Ich sage es hier gleich dazu: Die Notation |k⟩ verwendet man auch in der QFT oft, was suggeriert (und diese Suggestion wird von den meisten QFT-Büchern auch nicht in Frage gestellt), dass es da auch eine Art Wellenfunktion gibt, die eine ebene Welle wäre. Leider ist das aber falsch, Zustände in der QFT sind wesentlich komplizierter als das. (Aber keine Sorge, auch wieder nicht soo kompliziert, dass man sie nicht verstehen könnte.)

Ebene Wellen sind deswegen oft praktischer als Ortszustände, weil ebene Wellen Lösungen der Elektron-Gleichung in der Quantenmechanik (der Schrödinger-Gleichung) sind. Ist ein Elektron einmal in einem Zustand einer ebenen Welle, also |k⟩, dann bleibt es (solange es ungestört ist, also keine Kräfte wirken) in diesem Zustand. Das ist bei Ortszuständen anders: Ist ein Elektron jetzt an einem bestimmten Ort x, also im Zustand |x⟩, dann ist es gleich nicht mehr in diesem Zustand, sondern in einer Überlagerung. (Wellenpakete zerlaufen mit der Zeit, auch dazu findet ihr viele Bildchen in meiner alten Schrödingergleichungs-Serie.)

Intuitiv findet ihr vermutlich Ortszustände anschaulicher (das geht den meisten Leuten wohl so, mir übrigens auch), aber ebene Wellen (auch Impulszustände genannt, weil ℏ k ja der Impuls ist) sind oft wesentlich praktischer. Sie haben auch den zusätzlichen Vorteil, dass sie (für frei herumfliegende Elektronen) einen wohldefinierten Wert der Energie haben.

Es gilt für ebene Wellen dasselbe wie für die Ortszustände: Ein beliebiger Elektronenzustand kann geschrieben werden als

Zustand = ∫ dk ψ(k) |k⟩

Um den Zustand eines Elektrons in der Quantenmechanik zu beschreiben, brauchen wir also einen Satz von speziellen Zuständen, beispielsweise Orts- oder Impulszustände. Ein beliebiger Zustand eines Elektrons ist eine Überlagerung solcher Zustände (man nennt die oft auch Basis-Zustände) mit Koeffizienten, die die Wahrscheinlichkeitsamplitude darstellen, diesen Zustand zu messen. Die Basis-Zustände sind dabei solche, die man auch direkt messen könnte und die auch den Zuständen in der klassischen Physik entsprechen – ein klassisches Elektron ist immer an einem bestimmten Ort x.

Ein anderer Begriff für diese Zustände ist “Eigenzustände” – dazu sagt man, welcher Größe diese Zustände “eigen” sind. Die |x⟩-Zustände heißen also “Ortseigenzustände”, die |k⟩-Zustände heißen Impulseigenzustände, und Energieeigenzustände bekommen wir auch gleich noch.

Zustände in der QFT – erster Versuch

Alles was hier bisher geschrieben habe, gilt in der Quantenmechanik. In der Quantenfeldtheorie haben wir es aber ja nicht mehr mit einem Teilchen zu tun, sondern mit einem ganzen Quantenfeld. Wie können wir mit diesen Ideen den Zustand eines solchen Quantenfelds beschreiben?

In der klassischen Physik haben wir ein Punktteilchen, das an jedem Ort x sein kann. Jeder dieser Möglichkeiten ordnet die Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zu.

Ein klassisches Feld ordnet selbst schon jedem Punkt des Raumes x einen Wert des Feldes zu: φ(x), beispielsweise die Auslenkung unseres berühmten Gummituchs. Entsprechend müssen wir, um den Zustand mit einer Wellenfunktion zu beschreiben, jeder denkbaren Feldkonfiguration φ(x) eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zuordnen. Das passt eigentlich gut zur Logik unseres Pfadintegrals, wo wir ja über alle Feldkonfigurationen summiert haben und jede davon einen Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsamplitude des ganzen Prozesses geleistet hat.

Eigentlich ganz einfach und konsequent.

Mathematisch ist das allerdings ziemlich böse – es gibt schließlich unglaublich irrsinnig viele Funktionen. Formeln, die mit solchen “Funktionalen” (die also einer Funktion einen Wert zuordnen) hantieren, sind deshalb ziemlich schwer zu durchschauen. Das oben schon erwähnte Buch von Hatfield z.B. hat eine Formel, in der der schicke Ausdruck π steht – “pi hoch unendlich” ist schon ein wenig bedenklich, oder? (Mathematisch ist auch das Pfadintegral selbst nicht ohne – da gibt es aber Tricks, mit denen man den Ärger relativ leicht in den Griff bekommt. So ziemlich die wichtigsten davon sind Feynman-Diagramme, eines Tages baue ich die hoffentlich auch noch in diese Serie ein.)

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Kommentare (15)

  1. #1 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @MartinB:

    Hiiilfe:

    der Text enthält imer wieder merkwürige nicht-darstellbare Zeichen in einem Kasten,
    zB. sehe ich mit Firefox den Text ‘|o⟩’ als |o gefolgt von einem eckigen Kasten mit 27 und E9 darin, also ein UTF-Zeichen, daß sich wohl nicht darstellen läßt, wahrscheinlich das Zeichen der schließenden spitzen Zustands-Klammer.

    Was kann ich tun?

    Herzliche Grüße.

  2. #2 MartinB
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Bin ich leider ratlos. Ich habe zur Endfertigung mit unserem tollen grafischen Editor gearbeitet und kann jetzt nicht mal mehr den Quelltext kontrollieren, ob da wirklich alles o.k. ist (hoffentlich bekommen wir hier bald ein neues Blog-System.)

    Tritt das denn bei allen spitzen Klammern auf? Dann dürfte der Fehler bei dir liegen, jedesmal habe ich mich sicherlich nicht vertippt und ein ; vergessen oder so?

  3. #3 tom
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A:
    27E9 ist tatsächlich die schließende Spitzklammer (siehe https://www.fileformat.info/info/unicode/char/27E9/index.htm ). Wenn Martin den Text nicht ändert (etwa das Zeichen ‘⟩’ durch ‘>’ ersetzt, was aber deutlich schlechter aussieht), ist die einzige Möglichkeit, dass du eine Schriftart installierst, die dieses Zeichen beinhaltet.

  4. #4 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @tom:
    vielen Dank – welche Schriftart ist das und wo kann man denn Schriftarten in Firefox installieren?

    Herzliche Grüße.

  5. #5 SCHWAR_A
    24. Mai 2012

    @MartinB:
    es sind nur die schließenden spitzen Klammern betroffen, also ⟩

  6. #6 tom
    24. Mai 2012

    @SCHWAR_A:
    “Trebuchet MS” heißt die Schriftart, die auf den Scienceblogs für die Beiträge verwendet wird. Die gab es mal von Microsoft als Teil fer “Core fonts for the Web” (https://en.wikipedia.org/wiki/Core_fonts_for_the_Web ) gratis zum download, müsste sich aber noch irgendwo finden lassen.
    Sobald du die im Betriebssystem installiert hast, sollte Firefox sie verwenden (ist jedenfalls unter Linux, Windows und MacOSX so).

  7. #7 Niels
    24. Mai 2012

    @MartinB
    Ich hab so ein ähnliches Problem wie SCHWAR_A.
    Bei mir schauen die Formeln so aus:
    https://s14.directupload.net/file/d/2900/ae4c2wjx_jpg.htm

    Das war schon mal bei irgend einem deiner Beiträge. Mir fällt leider nicht mehr ein bei Welchem.
    Da fehlte damals eine Klammer oder so?

  8. #8 nihil jie
    24. Mai 2012

    also bei mir sieht alles korrekt aus… bin gerade mit Firefox 12.0 und der Zeichencodierung Unicode (UTF-8) unterwegs.

  9. #9 Marc
    24. Mai 2012

    Als Stiller Leser möchte ich mich heute einmal zur Wort melden: leider sind auch iOS Geräte von dem invaliden Zeichensatz betroffen. Im Grunde nicht schlimm, man sollte ggf. einen Hinweis auf diesen Umstand am Ende des Artikels platzieren.

    Ich möchte aber Martin für die tollen Artikel danken die bis dato erschienen sind.
    Hier steckt so viel Zeit und Liebe drin. Vielen Dank

    Ps. Wie bekommst Du das neben Job und Famlie zeitlich hin?

  10. #10 MartinB
    25. Mai 2012

    @Niels
    Wir hatten das mal, als ich bei einem radic ein Semikolon vergessen habe, da hattest du dann immer nur “radic” zu sehen bekommen . Das scheint mir hier aber nicht der Fall zu sein – ich habe bestimmt nicht jedesmal was vergessen, und der kleine Kasten deutet doch auf ein nicht installiertes Zeichen hin.
    Versucht doch im Zweifel mal, euren Browser zu zwingen, eine andere Schriftart zu benutzen, vielleicht hilft das.

    @Marc
    Freut mich. Zeitlich schreibe ich meist ein bisschen, wenn ich von der Arbeit nach Hause komme, abends und am Wochenende. Dafür hat sich mein Lesekonsum deutlich reduziert.

  11. #11 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @tom , nihil jie, Niels, MartinB:
    Danke. Ich habe bereits Firefox 12.0, auch ‘Trebuchet MS’ in Windows installiert gehabt und bin mit ‘universeller’ Auto-Erkennung unterwegs. Die Seite verlangt UTF-8.
    Auch alle Versuche mit ‘Benutzerdefinierten Schriftarten’ sowie Änden auf ‘Trebuchet MS’ oder andere Kodierungen sind bisher leider fehlgeschlagen…

    Herzliche Grüße.

  12. #12 MartinB
    25. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Mal ein simpler test: Siehst du das hier korrekt mit linker und rechter spitzer Klammer
    ⟨ x|x⟩
    ?
    Diesmal habe ich wirklich aufgepasst, dass ich mich nicht vertippt habe.

  13. #13 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @MartinB:
    nein, leider sind beide spitzen Klammern nur als umrahmte 27E8 bzw. 27E9 zu sehen…

    Irgendwo habe ich auch gelesen, daß Trebuchet MS und UTF-8 sich evt. widersprechen, also diese Schriftart nicht in der im Seitencode verlangen Kodierung existiert…

    Herzliche Grüße.

  14. #14 SCHWAR_A
    25. Mai 2012

    @MartinB:
    ich denke ich habe ene Lösung:

    bei mir werden folgende UTF-8-Zeichen korrekt dargestellt:

    &#x2329 sowie &#x232a

    und zwar so:

    ? sowie 〉

    aber auch das Klammerpaar

    &#x3008 sowie &#x3009

    und zwar so:

    ? sowie 〉

    Herzliche Grüße.

  15. #15 MartinB
    25. Mai 2012

    @SCHWAR_A
    Ich fürchte aber, in den nächsten Teilen wirst du noch mit dem Handicap leben müssen, da die bereits fast fertig sind…
    Vielleicht hilft ja ansonsten eine Druckansicht oder ein Konvertieren in ein pdf?