Die Unschärferelation wird ja immer gern in Diskussionen über Physik oder Philosophie oder die Natur der Wirklichkeit angeführt, mit so Sätzen wie “Nach der Unschärferelation kann man ohnehin nicht alles wissen” oder “Jede Messung beeinflusst das Ergebnis”. Meist ist das Verständnis der Unschärferelation dabei auch ziemlich unscharf…

In diesem Teil der Quantenmechanikserie will ich an einem Beispiel erklären, was es mit der Unschärferelation auf sich hat – viel Mathematik werden wir nicht brauchen, es lohnt sich also vielleicht auch für diejenigen, denen die letzten Teile zu “heftig” waren.

Um zu verstehen, was die Unschärferelation tatsächlich sagt, schauen wir nochmal unsere Wellen an, die wir die letzten Male angesehen hatten.

Da gab es zunächst mal die ebene Welle, die aussah wie ein Korkenzieher:

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Mathematisch (wie gesagt, wer nicht so auf Formeln steht, kann die heute im Wesentlichen überspringen) war sie gegeben durch
exp(i (kx – E t/ħ ))
wobei E=ħ2 k2 / 2m ist, mit k als der sogenannten “Wellenzahl”.

Die “Wellenzahl” k hängt mit dem Impuls p des Teilchens zusammen, es gilt einfach p=ħk. (In der klassischen Physik ist der Impuls p=mv das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Er ist eine Größe, die Physikerinnen lieben, weil der Impuls eine Erhaltungsgröße ist, sich also in einem abgeschlossenen System nicht ändert.)

Unsere ebene Welle hat also den Impuls p=ħk. Der Impuls ist genau definiert und festgelegt. Dafür muss man aber fairerweise sagen, dass man den Ort der Welle nicht festlegen kann: Die Welle ist überall. (Die Größe Ψ*(x,t)Ψ(x,t) ist überall konstant.)

Später haben wir ja mehrere solche Wellen überlagert, und das Ergebnis sah so aus:

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Hier haben wir jetzt eine bessere Idee, wo das Teilchen ist, weil die Wellenfunktion ja an einem Punkt besonders groß ist und nach außen hin immer kleiner wird. Um das hinzubekommen, muss man allerdings viele ebene Wellen mit den richtigen Vorfaktoren addieren, das sieht also etwa so aus:
Ψ(x,t) = a1exp(i (k1x – E1 t/ħ )) +a2exp(i (k2x – E2 t/ħ )) + a3exp(i (k3x – E3 t/ħ )) + …
(Mathematisch korrekt ist das ein Integral, aber solche Feinheiten sind hier nicht so relevant.)

Hier können wir jetzt nicht mehr so einfach sagen, welchen Impuls (oder welche Wellenzahl) k unser Wellenpaket hat. Wenn der Vorfaktor a1 besonders groß ist, dann trägt der zugehörige Impulswert auch viel bei, aber es sind eben viele Impulswerte involviert.

Auch hier gibt es wieder eine Wahrscheinlichkeits-Interpretation: Stellen wir uns vor, wir hätten sehr viele Elektronen mit der Wellenfunktion Ψ von oben. Wir messen für einige dieser Elektronen den Ort, für die anderen den Impuls und tragen die Messwerte in einer Tabelle oder Grafik auf:
Wir bekommen dann eine Verteilung der gemessenen Orts- und Impulswerte, die vielleicht so aussieht (das Programm dazu findet man hier):

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Oben habe ich die gemessenen Aufenthaltsorte der Elektronen aufgetragen, unten die zugehörige Verteilung der Impulse (mathematisch ist das gerade a*(p) a(p)).

Mathematisch kann man zeigen, dass die Breite der Impulsverteilung um so größer wird, je enger wir das Wellenpaket auf einen Raumbereich einschränken. Um ein sehr enges Paket zu bauen, braucht man sehr viele unterschiedliche Impulswerte, um ein sehr breites Wellenpaket zu bauen, braucht man nur wenige:

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(Auch hier wieder der Hinweis für die mathematisch Interessierten: genauer gesagt braucht man natürlich immer unendlich viele Beiträge, weil das eine Fouriertransformation ist, aber die Breite der Impulsverteilung ist um so größer, je enger die Wellenfunktion im Raum lokalisiert ist. Nachtrag:: Außerdem sind die Bilder nur qualitativ zu verstehen, eigentlich müsste die Fläche unter den Kurven jeweils gleich sein. – Danke an perk für den Hinweis.)

Das lässt sich dann in der Heisenbergschen Unschärferelation zusammenfassen:
Δx Δp ≥ ħ/2
Die Δs kennzeichnen dabei gerade die Breite der Gaußkurven. Das Produkt der beiden ist also immer größer-gleich einem bestimmten Wert. (Weil ħ so klein ist, merken wir davon im Alltag aber nichts.)

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Kommentare (20)

  1. #1 KommentarAbo
    10. November 2010

  2. #2 rolak
    10. November 2010

    verschärft – mit cliffhanger 😉

  3. #3 cimddwc
    10. November 2010

    rolak, du kannst ja warten, bis alles auf DVD erscheint, äh, bis die Serie zu Ende ist, und dann eine lange Schrödinger-Nacht draus machen. :)

    Danke jedenfalls für diese Serie!

  4. #4 rolak
    10. November 2010

    /lange Schrödinger-Nacht/ Von der man dann nicht genau weiß ob sie stattfindet oder nicht? :-)

    Nein keine DVD, eher vielleicht so eine heruntergedachte Einsteigervariante mit => dem hiesigen Text als Übergang in => eine intensivere Beschäftigung. Der Dreistufenplan für blutige Anfänger und von Wortbedeutungsverdrehern Vollgeschwallte. Natürlich nicht als Programm, sondern als Angebot/Möglichkeit.

    Das ginge mit einigen blog-Textreihen…

  5. #5 MartinB
    10. November 2010

    @rolak
    Moment mal, das hier ist die Einsteigervariante – naja, wenn man überhaupt mit Formeln und Wellenfunktionen hantieren will, aber formelfreie anschauliche Quantenmechanik-Einführungen gibt’s ja im Buchhandel wie Sand am Meer.

  6. #6 rolak
    10. November 2010

    Ja, ich würde es auch als Einsteigervariante sehen, doch für einige scheint der Einstieg etwas zu weit oben zu sein.

    Ist halt praktisch, wenn in einem Kommentar oder einer mail eher erzählt und dafür auf Gehaltvolleres verlinkt werden kann. Mehr schwebte mir eigentlich nicht vor..

  7. #7 Johannes
    11. November 2010

    schöne Serie bis jetzt, ich habe das Gefühl, ab jetzt wird’s erst wirklich interessant.

    >Mathematisch kann man zeigen, dass die Breite der Impulsverteilung um so größer wird,
    >je enger wir das Wellenpaket auf einen Raumbereich einschränken.

    Genau dieser Teil ist einer, welcher mich sehr interessiert, Wäre schön wenn du darauf (besonders auf die Mathematik dahinter) noch etwas eingehen könntest, oder zumindest Literatur anbieten kannst, wo das ähnlich ordentlich erklärt wird wie bei dir bis jetzt.

    greatz Johannes

  8. #8 perk
    11. November 2010

    vllt hab ichs beim überfliegen überlesen aber der hinweis bei den beiden bildern dass die skale zwischen impuls und ortsraum eine andere ist könnte eventuell noch dran 😉

    bei der fouriertransformation gibts ja bei der gausglocke einen vorfaktor der die amplitude senkt.. und die fläche unter beiden soll vor und nach der trafo ja gleich 1 sein
    also jeweils die beiden breiteren flacher

  9. #9 MartinB
    11. November 2010

    @Johannes
    Tja, die Mathematik dahinter ist im wesentlichen die Theorie der Fouriertransformationen. Ob man die in einem Blogpost vernünftig darstellen kann, weiß ich nicht, dann schreibe ich hier ja bald ein Buch… Meine Lieblingslektüre zur Quantenmechanik ist der von mir hier schon oft angepriesene Morrisson “Understanding Quantum Physics”. Der erklärt alles sehr ausführlich und ist außerdem sehr locker geschrieben, wenn ich mich recht entsinne ist dort auch der Wellenpaket-Kram sehr ausführlich drin.

    @perk
    Stimmt, ich hab mal einen Hinweis dazu eingebaut. Ich habe bisher ja über die Normierung von Ψ noch gar nichts gesagt, das tue ich erst, wenn ich die “echte” Wahrscheinlichkeitsinterpretation erkläre, bisher mogle ich mich ja mit relativen Häufigkeiten herum, deshalb hatte ich mir keine Gedanken dazu gemacht.

  10. #10 Manea-K
    14. Dezember 2010

    @MartinB:
    Science hat gerade ein paper veroeffentlicht, dass einen quantitativen Zusammenhang zwischen Nichtlokalitaet und Unschaerfe behauptet (hier die arXiv-Version).
    Ich bin noch nicht durch und muss zugeben, dass ich es nicht wirklich verstehe, aber es klingt ziemlich spannend. Falls es Dich interessiert und Du es verstehst wuerde ich mich extrem freuen, wenn Du es verbloggen wuerdest (pretty please).

  11. #11 MartinB
    14. Dezember 2010

    @Manea-K
    Das sieht interessant aus, aber auch ziiiemlich heftig.
    Eine halbwegs verständliche Erklärung habe ich hier gefunden
    http://www.sciencedaily.com/releases/2010/11/101118141541.htm
    ob ich was besseres hinbekomme, muss ich erstmal sehen, wird aber auf jeden Fall etwas dauern…

  12. #12 Manea-K
    14. Dezember 2010

    Danke fuer den Link. So richtig viel steht da zwar auch nicht drin, aber schonmal was. Dann muss ich mich wohl weiter selbst bemuehen :-)

  13. #13 rolak
    14. August 2011

    Ganz am Rande: Es gibt ja einige zukünftige Ableger von Comics aus der Vergangenheit und bei dem vom Phantom gibt es einen Biot mit folgender Antwort:

    • What’s your name?
    • Heisenberg. But I can’t be certain.

    :-)

  14. #14 MartinB
    14. August 2011

    @rolak

    Siehe auch diesen hier:
    http://plaza.ufl.edu/foertter/files/page0_blog_entry4_1.jpg

    Und sehr zu empfehlen auch dieser und die folgenden:
    http://www.phdcomics.com/comics.php?n=930

    Dein Link ist kaputt …

  15. #15 rolak
    14. August 2011

    puttegangt^^ Dann nochmals bzw eher erstmals: Phantom. Auf daß es sich nicht wieder seinem Namen gemäß verhalte.

    Die nicht(klassische Newtonsche Graduierungsmechanik) ist nett. Nur für den Fall, daß ich mich irgendwann einmal ärgern sollte, werde ich anfangen, die vielen schönen Veralberungen von QM und Co in einem Unterzweig des Lesezeichenbaumes zu sammeln…

    Manche Dinge scheinen unwiederauffindbar zu sein: Im physikalischen Institut der Uni K hing vor schlappen 30 Jahren dieses schicke Poster des antiken Kernkraftwerkes. Ein herkulischer Hühne, der mit seinem (Holz?)Hammer die gesammelten Pfirsichkerne zerbröselte, von hilfreichen Nymphen mittels Wassergüssen erfrischt bzw gekühlt, der entstehende Dampf trieb ein Generatörchen an – aber das passt ja gar nicht so richtig zu Schrödinger.

  16. #16 MartinB
    14. August 2011

    “Manche Dinge scheinen unwiederauffindbar zu sein”

    Seufz. Bei uns im Physikinstitut hing mal “der Weg zum Prof” aus biochemischer Sicht – da gab es den Vitamin-B-Komplex, der die “Habilitase” aktivierte und vieles mehr. Das hätte ich auch gern nochmal wiedergesehen…

  17. #17 Felix Aríe
    Wien
    12. November 2013

    Hallo!
    Ich bin Physik – Lehrer (Gymnasium) in Wien und bin nach langer Suche endlich auf einen blog, nämlich Deinen, gestossen, in dem die QM anschaulich und auch für meine SchülerInnen (Abitur – Klasse NAWI) nachvollziehbar (zumindest großteils) dargestellt wird. Vielen Dank! einzig der “Wettkampf” einiger anderer Physiker mit Dir, wer das “richtiger” erklärt, stört mich. Mir kommt es wie der etwas kindische Versuch vor, Deine “Autorität” als Lehrender zu hinterfragen, dabei gehzt es Dir doch nur darum, anfängerInnen die Scheu vor der schwierigen Materie zu nehmen (und wenn halt mal etwas “zu einfach” und “ungenau” wird. DAS können weder Studis, noch Schüler, und wenn ich ehrlich bin, ich auch ab einem gewissen Punkt, sowieso nicht mehr verifizieren. Aslo insgesamt: SUPER IDEE, SUPER GEMACHT!
    Grüße aus Wien
    Felix

  18. #18 MartinB
    12. November 2013

    @Felix
    Danke für die Blumen. Freut mich, wenn die Seiten auch bei SuS (wie man ja jetzt schreibt) Anklang finden.

    Von einem “Wettkampf” sehe ich nicht viel – abgesehen von meinem Disput mit dem naklar-Blog über die Interpetationen der Quantenmechanik. Oder gibt es irgendwo “Hier-Wohnen-Drachen-ist-doof”-Internetseiten?
    Erklären ist ja auch imer eine Frage des Niveaus und des Ziels, darüber habe ich mir in diesem Text Gedanken gemacht:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2012/07/14/kann-man-das-higgsteilchen-verstehen/

    Deswegen schreibe ich ja auch unterschiedliche Texte zum selben Thema – siehe auch rechts bei Artikelserien.

  19. #19 David
    Hannover
    3. Mai 2014

    Martin!
    Zuerst vielen vielen Dank, dass Du dir Mühe gegeben hast, die Quantenmechanik verständlicher für alle zu machen. Manchmal das Problem beim Lernen ist genau der Stoff selber, sondern wie man es erklärt….
    Nun hätte ich eine ganz verschämte und grundlegende Frage. Oft ist zu lesen “das Elektron” , “das freie Elektron”, “das Elektron in dem Kästchen” usw… ich frage mich wurden solche Versuche echt durchgeführt? Wurde tatsächlich ein Elektron in der Luft eingefangen oder handelt es sich dabei um theoretische Modelle die nur durch Statistik im Labor zu untersuchen sind?
    Ich finde manchmal schwer, die Gedankenfolge der Theorie zu verstehen. Ich frage mich zB: “Ok…er hat eben gesagt, das das Elektron mit Null Potential dort ist….gut…aber Moment! Wie kommt er darauf dass keine andere Störung auf das Elektron EInfluss hat? Hat er ein Elektron tatsächlich irgendwo/wie/wann eingesperrt?!?!??”
    Sorry für die blöde Frage, ich muss vielleicht zuerst “reinkommen”
    Danke nochmal für die wunderschönen Artikel.
    Gruß aus Hannover

  20. #20 MartinB
    3. Mai 2014

    @David
    “ich frage mich wurden solche Versuche echt durchgeführt?”
    Oh ja. zum einen beruht so ziemlich die ganze Festkörperphysik (zumindest von Metallen) auf dem Modell eines Elektrons im Kasten (weil die Elektronen zumindest näherungsweise frei innerhalb des Metalls sind). Auch Farbstoffe funktionieren so – da sind die Elektornen längs des Moleküls einigermaßen frei.
    Inzwischen kann man aber auch solche Experimente quasi “direkt” machen, indem man Elektronen in Nanostrukturen einsperrt – so genannte Quantenpunkte. Natürlich gibt es da – wie bei jedem Experiment – immer Störeffekte, aber die kann man gut in den Griff bekommen (und quantifizieren).
    Falls du diesen Kram für’s Studium tatsächlich lernen musst, dann bist du vielleicht doch in der Zielgruppe für mein neues Buch – anders als die meisten LeserInnen hier:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2014/04/17/warum-ihr-mein-buch-wahrscheinlich-nicht-kaufen-solltet/