Der Begriff “virtuelle Teilchen” fällt ja ziemlich oft, wenn man über Quanteneffekte redet. Irgendwie sind solche Teilchen nicht so richtig da, haben aber doch einen Effekt – das jedenfalls ist der Eindruck, den man oft bekommt. Manchmal wird auch mit der Unschärferelation argumentiert – für kurze Zeit können Teilchen quasi aus dem Nichts entstehen, weil dann die Energieerhaltung nicht gilt. Diese Bilder geben zwar viele wesentliche Aspekte wieder, letztlich sind sie aber ein bisschen schief. Und darüber hinaus sind eigentlich alle Teilchen, die wir beobachten, “virtuell”. Wie das? Das klären wir heute.

Im vorletzten Teil (der ist ja schon ein bisschen her, deswegen eine kleine Erinnerung) haben wir den Propagator kennengelernt, eins der wichtigsten Objekte, die es in der QFT überhaupt gibt. Der Propagator gibt an, wie groß der Einfluss einer Störung des Feldes (einer Quelle) ist. Ist x der Raumzeitpunkt, wo die Quelle sitzt und y der Raumzeitpunkt, wo wir den Einfluss der Störung wissen wollen, dann ist D(x-y) der Propagator.

Anschaulich kann man sich vorstellen, dass man am Raumzeitpunkt x einen Stein in einen Teich wirft und dann etwas später am Raumzeitpunkt y guckt, wie groß dort gerade die Wasserwelle ist. Grafisch habe ich das mit diesem Bild hier dargestellt:

i-53d09b69244dc40a4f40fe2bb6eee98d-FeynmanPropagatorMitQuellen.jpg

Modifiziertes Bild, Quelle:  CypOwn work, CC BY-SA 3.0, Link

Nach oben geht die Zeit, horizontal die Ortskoordinate. Am Punkt x sitzt unsere Quelle, die am Ort y1 einen großen Einfluss hat, am Ort y2 dagegen einen verschwindend kleinen.

Wir hatten auch gesehen, dass der Einfluss der Quellen auf die Wahrscheinlichkeitsamplitude durch -J(x) D(x-y) J(y)/2 gegeben ist. Die Wechselwirkung zwischen zwei Quellen können wir also mit Hilfe des Propagators beschreiben. Und dieser Propagator hat direkt etwas mit den “Teilchen” zu tun, die wir beobachten.

Dazu denken wir erst einmal kurz nach, wie wir eigentlich Teilchen beobachten. Wir können beispielsweise Leuchtpunkte auf einem Leuchtschirm sehen – wobei jeder Leuchtpunkt durch ein einfallendes Elektron erzeugt wurde. Dabei messen wir allerdings nur, dass ein Elektron angekommen ist und wissen nichts über seine Eigenschaften. Besser geht es vielleicht mit einer Blasenkammer – da hinterlässt das Elektron eine Spur aus Gasblasen, die man auswerten kann. Ein angelegtes Magnetfeld lenkt die Bahn des Elektrons ab, so dass sie gekrümmt ist. So sieht das aus, wenn zum Beispiel ein Elektron-Positron-Paar entsteht:

i-babc37aa58645a0e3c4ed2497dfa250c-ELECTRON-POSITRON2-piece-thumb-300x518.jpg

Quelle: CERN

Aus der Krümmung der Bahn können wir dann Informationen über den Impuls des Elektrons gewinnen (je schneller es fliegt, desto schwieriger ist es aus seiner Bahn zu bringen). Wir können uns vorstellen, dass wir zusätzlich noch einen Weg finden, das Elektron am Ende seiner Bahn tatsächlich einzufangen und es dann auf eine Waage zu legen, um seine Masse zu bestimmen. (Das könnten wir z.B. mit einem Massenspektrometer erledigen, aber ich bin ja kein Experimentalphysiker, solche technischen Details überlasse ich lieber anderen…)

Unser Elektron kommt natürlich auch irgendwoher – aus einer Elektronenkanone oder irgendeinem Prozess. Dieser Prozess ist die Quelle J(x); unsere Blasenkammer entspricht dem J(y). Zwischen den beiden Quellen fliegt jetzt das Elektron.

Diese Erklärung verwendete allerdings das Teilchenbild – ich habe ja von einem Elektron gesprochen. Wie passt das nun in unsere Quantenfeldtheorie, in der es ja eigentlich gar keine einzelnen Elektronen gibt, sondern nur Anregungen des Elektron-Feldes?

Unser Elektron transportierte Masse, Energie und Impuls (und noch ein paar andere Größen wie elektrische Ladung, Drehimpuls) in unsere Blasenkammer (wobei Energie und Impuls nur zwei Aspekte derselben Sache, des Viererimpulses, sind). Zwischen Masse, Energie und Impuls des Elektrons lässt sich eine Beziehung aufstellen, die laut der speziellen Relativitätstheorie für jedes Teilchen gilt.

i-32267808eacd04e03c1838306169613f-WarnschildFormelWinzig.jpg

Es gilt

E ist die Energie, m die (Ruhe-)Masse, p der Impuls und c die Lichtgeschwindigkeit, die ich hier mal netterweise (hoffentlich richtig) wieder eingebaut habe.

Nach den Regeln für Vierervektoren können wir das umschreiben als

Dann steht auf der linken Seite direkt das Quadrat des Viererimpulses.

i-f8eb1420da56fbf0a14eb4e5c2f3c1c2-WarnschildFormelWinzigEnde.jpg

Aus dieser ganzen Überlegung folgt: Ein Teilchen, das wir beobachten, muss eine bestimmte Beziehung zwischen Energie, Impuls und Masse erfüllen.

Beschreibt man das Teilchen quantenmechanisch, dann kann man dazu ja die Wellenfunktion verwenden, die ich hier und sehr ausführlich (für den nicht-relativistischen Fall) auch in dieser Serie erklärt habe. Die Wellenfunktion beschreibt ein einzelnes Teilchen als Welle oder als Überlagerung von Wellen zu einem Wellenpaket, so wie in diesem Bild vom letzten Mal:

Sinc function (normalized).svg
By OmegatronOwn work, CC BY-SA 3.0, Link

Für die Wellenfunktion gilt, dass die Frequenz der Welle mit der Energie des Teilchens zusammenhängt. Es gilt E=hν=ħω, mit ν als Frequenz und ω=2πν als “Kreisfrequenz”. Der Impuls p und die Wellenzahl k (hier fettgedruckt, weil es dreidimensionale Vektoren sind) hängen ebenfalls zusammen: pk. Unsere Beziehung für Energie und Impuls übersetzt sich dabei zu
ω2k2=m2
(wobei ich ab jetzt wieder Faktoren von c und ? weglasse.)

ω und k bilden zusammen den Vierervektor aus Frequenz und Wellenzahl (folgt dem Link, wenn ich euch nicht mehr erinnert, ist ja schon ne Weile her). Wie meist sind die mathematischen Details nicht so wichtig, wichtig ist hier nur, dass für ein Teilchen der Impuls (oder die Wellenzahl) und die Energie (oder die Frequenz) zusammenhängen und keine beliebigen Werte annehmen können.

i-32267808eacd04e03c1838306169613f-WarnschildFormelWinzig.jpg

Ausgeschrieben ist unsere Energie-Impuls-Beziehung jetzt

oder in Kurzform

Ganz kurz können wir das auch schreiben als

i-f8eb1420da56fbf0a14eb4e5c2f3c1c2-WarnschildFormelWinzigEnde.jpg

Aber wir haben ja bisher keine “Teilchen” und nicht mal Wellenfunktionen für einzelne Teilchen, sondern zwei Quellen mit einem Propagator, richtig? Was wir jetzt tun müssen, um den Zusammenhang zwischen Teilchenbild und dem Propagator herzustellen, ist, den Propagator D(x-y) so umzuschreiben, dass wir ihn aus lauter Wellen zusammensetzen, die wir mit Frequenz und Wellenzahl beschreiben können. Dann können wir nämlich direkt prüfen, ob die richtige Beziehung zwischen Frequenz und Wellenzahl immer erfüllt ist; wenn sie das ist, dann beschreibt unser Propagator eine Störung unseres Quantenfelds, die sich wie ein Teilchen verhält – die Störung transportiert dann Masse, Energie und Impuls in der richtigen Menge.

Um den Propagator, der ja eine Funktion von (x-y) ist (wobei x und y vierdimensionale Raumzeitkoordinaten sind – immer dran denken, wir haben hier eine relativistische Theorie), in Wellen umzuschreiben, verwenden wir den Trick mit den Wellen, die Fourier-Transformation: In einer Dimension können wir jede Funktion als Summe über lauter Sinus- und Kosinus-Funktionen darstellen, die unterschiedliche Wellenlängen haben.

Unser Propagator hat jetzt aber nicht eine einfache Zahl als Argument in der Klammer, sondern (x-y). x und y sind zwei Raumzeitpunkte, für die man jeweils 4 Zahlen braucht. Um den Wert von (x-y) festzulegen, braucht man entsprechend auch vier Zahlen (und nicht etwa acht), denn es kommt nur auf die Differenz, also den Raumzeitabstand an.

Der Propagator ist also eine Funktion mit 4 Argumenten oder, anders ausgedrückt, eine Funktion in der vierdimensionalen Raumzeit. Wenn wir eine beliebige Funktion in vier Dimensionen mit Wellen darstellen wollen, dann reicht ein einfacher Sinus natürlich nicht – man muss Sinusse in unterschiedlichen Richtungen überlagern. Hier zum Beispiel ein paar Beispiele für solche Überlagerungen in zwei Dimensionen (direkt aus meinem Vorlesungsskript):

i-b4193f0a48ae78a2aa0448f6f7ec3f5f-fourier2d.jpg

Hier braucht man also beliebige Wellen in x- und y-Richtung, die man überlagert. Mit lauter solchen Wellen in x- und y-Richtung kann man jetzt auch wieder jede (hinreichend gutartige) mathematische Funktion darstellen. Man braucht dann Wellen in x- und y-Richtung, entsprechend gibt es also Wellenlängen oder Wellenvektoren für die x- und für die y-Wellen. Im rechten oberen Bild zum Beispiel ist die Wellenlänge in x-Richtung doppelt so groß wie die in y-Richtung.

In drei Dimensionen geht es genauso (mit einer zusätzlichen z-Richtung), ist aber schwieriger zu zeichnen. Der zugehörige Wellenvektor k ist dann ein dreidimensionaler Vektor und ist natürlich genau der, der mit dem Impuls der Welle zusammenhängt.

Wenn noch die Zeit hinzukommt, dann müssen wir jetzt unsere Wellen auch noch zeitlich oszillieren lassen, also als Sinus- und Kosinus-Funktionen in der Zeit schreiben. Die Frequenz der zeitlichen Oszillationen ist wieder ω – um eine beliebige Funktion darzustellen, müssen wir natürlich auch wieder verschiedene Wellen mit unterschiedlichem ω überlagern.

Wir brauchen also alle möglichen Wellen in Raum und Zeit, gekennzeichnet durch ihre Wellenzahlen k und ihre Frequenzen ω. Mit denen können wir den Propagator jetzt als Kombination aus Wellen darstellen.

i-32267808eacd04e03c1838306169613f-WarnschildFormelWinzig.jpg

Die Formel lautet

oder, wenn man die Vierervektoren auseinanderzieht und (x-y) als (Δt, Δx) umschreibt (wie üblich ohne Garantie, dass ich alle Vierervektoren vorzeichentechnisch richtig aufgedröselt habe)

Bemerkenswert an den Formeln ist vor allem der Ausdruck iε im Nenner des Bruchs. Das ist ein mathematischer Trick, der dafür sorgt, dass das Integral nicht gleich explodiert, wenn k2=m2 ist. Löst man das Integral mit den Mitteln der Funktionentheorie, dann kann man mit dem ε dafür sorgen, dass am Ende alles sauber herauskommt (und das ε sollte am Ende aus der Rechnung herausfallen). Das sind aber mathematische Tricksereien, die ich bestimmt nicht erkläre, dazu ist meine Funktionentheorie-Vorlesung viel zu lange her.

i-f8eb1420da56fbf0a14eb4e5c2f3c1c2-WarnschildFormelWinzigEnde.jpg

Aber halt! Sollten nicht Wellenzahl und Frequenz in genau der richtigen Beziehung zueinander stehen, damit wir ein Teilchen beschreiben können? Müssten nicht also in der Formel für den Propagator nur diejenigen Kombinationen von ω und k auftreten, mit denen wir die richtige Energie-Impuls-Beziehung bekommen?

Schreibt man die Formel J(x)D(x-y)J(y)/2 in Wellenform um, dann stellt man fest, dass das zunächst nicht der Fall ist – alle möglichen Wellen leisten einen Beitrag und nichts garantiert, dass ω und k zueinander passen, dass also ω2k2=m2 gilt . (Die Rechnung findet ihr im Buch von Zee, Kap. 1.4 oder vermutlich in jedem QFT-Buch der Welt.)

Je größer allerdings der Raumzeit-Abstand (x-y) zwischen den Quellen wird, desto stärker ist der Beitrag von nur genau den Wellen, bei denen ω und k im richtigen Verhältnis stehen, bei denen also ω2k2 gleich m2 ist. Im Grenzfall einer sehr sehr weiten Entfernung (denkt im Zweifel an ein Teilchen der kosmischen Strahlung, aber auch ein paar Zentimeter und Zeitabstände im Mikro- oder Millisekundenbereich sind in der Quantenwelt ja schon viel) ist der Beitrag solcher Feldkonfigurationen, bei denen ω2k2 ungleich m2 ist, verschwindend klein. Die Feldanregung sieht dann genau so aus wie ein Teilchen der Masse m, sie trägt Energie und Impuls in genau dem richtigen Verhältnis. Solche Anregungen sind das, was wir als “echte” Teilchen kennen. Auf diese Weise haben wir also (endlich) dem Extra-Term mit dem Parameter m einen Sinn verliehen: m ist die (Ruhe-)Masse der beobachteten Teilchen.

Wenn sich also eine Anregung von einer Quelle ausgehend über einen längeren Raumzeit-Abstand ausbreiten, dann kann diese Anregung wie einer Überlagerung aus Wellen beschrieben werden, die alle (in sehr guter Näherung) die richtige Frequenz-Wellenzahl-Beziehung (oder Energie-Impuls-Beziehung) haben, und zwar zu einem Teilchen mit einer Masse m. Wir messen deshalb ein Teilchen, und nicht eine beliebige Feldanregung.

Wie haben ja neulich schon diskutiert, warum man auch in einer Feldtheorie keine “halben” Elektronen sehen kann. Hier sehen wir dass dies nicht nur – wie neulich – für einzelne ebene Wellen gilt, deren Energie quantisiert ist, sondern auch für Störungen des Quantenfeldes, die sich ausbreiten. Messbare Anregungen durch Elektronen gibt es eben für Wellen, die eine Energie und einen Impuls tragen, die genau zur Masse m passen. Bei m/2 zum Beispiel, der halben Teilchenmasse, ist der Wert des Propagators dagegen klein, also sehen wir halbe Elektronen nicht. Von unserer Quelle breiten sich also Wellen aus, die sich mathematisch beschreiben lassen wie Teilchen der Masse m – unsere Feldtheorie hat also etwas wiederentdeckt, das wir schon wussten, nämlich dass es Teilchen gibt.

Weicht dagegen ω2k2 von m2 ab, dann erfüllt die Welle die richtige Energie-Impuls-Beziehung nicht. In diesem Fall spricht man von einem “virtuellen” Teilchen. (Manchmal sagt man auch, dass das Teilchen nicht “auf der Massenschale” ist.) Die Begriffe “reales” und “virtuelles” Teilchen werden sehr häufig verwendet – schaut man aber ganz genau hin, dann sind alle Teilchen, die wir beobachten, “ein bisschen” virtuell, denn einen gewissen Beitrag der Terme mit ω2k2 ungleich m2 gibt es immer. Wenn dieser Beitrag aber für alle praktischen Zwecke im Rahmen jeder Messgenauigkeit verschwindet, dann spricht man eben von einem “realen” Teilchen. Auf hinreichend kurzen Raumzeitabständen kann es durchaus einen nennenswerten Beitrag eines “halben Teilchens” geben (also mit ω2k2= m2/4), aber diese Abstände sind so winzig, dass wir die entsprechenden Effekte nie als ein Teilchen wahrnehmen, denn Teilchen impliziert ja, dass wir ein Objekt haben, dass sich von der Umwelt isolieren lässt.

Das ist übrigens mal wieder ganz typisch für Physiker: Sie denken sich Begriffe wie “virtuelles Teilchen” aus und unterscheiden sie von “realen Teilchen”, weil das konzeptionell einfach ist, auch wenn diese Unterscheidung sich gar nicht ganz strikt treffen lässt. Sie hilft der Anschauung (in der Sprache von Daniel Dennett nennt man so etwas eine “intuition pump” – Intuitionspumpe -, wobei Dennett den Begriff vor allem für Gedankenexperimente verwendet) und ist nützlich, wenn man sich ein grobes Bild machen will. Wenn’s dagegen hart auf hart kommt, dann greift man lieber zu den Formeln, in denen diese klare Trennung so nicht drin steckt.

Und auch diese Feinheit ist etwas, das in den meisten Quantenfeldtheoriebüchern nicht erklärt wird, da wird munter von “realen Teilchen” gesprochen, obwohl die streng genommen nur ein Grenzfall sind. In den Worten von Feynman, der sich auf Photonen bezieht:

Of course any photon that has a physical effect may be considered as a virtual photon since it is not observed unless it interacts, so that observed photons never really have ω=± k. There are, however, no difficulties in passing to the limit; physically, we know of photons that come from the moon, or the sun, for which the fractional difference between ω and k is very, very small.
[Natürlich kann jedes Photon, das einen physikalischen Effekt hervorruft, als virtuelles Photon betrachtet werden, denn es wird nicht beobachtet wenn es nicht wechselwirkt, so dass beobachtete Photonen niemals wirklich ω=± k erfüllen. Es macht aber keine Schwierigkeiten, zum Grenzfall überzugehen; physikalisch kennen wir Photonen die vom Mond oder der Sonne kommen und für die der Bruchteil an Differenz zwischen ω und k sehr sehr klein ist.]

(Quelle: “Feynman Lectures on Gravitation” – übrigens ein tolles Buch, über das ich auch noch mal was schreiben muss.)

Jetzt kann natürlich jemand kommen und sagen “Moment mal. Du schreibst ein paar Formeln hin, machst ein bisschen Formalismus und – Tusch, Applaus – plötzlich hast du bewiesen, dass es keine halben Elektronen geben kann? So ganz ohne Experiment, durch bloßes Nachdenken? Wie soll das denn gehen?”

Wenn ihr euch diese Frage gestellt habt: Glückwunsch zu eurer physikalischen Intuition. Der Einwand ist völlig berechtigt. Ich habe oben den Extra-Term eingeführt und jetzt gezeigt, dass er zur Teilchenmasse gehört. Würde man auch halbe Elektronen beobachten, dann müsste ich einen zweiten Extra-Term mit Parameter m/2 einführen, und würde man beliebige Bruchstücke von Elektronen beobachten können, dann müsste man ebenfalls einen entsprechenden Term einführen.

i-32267808eacd04e03c1838306169613f-WarnschildFormelWinzig.jpg

Mathematisch müsste man wohl eine Funktion m(μ) definieren und die Lagrange-Funktion um einen Term ∫ m(μ)^2 φ^2 d μ erweitern.

Berücksichtigt man noch die Elektronenladung, wird die Sache noch etwas komplizierter, weil die “halben” Elektronen vielleicht auch nur die “halbe” elektrische Ladung tragen würden, man müsste also an den entsprechenden Term auch eine passende Funktion dranbauen.

i-f8eb1420da56fbf0a14eb4e5c2f3c1c2-WarnschildFormelWinzigEnde.jpg

Ich habe keine Ahnung, ob jemand schon mal so eine Feldtheorie zusammengebastelt hat und ob die zu etwas gut wäre. Wir beobachten jedenfalls keine halben Elektronen, und es ist zumindest vom ästhetischen Standpunkt her befriedigend, dass der einfachste Extra-Term, den man sich ausdenken kann, genau dafür sorgt, dass eine bestimmte Teilchensorte nur eine bestimmte Masse hat.

Insofern habe ich die Frage “Warum gibt es keine halben Elektronen” nicht wirklich beantwortet – ich habe nur gezeigt, dass die einfachste denkbare Feldtheorie den jeweiligen Teilchen eine eindeutige Masse zuweist. (Die übrigens auch Null sein kein.) Die Physik ist und bleibt nun mal eine empirische Wissenschaft.

Wenn ihr die Serie bis hierher durchgehalten habt, dann herzlichen Glückwunsch: Mit dem Propagator habt ihr eins der wichtigsten Elemente der Quantenfeldtheorie kennengelernt. Er ist zentral für sehr viele Berechnungen, insbesondere auch für die berühmten Feynman-Diagramme. Wie man die aus dem Formalismus herzaubert, schauen wir uns auch demnächst an.

Vorher wäre es aber wirklich toll, wir würden mal eine echte physikalische Problemstellung angehen, oder? Was bedeutet es eigentlich physikalisch, wenn zwei Quellen per Propagator ein “Teilchen” austauschen? Das werden wir uns als nächstes ansehen und dabei herausbekommen, wieso Teilchen Kräfte vermitteln können. (Ein bisschen mag es aber noch dauern, bis der nächste Teil erscheint, mir fehlen noch ein oder zwei Ideen – hat jemand eine gute anschauliche Begründung, warum der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung beschreibt?)

Kommentare (40)

  1. #1 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “Ich habe keine Ahnung, ob jemand schon mal so eine Feldtheorie zusammengebastelt hat und ob die zu etwas gut wäre. Wir beobachten jedenfalls keine halben Elektronen”

    Da hätt’ ich was für Dich.

  2. #2 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “…warum der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung beschreibt?”

    Laut Wikipedia ist doch dieser Operator die Zeitentwicklung (siehe auch “Hamilton-Funktion”), also genau dafür gemacht…

    Herzliche Grüße.

  3. #3 MartinB
    13. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Interessant, was man alles mit Quasi-Teilchen machen kann.

    Was den Hamiltin angeht – der ist ja Zeitentwicklungsoperator und Energieoperator; ich suche ein Argument, warum das eine das andere impliziert. (Ich weiß nen Haufen Herleitungen und formale Argumente, aber kein so richtig griffiges Argument für Nicht-Physiker.)

  4. #4 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    Ist eigentlich in Materialien mit Brechungsindex n>1 der Virtuell-Anteil größer? Darin ist doch ebenfalls ω²-k² ungleich m² des Lichts, oder?

  5. #5 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “warum das eine das andere impliziert”

    Vielleicht hilft das:
    – Bei Wellen ist die Energie die zeitliche Änderung dessen, was die Welle ausmacht. Je größer diese (periodischen) Änderungen, desto höher die Energie. Energie und Zeit sind in einer Welle sozusagen dasselbe, nur ineinander umgerechnet.
    – Daher ist das Produkt aus beiden auch in der Heisenberg-Ungleichung enthalten.
    – Auch das Noether Theorem könnte hier weiterhelfen.

    Herzliche Grüße.

  6. #6 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    “Je größer diese (periodischen) Änderungen, …”
    gemeint ist natürlich
    “In je kürzerer Zeit diese Änderungen erfolgen, …

  7. #7 MartinB
    13. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Ja, das sind einige der Erklärungen, die mir auch einfallen – Wellen, Noether, auch unschärfe. Aber irgendwie gibt es garantiert ein schlagendes Argument, warum Energie/Zeit in passender Weise konjugiert sind.
    Das mit dem imaginären Brechungsindex blicke ich gerade gar nicht, aber ich habe auch wenig Zeit, ich jage gerade einen logarithmus in einer Formel…

  8. #8 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    Vielleicht ist es besser, die Zeit in Form von Frequenz zu betrachten.
    Dann wird nämlich vieles anschaulicher: Energie pro Frequenz ist ja sehr geläufig als Wirkung…

    Viel Erfolg beim fröhlichen ln-Jagen…

  9. #9 Niels
    13. Januar 2012

    mir fehlen noch ein oder zwei Ideen – hat jemand eine gute anschauliche Begründung, warum der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung beschreibt?

    Hm, das ist doch eigentlich eins der Postulate der QM, oder?

    Obiges folgt ja aus der Unitarität des Zeitentwicklungsoperators bzw. aus der Hermitezität des Hamilton-Operators.
    Eine dieser Eigenschaften muss man doch postulieren, damit die Norm des Zustandsvektors zeitlich konstant ist, weil man sonst keine Messwahrscheinlichkeiten vorhersagen kann.

    Tja, das war jetzt wahrscheinlich nicht so wahnsinnig hilfreich…
    Kann man denn Hermitezität bzw. die Unitarität denn irgendwie anschaulich beschreiben?

  10. #10 MartinB
    13. Januar 2012

    @Niels
    Vielleicht habe ich mich mit der Frage ja auch ungeschickt ausgedrückt, ich hätte vielleicht schreiben sollen:
    “Warum der Energieoperator die zeitentwicklung beschreibt.”
    Klar, das steckt letztlich in der Schrödingergleichung, aber die gilt ja in der QFT nicht mehr. Über Frequenz-Argumente u.ä. kann ich mir das auch überlegen, aber mir fehlt noch ein richtig schlagendes intuitives Argument.

  11. #11 Thomas Wolkanowski
    13. Januar 2012

    Hallo, Martin. Du hast doch vor einiger Zeit eine Reihe zur Schrödingergleichung gemacht. Der Hamiltonian ist nur im Infinitesimalen auch gleichzeitig der Zeitentwicklungsoperator – du könntest von der Schrödingergleichung aus starten und im Infinitesimalen schnell durch einfache Differenzbetrachtung zeigen, dass automatisch der Hamiltonian auf der rechten Seite steht und somit den “früheren Zustand (rechts) zum späteren (links) propagiert hat”. Der ganze Beitrag tritt bloß als zusätzlicher Beitrag auf, der zum früheren aufaddiert wird. Könnte man noch ein schönes Bildchen zu machen.

    Ich hoffe, es handelt sich bei dir nur um einen Logarithmus im Reellen… im Komplexen veranstalten die nämlich immer gernen einen Zirkus.

  12. #12 MartinB
    13. Januar 2012

    @Thomas
    Ja, das ist auch einer der Ansätze, an die ich gedacht habe (ich habe ne menge überlegt, bevor ich den Satz oben reingeschrieben habe…) – Problem ist nur, dass ich es ziemlich unschön finde, mit der SGL zu starten, wenn ich QFT mache. Ich hoffe immer noch,d ass es einen intuitiveren Weg gibt.

  13. #13 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    “Warum der Energieoperator die zeitentwicklung beschreibt.”

    E = hf = ħω

    und daher ist die Zeitentwicklung zB. einer Welle am Ort x

    e^[i·(k·x – ω·t)] = e^[i·(k·x – E·t/ħ)]

    direkt beschrieben durch die Energie…

  14. #14 MartinB
    13. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Ja klar, wenn ich dann den Zeitentwicklungsoperator anwende, kommt das richtige raus – das macht die Sache ja aber nicht eindeutig. Wie gesagt, Wellen, Noether, Unschärfe sind alles Sachen, über die ich auch schon nachgedacht habe. Mein “Bauchgefühl” sagt mir aber, dass man das einfacher erklären kann…

  15. #15 SCHWAR_A
    13. Januar 2012

    @MartinB:
    Täusche ich mich, oder ist die eigentliche Frage:
    “Wie erkläre ich, daß aus dem Laplace-Operator (Totales Differential), also rein ortsbezogen, die Wellengleichung mit Zeitentwicklung wird?”

  16. #16 MartinB
    14. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Nein, für mich ist die Frage nach wie vor :
    Wie erkläre ich, dass H (also die Energie bzw. der Hamilton-Operator) die Zeitentwicklung beschreibt, z.B. in
    psi(t) = exp(iHt) psi(0)

    Ich bin mir inzwischen nicht so ganz sicher, ob man das wirklich beweisen kann oder ob das nur durch Plausibilität aus der klassischen Physik gefolgert werden kann (z.B. darüber, dass d/dt der Generator einer infinitesimalen Zeitverschiebung ist und die Hamiltonfunktion die zugehörige Erhaltungsgröße) und letztlich als Quantenmechanisches Postulat anzusehen ist.

  17. #17 Thomas Wolkanowski
    14. Januar 2012

    Nun, diese Lösung erfüllt schlicht und ergreifend die Schödingergleichung. Letztere kommt jedoch (für gewönlich) aus einem Postulat der QM, so dass ich dir bei deiner letzten Aussage im Kern beipflichten würde. Die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung ergibt sich ja rein heuristisch nach dem Korrespondenzprinzip (also letztlich wieder aus der klassischen Physik). Rein mit unitären Transformationen zu argumentieren ist zwar mathematisch besonder schön (vor allem weil die Schrödingergleichung in Ortsdarstellung dann automatisch auf die Bühne tritt), aber sprengt deine angestrebte Anschaulichkeit. Auch eine Ableitung durch ein Pradintegral erscheint nicht wünschenswert.

    Ich glaube, irgendetwas wirst du wohl voraussetzen müssen.

  18. #18 SCHWAR_A
    14. Januar 2012

    @MartinB:

    Bei Wikipedia (deutsch) “Zeitentwicklung” finde ich “Explizite Form”.
    Dieser Abschnitt zeigt ziemlich schön, wie sich die Zeitentwicklung aus dem Diskreten ergibt.
    (Du hast übrigens ein 1/ħ im Exponenten unterschlagen :-()

    Wenn Du darstellen möchtest, warum H überhaupt eine zeitliche Änderung darstellt bzw. generiert, könntest Du über die Ortsdarstellung des Impuls-Operators gehen, zB. wie in Wikipedia (deutsch) “Hamiltonoperator” im Abschnitt “Quantenmechanisches Teilchen im Potential” dargestellt. Das folgt quasi dem Weg

    Energie -> Impuls -> LaplaceOperator,

    der letztlich zur Wellengleichung, also einer zeitlichen Entwicklung führt.

  19. #19 MartinB
    14. Januar 2012

    @SCHWAR_A
    Wir reden irgendwie aneinander vorbei: Mir ist vollkommen klar, wie man aus der SGL zeigen kann, dass der Hamilton-Operator der Zeitentwicklungsoperator ist.
    Ich suche ein *anschauliches* Argument (ohne oder mit wenig Formeln), mit dem man das *intuitiv* einsehen kann. Denn in der ganzen Serie versuche ich ja immer, die Sachen, die man normalerweise durch Formelei beweist, auch formelfrei zumindest halbwegs einleuchtend zu erklären.
    Und dieses anschauliche Argument sollte auch eigentlich ohne die SGL auskommen – denn die SGL ist ja nicht gerade fundamental, wenn man über QFT redet.

    Eine Möglichkeit ist natürlich, zu zeigen, dass Ort und Impuls passend konjugiert sind – dann kann ich über relativistische Invarianz argumentieren.

  20. #20 Christian
    14. Januar 2012

    Ich finde in Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics wird das sehr schön erklärt (Kapitel 3.3 – Generators of the Galileo Group). Ihre Argumentation ist bisher das mathematisch Strengste und gleichzeitig auch das konzeptionell Anschaulichste, was ich in Bezug auf die Frage, warum H die Zeitentwicklung und P die örtliche EntwicKlung der Wellenfunktion beschreibt, gelesen habe. In Grundzügen und meinen eigenen Worten geht ihre Argumentation so:
    Der Operator exp(i*tau*d/dt) bescheibt die zeitliche Änderung der Wellenfunktion um das Zeitintervall tau, exp(i*lambda*d/dx) entsprechend die örtliche Änderung der Wellenfunktion um lambda (Translationsoperator, irgendwo ist mit Sicherheit ein Vorzeichen falsch^^). Diesen Schritt kann man, denke ich, auch Laien mittels Taylor veranschaulichen und verständlich machen. Ballentine findet daraufhin mehrere Operatorgrößen (Ort, Impuls, Geschwindigkeit, Energie..), deren Eigenwerte sich von den klassischen Größen Ort, Impuls, etc. sich nur durch einen Faktor unterscheiden. Dieser Faktor entpuppt sich dann als h-quer.
    In Analogie zur klassischen Physik werden dann die Operatoren auch “Ort”, “Impuls”, “Energie”, etc. genannt (an dieser Definitions-Stelle muss man wahrscheinlich kurz Noether erwähnen). Von Energie- nach Hamiltonoperator sollte es dann nicht mehr soo weit sein.
    Mir ist klar, dass Ballentines Erklärung für Laien viel zu detailliert ist, aber die Grundideen und der Ausgangspunkt mit den Translationsoperatoren sollten auch einem Anfänger mit ein bisschen Didaktik verständlich zu machen sein. 🙂

  21. #21 SCHWAR_A
    14. Januar 2012

    “die SGL ist ja nicht gerade fundamental, wenn man über QFT redet.”

    Na klar, weil sie letzlich im Laplace des H-Operators steckt. Also will dieser Zusammenhang, “Laplace -> Wellengleichung”, anschaulich dargestellt werden.

    Ich würde das ganz anschaulich im Diskreten anfangen, und wenn dann das Totale Differential diskret dasteht, also die “Triebfeder” der zeitlichen Änderung der Änderung, den Übergang zur Wellengleichung mit dem Laplace-Operator machen…

    So ganz ohne Rechnung geht es zwar nicht, aber die sind bis zu diesem Übergang einfach und leicht nachzuvollziehen, völlig ohne QFT.

    “Dieser Faktor entpuppt sich dann als h-quer.”

    …sollte man also in diesem Kontext (und sonst auch) nicht unterschlagen…;-)

  22. #22 MartinB
    14. Januar 2012

    @Christian
    Sieht ganz gut aus, das schaue ich mir mal näher an – es scheint so halbwegs zu meiner Intuition zu passen. Danke

    @SCHWAR_A
    So ganz habe ich deinen Zugang noch nicht verstanden. Ich denk noch mal drüber nach.

  23. #23 SCHWAR_A
    14. Januar 2012

    @MartinB:
    …ich hab’ Dir was per eMail geschickt, hier wäre es wohl zu lang…

  24. #24 mar o
    15. Januar 2012

    Die Herangehensweise von Ballentine über die Galilei-Gruppe finde ich auch super. Der Zusammenhang zwischen Zeitentwicklung und Energie ist mir mittlerweile quantenmechanisch klarer als klassisch. Kennt jemand ein gutes Buch, wo das analog für die klassische Mechanik gemacht wird? (also die Beziehungen der Generatoren der Galileo-Gruppe untereinander und zu den dynamischen Variablen hergeleitet). Das hat glaube ich was mit den kanonischen Transformationen der Hamiltonschen Mechanik zu tun. Vielleicht helfen ja auch die Referenzen von Ballentine weiter.

    Noch zwei Anmerkungen:
    1) Zumindest für ein einzelnes Teilchen lässt sich aus dem Blickwinkel auch gut der Zusammenhang mit dem Propagator herstellen. Den kann man ja als Matrixelement des Zeitentwicklungsoperators ansehen: <x’|U(t’-t)|x>.
    2) Die SGL gilt doch auch in der QFT. Nur eben nicht für die Felder (die sind ja Operatoren), sondern wie üblich für die Zustände.

  25. #25 MartinB
    15. Januar 2012

    @mar o
    Äh, die SGL kann in der relativistischen QFT doch nicht gelten (außer als Grenzfall) – oder beziehst du dich auf die QFT in der Festkörperphysik?

    Was den Rest angeht, ich muss nochmal ein paar Bücher wälzen (ich glaube, im Kuypers ist der ganze Mechanik-Kram gut erklärt, ist aber schon ewig her). Und ich muss mir nochmal für die Serie ganz genau klar werden, was ich eigentlich genau für eine Aussage brauche.

    Also @alle (besonders @Bjoern), nicht ungeduldig werden, der nächste Teil kommt. irgendwann. (Hab im Moment an den Wochenenden weniger Zeit als üblich, und da gibt’s noch andere spannende Dinge, die unbedingt verbloggt werden wollen…)

  26. #26 mar o
    15. Januar 2012

    @MartinB:
    Du beziehst dich wahrscheinlich auf die nicht-relativistische SGL in Ortsdarstellung. Die gilt in der QFT natürlich nicht mehr. In ihrer allgemeinen Form gilt die SGL aber in jedem Quantensystem. Der Hamiltonian für das elektromagnetische Feld z.B. besteht aus einer Summe von harmonischen Oszillatoren, für jede Mode einen.

  27. #27 MartinB
    16. Januar 2012

    @mar o
    Ach so – für dich ist SGL sozusagen alles, was die Form H psi=E psi (oder i d/dt psi) hat.

  28. #28 Patrick
    10. Februar 2012

    Hallo Martin
    Ich wollte mich mal ganz herzlich bedanken für Deine Serie hier. Ich habe bereits die Erklärungen zur Schrödingergleichung durchgearbeitet und prima verstanden, obwohl ich nicht Physik studiert habe. Ganz prima finde ich die Formelteile, weil ich im Gegensatz zu Physikbüchern die Chance habe, sie zu verstehen. Im Moment bin ich zwar hart am Limit meiner geistigen Kapazitäten :-), aber zuversichtlich, die grundlegendsten Geheimnisse des Universums ein bisschen verstehen zu können.
    dafür vielen Dank

  29. #29 MartinB
    10. Februar 2012

    @Patrick
    Freut mich sehr – und demnächst geht’s um eins der wirklich grundlegenden geheimnisse: Warum stoßen sich gleiche elektrische Ladungen ab, aber Massen ziehen sich immer an? Das kann man direkt aus der QFT ableiten, wenn man ein bisschen schlampig ist, ist’s nicht mal sehr schwer.

  30. #30 Patrick
    11. Februar 2012

    @Martin
    Ich bin schon sehr gespannt. Denn mit den Wasserwellen, die ich immer noch in meiner Vorstellung habe, funktioniert das nicht, die gehen einfach durch einander hindurch :-}

  31. #31 MartinB
    11. Februar 2012

    @Patrick
    Ja, Wasserwellen sind ja auch (nahezu) linear und lassen sich überlagern. Bis wir ne echte selbst-wechselwirkende QFT bekommen, dauert’s es aber noch ein bisschen.
    Morgen sollte der nächste teil aber fertig sein, da gibt’s dann zumindest Anziehungskräfte.

  32. #32 Aljo
    28. Januar 2014

    Ein äußerst hilfreicher und anschaulicher Beitrag!
    Ich bin froh eine Erklärung zu hören, die auf “Energie-Zeit-Unschärfe” verzichtet!
    Danke Martin!

  33. #33 MartinB
    28. Januar 2014

    @Aljo
    Freut mich, gern.

  34. #34 MartinB
    28. Januar 2014

    Ach so, Nachtrag: Zur “Energie-Zeit-Unschärfe” siehe auch hier:
    https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2013/08/04/was-ist-das-vakuum/
    hier
    https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2013/08/31/kann-man-das-vakuum-polarisieren/
    und in den anderen Artikeln zum Vakuum aus dem August und September letzten Jahres.

  35. #35 Anton
    Singen
    20. Oktober 2016

    Ein sehr interessanter und umfangreicher Beitrag zum Thema virtuelle Teilchen.

    Virtuelle Teilchen sind für die Karftwechselwirkung verantwortlich. Wenn man für die Formel w^2-k^2=m^2, m=0 setz bekommt als Wechselwirkungsteilchen virtuellen Photonen. Die virtuellen Photonen sind für das elektromagnetische Feld, bzw. die elektromagnetischen Kräfte verantwortlich.

    Ich hätte zwei Fragen dazu:
    Wenn ich das elektromagnetische Feld eines Elektrons messe, messe ich die Wechselwirkung meines Messgerätes mit dem virtuellen Photonen des Elektrons? Ist das physikalisch korrekt?
    Was passiert mit dem elektromagnetischen Feld eines Elektrons, wenn das Elektron sich an zwei Orten befindet, zum Beispiel, wenn es einen Doppelspalt passiert. Das sollte aufgrund seiner Welleneigenschaften, doch möglich sein?

  36. #36 MartinB
    20. Oktober 2016

    @Anton
    ” Ist das physikalisch korrekt?”
    Kann man zumindest so sehen, wenn man möchte – aber immer im Kopf behalten, dass letztlich alle denkbaren Feynmandiagramme involviert sind.

    “Das sollte aufgrund seiner Welleneigenschaften, doch möglich sein?”
    Ja, das em-Feld ist dann auch in einem entsprechenden Überlagerungszustand.

  37. #37 AntonH
    Karlsruhe
    8. Februar 2017

    Hallo Herr martinB, ich hätte eine weiterführende Frage:
    Ein Elektron befindet sich gleichzeitg in zwei Punkten A und B. Wie sieht das em-Feld dieses Elektrons aus, wenn man es messen würde? Würden man Interferenzeffekte, wie bei einem Doppelspalt sehen?
    Der Grund für Interferenzeffekte ist doch, dass ein Photon mit sich selber interferiert, bzw. mit den mögliche Pfaden, die es nehmen kann. Die Frage ist gilt das auch für Virtuelle Photonen.

  38. #38 MartinB
    8. Februar 2017

    @AntonH
    “Wie sieht das em-Feld dieses Elektrons aus, wenn man es messen würde? Würden man Interferenzeffekte, wie bei einem Doppelspalt sehen?”
    Das em-Feld eines Elektrons ist ja erstmal ein Coulomb-Feld, da sieht man keine Interferenz. Wenn das Elektron schlicht eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit an verschiedneen Punkten hat, dann kann man klassisch einfach so tun, als wäre es ne ladungsverteilung.
    Wenn du auf Photonen-Ebene gucken willst, musst du dich fragen, mit welchem Prozess du die Photonen messen willst. Man kann dann alle Möglichkeiten addieren (wie bei feynmandiagrammen) und damit die Wahrscheinlichkeit für mögliche Messungen berechnen.
    Aus nem statischen Elektron bekommst du aber soweit ich sehe (ich garantiere aber nicht, dass ich nicht nen fiesen Effekt übersehe) keine Interferenzeffekt – schon deswegen nichts weil es da nichts gibt, was ne Frequenz auszeichnen könnte.
    War’s das, was du wissen wolltest?

  39. #39 Anton Hasenkampf
    Karlsruhe
    10. Februar 2017

    Ich möchte mich für Ihre schnelle Antwort bedanken.
    Ich habe mich mit den Feyenmandiagrammen beschäftigt und wenn ich die richtig verstehe ist der entscheidende Faktor für einen Interferenzeffekt, das es verschiedene Möglichkeiten gibt, wie ein Prozess stattfinden kann. Wenn es mehr als eine Möglichkeit gibt, werden die Amplituden für alle Prozesse addiert und danach wird quadriert.
    Wenn sich ein Elektron gleichzeitig in A und B befindet, dann kann ein virtuelles Photon von A oder B ausgesendet werden. Ich interpretierte das als zwei Moglichkeinen für einen Prozess. Die Amplituden der beiden Prozesse(Das E-Feld) mussten quadriert werden, was denke ich zu einer anderen Feldverteilung als im klassischen Fall führen sollte. Hab ich bei der Argumentation einen Fehler gemacht oder was wichtiges Übersehen? Ich bin auf dem Gebiet kein Experte wie Sie.
    Sie haben Recht damit, das virtuelle Photonen keine definierte Frequenz besitzen, allerdings scheint das für die Feyenmandiagramme keine Rolle zu spielen.

  40. #40 MartinB
    10. Februar 2017

    @Anton
    “Die Amplituden der beiden Prozesse(Das E-Feld) mussten quadriert werden, was denke ich zu einer anderen Feldverteilung als im klassischen Fall führen sollte.”
    Wie gesagt, im Normalfall (stationäres Elektron) ergibt sich dieselbe Verteilung als wenn man das Elektron einfach als Ladungsverteilung beschreiben würde.
    Es ist richtig, dass man das den Feynman-Diagrammen nicht unmittelbar ansehen kann. (Man muss eben über alle Möglichkeiten addieren und sehen, was sich weghebt.)

    “Sie haben Recht damit, das virtuelle Photonen keine definierte Frequenz besitzen, allerdings scheint das für die Feyenmandiagramme keine Rolle zu spielen”
    Das ist so nicht richtig, jedes einzelne virtuelle Photon hat ne definierte Frequenz – man muss nur über alle Möglichkeiten der Frequenz addieren. Was ich sagen wollte war etwas anderes: Wenn ich ein stationäres Elektron habe, dann gibt es da erstmal nichts was eine Frequenz gegenüber einer anderen auszeichnet, also wäre es erstaunlich, wenn in der Lösung eine bestimmte Frequenz auftauchen würde.