Dass die klassische Physik in der Quantenmechanik (als Spezialfall) drinsteckt, hört man ja oft. Wie aber funktioniert das? Wie kommt man von lauter Wahrscheinlichkeiten wie in der Quantenmechanik zur vollkommen deterministischen klassischen Physik?

Ja, ich weiß, eigentlich wollte ich Quantenfeldtheorie erklären. Aber das hat ja auch Zeit bis zum nächsten Mal, zumal ich so endlich ein altes Versprechen einlösen kann.

Dazu müssen wir klären, wie man denn nun für einen bestimmten Pfad ausrechnet, welche Amplitude zu diesem Pfad gehört, was also das S(W) eigentlich ist. Es ist keine quantenmechanische Größe, sondern eine, die man in der klassischen Physik eingeführt hat: Die Wirkung.

Wir müssen also die Wirkung für jeden Pfad W berechnen können.

Wie das geht? Dazu erinnern wir uns an das letzte Mal. Da habe ich dieses schöne Experiment mit dem Mehrfachspalt gezeigt:

i-70455d842c61afb02682f3a65e2ac925-mehrfachspaltElektronen.jpg

Die Gesamtamplitude, um von Q nach x zu kommen, haben wir aus lauter Einzelamplituden zusammengebaut, für jede Möglichkeit eine:

Um zum Beispiel von Q über S3 und T1 nach x zu kommen, müssen drei Ereignisse hintereinander stattfinden:
1. Von Q nach S3
2. Von S3 nach T1
3. von T1 nach x

Jedes dieser Ereignisse hat auch eine Amplitude, und weil sie alle stattfinden müssen, wurden sie – nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung – multipliziert.

Jetzt erinnern wir uns daran, dass jede einzelne Amplitude ja nichts als ein Pfeil ist, und zwar ein Pfeil der Länge 1. Zu jedem der drei Ereignisse gehört also ein Pfeil mit einem bestimmten Winkel, und weil wir die drei miteinander multiplizieren, bekommen wir das Endergebnis, indem wir diese Winkel alle addieren. Nennen wir die drei Winkel (weil’s einfacher ist) φ12 und φ3.

Um das Ergebnis auszurechnen, fangen wir mit einem “Startpfeil” an, der nach rechts zeigt und die Länge 1 hat. Dann drehen wir ihn entsprechend dem Winkel φ1, dann weiter um φ2 und schließlich um φ3. Das gibt die Gesamtamplitude für diesen Pfad. Die Gesamtamplitude setzt sich also aus lauter einzelnen Stückchen zusammen, indem wir den Pfeil immer weiter drehen.

In Formeln liest sich das so:

Und dann haben wir uns vorgestellt, wir würden immer mehr und mehr Schirme mit Spalten dazunehmen. Die Abstände zwischen den einzelnen Schirmen werden dann immer kleinen und die Wegstückchen entsprechend immer kürzer, bis wir schließlich bei beliebigen Pfaden ankommen, die aus sehr sehr vielen sehr sehr kurzen Wegstückchen bestehen. (Und mathematisch sauber werden daraus natürlich unendlich viele unendlich kurze Wegstückchen.)

Hier nochmal das Bild

i-c5c1d1e7cc2368d68018a06d5a86e654-pfadintegralElektronen.jpg

Wenn wir also die Gesamtamplitude für einen Pfad ausrechnen wollen, dann zerlegen wir den in lauter winzige Abschnitte. Auf jedem Abschnitt dreht sich der Amplitudenpfeil ein bisschen weiter, bis am Ende die Amplitude für diesen Pfad herauskommt:

i-3a4acf1a40efd5b45d10d8c312d8a379-pfadMitPfeil.jpg

Und was bringt uns das alles? Ganz einfach: Für ein winziges Wegstück können wir den zugehörigen Drehwinkel einfach ausrechnen. Der Drehwinkel ist gleich der Differenz zwischen der kinetischen (also der Bewegungs-) Energie und der sonstigen Energie (der potentiellen Energie) des Elektrons1 Diese Größe nennt man die “Lagrange-Funktion”.

1Genau genommen muss man noch mit der Zeit multiplizieren, die das Elektron für das winzige Wegstück braucht.

i-32267808eacd04e03c1838306169613f-WarnschildFormelWinzig.jpg

In Formeln sieht das dann etwa so aus, wobei L(t) die Lagrangefunktion ist:

i-f8eb1420da56fbf0a14eb4e5c2f3c1c2-WarnschildFormelWinzigEnde.jpg

Ging das zu schnell? Betrachten wir erst mal die kinetische Energie (also die Bewegungsenergie). Die hängt von der Geschwindigkeit ab – weil wir den Pfad W kennen, wissen wir, wo das Elektron zu jedem Zeitpunkt ist, und damit können wir auch seine Geschwindigkeit berechnen. (Wenn ich “jetzt” hier bin und in einer Sekunde zwei Meter weiter, habe ich eine Geschwindigkeit von 2m/s.) Und die kinetische Energie ist gleich mv2/2 – die berühmte Formel für die kinetische Energie, die ihr vermutlich in der Schule gelernt habt. Dabei ist m die Masse und v die Geschwindigkeit.

1 / 2 / 3 / 4 / Auf einer Seite lesen

Kommentare (22)

  1. #1 rolak
    24. Oktober 2011

    und wahrscheinlich auch klarer

    Das mag ja sein, doch auffällig unklar finde ich Deine Reihe bisher wirklich nicht.

    “nur ein Trick”

    Schon in der Schule wurden in Physik Rechentechniken abgenickt, die in Mathe deutlich später durchgenommen und nachträglich für offiziell gültig erklärt wurden 😉

  2. #2 MartinB
    24. Oktober 2011

    @rolak
    Aber Feynman ist erstens Feynman und zweitens nimmt er sich etwas mehr Zeit für diese Sachen – allerdings hat er nicht die coolen Formel-Einschübe…

    “Schon in der Schule wurden in Physik Rechentechniken abgenickt, die in Mathe deutlich später durchgenommen und nachträglich für offiziell gültig erklärt wurden ”
    So wie die berühmte Delta-“Funktion”. Aber hier meinte ich es vor allem umgekehrt: Was wie ein mathematischer Trick aussieht ist oft eine andere Interpretation, von der sich später herausstellt, dass sie eine echte Erweiterung darstellt. So wie das Vektorpotential – als “Trick” in der Edynamik lange bekannt, in der QFT gern verwendet, aber erst im Aharanov-Bohm-Effekt hat man gemerkt, dass das Vektorpotential eine echte Bedeutung hat.

  3. #3 rolak
    24. Oktober 2011

    Laß mich raten – Du hast gedacht, die Kommentarfunktion wäre kaputt? :-)

  4. #4 ulkar
    24. Oktober 2011

    Hast du auch eine Anschauung zum Spin? Der hat ja keine klassische Wirkung / Lagrangefunktion. Oder bekommt man den Spin im Pfadintegral-Formalismus ausschließlich in der QFT?

  5. #5 rolak
    24. Oktober 2011

    Nix gegen Feynman, doch es ging mir um eine Aufwertung des im Vergleich Unterlegenen, da bei solchen Formulierungen wie “im Punkt C ist A besser als B” typischerweise (und falsch) gelesen bzw geschlossen wird “B ist bei C schlecht”.

    Ja, das mit dem Trick habe ich in den falschen Hals bekommen, jetzt ists aber klar – wie mit der Spekulation FTL mit imaginärer Masse.
    Bei mir ging das Rennen MvsP los mit dem Differential, erst total, dann partiell und setzte sich auch an der Uni fort. Egal ob es wieder um Differentiale ging (‘wir multiplizieren beide Seiten mit dt, ∫ hin oder her’) oder Grenzwertprozesse beim Integrieren um Residuen herum statt wie eigentlich gewollt hindurch oder oder oder. Der große Vorteil in dieser Hauruck-Methoden ist imho die Ausbildung eines Gespürs dafür, was sinnvoll machbar ist, um sich die Arbeit zu erleichtern. Kam mir sehr entgegen 😉

    Da jetzt Dein Test im Daten-Nirvana ist, könntest Du den sinnleeren Bezug auch löschen. Ok, oder zur immerwährenden Irritation stehen lassen (erklärt sich numerologisch eigentlich sofort).

  6. #6 MartinB
    24. Oktober 2011

    @rolak
    Das war fix, der Test-Kommentar stand hier nur für 2 Minuten – ich wolte sehen, ob das Seitenupdate klappt,weil rechts die Blogticker-Leiste auf heute morgen eingefroren ist.

    Ja, was die kleinen fiesen “wir ignorieren jetzt mal die Mathe-Pingeligkeit”-Tricks angeht, ist ein Physikstudium echt hilfreich.

    Was Vergleiche angeht, gebe ich dir recht.

    @ulkar
    Im Moment hab ich über Anschauung zum Spin noch nicht so viel nachgedacht, ich behalt’s aber im Hinterkopf.

  7. #7 perk
    24. Oktober 2011

    Ja, was die kleinen fiesen “wir ignorieren jetzt mal die Mathe-Pingeligkeit”-Tricks angeht, ist ein Physikstudium echt hilfreich.

    und manchmal schreibt man dann am ende seines physikstudiums seine masterarbeit bei nem mathematiker und weiß auf anhieb nicht wie und wo man die pingeligkeit wieder in seine ergebnisse reinholt^^

  8. #8 rolak aka rolak
    25. Oktober 2011

    Irgendwas scheint tatsächlich nicht zu funktionieren, MartinB, zumindest unterbleibt die Kommentar-EMail trotz zusagendem handshake. Daher der Neuversuch…

    Tja perk, in gewissen Lehrbüchern steht in solchen Fällen ein lapidares ‘wie eine kleine Zwischenrechnung zeigt’ o.ä., was schon zu stundenlangen Kalkulationen führte 😉

  9. #9 perk
    25. Oktober 2011

    jupp jupp^^
    so ein 2 seitiger beweis in nem paper ist nach aufschreiben und ausrechnen locker 10 lang

    aber eigentlich ist es ja trivial

  10. #10 rolak
    25. Oktober 2011

    oh danke, das mit dem ‘trivial’ war mir entfallen…

  11. #11 MartinB
    25. Oktober 2011

    In solchen Sachen liebe ich ja den Stil im Landau/Lifshitz:
    “Es ist plausibel, anzunehmen” heißt: Nach 100 Seiten Rechnung kommt’s so raus.
    “Es wäre naiv, anzunehmen” heißt: Nach 100 Seiten Rechnung kommt’s nicht so raus.

  12. #12 Frank Wappler
    27. Oktober 2011

    Martin Bäker schrieb (24.10.11 · 08:00 Uhr):
    > (Wenn ich “jetzt” hier bin und in einer Sekunde zwei Meter weiter, habe ich eine Geschwindigkeit von 2m/s.)

    Was mit Physik zu tun hat, lässt sich (auch) ausdrücken, ohne irgendwelche willkürliche “Einheiten” vorauszusetzen:

    Falls du z.B. zuerst das Gitter “S” passiert hast (sagen wir mal im Spalt “Sj”),
    und danach das Gitter “T” passiert hast (im Spalt “Tk”),
    und falls diese beiden Gitter bzw. Spalte während des Versuches zueinander ruhten (was zu messen wäre),
    und falls Tk das Signal wahrgenommen hatte (bevor Tk von dir passiert wurde), dass du Sj passiert hattest,
    und falls Tk wahrgenommen hatte (bevor Tk von dir passiert wurde), dass Sj wahrgenommen hatte, dass Tk das Signal wahrgenommen hatte, dass du Sj passiert hattest,
    … usw., 74999 mal …,
    und falls Tk zusammen mit deiner Passage wahrnahm, dass Sj wahrgenommen hatte, dass Tk wahrgenommen hatte (… usw., 74999 mal …), dass du Sj passiert hattest,
    dann bewerten Sj und Tk deine (Durchschnitts-)Geschwindigkeit gegenüber diesen beiden Gittern bzw. Spalten mit (ungefähr)
    “v_ST[ du ] = c/150000”.

    > Und die kinetische Energie ist gleich mv²/2

    Na so ungefähr; d.h. sofern sich
    “c² (1/Sqrt[ 1 – (v/c)² ] – 1)” durch “v²/2” abschätzen lässt.

    Erklärst du nun noch, wie “m” festzustellen wäre (bzw. “m c² / ℏ”, sofern man “c” und “ℏ” ausdrücklich mit hinmalen möchte);
    insbesondere im Vergleich zum Kehrwert der Dauer des Spaltes Sj von deiner Passage bis zu dessen Wahrnehmung, dass Tk das Signal wahrgenommen hatte, dass du Sj passiert hattest?

    > Und weil wir den Ort des Elektrons zu jedem Zeitpunkt kennen, können wir auch seine sonstige (potentielle) Energie berechnen, die es beispielsweise durch ein angelegtes elektrisches Feld hat.

    Erklärst du nun noch, wie aus der “Amplitude für den Gesamtprozess” zu errechnen wäre, welche “elektrischen (oder anderen) Felder angelegt” waren?

  13. #13 perk
    27. Oktober 2011

    @ wappler:
    – es gefällt ihnen hier nicht

    – sie finden hier alles mehr oder weniger dumm, falsch oder unphysikalisch

    – sie lehnen jede physik vor 1905 und jede physik nach 1930 ab, tun aber so als repräsentierten sie Die Physik an sich

    ihre vorstellungen (über die physik und übers bloggen), ihre handlungen (also ihre kommentare hier) und ihre (angeblichen) ziele (verbesserung der lesbarkeit und nachvollziehbare darstellung der physik) kollidieren hier immer wieder auf so radikale und vielfältige weise, dass sich jeder beteiligte nach dem erhalt dieser signale fragt: was will der hier eigentlich?

    sie haben schon alles versucht: sich unwissend präsentieren, sich als laien ausgeben, sich als experten ausgeben usw, es hat nie funktioniert

    entweder sie merken nicht, dass sie hier falsch sind (dann sage ich es ihnen), oder sie merken es und ignorieren es (dann trollen sie)

    tun sie sich, mir und uns allen einen gefallen: eröffnen sie einen blog, beschreiben sie dort ihre forschungsergebnisse bzw forschungen, die sie interessant finden, in ihrer sprache und lassen sie ihr trollen hier sein

  14. #14 MartinB
    27. Oktober 2011

    @perk
    Das ist leider auch sinnlos – Frank Wappler reagiert auf solche Bitten nicht, ebensowenig auf Kritik oder Sarkasmus, hab ich auch schon mehrfach versucht. Das liegt vermutlich daran, dass er nicht davon ausgeht, dass es einen Messoperator gibt, mit dem sich an verschiedenen Orten befindliche Blogger und Kommentatoren einvernehmlich darüber verständigen können, wie überflüssig seine Kommentare sind…

  15. #15 Frank Wappler
    27. Oktober 2011

    perk schrieb (27.10.11 · 06:46 Uhr):
    > […] was will der hier eigentlich?

    Versprechungen nachgehen wie z.B.:

    Bewegt sich ein Elektron (wie hier) auf einem geraden Pfad zwischen zwei Punkten, dann rotiert sein Amplitudenpfeil mit konstanter Geschwindigkeit. (Wie man das verstehen kann, erkläre ich ein andermal […])

    .

    > tun sie sich, mir und uns allen einen gefallen: eröffnen sie einen blog

    Jemand, den man dermaßen charakterisiert hat, wie du mich gerade oben
    (und der es noch nicht einmal für nötig hält, zu den vorgebrachten Anwürfen konkret Stellung zu nehmen)/(und der auch noch Widerworte formuliert)
    ((das jeweils Inopportune bitte ignorieren)),
    dem kann wohl kaum das Privileg zuteil werden, einen ScienceBlog gestalten zu dürfen — oder, Jürgen Schönstein?.

    p.s.
    Und wo wäre dein Blog, perk? …

  16. #16 perk
    28. Oktober 2011

    dem kann wohl kaum das Privileg zuteil werden, einen ScienceBlog gestalten zu dürfen — oder, Jürgen Schönstein?.

    oh da lag ein missverständnis vor, ich dachte an einen der vielen tausend anderen bloganbieter

    p.s.
    Und wo wäre dein Blog, perk? …

    ich schreibe zu langsam, wenn es um freie texte geht und habe zu selten themen, über die ich gern schreiben würde und kann

  17. #17 H.M.Voynich
    28. November 2011

    “v_ST[ du ] = c/150000”

    MartinB mag zwar “irgendwelche willkürlichen” Einheiten benutzt haben – dafür war sein Ergebnis um den Faktor 1000 präziser.
    Das ist das schöne an willkürlichen Einheiten: man kann ein Gefühl für ihre Größe entwickeln.

    Danke an Martin für diese schöne Serie.

  18. #18 MartinB
    28. November 2011

    @HMV
    Danke :-)

  19. #19 Johann Prell
    Kirchdorf
    8. September 2017

    Sehr geehrter Herr Bäker,
    leider stieß ich jetzt erst auf Ihren blog ” Von der Quantenmechanik zur klassischen Physik” aufgrund eines Link in Wikipedia. Es ist die beste Erklärung zu dieser Problematik, die ich je gefunden habe. Nur die Formulierung der Lagrangefunktion, die die Energiedifferenz eines Elektrons auf irgendeinem Weg von der Quelle zum Ziel beschreiben soll, gelingt mir nicht. Vielleicht finden Sie die Zeit, diese Funktion kurz zu beschreiben. Vielen Dank im voraus
    Beste Grüße
    Johann Prell

  20. #20 MartinB
    8. September 2017

    @Johann
    Das habe ich deutlich ausführlicher in meiner Artikelserie “Ein Teilchen fliegt von A nach B” erklärt (rechts bei den Artikelserien klicken, dort in teil 1 und 3 schauen).
    Generell ist die Lagrangefunktion die Differenz der kinetischen und potentiellen Energie für ein klassisches Teilchen auf dem gerade betrachteten Weg.
    Falls es durch den anderen Artikel nicht klarer wird, gern nochmal nachfragen.

  21. #21 Johann Prell
    18. September 2017

    Hallo Martin,
    vielen Dank für Deine Antwort auf meine Anfrage vom 08.09.2017. Auf dieser Seite schreibst Du, dass es ein Kinderspiel ist, die Lagrangefunktion für einen ganz bestimmten, von uns festgelegten Pfad zu berechnen. Darf ich Dich deshalb bitten, mir die mathematische Formulierung der Lagrangefunktion der auf dieser Seite in einer Skizze festgelegten nichtlinearen Pfade zu übermitteln

  22. #22 MartinB
    18. September 2017

    @Johannes
    Die lagrange-Funktion ist
    kinetische – potentielle Energie.
    Hier haben wir kein Potential, also nur kin. Energie auf den jeweiligen Wegstücken, E=(1/2) mv²