Heute ist es soweit: Nach all der Mühen der bisherigen Teile haben wir nun alle Bausteine zusammengesamelt, um ein wirklich fundamentales Ergebnis herzuleiten: Warum ziehen sich Massen an, aber gleiche elektrische Ladungen stoßen sich ab? Koppelt man unsere Überlegungen zum Spin mit den Erkenntnissen der Relativitätstheorie, ergibt sich eine einfache Erkenntnis: Der Spin des Austauschteilchens entscheidet.

Achtung: In diesem Teil werde ich sehr heftig von den Tricks der speziellen Relativitätstheorie Gebrauch machen. Es empfiehlt sich vielleicht, den entsprechenden Teil dieser Serie nochmal zu lesen oder einfach in einem zweiten Browser-Fenster aufzuklappen, dann könnt ihr immer schnell nachgucken. Und vielleicht braucht ihr noch ein drittes Fenster, in dem ihr die Überlegung zur Kraft zwischen zwei Quellen aufklappt. Ein kurzer Blick auf die beiden Abschnitte zum Spin schadet sicher auch nichts… (Falls ihr es noch nicht bemerkt habt: Der Link “Artikelserien” oben auf der Seite gibt euch einen Überblick über meine längeren Werke. Da könnt ihr direkt zu allen bisherigen Teilen springen.)

Wie ihr gleich sehen werdet, ist das Argument trotz aller Vorarbeit ziemlich länglich geraten. Ich gebe hier einen kurzen Überblick, wie die Logik des Arguments geht, und dann erkläre ich die Einzelheiten. Um das ganze etwas einfacher zu machen, haben ich auch noch Zwischenüberschriften eingezogen, die, wenn man sie einfach hintereinander liest, den Kern des Arguments wiedergeben. Trotz allem: Ich bin mir ziemlich sicher, dass es schwierig ist, diesen Text beim ersten Lesen zu verstehen. Falls jemand einen Tipp hat, wo man das Argument straffen oder vereinfachen kann, bin ich dankbar. Falls ich euch irgendwo total abhänge, dann nörgelt bitte auch.

Hier also ein kurzer Überblick über die Logik des Arguments:

    • Wir haben gesehen, dass der Ausdruck J(x)D(x-y)J(y) (gelegentlich auch W(J) genannt) direkt mit der Energie zwischen zwei Quellen zusammenhängt. Er ist größer als Null, und damit ist die Energie negativ. Wir gewinnen also Energie, wenn wir zwei Quellen zusammenbringen, und das bedeutet, dass sie sich anziehen.

 

    • Dieses Argument hatte den Spin nicht berücksichtigt – mit anderen Worten, es galt für ein Spin-0-Teilchen.

 

    • Ein Spin-1-Teilchen mit Spin in Raumrichtung das zwischen zwei Quellen ausgetauscht wird, verhält sich sehr ähnlich wie ein Spin-0-Teilchen. In diesem Fall hat W(J) also dasselbe Vorzeichen wie beim Spin-0-Teilchen.

 

    • Um an ein Spin-1-Teilchen zu koppeln, braucht man eine Quelle, die sich wie ein relativistischer Vierervektor verhält. Für den Fall der elektrischen Ladung ist das beispielsweise der Vierervektor aus Ladungsdichte und Stromdichte.

 

    • Ruhende elektrische Ladungen die an ein Spin-1-Feld koppeln, tun dies entsprechend über die zeitliche Komponente. Zwischen ihnen wird dann also ein Spin-1-Teilchen mit Spin in “Zeitrichtung” ausgetauscht.

 

    • Nach den Rechenregeln der SRT dreht sich das Vorzeichen um, wenn man in einem solchen Produkt von der Raumkomponente zur Zeitkomponente übergeht. W(J) hat also entgegengesetztes Vorzeichen, wenn das ausgetauschte Teilchen seinen Spin “in Zeitrichtung” hat.

 

  • Weil sich das Vorzeichen von W(J) umkehrt, kehrt sich auch das Vorzeichen der Energie um – aus Anziehung wird Abstoßung. Gleiche Ladungen stoßen sich jetzt ab, wir können aber mit ungleichen Ladungen noch ein Vorzeichen dazubekommen (eine Ladung ist negativ, also gibt es ein Minus-Zeichen), und entsprechend ziehen sich ungleiche Ladungen an.

Das ist der das Argument so weit eingedampft, wie ich nur konnte. Und jetzt schauen wir uns die einzelnen Schritte etwas genauer an. Wir fangen da an, wo wir letztes mal aufgehört haben, mit der Frage, was aus dem Spin in der Quantenfeldtheorie wird.

In der QFT wird ein Spin-1-Teilchen durch Vierervektoren beschrieben
Ein quantenmechanisches Spin-1-Teilchen wird durch drei Zahlen beschrieben – das haben wir neulich ausführlich angeguckt. Analysiert man, wie sich diese drei Zahlen verhalten, wenn man das Koordinatensystem dreht, dann sieht man, dass sie sich benehmen wie ein Vektor1. Der Spin hat in diesem Fall also eine “Richtung”. (Das ist nicht selbstverständlich so, auch wenn es zu unserer klassischen Vorstellung eines sich drehenden Teilchens passt. Bei Spin 1/2 zum Beispiel kann man nicht so einfach eine Richtung angeben, bei Spin 2 braucht man in gewisser Weise sogar zwei Richtungen.)

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Kommentare (18)

  1. #1 Sascha Vongehr
    26. März 2012

    Kompliment zur Leistung und es wenigstens versucht zu haben. Wenn es um Spin geht wird man nicht fuer den Erfolg belohnt sondern fuer wie stilvoll man versagt hat – deswegen fass ich das Zeugs auch nicht an. Nun zum noergeln:
    “ein wirklich fundamentales Ergebnis herzuleiten: Warum ziehen sich Massen an, aber gleiche elektrische Ladungen stoßen sich ab?”
    Hergeleitet von den Annahmen, ja, aber wissen wir jetzt “warum” nachdem wir es in diese mathematische Form gebracht haben (spin in time direction etc)? Die Beschreibung ist konsistent, aber wir wissen ja nicht einmal ob es Gravitonen wirklich gibt. Soweit wir wissen, ziehen sich Massen an “weil” sie die Raumzeit kruemmen – zumindest ist diese konsistente Beschreibung bestaetigt. In wieweit verstehen wir nun *warum* spin 2 Raumzeit so biegt und nicht anders? Moeglicherweise, wenn wir die Kruemmung betrachten, sehen wir warum die Feld Beschreibung spin 2 braucht (also, Du hast hier potentiel den Karren for dem Pferd oder so). In anderen Worten: Auch kann man ja Ladungen (electric, color, …) in der Stringtheorie mit Windungen um kompaktifizierte Dimensionen modelieren. *Warum* denn, wenn ich nur eine periodische Richtung habe [U(1), also electrische Ladung], stossen sich die Ladungen ab welche in die gleiche Richtung kreisen? Ein anschaulicher Grund sieht anders aus und wuerde erklaeren warum in der QFT Beschreibung gewisse Kombinationen nur mit gewissem Spin konsistent sind. Also zum Beispiel Anziehung -> Spin, nicht Spin -> Anziehung.

  2. #2 MartinB
    26. März 2012

    @Sascha
    Stimmt schon, mir wäre es auch lieber, ich könnte das noch klarer anschaulich machen. Ich hoffe, dass aber denjenigen, die sich das hier durchlesen, zumindest klar wird, dass es eben ein enges Zusammenspiel von Spin und SRT ist, das für diese Eigenschaft sorgt.

    Was die Gravitonen angeht – wenn es eine Quantentheorie der Gravitation gibt, dann wird’s auch Gravitonen geben. Raumzeitkrümmung und ein entsprechendes kraftausübendes Tensorfeld sind ja äquivalent.

  3. #3 Bjoern
    26. März 2012

    @Martin: Gute Erklärung – auf die Idee, dass die Abstossung/Anziehung was mit dem unterschiedlichen Vorzeichen der Metrik bei Zeit-/Raumkoordinaten zu tun hat, bin ich auch noch nicht gekommen… 🙂

    Allerdings stimmt das, was du zum Verhalten von Spin 0- (und Spin 2-)Bosonen sagst, irgendwie nicht ganz mit meinem Wissen überein… Zum Beispiel in Peskin/Schröder, Introduction to Quantum Field Theory, S.126, wird gesagt, dass die Kraft, die durch Austausch von Spin 0-Bosonen entsteht, *immer* anziehend wäre, also auch zwischen Teilchen mit umgekehrter Ladung nicht abstossend… (bzw. was da eigentlich steht, ist, dass sich sowohl Teilchen und Teilchen als auch Antiteilchen und Antiteilchen als auch Teilchen und Antiteilchen alle jeweils anziehen; dasselbe auch für Spin 2)

    Ach ja, und im mathematischen Einschub, der mit “Es muss nämlich…” anfängt, hast du wohl ein paar Tippfehler untergebracht… 😉

  4. #4 Niels
    26. März 2012

    @MartinB @Bjoern
    Das kenn ich auch nur so:

    Austauschbosonen mit geradem Spin (0, 2, usw.) können nur eine anziehende Wirkung vermitteln, Austauschbosonen mit ungeradem Spin dagegen sowohl eine anziehende als auch eine abstoßende Wirkung.

  5. #5 MartinB
    26. März 2012

    @Bjoern, Niels
    Das mit der immer anziehenden Wirkung verstehe ich nicht – das kann ja nur bedeuten, dass in dem Fall J immer positiv sein muss, ansonsten müsste doch die Rechnung zum Spin-0-Teilchen falsch sein, denn da steht ja am Ende
    E= J1*J2 exp(-4pi r)/r

    Und upss, da ist bei der Formatierung was schief gegangen, werde ich nachher mal korrigieren.

  6. #6 MartinB
    26. März 2012

    So, jetzt habe ich den verkorksten Satz repariert.

    Mir ist übrigens noch eingefallen, dass ich mal ein paper gelesen habe, in dem spekuliert wird, ob es möglichist, dass Anti-Materie negative Masse hat und sich deshalb mit normaler Materie gravitativ abstößt. Das spricht dafür, dass es tatsächlich so ist, dass sich bei geradezahligem Spin entgegengesetzte ladungen abstoßen. (Nur dass es solche entgegengesetzten Ladungen bei der Schwerkraft nicht gibt – wenn ich es richtig sehe, bei der Kernkraft auch nicht.)

  7. #7 Niels
    26. März 2012

    @MartinB

    Das spricht dafür, dass es tatsächlich so ist, dass sich bei geradezahligem Spin entgegengesetzte ladungen abstoßen.

    Ich bin da ganz bestimmt kein Experte, aber ich bin mir doch ziemlich sicher, schon mehrfach gelesen zu haben, dass geradzahlige Austauschbosonen nur Anziehung vermitteln können.

    Mal schaun, ob mir noch eine Quelle einfällt.

    Nur dass es solche entgegengesetzten Ladungen bei der Schwerkraft nicht gibt – wenn ich es richtig sehe, bei der Kernkraft auch nicht.

    Steh ich jetzt auf dem Schlauch?
    Zu jeder Farbladung gibt es doch eine zugehörige Anti-Farbladung?

  8. #8 Bjoern
    26. März 2012

    @Martin: Ja, dein Argument klingt schon irgendwie überzeugend – aber die explizite Rechnung (siehe Peskin/Schröder, S. 121ff) zeigt halt, dass auch Teilchen und Antiteilchen (genauer: Fermion und Antifermion) sich bei einem Spin-0-Austausch anziehen… (anschaulich kann ich’s nicht erklären; laut der Rechnung erhält man durch einen Fermionen-Austausch ein zusätzliches Minuszeichen…?)

    Ich vermute mal, dass deine Argumention mit JDJ für Fermionen irgendwie nicht ganz funktioniert – wo genau das Problem auftaucht, kann ich dir leider aber spontan auch nicht sagen. 🙁

  9. #9 MartinB
    26. März 2012

    O.k., den Peskin/Schroeder kann man sogar online lesen. In der Tat, das ARgument mit den Fermionen sieht vernünftig aus, da ziehen sich Fermion und Anti-Fermion an.
    Mein Argument stimmt aber zum Glück auch, weil ich ja noch klassische Quellen betrachtet hatte – und wenn da eine ihr Vorzeichen wechselt, dann auch die Kraft.

    Für Bosonen scheint mir mein Argument auch o.k.

    @Niels
    “Zu jeder Farbladung gibt es doch eine zugehörige Anti-Farbladung?”
    Aber beim Yukawa-Potential tauscht man ja Pionen zwischen Farbneutralen Partnern aus.
    Die Rechnung aus dem Perkin/Schröder zeigt auf jeden Fall, dass sich auch ein Proton und ein Antiproton anziehen.

  10. #10 Niels
    26. März 2012

    @MartinB

    Aber beim Yukawa-Potential tauscht man ja Pionen zwischen Farbneutralen Partnern aus.

    Das Modell des Pionen-Austauches ist aber doch nur eine effektive Theorie, oder?
    http://de.wikipedia.org/wiki/Effektive_Theorie

    Diese Beschreibung ist also nur für bestimmte Energiebereiche und nur in guter Näherung richtig. Bei einer korrekten, grundsätzlichen Beschreibung muss man auf die Quark-Ebene und zu den Gluonen als Eichboson übergehen.
    Also gibt es bei der Kernkraft durchaus entgegengesetzte Ladungen?

    Na gut, aber eigentlich hab ich dich einfach falsch verstanden. 😉
    Ich dachte mit “Kernkraft” wäre die starke WW gemeint, dir ging es aber vielmehr um die Kraft zwischen den Nukleonen, nicht?
    Das war dann mein Fehler.

    Aber beim Yukawa-Potential tauscht man ja Pionen zwischen Farbneutralen Partnern aus.
    Die Rechnung aus dem Perkin/Schröder zeigt auf jeden Fall, dass sich auch ein Proton und ein Antiproton anziehen.

    Ja, genau?

    Ich habe geschrieben:

    Austauschbosonen mit geradem Spin (0, 2, usw.) können nur eine anziehende Wirkung vermitteln

    Pionen haben Spin Null und die Kernkraft ist anziehend. Passt doch genau?

    In der Wiki steht übrigens bei http://en.wikipedia.org/wiki/Yukawa_interaction#Classical_potential :

    The sign will make the interaction attractive between all particles (the electromagnetic interaction is repulsive for identical particles). This is explained by the fact that the Yukawa particle has spin zero and
    even spin always results in an attractive potential.

  11. #11 MartinB
    27. März 2012

    “Ich dachte mit “Kernkraft” wäre die starke WW gemeint, dir ging es aber vielmehr um die Kraft zwischen den Nukleonen, nicht?”
    Genau, weil ja dafür das Yukawa-Modell gilt. Gluonen haben ja Spin 1, die müssten also von rechts wegen auch abstoßende Kräfte übertragen können, aber bei denen wird es dadurch verkompliziert, dass sie selbst eine Ladung tragen.

    “Pionen haben Spin Null und die Kernkraft ist anziehend. Passt doch genau?”
    Ich hatte dich so verstanden, dass du meintest, wenn ein Teilchen eine (bezüglich Kernkraft) Ladung J hat, dann müsste das Anti-Teilchen die Ladung -J haben, und dann müsste nach meiner Logik ja abstoßende Kraft herauskommen.

    “The sign will make the interaction attractive between all particles”
    Hmm, das ist jetzt aber missverständlich ausgedrückt – meinen die nun “all particles” ein- oder ausschließlich der anti-particles (die Klammer spricht eher für die zweite Interpretation). Insofern finde ich den zweiten Satz auch nicht ganz eindeutig, und die Rechnung zeigt meiner Meinung nach schon, dass zwei Bosonen mit unterschiedlichem Vorzeichen von J sich abstoßen müssen.

    Und hier noch die große Grübel-Frage, auf die ich gar keine Antwort weiß:
    Nehmen wir mal an, es gäbe eine WeWi wie die Gravitation, aber so, dass Antiteilchen negative Masse tragen. Nach der Logik vom Perkin-Schröeder ziehen sich auch ein Teilchen und ein Anti-Teilchen an, wenn beide Fermionen sind, richtig?

    Jetzt binde ich (über irgendeinen Mechanismus mit einer anderen WeWi) zwei Fermionen und zwei Anti-Fermionen jeweuils zu einem Paar zusammen. Stoßen die sich dann plötzlich ab?

    Anders gesagt, wenn Antiteilchen negative Masse hätten, würden sich ein Proton und ein Anti-Proton zwar anziehen, ein Wasserstoff und ein Anti-Wasserstoff aber abstoßen? Das wäre ja auch mehr als seltsam. Irgendwas verstehe ich hier noch nicht ganz.

  12. #12 Niels
    27. März 2012

    @MartinB

    Hmm, das ist jetzt aber missverständlich ausgedrückt – meinen die nun “all particles” ein- oder ausschließlich der anti-particles (die Klammer spricht eher für die zweite Interpretation).

    Ich verstehe das eher so, dass alle Teilchen einschließlich der Anti-Teilchen gemeint sind. Also die erste Interpretation.
    Der Elektromagnetismus wird nur genannt, um ein beliebiges Beispiel für eine abstoßende Kraft bei zwei identischen Teilchen zu liefern.

    Aber ein einziger missverständlicher Absatz in der Wiki, der von weiß wem geschrieben wurde, ist natürlich nicht besonders viel wert.

    In der Diskussion zum Artikel steht übrigens:

    THIS ARTICLE NEEDS REVISION! “Yukawa particle has spin zero and even spin always results in an attractive potential.”
    This statement makes no sense. What about a coulomb bound pionic atom?

    Kannst du damit was anfangen?
    Ich hab jetzt spontan keine Ahnung, was der Kommentator damit sagen will.

    Dass die Sache mit dem Wasserstoff und ein Anti-Wasserstoff komisch klingt ist doch eigentlich kein Ausschlusskriterium.
    Man hat es sonst immer mit Spin-1-Eichbosonen zu tun, dadurch ist man ein abweichendes Verhalten vielleicht einfach nicht gewöhnt und es fühlt sich intuitiv falsch an.

  13. #13 MartinB
    27. März 2012

    @Niels
    “Also die erste Interpretation.”
    Das kriege ich aber nicht mit der Rechnung zusammen.

    “Kannst du damit was anfangen?”
    Nö? Was ist den ein pionisches Atom? Zwei Pionen entgegengesetzter Ladung mit Anziehung per Coulomb-Kraft? Das hat damit ja gar nichts zu tun. Verwechselt der Kommentator die Austauschteilchen und die Teilchen, auf die die Kraft wirkt?

    “Dass die Sache mit dem Wasserstoff und ein Anti-Wasserstoff komisch klingt ist doch eigentlich kein Ausschlusskriterium.”
    Ich finde es widersprüchlich:

    Wenn H und Anti-H sich dann doch wieder abstoßen, obwohl alle ihre Bestandteile sich anziehen, ist mir nicht klar, wie das gehen soll. Überlagern sich die eigentlich anziehenden virtuellen Teilchen dann insgesamt wieder so, dass sie abstoßend wirken?

    Wenn H und Anti-H sich aber auch anziehen, obwohl sie Bosonen sind, dann stimmt das Argument, dass sich bei fermionischen Teilchen/Antiteilchen das Vorzeichen nochmal umdreht, wieder nicht – denn dann würde es auch für Bosonen gelten.

    Oder mache ich da nen Denkfehler? (Vermutlich schon, aber wo?)

    Immer wenn man gerade denkt, man hat’s verstanden, findet man wieder was Neues, grummel…

  14. #14 Niels
    28. März 2012

    Ist mir schon klar, dass das nicht mit der Rechnung zusammen passt. 😉
    Deswegen hab ichs ja zitiert.
    Aber wie gesagt, solange ich keine richtige Quelle für das von mir Erinnerte finde, kann man so eine unklare Wiki-Bemerkung erst mal ignorieren.

    Gut, dass mit dem pionisches Atom war dann Unsinn. Dachte ich mir schon, aber manchmal steht man auf dem Schlauch.

    Zum H und Anti-H muss man wahrscheinlich einen Experten fragen, keine Ahnung, wie wir das selbst aufdröseln sollen. Von mir kann da auch nicht wirklich etwas hilfreiches kommen, von QFT hab ich echt keine Ahnung.

  15. #15 MichiS
    1. Mai 2012

    Lieber MB: dieser Link zum ETH-Vortrag von ROGER PENROSE gehört unbedingt und sofort in dein DRACHENHAUS:

    …wo wäre er dir am liebsten plaziert gewesen ? :-)))))

  16. #16 MartinB
    1. Mai 2012

    @MichiS
    Hab noch nicht reingeguckt, aber wenn es in die Richtung von “Emperors New Mind” geht, dann wird’s so toll nicht sein (obwohl die Physik-Teile des Buches exzellent sind) – Penroses Ideen zum Bewusstsein sind ziemlich abstrus, speziell wenn es um den Zusammenhang mit dem Gödelschen Satz geht.

  17. #17 Stefan
    12. Juli 2012

    RE: “ist das Vorzeichen entgegengesetzt. J0(x) D00(x-y) J0(y) ist also kleiner als Null, also ist die Energie größer als Null. Es gibt also eine Abstoßungskraft.” [MB]
    Es fasziniert mich immer wieder, wie die Physiker ein begruendendes Erklaerungsargument aufbauen nach dem generellen Muster: Dies und das in der Natur verhaelt sich so, “WEIL” – – – und dann wird auf eine mathematische Gleichung verwiesen, quasi so als ob die Teilchen der Natur alle ein dickes Mathematikbuch studiert haetten und nun jedes mal im Mathematikbuch nachschlagen muessten bevor sie miteinander wechselwirken. Freilich verstehen wir schon immer irgendwie intuitiv wie die Physiker das “eigentlich meinen” wenn sie so reden, aber aus streng philosophischer Perspektive ist der Zusammenhang zwischen Natur und Mathematik ein nicht-triviales Problem, welches auch die Frage beruehrt unter welchen Umstaenden und Bedingungen wir etwas “verstehen” und von welcher Art ein Argument beschaffen sein muss damit wir es als “Begruendng” (von irgendetwas) akzeptieren koennen.

  18. #18 MartinB
    12. Juli 2012

    @Stefan
    Ja, das stimmt natürlich, siehe auch hier:
    http://www.scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/08/ist-die-natur-mathematisch.php

    Im konkreten Fall finde ich aber schon, dass man eben sieht, dass die QFT das andere Vorzeichen als Konsequenz von Spin und Relativitätstheorie erzwingt. Wenn die Natur sich anders verhalten wollte, dann müsste sie an den Grundlagen drehen. Das “weil” bezieht sich hier also auf die notwendige Konsequenz der QFT, die man ja auf den ersten Blick erkennen konnte (dass Spin 1 Abstoßung impliziert, ist den Gleichungen nicht unmittelbar anzusehen und wurde eben auch nicht reingesteckt.)