Jeder hat das sicher schon einmal gelesen: “Wenn ein Floh so groß wäre wie ein Mensch, könnte er über ein Hochhaus springen.” “Wenn eine Ameise so groß wäre wie ein Mensch, könnte sie ein Auto tragen.” So anschaulich und beeindruckend das klingt, es ist leider falsch. Um zu verstehen, warum das falsch ist, müssen wir eine Brücke von der Biologie zur Mathematik schlagen.


Ein kleines Experiment

Wir beginnen mit einem einfachen Experiment. Dazu nehmen wir neun Würfel (für die Rollenspieler unter euch: sechsseitige Würfel). Acht davon stapeln wir so aufeinander, dass sich ein größerer Würfel ergibt:

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Offensichtlich hat der große Würfel die doppelte Kantenlänge des kleinen Würfels. Wie steht es mit seiner Oberfläche? Der kleine Würfel hat sechs Seiten, beim großen Würfel haben wir auf jeder der sechs Seiten vier Würfelflächen der kleinen Seiten, macht also 24. Die Oberfläche ist also um das Vierfache gestiegen.

Und das Volumen? Das ist einfach – da wir acht Würfel brauchten, ist es offensichtlich achtmal so groß. Wenn wir den Würfel in der Länge verdoppeln, vervierfacht sich also seine Oberfläche, sein Volumen verachtfacht sich.

Allgemeiner gilt: Vergößere ich ein Objekt in der Länge (in jeder Richtung) um einen Faktor L, dann vergrößert sich seine Oberfläche um den Faktor L*L (also L2), sein Volumen sogar um L*L*L (also L3). Regeln dieser Art, die angeben, wie sich eine Größe ändert, wenn man ein Objekt vergrößert oder verkleinert, nennt man Skalierungsgesetze. Die Biologie ist voll davon – einen guten Einblick gibt das Buch von Schmidt-Nielsen (s. Quellen).

Warum Elefanten große Ohren haben

Diese einfache Beziehung ist der Grund dafür, warum Elefanten (afrikanische jedenfalls) große Ohren haben. Wieso das? Elefanten sind “Warmblüter”2, produzieren also sehr viel Körperwärme. Diese muss im heißen afrikanischen Klima abgeführt werden, das geht natürlich nur durch die Körperoberfläche.

2Für alle spitzfindigen Biologen: Ich weiß, “Warmblüter” ist kein so gern gesehener Begriff. Ich hätte auch homöotherme tachymetabolische Endotherme statt “Warmblüter” schreiben können…

Betrachten wir einen Elefanten und einen auf die Hälfte verkleinerten Elefanten. Der kleinere Elefant hat ein Achtel des Körpervolumens, produziert also auch nur ein Achtel der Körperwärme1. Seine Körperoberfläche reduziert sich aber nur auf ein Viertel. Relativ zu seinem Volumen hat er also eine doppelt so große Oberfläche und kann deshalb Wärme viel besser abgeben. Mathematisch sieht man, dass das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen sich wie 1/L verhält, je größer also ein Objekt, desto kleiner ist die relative Oberfläche.

1Das ist für reale Tiere nicht richtig: Größere Tiere haben pro Kilogramm eine geringere Stoffwechselrate. Das genau zu verstehen ist eins der großen Rätsel der Biologie, darüber schreibe ich demnächst sicher auch mal etwas.

Elefanten, die ja sehr groß sind, haben also relativ gesehen eine kleine Oberfläche und können Wärme deshalb schlecht abstrahlen. Um überschüssige Wärme loszuwerden, sind deshalb große Ohren praktisch. (Wie meist in der Natur haben die Ohren natürlich zusätzlich noch andere Funktionen: beispielsweise als Signal zum Drohen.) Elefanten, die in kühlerem Klima leben oder mehr Wasser zur Verfügung haben (wie indische Elefanten), haben deshalb kleinere Ohren, die Ohren von Mammuts (die sich ja warm halten mussten) waren sehr klein. Auch Wüstenfüchse haben sehr große Ohren, ebenfalls als Wärmestrahler (gut hören können sie damit natürlich auch). Dass bei warmblütigen Tieren die Extremitäten typischerweise kleiner sind, bezeichnet man als Allensche Regel.

Apropos Mammuts: Generell ist es so, dass Tiere, die in kaltem Klima leben, größer sind, weil sie dann weniger Wärme durch ihre Oberfläche verlieren. (Das ist die Bergmannsche Regel.)

Warum Elefanten eigentlich dünne Knochen haben
Vergleicht man die Skelette von kleinen und großen Tieren, so haben die großen offensichtlich dickere Knochen. Hier als Beispiel eine Katze (Univ. Washington) und ein Elefant (von Wikipedia), animiert mit gifsicle:

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Kommentare (24)

  1. #1 Klugscheisser
    17. Januar 2011

    Toller Artikel …

    wo ist der Flattr Button ? …

  2. #2 Stefan
    17. Januar 2011

    Hallo Martin!
    Ich muss mich mal bedanken. Erstens ganz allgemein für Deine Blogeinträge, die mit zum Besten zählen, das man auf Scienceblogs lesen kann! Und im Speziellen für den Link zu Understanding Evolution, was mir nach erstem Schmökern richtig gut gefällt.
    Auf einen Beitrag zum Thema der unterschiedlichen Stoffwechselrate bei großen und kleinen Tieren freue ich mich sehr. Die grundsätzliche Herleitung des Kleiber-Gesetzes (darum geht’s, oder?) habe ich zwar in Dawkins’ “Geschichten vom Ursprung des Lebens” gelesen, die mathematischen Zusammenhänge sind dort aber so gut wie gar nicht erwähnt. Wäre schon, wenn Du das mal in einem Artikel angehen könntest!
    Vielen Dank für die Arbeit!
    Stefan

  3. #3 Bullet
    17. Januar 2011

    Ich hab dieses Thema noch bei Heinz Haber gelesen – er nannte damals die “Modellgesetze”, meinte aber demzufolge “Skalierungsgesetze”, was ein Grund sein könnte, warum ich zu “Modellgesetze” lange nichts im Netz finden konnte.
    Aber schön, daß man es mal wieder so kompakt bekommt. Dankesehr.

  4. #4 Basilius
    17. Januar 2011

    Und wieder mal ein sehr schöner Artikel. Danke Martin. Besonderen Dank für die Seite: “”Understanding Evolution” der Uni Berkeley. Sehr schön gemachte Animationen, welche die ganze Problematik leicht verständlich darstellen. Mit solchen Animationen macht das Lernen doch richtig Spass und fällt gar nicht so schwer.
    ^_^

  5. #5 miesepeter3
    17. Januar 2011

    @Martin Bäker
    Auch ich finde Deine Artikel sehr gelungen und lese sie gerne. Du kannst so schön einfach erklären, dass sogar ich das begreife, konnte heute sogar den Rechenweg nachvollziehen. Das heißt zwar nicht, dass ich nun mich verstärkt aufs Rechnen verlege, ist aber doch interessant, dass man eine Vorstellung bekommt, wie sowas zu rechnen ist. Danke.

  6. #6 roel
    17. Januar 2011

    @Martin Bäker Super Beitrag! Auf http://www.wissenschaft-online.de/lexika/showpopup.php?lexikon_id=9&art_id=2190&nummer=760 heißt diese Regel für die Ohrgröße Allensche Proportionsregel (also zusätzlich mit Proportion). Übrigens mit einem sehr ähnlichem Bild.

  7. #7 MartinB
    17. Januar 2011

    @alle
    Danke

    @Klugscheißer
    Die Mühe mit flattr hab ich mich bisher nicht gemacht. Bringt das was? Ansonsten flattere doch in meinem Namen irgendwo nen Knopf bei einem guten Zweck…

    @roel
    Allensche Regel habe ich schon öfter gelesen, auch bei Wikipedia. Da ich meist englisch lese, mag es aber sein, dass im Deutschen auch deine Formulierung gebräuchlich oder gebräuchlicher ist.

  8. #8 roel
    17. Januar 2011

    @Martin Bäker Ich will mich nicht mit falschen Federn schmücken, das war nicht meine Formulierung, nur geborgt. 🙁 Macht aber nichts, ich habe das nur erwähnt, weil es die Überschrift zu dem verlinkten Bild ist.

  9. #9 perk
    17. Januar 2011

    der berkeleylink landet schon auf seite 7 einer serie, ist das beabsichtigt?

  10. #10 Max
    17. Januar 2011

    Der Link zu “Understanding Evolution” veranschaulichte dieses Problem sehr gut!

    Die Knochengröße und ihre Propotionalität zur Gesamtgröße des Tieres wird auch in der Lesung von Prof.Lewin vom MIT ’92 verständlich erklärt. Auf ca. 11:10min springen, obwohl es sich in voller Länge ebenso lohnt.

  11. #11 MartinB
    17. Januar 2011

    @perk
    Ja, das war Absicht, weil auf der Seite die Skalierungserklärung beginnt, davor geht’s um Häutung und anderes.
    Lohnt sich aber, auch mal zurückzuklicken oder gleich auf die Understanding-Evolution-homepage zu gehen.

  12. #12 cydonia
    17. Januar 2011

    Das war kurz, gut und prägnant! Hut ab!
    Jetzt habe ich nur ein Problem: Wie erkläre ich das Ganze ohne Hilfsmittel, wenn mir mal wieder jemand mit dem Ameisenbeispiel kommt, während ich draußen die Viecher live zeige. Bis jetzt wars nämlich so, dass Erklärungen ,sobald sie sich mathematischer Beispiele bedienten, in die Hirne nicht so richtig einzudringen schienen.
    Ich habe gerade bei diesen Größen-, Spring-, Gewichtsproblemen noch keine Erklärungen finden können, die auf Anhieb bei den Angesprochenen zünden. Vielleicht klaue ich mir ein bisschen was, und dampfe es ein….

  13. #13 MartinB
    17. Januar 2011

    @cydonia
    Wenn du draußen bist, vielleicht mit nem kleinen und nem großen Stein? Da verschätzt man sich ja auch leicht beim Gewicht, das macht es vielleicht auch anschaulich. Oder lass die Leute überlegen, warum ein so etwa dreijähriges Kind (das ungefähr halb so groß ist wie ein Erwachsener) nicht halb so viel wiegt sondern viel weniger.
    Für Flächen geht auch die Frage: Wofür brauche ich mehr Farbe: Ein Zimmer mit 20qm oder zwei Zimmer mit je 10qm? Das kennen viele aus der praktischen Erfahrung.
    Oder (im Moment aktuell) schmelzende Schneeberge – warum braucht der große Schneehaufen länger zum Schmelzen als der kleine? (Und wenn einer sagt: Weil da mehr Schnee drin ist, dann fragst du, warum dann die riesengroße Wiese, auf der ja noch mehr Schnee war, schon weggetaut ist…)
    Ich glaube, es gibt ziemlich viele Möglichkeiten, Skalierung im Alltag zu verankern…

  14. #14 roel
    18. Januar 2011

    @MartinB Ich habe heute in meiner Tageszeitung gelesen, dass japanische Forscher, das Mammut klonen wollen. Steht aber auch z.B. im Handelsblatt: http://www.handelsblatt.com/technologie/forschung/medienbericht-japanische-forscher-wollen-mammut-klonen;2733705

  15. #15 MartinB
    18. Januar 2011

    @roel
    Das klingt nicht unplausibel – Mammut-DNA ist verfügbar, Elefanten könnten die Embryonen austragen. Ob man viel dabei lernt, ist fraglich…

  16. #16 cydonia
    18. Januar 2011

    @MartinB
    Danke für die Anregungen. Was die Verankerung der Skalierung im Alltag betrifft bin ich ein wenig pessimistisch. Die Beispiele verstehen die meisten im Allgemeinen schon ganz gut, wobei es aber immer hapert ist die Übertragung auf das Ameisen- und Flohproblem.
    Das ist scheinbar in einem anderen Bereich als Wahrheit abgespeichert, und recht unantastbar. Ich überlege mir was und probiers aus. Von den ErfolgenMisserfolgen werde ich berichten!

  17. #17 Alexander
    19. Januar 2011

    Thematisch passen die Royal Institution Christmas Lectures 2010 sehr gut! Die hatten nämlich das Thema “Size matters” und Mark Miodownik ging darin auf die verschiedenen Kräfte ein, die in den unterschiedlichen Größen dominieren. Oberfläche/Volumen spielten dabei natürlich oft eine wichtige Rolle und die Elefanten kamen auch nicht zu kurz. Zumindest ein Teil der Lectures scheint es auf Youtube geschafft zu haben!

    @MartinB, roel:
    Das Mammutklonen steht vor einem sehr großen Problem, ich glaube deshalb nicht dass dieses Vorhaben sehr schnell klappt. Das Herstellen einer Zygote aus einer Elefenteneizelle und einem Mammut-Zellkern dürfte dabei die kleinste Schwierigkeit sein. Vielmehr haben Fortpflanzungsmediziner sehr große Probleme mit der künstlichen Befruchtung selbst heute lebender z.B. bedrohter Tierarten. Das wird bei einem Mammut auch nicht einfacher, eher schwerer werden. Bevor diese Hürde nicht überwunden ist, können sie so viele Zygoten herstellen wie sie wollen…

  18. #18 regow
    20. Januar 2011

    Schön anschauliches Beispiel:
    Stellt euch einen 1mm Seitenlänge Wüfel aus Pudding vor; der ist schön stabil – bis er austrocknet.
    Stellt euch einen 10cm Seitenlänge Würfel aus Pudding vor; wölbt sich ab der Mitte schon etwas.
    Stellt euch einen 1m Seitenlänge Würfle aus Pudding vor: wird unter dem eigenen Gewicht zu Brei.

  19. #19 MartinB
    20. Januar 2011

    @regow
    Das muss ich mir merken, das ist klasse.

  20. #20 Valentin Parzer
    29. Mai 2013

    Hey ich weiß der Artikel ist schon alt, aber trotzdem: Super, super Artikel! Hab mich gerade selbst mit dem Thema beschäftigt und dein Artikel hat mir echt weitergeholfen!!!

  21. #21 MartinB
    30. Mai 2013

    @Valentin
    Freut mich.

  22. #22 pederm
    25. März 2014

    Nettes Beispiel zu Skalierungsfragen: Teil des Geschäftsmodells eines kleinen Sondermüllentsorgers, bei dem ich beschäftigt war, war, aus den zig Kleinigkeiten von Problemmüllsammlungen im Lager größere Einheiten zusammenzustellen. Warum wir das nicht auch bei metallischem Quecksilber (aus Schaltern und Fieberthermometern – so lang ist das her!) machten, regte der Chef (ein Kaufmann, kein Techniker) an. Weil zwar ein kleiner Tropfen gut in einem dünnwandigen Glas aufgehoben ist, 60 Liter aber mit gut 800kg Masse das beste Faß platzen lassen.

  23. #23 MartinB
    25. März 2014

    @perderm
    Das ist wirklich ein schönes Beispiel, muss ich mir merken.

  24. #24 Laticia Benzango
    29. November 2015

    A medical practioner on numerous relevant fields with knowledge like procedures, all spheres of government and provide chain.

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