Elektronen am Doppelspalt sind seltsam: Statt brav durch einen der beiden Spalte zu fliegen, fliegen sie irgendwie durch beide gleichzeitig und wechselwirken quasi mit sich selbst, das haben wir letztes Mal gesehen. Noch seltsamer dürfte es also werden, wenn man den Elektronen ein paar mehr Freiheiten lässt, statt sie durch einen ollen Doppelspalt zu zwingen.

Machen wir das Leben unseres Elektrons also ein bisschen interessanter. Was passiert zum Beispiel, wenn wir einen dritten Spalt dazunehmen? Dann müssen wir entsprechend die drei Amplituden addieren: A(1,x)+A(2,x)+A(3,x), und dann quadrieren (und es ergeben sich mehr Inteferenzterme).1 Und wenn wir einen vierten, fünften, sechsten, hundertsten oder tausendsten Spalt öffnen? Dann müssen wir die Amplitude für alle Spalten nehmen und die alle erst addieren und dann quadrieren.

1Dass das tatsächlich genauso funktioniert und nicht irgendwelche komplizierteren Dinge passieren, hat man letztes Jahr experimentell noch einmal geprüft; Details hat Jörg (ziemlich unterhaltsam) beschrieben.

Und wenn wir einen zweiten Schirm hinter den ersten stellen und in den auch Löcher bohren? Dazu nummeriere ich jetzt die Spalten auf den Schirmen durch, der erste Schirm bekommt den Namen S und hat die Spalte S1, S2 usw., der zweite T1, T2 usw. Das sieht dann so aus (ich habe nicht alle Möglichkeiten eingezeichnet, sonst erkennt man überhaupt nix mehr):

i-70455d842c61afb02682f3a65e2ac925-mehrfachspaltElektronen.jpg

(Upps, da ist eine gestrichelte Linie von S3 nach S4 – die hat da nichts zu suchen, denkt sie euch bitte weg.)

Damit wir jetzt nicht den Faden verlieren, schreibe ich die bisherige Amplitude A(1,x) etwas anders: Das Elektron startet an unserer Quelle Q (da, wo es ausgesandt wird), fliegt von da zum Spalt S1 und dann weiter nach x. Es gibt also einen Pfeil für das erste Wegstück, genannt A(Q,S1), und einen für das zweite Wegstück, der heißt entsprechend A(S1,x).

Wenn das Elektron erst von Q nach S1 fliegt und dann von S1 nach x, dann müssen beide Ereignisse passieren, damit das Elektron auch am Ende ankommt. Nach unseren Regeln heißt das, dass ich die beiden Pfeile multiplizieren muss:
A(1,x) = A(Q,S1) A(S1,x)

Ich male das nicht nochmal mit Pfeilen hin – ich hoffe einfach, dass nach dem letzten Mal klar ist, wie das geht (sonst guckt noch mal nach).

Mit zwei Schirmen hintereinander gibt es jetzt eine Amplitude
A(Q,S1)A(S1,T1)A(T1,x)
dafür, dass das Elektron von der Quelle erst durch den Schlitz S1 fliegt, dann durch T1, und dann nach x. Weil die drei Ereignisse nacheinander passieren müssen, werden die einzelnen Amplituden wieder multipliziert.

Für jede andere Kombination von Spaltdurchflügen (erst S3, dann T117) gibt es einen entsprechenden Term. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass das Elektron bei der Quelle Q losfliegt und bei x ankommt, ist die Summe über alle Möglichkeiten (Das schreibe ich jetzt aber mit LaTeX):

Sieht beängstigend aus? Ist es eigentlich gar nicht. Ihr könnt es so lesen:
“Um von Q nach x zu kommen, muss das Elektron entweder von Q nach S1 nach T1 nach x fliegen oder von Q nach S2 nach T1 nach x oderoder von Q nach S1 nach T2 nach x oder …”

Pluszeichen stehen ja für “oder” – denn unterschiedliche Möglichkeiten werden addiert – Malzeichen für erst … dann ….

Also: Wir addieren alle Möglichkeiten, bei denen das Elektron durch den Spalt T1 geht (mit allen Möglichkeiten für S), dann alle, bei denen es durch T2 geht und so weiter. Das ergibt dann die gesamte Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, von Q nach x zu kommen.

Diesen Ausdruck müssen wir jetzt quadrieren (das gibt natürlich einen ziemlichen Wust), um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen.

Und wenn wir einen dritten Schirm dazunehmen? Dann müssen wir über alle Möglichkeiten addieren, erst von der Quelle zum ersten zu kommen, dann vom ersten zum zweiten, dann vom zweiten zum dritten, dann vom dritten zum Ziel.

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Kommentare (32)

  1. #1 typ42
    17. Oktober 2011

    Vielen Dank fuer die Muehe! sehr verstaendlich!

  2. #2 KommentarAbo
    17. Oktober 2011

  3. #3 MartinB
    17. Oktober 2011

    @typ42
    Freut mich, danke.

  4. #4 Bjoern
    17. Oktober 2011

    Mal eine dumme Frage am Rande: warum heisst h eigentlich das Wirkungsquantum? Die Wirkung ist doch gar nicht quantisiert? Wenn’s nur darum gehen würde, dass h eben die Einheit einer Wirkung hat – genausogut könnte man dann sagen, h hat die Einheit eines Drehimpulses, also nennen wir das Ding “Drehimpulsquantum”… (mit mehr Berechtigung, denn der Drehimpuls ist ja tatsächlich quantisiert!)

    Das einzige, was ich mal dazu gefunden habe, war die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung: das Integral p dq (mit generalisierten Koordinaten q und generalisierten Impulsen p dazu) soll immer ein Vielfaches von h sein, da ist also tatsächlich eine Quantisierung. Aber das Integral p dq ist doch auch keine Wirkung, sondern hat nur dieselbe Einheit…?

  5. #5 Johannes K.
    17. Oktober 2011

    Ich find die Reihe bisher durchweg sehr gut. Alles wirklich sehr einfach erklärt und das ganze macht Laune darauf sich das mal richtig anzugucken.

  6. #6 MartinB
    17. Oktober 2011

    @Bjoern
    Ich dachte, das käme direkt von Planck und der Annahme, das E=hf sein muss, damit die UV-Katastrophe vermieden wird. Es gibt die Größe der Energiequanten an und heißt deshalb selbst Quantum. Semantisch nicht 100% sauber, aber das waren Physiker noch nie, oder?

    @Johannes
    Freut mich – für’s “richtig” angucken empfehle ich wie gesagt das Buch von Zee.

  7. #7 Bjoern
    17. Oktober 2011

    @Martin:

    Es gibt die Größe der Energiequanten an und heißt deshalb selbst Quantum. Semantisch nicht 100% sauber, aber das waren Physiker noch nie, oder?

    Hm, könnte sein. *grummel, grummel* – können die sich nicht klar ausdrücken? Ja, o.k., eigentlich “können wir uns nicht klar ausdrücken?” 😉

  8. #8 MartinB
    17. Oktober 2011

    @Bjoern
    Klar können wir uns klar ausdrücken:
    E=hf
    A=int_W DW exp(iS(W))
    usw.

    Wenn wir uns sprachlich gut ausdrücken könnten, hätten wir ja nicht Physik studieren müssen 😉

  9. #9 Alex
    17. Oktober 2011

    Echt eine super Serie.
    Die Balance zwischen mathematischem Formalismus und anschaulicher Erklärung ist perfekt. Ich frag mich wie verdaulich dieser Stoff sein wird, wenn ich ihn in einigen Semestern im Elektrotechnikstudium antreffe ^^.

  10. #10 MartinB
    18. Oktober 2011

    @Alex
    Wenn du das Pfadintegral im E-Technik-Studium antriffst, dann wäre das eine ziemliche Überraschung; das bekommen nicht mal Physik-Studis ausführlich erklärt.

  11. #11 Thomas Wolkanowski
    19. Oktober 2011

    Würde ich auch sehr verwunderlich finden 🙂 . In welchem Kontext könnte/sollte/würde das denn geschehen?

  12. #12 Thomas Wolkanowski
    19. Oktober 2011

    @Bjoern: Zu deiner Frage findest du vielleicht hier etwas:

    http://www2.hu-berlin.de/leibniz-sozietaet/download/planck.pdf

  13. #13 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Thomas
    Guter Link

    @Bjoern
    Wenn man h=E/f schreibt, kann man doch eigentlich schon sagen, dass h direkt die Wirkung pro Photon angibt, also ist der Name doch gerechtfertigt.

  14. #14 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB:

    Wenn man h=E/f schreibt, kann man doch eigentlich schon sagen, dass h direkt die Wirkung pro Photon angibt, also ist der Name doch gerechtfertigt.

    Also, für mich heißt “eine Größe ist quantisiert” (also: es gibt ein “Quantum” dieser Größe) eigentlich, dass die Messwerte dieser Größe nur diskrete Vielfache eines Grundwerts annehmen können. Und das ist bei der Wirkung ja eindeutig nicht der Fall.

    @Thomas: Danke für den Link, finde ich für die Frage aber auch nicht gerade hilfreich.

    Das Plancksche Wirkungsquantum ist eine definierte Menge an Wirkung, eben ein Quantum.

    Bitte was? Genausogut könnte man ja dann z. B. sagen, die Lichtgeschwindigkeit ist eine bestimmte Geschwindigkeit, also bezeichnen wir die ab jetzt als Geschwindigkeitsquantum!

  15. #15 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Bjoern
    Verwirrt-bin: Berechne E/f für ein Photon. Es kommt immer derselbe Wert raus. Der hat die Einheit einer Wirkung. Ergo Wirkungsquantum. Alle Messungen der Wirkung eines Photons haben dieses wert – man könnte auch sagen, alle Messungen der Wirkung von Licht geben dann ein Vielfaches dieses Wertes (wenn wir mal Zustände mit unscharfer Photonenzahl ignorieren, auf solche Ideen konnte man 190x ja nun echt nicht kommen).

    Nicht *jede* Wirkung ist quantisiert, aber die von jedem Photon.
    Klar ist das unsauber – aber ich sag’s ja: Wenn wir uns sauber sprachlich ausdrücken könnten…

  16. #16 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB:

    Nicht *jede* Wirkung ist quantisiert, aber die von jedem Photon.

    O.k., wenn du’s so sehen willst… 😉

  17. #17 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Bjoern
    Wenn *ich* das so sehen will?
    Bin *ich* maßgeblich für die Nomenklatur der Physik?
    Toll, da verfalle ich gleich dem Größenwahn :-))

  18. #18 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB: Hast du’s noch gar nicht mitbekommen? Letzte Woche hat dich die Geheime Vollversammlung der Anonymen Physiker zum Großen Nomenklator gewählt… 😉

  19. #19 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB: Hm, warum soll eigentlich E/f die *Wirkung* pro Photon angeben? Klar, E/f hat die Dimension einer Wirkung – aber die hat, wie oben schon erwähnt, der Drehimpuls auch Was hat E/f bei einem Photon mit dem Zeitintegral über die Lagrangefunktion zu tun?

  20. #20 MartinB
    19. Oktober 2011

    @Bjoern
    Muss denn jede Wirkung ein Zeitintegral über eine Lagrangefunktion sein?
    Ich glaube ein bisschen, du liest zu viel in einen Namen hinein. Oder ich sehe irgendwinen Punkt nicht, das kann auch sein.

  21. #21 MartinB
    19. Oktober 2011

    Oh, den anderen Kommentar hatte ich gar nicht gesehen.

    Dann schaffen wir sofort die Namen “Quarks” und “Gluonen” ab und ersetzen sie durch irgendwas schickes altgriechisches.

    Und als Nomenklator setze ich jetzt ne Sonnenbrille auf und sage “Ich komme wieder…”

  22. #22 rolak
    19. Oktober 2011

    Das würde ich nochmals überdenken – immerhin war der Satz jenes Protagonisten schon 1/17 von allem, was er in dieser Inkarnation sagte 😉

  23. #23 Bjoern
    19. Oktober 2011

    @MartinB:

    Muss denn jede Wirkung ein Zeitintegral über eine Lagrangefunktion sein?

    Wie würdest du “Wirkung” denn sonst definieren? Ich kenn’s nur so. (hm, sehe gerade, bei Wiki behaupten die, auch das Integral p dq wäre eine Wirkung…)

  24. #24 MartinB
    20. Oktober 2011

    @Bjoern
    Ich denke, es gibt einfach zwei Wirkungsbegriffe. Einmal den über die Mechanik und einmal den über die physikalische Dimension.

  25. #25 Tom
    20. Oktober 2011

    Super beschrieben – danke weiter so!

  26. #26 Bjoern
    20. Oktober 2011

    @MartinB:

    Ich denke, es gibt einfach zwei Wirkungsbegriffe. Einmal den über die Mechanik und einmal den über die physikalische Dimension.

    Und wie genau soll der Begriff über die physikalische Dimension definiert sein? Vor allem so, dass nicht auch der Drehimpuls eine Wirkung ist?

  27. #27 MartinB
    20. Oktober 2011

    @Bjoern
    Einheitentechnisch ist der Drehimpuls ne Wirkung.
    Irgendwie sehe ich dein Problem nicht – es ist doch gelegentlich so, dass Begriffe schwammig gewählt oder unzulässig erweitert werden.

    Das Wirkungsquantum gibt an, wie dinge quantisiert werden und hat als einheit Wirkung. Finde ich wesentlich weniger blödsinning als “Farbladungen”, “flavors” oder “strangeness”.

  28. #28 roel
    25. Oktober 2011

    @MartinB Etwas spät, aber besser spät als nie und um das alles richtig zu verarbeiten brauche ich meine Zeit.

    Super Artikel und sehr verständlich, auch für Laien!

  29. #29 MartinB
    25. Oktober 2011

    @roel
    Danke, gut zu wissen, dass nicht nur Physiker mitlesen.

  30. #30 Stefan
    Los Angeles
    24. Juli 2016

    Irgendwas fehlt hier doch noch. Wenn ich zwei komplexe Zahlen mit ähnlichem Winkel addiere, bekomme ich eine komplexe Zahl, deren Betragsquadrat größer ist als Eins. Dann kann sie aber nicht für eine Wahrscheinlichkeit stehen.

  31. #31 Stefan
    24. Juli 2016

    Nachtrag: Ich meine natürlich zwei komplexe Zahlen mit einem Betragsquadrat von Eins ergeben unter den obigen Bedingungen addiert eine komplexe Zahl mit einem Betragsquadrat größer eins.

  32. #32 MartinB
    2. August 2016

    @Stefan
    Jede der einzelnen Möglichkeiten hat aber eine Wahrscheinlichkeitsamplitude kleiner als 1, so dass am Ende die Summe immer stimmt. Dass sie das immer tut, ist allerdings zugegebenermaßen in dem Bild der Pfeile nicht einsichtig – wenn man das Ganze mathematisch durchrechnet, aber schon.