 1,6E2 ist also 1,6 mit zwei Nullen, die hinter der 1 anfangen, da dann noch ne 6 kommt, hänge ich an die nur eine Null an.

Will man zwei Zahlen in Exponentialscheribweise dividieren, so dividiert man die Vorfaktoren und subtrahiert die Exponenten:
6E5 / 3E3 = (6/3) E(5-3) = 2E2.
Eventuell muss man auch dabei den Exponenten anpassen, wenn die Zahl vor dem Komma nicht passt:
200/50 = 4
2E2/5E1 = 0.4E1 = 4E0
4E0 ist eine 4 mit Null Nullen, also eine 4.

Das ist schon alles, was man braucht, um Fermiprobleme zu lösen – letztlich nichts als ein bisschen Addition und Multiplikation für die Vorfaktoren und die Addition von Zahlen.

Jetzt noch wie versprochen die Berechnung, wie lange 2Millionen Minuten sind:
2E6 Minuten sind 2E6/60 Stunden.
200/60 sind etwa 3.3 (3*6 sind 18, also sind 3,3*6=18+1,8=19,8), also
2E6/60= 200E4 /60 = 3,3E4 Stunden. Die durch 24 geteilt:
330/24 sind etwa 14 (240+ 96 = 336), also haben wir
1,4E3 Tage, das sind 1400 Tage. Ein Jahr hat 365 Tage, zwei also 730, 4 also 1460, also sind zwei Millionen Minuten etwa 4 Jahre.

Wem das noch zuviel Gerechne ist (330/24 im Kopf???), der schätzt geschickt so ab:
200/60 sind etwa 3 (und ich merke mir, dass mein Wert etwas zu niedrig ist),
also landen wir bei 3E4 Stunden. Die müssen wir durch 24 teilen – da ich oben aber zu klein mit der Zahl war, teile ich hier nur durch 20 statt 24, das sollte den Fehler kompensieren. Das ergibt 1500 Tage und kann ohne Mühe im Kopf erledigt werden.

Alles, was man jetzt noch braucht, ist ein bisschen Übung, und man kann in Windeseile damit angeben, Zahlen aus dem Hut zu zaubern (oder mitleidig-verwirrte Blicke ernten).

Also: Wieviele Ameisen gibt es? Wieviele Sandkörner oder Grashalme?
Viel Spaß beim Schätzen!

Kommentare (28)

  1. #1 Florian Freistetter
    11. September 2010

    In meinem Übungskurs zur Einführung in die Astronomie gab es immer die schöne Frage: Gibt es mehr Mücken auf der Erde oder Sterne in der Milchstrasse? Besonders die Abschätzung der Anzahl der Mücken hat da immer schöne Lösungswege geliefert 😉

    Hmm – ich hab mein Fermiproblem von damals immer noch nicht gelöst. Muss ich mich jetzt wohl doch mal dransetzen )

  2. #2 SingSing
    11. September 2010

    Neulich hab ich irgendwo gelesen, dass die Biomasse von Ameisen das 4-fache (oder war es das Vierzigfache?) der menschlichen Biomasse beträgt. Okay, wieviel wiegt eine Ameise? Ich sag mal 1 Gramm, große Blattschneider mehr, kleine Waldameisen weniger. Mensch wiegt durchschn. 70 kg, dann wiegen 7E5 Ameisen soviel wie ein Mensch. Gibt 6,8 Milliarden Menschen, also 7E5*6.8E9 = 47.6E14, mal 4 = 200.400.000.000.000.000 Ameisen, bzw. evtl. das Zehnfache.

    Lese-Tip: Sand Kings, von George Martin. Ausgezeichnete Verfilmung (als Teil der TV-Reihe Outer Limits) mit Beau Bridges in der Hauptrolle. Wissenschaftler sind CRAZY :))))

  3. #3 SingSing
    11. September 2010

    Hmm, Fäler, statt 7E5 müsste es 7E4 heißen 🙁

  4. #4 MartinB
    11. September 2010

    @SingSing
    Ich halte 1g für eine Ameise für wesentlich zu hoch gegriffen. Wenn eine Ameise eine Dichte wie Wasser hat, dann ist 1g ein Kubikzentimeter. Ich würde eher so 50mg schätzen. Im “AmeisenWiki” steht sogar nur 5mg.

  5. #5 BreitSide
    11. September 2010

    Sehr schöner Artikel!

    Vor allem dieser Trick (oh, Tricks sind ja doch pöhse, kommt jetzt ein Mathegate oder Fermigate?), durch 20 zu teilen statt durch 24, sich das zu merken und dann später was draufzuschlagen, ist sehr hilfreich.

    Ich helf mich dann gerne, indem ich vom Ergebnis 20 % abziehe, wenn es keine weitere Ausgleichsmglichkeit gibt.

  6. #6 Florian Freistetter
    11. September 2010

    @Martin: “Das kann man natürlich ausrechnen (machen wir gleich), aber zum Glück wusste ich auswendig (ja, ich geb’s zu, was Zahlen angeht, bin ich etwas seltsam…), dass das Jahr etwa 30Millionen Sekunden hat.”

    Noch leichter zu merken ist: ein Jahr hat etwa Pi*10^7 Sekunden 😉

  7. #7 MartinB
    11. September 2010

    @Florian
    Das ist ja als Eselsbrücke genial!

    @BreitSide
    Klar, so macht man das – meine Studis staunen aber auch immer, wenn ich irgendwelche Sachen in der Übung nicht mit nem Taschenrechner ausrechne, sondern so abschätze.

  8. #8 Frank
    12. September 2010

    “40*40=160
    4E1 * 4E1 = 16E1 = 1,6E2”

    richtig: 40*40=1600
    4E1 * 4E1 = 16E2 = 1,6E3

  9. #9 Frank
    12. September 2010

    Erstmal, Ihre Beiträge gefallen mir meistens sehr gut.
    Übrigens, Kopfrechnen wurde damals bei uns in der Schule richtig geübt. Mathe-Lehrer: 14×12? Der Schnellste kriegt ein Plus.
    Wie ist das eigentlich heute? Mir kommt manchmal vor, die Leute verlassen sich zu sehr auf ihre technischen Hilfsmittel oder täusche ich mich?
    Mah, ich kann mich erinnern, da gab es auch diese Zapfenrechnungen. Was für ein Spaß. 😉

  10. #10 KielerJunge
    12. September 2010

    Was auch hilfreich ist: Binomische Formeln.

    87 *113 ist schwierig, 100^2 – 13^2 ist deutlich einfacher…..

    btw: Für Pi gilt: 22/7 oder sqr10 passt auch……

  11. #11 MartinB
    12. September 2010

    @Frank
    40*40=160?
    Weia. Danke für den Hinweis, hab’s korrigiert.
    Zumindest in der Grundschule wird sehr viel gerechnet, auch im Kopf, ist jedenfalls bei meiner Tochter so.
    Aber stimmt schon, im Studium verlässt man sich zum Teil soweit auf den Tippo, dass selbst krasseste Fehler nicht bemerkt werden.
    Was sind denn Zapfenrechnungen? Hab ich noch nie gehört.

    @KielerJunge
    pi=sqrt(10) find ich auch immer sehr hilfreich, auch 10/3=pi kann man zur Not mal nähern…

  12. #12 verquer
    12. September 2010

    dass das Jahr etwa 30Millionen Sekunden hat. Mit 60 Sekunden in einer Minute hat ein Jahr 500000 Sekunden,

    Ich bin mir recht sicher, dass das letzte Wort “Minuten” sein müsste.

  13. #13 rolak
    12. September 2010

    Das siehst Du wohl recht richtig, verquer, Nachrechnen dürfte diese Erkenntnis hinreichend genau bestätigen 😉

    Auch wenn es im oben angeführten Beispiel nicht {direkt} von Vorteil ist: Sec/Y merke ich mir mit dem erstaunlich genauen πE7 (oder in Worten pi mal zehn hoch sieben, nicht ‘mal Daumen’ 😉 und runde dann, falls nötig, passend zum aktuellen Problemchen auf oder ab.

    Obgleich in der Grundschule das 1×1 gepaukt wurde und jedwege arbeitssparende Abkürzung mir faulem Sack eigentlich entgegenkommen müßte, bin ich (im Nachhinein erstaunlicherweise) erst im Zuge des Physikstudiums auf den Geschmack gekommen, bei den Rechentechniken, die den Mathematikern eine gewisse Leichenblässe ins Gesicht trieben. Naja, zumindest bis sie dann, teils völlig verblüfft nachgeprüft hatten, das just in diesem speziellen Falle…
    Sowas z.B. finde ich durchaus amüsant. In den Grundlagen durchaus dauerangewendet, aber die Feinheiten 🙂

  14. #14 MartinB
    12. September 2010

    @verquer
    Upps, danke.

  15. #15 Redfox
    12. September 2010

    Ich hätte das mit den MP3s anders abgeschätzt, komme aber auf ein ähnliches Ergebnis. Mein Rechenweg:

    MP3s sollten etwa 160 Kb/s zu Verfügung haben um effizient komprimiert sein:

    Die meisten Menschen können jedoch ab einer Bitrate von etwa 160 kBit/s und bei Nutzung eines ausgereiften Enkodierers auch bei konzentriertem Zuhören das kodierte Material nicht mehr vom Ausgangsmaterial unterscheiden.
    Quelle: Wikipedia

    Gehen wir im weiteren mal davon aus das das bei allen mp3s auf der 2 TB Platte der Fall ist.

    2 Terabyte sind 17.179.869.184 Kilobit.

    Komplett mit 160 Kb/s MP3s gefüllt sind das dann
    17.179.869.184 / 160 = 107.374.182 Sekunden Musik.

    Wenn wir das durch 30 Millionen teilen kriegen wir die Länge der Musik in Jahren:

    107.374.182 / 30.000.000 = 3,5791394

    Scheint also etwa zu passen mit den 4 Jahren nonstop Musik.

  16. #16 Redfox
    12. September 2010

    Mah, ich kann mich erinnern, da gab es auch diese Zapfenrechnungen. Was für ein Spaß. 😉

    Was’n das’n?

  17. #17 MartinB
    12. September 2010

    @Redfox
    Klar, so geht’s auch. Ist halt immer die Frage, welche Startzahlen man gerade parat hat. Aber 6 Nachkommastellen gibt Abzüge in der B-Note 😉
    Danke für die Zapfenrechnung, hatte ich noch nie gesehen.

  18. #18 sandkorn
    13. September 2010

    irgendwo meine ich mal gelesen zu haben dass es mehr Sterne als Sandkörner an allen Stränden der Erde gäbe. AFAIK sind es ca. Grössenordnung 100 Milliarden Galaxien mit je 100 Milliarden Sterne.
    Ist man darauf auch durch ne Fermi-Schätzung gekommen oder gibts validere Gründe für diese geschätzte Sternenanzahl?

  19. #19 MartinB
    13. September 2010

    @sandkorn
    Ich denke, die Zahl der Galaxien hat man durch verschiedene Himmelsdurchmusterungen einigermaßen gut abgeschätzt – soweit ich weiß, macht man Stichproben an verschiedenen Himmelspositionen und rechnet hoch. Die Anzahl der Sterne pro Galaxie kann man sicher durch die Leuchtkraft abschätzen. Genauer wissen das sicher unsere Astronomen, Ludmilla und Florian.
    Für die Zahl der Sandkörner auf der Erde (Meeresboden nicht mitgerechnet, Wüsten etc. aber schon) kamen wir neulich auf grob 1E23 (allerdings mit ziemlich großer Unsicherheit, weil keiner von uns wusste, wie dick der Sand in einer Wüste liegt), die Zahl der Sterne wäre nach obiger Abschätzung mit 1E22 vergleichbar.

  20. #20 cimddwc
    14. September 2010

    @Redfox: 2 Terabyte sind bei Festplattenherstellern 16.000.000.000.000 Bit, denn die rechnen mit 1000 statt 1024. Ändert im Ergebnis aber auch nur was bei den Nachkommastellen. 🙂

  21. #21 adenosine
    14. September 2010

    Nach meinem Gefühl schärft der Umgang mit Geld am ehesten das Gefühl für Zahlen und Größenordnungen. Mit zunehmenden Finanzbedarf und Inflation wird man wahrscheinlich auch auf Geldscheinen auf die Exponentialdarstellung übergehen, weil die Nullen nicht mehr drauf passen. Damit dürfte auch die Kompetenz der Allgemeinheit für den Umgang mit Größenordnungen deutlich zunehmen.

  22. #22 Musikhörer
    15. September 2010

    Seltsam, dass Wissenschaftler in diesen “3-Minuten-pro-Titel” (“pro Lied”) rechnen. Kinderkacke. Haben die noch nie ‘ne Mahler oder Beethoven oder Haydn-Sinfonie gehört? Ganz zu schweigen von Wagner-Opern. Oder wenigstens Pink Floyd?

  23. #23 Musikhörer
    15. September 2010

    Seltsam, dass Wissenschaftler in diesen “3-Minuten-pro-Titel” (“pro Lied”) rechnen. Kinderkacke. Haben die noch nie ‘ne Mahler oder Beethoven oder Haydn-Sinfonie gehört? Ganz zu schweigen von Wagner-Opern. Oder wenigstens Pink Floyd?

  24. #24 Musikhörer
    15. September 2010

    Seltsam, dass Wissenschaftler in diesen “3-Minuten-pro-Titel” (“pro Lied”) rechnen. Kinderkacke. Haben die noch nie ‘ne Mahler oder Beethoven oder Haydn-Sinfonie gehört? Ganz zu schweigen von Wagner-Opern. Oder wenigstens Pink Floyd?

  25. #25 MartinB
    17. September 2010

    @Musikhoerer
    Die Zahl, die einer am Tisch wusste, bezog sich eben auf kurze Musiktitel, mehr steckt nict dahinter, also kein Grund zur Aufregung – ich hoere auch lieber Dvorak als Lady Gaga…

  26. #26 Earonn
    10. März 2012

    @Musikhörer
    Warum sollte ein Doktor der Biologie etc nicht nur auf seichtesten Pop stehen (und genau deswegen halt vornehmlich in 3-Minuten-Songs denken) dürfen?
    Und ist diese dämliche (Ab-)Wertung von Musik immer noch notwendig? Da gibt’s doch ehrlichere Methoden, sein eigenes Ego aufzublähen.

  27. #27 Melanie
    Köln
    17. Dezember 2014

    Das sind wirklich sehr schöne Fermi Aufgaben. Nach soetwas habe ich gesucht, um meine Fähigkeit im Kopf schätzen zu können, zu verbessern. Eine andere interessante Seite mit Aufgaben zum Schätzen ist mir noch über den Weg gelaufen: http://schaetzen.plakos.de/

  28. #28 MartinB
    17. Dezember 2014

    @Melanie
    Stimmt, die sind auch nett.