Nehmen wir kurz an, der untere Spalt wäre zu, dann wäre das Elektron zur Zeit t am Ort des oberen Spaltes. Diesen Zustand nennen wir |o⟩. Ist umgekehrt der untere Spalt offen, aber der obere nicht, dann ist das Elektron im Zustand |u⟩. Die Schreibweise mit den spitzen Klammern ist dabei in der Physik absolut üblich und geht auf Dirac zurück.

Wenn nur einer der Spalte offen ist, dann sehen wir kein Interferenzmuster auf unserem Schirm. Sind also beide Spalte geöffnet, dann kann das Elektron nicht einfach im Zustand |o⟩ oder |u⟩ sein. Stattdessen ist es in einem Mischzustand aus beiden, einem Überlagerungszustand.

Wir können das schreiben als

Zustand = α |o⟩ + β |u⟩

Dabei sind α und β jeweils zwei komplexe Zahlen – es sind nämlich genau die Wahrscheinlichkeitsamplituden für den Zustand |o⟩ bzw. |u⟩. Auch den Zustand mit geschlossenem unteren Spalt können wir so schreiben, dann ist einfach β=0. (Für den oberen Spalt gilt das genauso.)

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Damit die Wahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo zu haben, gleich 1 ist, muss |α|2+|β|2=1 gelten.

Fazit: Es gibt beim Doppelspalt zwei Zustände, in denen das Elektron eindeutig entweder am oberen oder unteren Spalt ist, aber ein beliebiger Zustand des Elektrons ist eine Überlagerung dieser beiden Zustände.

Die Wellenfunktion

Wir hatten dann den Weg vom Doppelspalt hin zu einem Vielfachspalt gemacht, bis wir am Ende so viele Spalte hatten, dass der gesamte Raum von Spalten bedeckt war. Wir haben dann über alle denkbaren Pfade summiert und uns über Zustände keine Gedanken gemacht.

Die Logik für die Beschreibung des Zustands bleibt aber dieselbe wie eben: Wir könnten das Elektron zu einer bestimmten Zeit an einem Ort x finden. Wenn es wirklich genau an diesem Ort ist und nirgends anders, dann ist sein Zustand einfach |x⟩. (Dafür gibt es auch eine mathematische Formel, aber das schöne an dieser Dirac-Notation ist, dass man die Formeln nicht immer explizit hinschreiben muss.)

Meist wissen wir aber nicht genau, wo das Elektron ist. Der allgemeine Zustand des Elektrons ist eine Überlagerung aus allen möglichen Ortszuständen. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, das Elektron am Ort x zu finden, nennen wir ψ(x). Dann können wir schreiben

Zustand = ∑ ψ(x) |x⟩

Damit ist dann die Wahrscheinlichkeit, das Elektron am Ort x zu finden, gleich |ψ(x)|2, das war ja gerade die Bedeutung des Begriffs “Wahrscheinlichkeitsamplitude”. (Das hatten wir vor seeeehr langer Zeit gesehen, damals haben wir noch Pfeile für Amplituden gemalt.)

Mathematisch etwas sauberer wäre es, ein Integral (das ist jetzt kein Pfadintegral, sondern ein ganz gewöhnliches Integral über eine einzige Variable x) zu nehmen, weil es ja unendlich viele Orte gibt. Also:

Zustand = ∫ dx ψ(x) |x⟩

Das werdet ihr so selten in Büchern geschrieben finden, meist schreibt man für den ganzen Zustand kurz |ψ(x)⟩ dafür, aber eigentlich ist das verwirrend, denn es gibt zum einen den Zustand |x⟩ und zum anderen dessen Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ(x), und das sind zwei verschiedene Dinge.

ψ(x) wird oft auch als die “Wellenfunktion” bezeichnet – werde ich später auch so machen. Die Wellenfunktion hatte ich in einem der früheren Teile schon mal kurz besprochen. Sie ist das zentrale Objekt in der normalen Formulierung der Quantenmechanik.

Bisher haben wir das Elektron an verschiedenen Orten angeguckt, also Ortszustände |x⟩ betrachtet. Stattdessen können wir aber auch den Trick mit den Wellen anwenden, und Wellenzustände betrachten. Ein Zustand |k⟩ wäre dann ein Zustand, in dem das Elektron (bzw. seine Wellenfunktion) eine ebene Welle mit Wellenvektor k ist. (Mehr darüber findet ihr auch in meiner alten Schrödinger-Gleichungs-Serie.) So sieht so eine Welle aus:

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Dabei bewegt sich das Elektron nur in einer Dimension (entlang der Korkenzieherachse), die beiden anderen Richtungen, die mit Re und Im gekennzeichnet sind, zeigen jeweils, wohin die Spitze des Amplitudenpfeils an diesem Punkt gerade zeigen würde (mathematisch also den Real- und Imaginärteil von ψ(x)).

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Kommentare (15)

  1. #1 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @MartinB:

    Hiiilfe:

    der Text enthält imer wieder merkwürige nicht-darstellbare Zeichen in einem Kasten,
    zB. sehe ich mit Firefox den Text ‘|o⟩’ als |o gefolgt von einem eckigen Kasten mit 27 und E9 darin, also ein UTF-Zeichen, daß sich wohl nicht darstellen läßt, wahrscheinlich das Zeichen der schließenden spitzen Zustands-Klammer.

    Was kann ich tun?

    Herzliche Grüße.

  2. #2 MartinB
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Bin ich leider ratlos. Ich habe zur Endfertigung mit unserem tollen grafischen Editor gearbeitet und kann jetzt nicht mal mehr den Quelltext kontrollieren, ob da wirklich alles o.k. ist (hoffentlich bekommen wir hier bald ein neues Blog-System.)

    Tritt das denn bei allen spitzen Klammern auf? Dann dürfte der Fehler bei dir liegen, jedesmal habe ich mich sicherlich nicht vertippt und ein ; vergessen oder so?

  3. #3 tom
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A:
    27E9 ist tatsächlich die schließende Spitzklammer (siehe https://www.fileformat.info/info/unicode/char/27E9/index.htm ). Wenn Martin den Text nicht ändert (etwa das Zeichen ‘⟩’ durch ‘>’ ersetzt, was aber deutlich schlechter aussieht), ist die einzige Möglichkeit, dass du eine Schriftart installierst, die dieses Zeichen beinhaltet.

  4. #4 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @tom:
    vielen Dank – welche Schriftart ist das und wo kann man denn Schriftarten in Firefox installieren?

    Herzliche Grüße.

  5. #5 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @MartinB:
    es sind nur die schließenden spitzen Klammern betroffen, also ⟩

  6. #6 tom
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A:
    “Trebuchet MS” heißt die Schriftart, die auf den Scienceblogs für die Beiträge verwendet wird. Die gab es mal von Microsoft als Teil fer “Core fonts for the Web” (https://en.wikipedia.org/wiki/Core_fonts_for_the_Web ) gratis zum download, müsste sich aber noch irgendwo finden lassen.
    Sobald du die im Betriebssystem installiert hast, sollte Firefox sie verwenden (ist jedenfalls unter Linux, Windows und MacOSX so).

  7. #7 Niels
    24. Mai 2012

    @MartinB
    Ich hab so ein ähnliches Problem wie SCHWAR_A.
    Bei mir schauen die Formeln so aus:
    https://s14.directupload.net/file/d/2900/ae4c2wjx_jpg.htm

    Das war schon mal bei irgend einem deiner Beiträge. Mir fällt leider nicht mehr ein bei Welchem.
    Da fehlte damals eine Klammer oder so?

  8. #8 nihil jie
    24. Mai 2012

    also bei mir sieht alles korrekt aus… bin gerade mit Firefox 12.0 und der Zeichencodierung Unicode (UTF-8) unterwegs.

  9. #9 Marc
    24. Mai 2012

    Als Stiller Leser möchte ich mich heute einmal zur Wort melden: leider sind auch iOS Geräte von dem invaliden Zeichensatz betroffen. Im Grunde nicht schlimm, man sollte ggf. einen Hinweis auf diesen Umstand am Ende des Artikels platzieren.

    Ich möchte aber Martin für die tollen Artikel danken die bis dato erschienen sind.
    Hier steckt so viel Zeit und Liebe drin. Vielen Dank

    Ps. Wie bekommst Du das neben Job und Famlie zeitlich hin?

  10. #10 MartinB
    25. Mai 2012

    @Niels
    Wir hatten das mal, als ich bei einem radic ein Semikolon vergessen habe, da hattest du dann immer nur “radic” zu sehen bekommen . Das scheint mir hier aber nicht der Fall zu sein – ich habe bestimmt nicht jedesmal was vergessen, und der kleine Kasten deutet doch auf ein nicht installiertes Zeichen hin.
    Versucht doch im Zweifel mal, euren Browser zu zwingen, eine andere Schriftart zu benutzen, vielleicht hilft das.

    @Marc
    Freut mich. Zeitlich schreibe ich meist ein bisschen, wenn ich von der Arbeit nach Hause komme, abends und am Wochenende. Dafür hat sich mein Lesekonsum deutlich reduziert.

  11. #11 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @tom , nihil jie, Niels, MartinB:
    Danke. Ich habe bereits Firefox 12.0, auch ‘Trebuchet MS’ in Windows installiert gehabt und bin mit ‘universeller’ Auto-Erkennung unterwegs. Die Seite verlangt UTF-8.
    Auch alle Versuche mit ‘Benutzerdefinierten Schriftarten’ sowie Änden auf ‘Trebuchet MS’ oder andere Kodierungen sind bisher leider fehlgeschlagen…

    Herzliche Grüße.

  12. #12 MartinB
    25. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Mal ein simpler test: Siehst du das hier korrekt mit linker und rechter spitzer Klammer
    ⟨ x|x⟩
    ?
    Diesmal habe ich wirklich aufgepasst, dass ich mich nicht vertippt habe.

  13. #13 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @MartinB:
    nein, leider sind beide spitzen Klammern nur als umrahmte 27E8 bzw. 27E9 zu sehen…

    Irgendwo habe ich auch gelesen, daß Trebuchet MS und UTF-8 sich evt. widersprechen, also diese Schriftart nicht in der im Seitencode verlangen Kodierung existiert…

    Herzliche Grüße.

  14. #14 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @MartinB:
    ich denke ich habe ene Lösung:

    bei mir werden folgende UTF-8-Zeichen korrekt dargestellt:

    &#x2329 sowie &#x232a

    und zwar so:

    ? sowie 〉

    aber auch das Klammerpaar

    &#x3008 sowie &#x3009

    und zwar so:

    ? sowie 〉

    Herzliche Grüße.

  15. #15 MartinB
    25. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Ich fürchte aber, in den nächsten Teilen wirst du noch mit dem Handicap leben müssen, da die bereits fast fertig sind…
    Vielleicht hilft ja ansonsten eine Druckansicht oder ein Konvertieren in ein pdf?