Falls euch diese Serie in letzter Zeit doch etwas zu abgehoben war, dann lohnt es sich vielleicht, heute wieder einzusteigen. Denn heute (und in den nächsten Teilen) bekommen wir Zustände. Und zwar im doppelten Sinne: Zum einen geht es als nächstes um physikalische Zustände in der QFT, und zum anderen kann man Zustände bekommen, wenn man sich anschaut, wie dieses Thema normalerweise in Büchern “erklärt” wird.


(Und falls ihr euch schon sorgenvoll gefragt habt, ob ich etwa nicht mehr an der Serie weiterschreibe – doch, tue ich. Aber da nahezu nirgends wirklich erklärt ist, was ein physikalischer Zustand in der QFT ist, musste ich mir ziemlich viel selbst zusammenbasteln und viele kleine Informationsbrocken zusammentragen, bis ich das Gefühl hatte, es zu verstehen. Und das hat leider etwas gedauert.)

Bisher haben wir ja so ziemlich alles mit Pfadintegralen ausgerechnet. Die sind recht praktisch, wenn man Fragen stellt wie zum Beispiel: Angenommen, mein System ist am Anfang im einen Zustand und am Ende in einem anderen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass es vom einen Zustand in den anderen kommt? Mit ein bisschen Trickserei haben wir mit dieser Technik hergeleitet, dass es keine halben Teilchen gibt, warum Teilchen sind anziehen oder abstoßen und einiges mehr. (Einen Überblick über die ganze Serie bekommt ihr, wenn ihr oben auf der Seite auf “Artikelserien” klickt.)

Das Problem bei dieser Methode ist allerdings, dass es etwas schwierig ist sich zu überlegen: Was passiert eigentlich zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand? Da haben wir für alle denkbaren Feldkonfigurationen Amplituden berechnet und dann darüber summiert. Aber wenn ich mich frage: “Was macht mein Quantenfeld gerade jetzt?”, dann lässt sich das mit dieser Technik nicht so richtig gut beantworten. Schön wäre es, wenn man irgendwie erfassen könnte, in welchem Zustand ein System zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Da unsere Welt schließlich kausal ist, sollte es möglich sein, aus dem, was gerade jetzt los ist, darauf zu schließen, was gleich passieren wird. Dafür ist die Pfadintegral-Technik mit ihrer Summe über alle möglichen Wege vom Start zum Ziel nicht so gut geeignet, denn da müssen wir die Frage ja immer so formulieren, dass wir schon wissen, was am Ende rauskommt. (Ein ähnliches Problem habe ich übrigens schon mal hier in einer Nebenbemerkung diskutiert.)

Es gibt zwei Möglichkeiten, Zustände in der QFT zu beschreiben. Die eine zeichnet sich dadurch aus, dass man mit ihr leicht rechnen kann, dafür versteckt sie die gesamte Physik des Zustandes so gut, dass man sie kaum wiederfinden kann (das nennt sich die kanonische Formulierung und ist die, die man in so ziemlich allen QFT-Büchern findet). Alternativ kann man auch mit sogenannten Funktionalen hantieren. Die sind eigentlich viel näher an der Anschauung, aber mathematisch extrem schwierig in den Griff zu bekommen (einigermaßen ausführlich diskutiert im Buch von Hatfield “Quantum Field Theory of Particles and Strings”). Zum Glück ist das hier aber ja keine Mathematik-Blog (auch wenn es in letzter Zeit manchmal so aussieht) – die mathematischen Komplikationen versuche ich deshalb gar nicht erst zu erklären. (Aber vielleicht gibt es ein paar richtig schicke Formeln hinter den Warnschildern.)

Damit euch die Physik dahinter ein bisschen anschaulich wird, gibt es heute und beim nächsten Mal erst einmal einen Ausflug in die Quantenmechanik, bevor ich das ganze dann auf die QFT übertrage.

Zurück zur Quantenmechanik: Nochmal der Doppelspalt

Erinnert ihr euch noch an den Doppelspalt? Das war unser quantenmechanischer Einstieg in das Pfadintegral. Ein Elektron, das an der Quelle losläuft und irgendwo auf unserem Schirm am Ende ankommen soll, hat zwei Möglichkeiten, dorthin zu kommen. Wir haben für beide Möglichkeiten den zugehörigen Pfeil (Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt) berechnet, beide addiert und so die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, das Elektron an einer Stelle des Schirms zu finden.

Aber was ist der Zustand des Elektrons zwischen Start und Ziel? Irgendwie geht es durch beide Spalte gleichzeitig und interferiert mit sich selbst. Wenn wir vereinfacht annehmen, dass es eine ganz bestimmte Geschwindigkeit hat, dann ist es zu einem bestimmten Zeitpunkt t am Spalt, entweder oben oder unten. (Wenn es woanders ist, dann werden wir es später nicht auf dem Schirm finden.) Und wenn die Physik nicht rückwärts in der Zeit läuft, dann muss es in diesem Moment in einem irgendwie gearteten Zustand sein, der die Wahrscheinlichkeiten dafür festlegt, es später irgendwo auf dem Schirm zu messen. (Dass der Zustand nur die Wahrscheinlichkeitsamplitude festlegt, aber nicht den Ort deterministisch bestimmt, ist ja eine Grundaussage der Quantenmechanik.)

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Kommentare (15)

  1. #1 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @MartinB:

    Hiiilfe:

    der Text enthält imer wieder merkwürige nicht-darstellbare Zeichen in einem Kasten,
    zB. sehe ich mit Firefox den Text ‘|o⟩’ als |o gefolgt von einem eckigen Kasten mit 27 und E9 darin, also ein UTF-Zeichen, daß sich wohl nicht darstellen läßt, wahrscheinlich das Zeichen der schließenden spitzen Zustands-Klammer.

    Was kann ich tun?

    Herzliche Grüße.

  2. #2 MartinB
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Bin ich leider ratlos. Ich habe zur Endfertigung mit unserem tollen grafischen Editor gearbeitet und kann jetzt nicht mal mehr den Quelltext kontrollieren, ob da wirklich alles o.k. ist (hoffentlich bekommen wir hier bald ein neues Blog-System.)

    Tritt das denn bei allen spitzen Klammern auf? Dann dürfte der Fehler bei dir liegen, jedesmal habe ich mich sicherlich nicht vertippt und ein ; vergessen oder so?

  3. #3 tom
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A:
    27E9 ist tatsächlich die schließende Spitzklammer (siehe http://www.fileformat.info/info/unicode/char/27E9/index.htm ). Wenn Martin den Text nicht ändert (etwa das Zeichen ‘⟩’ durch ‘>’ ersetzt, was aber deutlich schlechter aussieht), ist die einzige Möglichkeit, dass du eine Schriftart installierst, die dieses Zeichen beinhaltet.

  4. #4 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @tom:
    vielen Dank – welche Schriftart ist das und wo kann man denn Schriftarten in Firefox installieren?

    Herzliche Grüße.

  5. #5 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @MartinB:
    es sind nur die schließenden spitzen Klammern betroffen, also ⟩

  6. #6 tom
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A:
    “Trebuchet MS” heißt die Schriftart, die auf den Scienceblogs für die Beiträge verwendet wird. Die gab es mal von Microsoft als Teil fer “Core fonts for the Web” (http://en.wikipedia.org/wiki/Core_fonts_for_the_Web ) gratis zum download, müsste sich aber noch irgendwo finden lassen.
    Sobald du die im Betriebssystem installiert hast, sollte Firefox sie verwenden (ist jedenfalls unter Linux, Windows und MacOSX so).

  7. #7 Niels
    24. Mai 2012

    @MartinB
    Ich hab so ein ähnliches Problem wie SCHWAR_A.
    Bei mir schauen die Formeln so aus:
    http://s14.directupload.net/file/d/2900/ae4c2wjx_jpg.htm

    Das war schon mal bei irgend einem deiner Beiträge. Mir fällt leider nicht mehr ein bei Welchem.
    Da fehlte damals eine Klammer oder so?

  8. #8 nihil jie
    24. Mai 2012

    also bei mir sieht alles korrekt aus… bin gerade mit Firefox 12.0 und der Zeichencodierung Unicode (UTF-8) unterwegs.

  9. #9 Marc
    24. Mai 2012

    Als Stiller Leser möchte ich mich heute einmal zur Wort melden: leider sind auch iOS Geräte von dem invaliden Zeichensatz betroffen. Im Grunde nicht schlimm, man sollte ggf. einen Hinweis auf diesen Umstand am Ende des Artikels platzieren.

    Ich möchte aber Martin für die tollen Artikel danken die bis dato erschienen sind.
    Hier steckt so viel Zeit und Liebe drin. Vielen Dank

    Ps. Wie bekommst Du das neben Job und Famlie zeitlich hin?

  10. #10 MartinB
    25. Mai 2012

    @Niels
    Wir hatten das mal, als ich bei einem radic ein Semikolon vergessen habe, da hattest du dann immer nur “radic” zu sehen bekommen . Das scheint mir hier aber nicht der Fall zu sein – ich habe bestimmt nicht jedesmal was vergessen, und der kleine Kasten deutet doch auf ein nicht installiertes Zeichen hin.
    Versucht doch im Zweifel mal, euren Browser zu zwingen, eine andere Schriftart zu benutzen, vielleicht hilft das.

    @Marc
    Freut mich. Zeitlich schreibe ich meist ein bisschen, wenn ich von der Arbeit nach Hause komme, abends und am Wochenende. Dafür hat sich mein Lesekonsum deutlich reduziert.

  11. #11 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @tom , nihil jie, Niels, MartinB:
    Danke. Ich habe bereits Firefox 12.0, auch ‘Trebuchet MS’ in Windows installiert gehabt und bin mit ‘universeller’ Auto-Erkennung unterwegs. Die Seite verlangt UTF-8.
    Auch alle Versuche mit ‘Benutzerdefinierten Schriftarten’ sowie Änden auf ‘Trebuchet MS’ oder andere Kodierungen sind bisher leider fehlgeschlagen…

    Herzliche Grüße.

  12. #12 MartinB
    25. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Mal ein simpler test: Siehst du das hier korrekt mit linker und rechter spitzer Klammer
    ⟨ x|x⟩
    ?
    Diesmal habe ich wirklich aufgepasst, dass ich mich nicht vertippt habe.

  13. #13 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @MartinB:
    nein, leider sind beide spitzen Klammern nur als umrahmte 27E8 bzw. 27E9 zu sehen…

    Irgendwo habe ich auch gelesen, daß Trebuchet MS und UTF-8 sich evt. widersprechen, also diese Schriftart nicht in der im Seitencode verlangen Kodierung existiert…

    Herzliche Grüße.

  14. #14 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @MartinB:
    ich denke ich habe ene Lösung:

    bei mir werden folgende UTF-8-Zeichen korrekt dargestellt:

    &#x2329 sowie &#x232a

    und zwar so:

    ? sowie 〉

    aber auch das Klammerpaar

    &#x3008 sowie &#x3009

    und zwar so:

    ? sowie 〉

    Herzliche Grüße.

  15. #15 MartinB
    25. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Ich fürchte aber, in den nächsten Teilen wirst du noch mit dem Handicap leben müssen, da die bereits fast fertig sind…
    Vielleicht hilft ja ansonsten eine Druckansicht oder ein Konvertieren in ein pdf?