In letzter Zeit war ja öfter mal von negativen Temperaturen die Rede. Also nicht die negativen Temperaturen draußen, wo es aus irgendeinem Grund immer noch kalt ist und schneit, sondern negative absolute Temperaturen. Und merkwürdigerweise sollen die in Wahrheit gar nicht kalt sein, sondern heiß. Um zu verstehen, wie so etwas auf den ersten Blick absurdes gemeint sein kann, müssen wir uns erst einmal eine ganz grundlegende Frage stellen: Was ist überhaupt eine Temperatur?

Ich fange ganz fundamental an, nämlich mit den berühmten Hauptsätzen der Thermodynamik. Bekannt und viel zitiert ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik, der sagt, dass die Energie in einem abgeschlossenen System konstant ist. Ebenfalls oft zitiert wird der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, den es in verschiedenen Formulierungen gibt. Ich verwende heute die, die mit dem Entropiebegriff hantiert: “Die Entropie eines abgeschlossenen Systems erreicht im thermischen Gleichgewicht ihr Maximum.” (Für den Moment braucht ihr gar nicht genau zu wissen, was die Entropie ist, aber ich habe das na klar auch mal ausführlich erklärt (vielleicht sollte der Blog lieber “Hier wohnt der Erklärbär” heißen?) – klickt rechts auf Artikelserien und dort findet ihr eine mehrteilige Serie zum Thema (und inzwischen sollten die Links sogar wieder funktionieren…).)

Heute fange ich aber mit dem – wenig beachteten, weil für trivial gehaltenen – Nullten Hautpsatz an. den klaue ich wörtlich von Wikipedia:

Stehen zwei Systeme jeweils mit einem dritten im thermodynamischen Gleichgewicht, so stehen sie auch untereinander im Gleichgewicht. Diejenige Zustandsgröße, die bei diesen Systemen übereinstimmt, ist die Temperatur.

Der Satz sagt uns Folgendes: Systeme (unter einem System könnt ihr euch alles vorstellen, was eine Temperatur haben kann; Physikerinnen bevorzugen meist einfache Dinge wie Gase oder einigermaßen simpel aufgebaute Festkörper; gut ist auch immer ne Flasche mit Wasser oder eine Badewanne voll davon) – also: Systeme können im thermodynamischem Gleichgewicht sein. Das ist grob gesagt dann der Fall, wenn sie durch bestimmte Größen (beispielsweise den Druck in einem Gas oder sein Volumen) beschrieben werden können und wenn die sich zeitlich nicht mehr ändern. (Man kann das auch noch axiomatischer formulieren, aber die Physik ist ja keine axiomatische Wissenschaft, für mich reicht heute diese einfache Definition für den Hausgebrauch.)

Wenn ich zwei Systeme miteinander in Kontakt bringe, so dass sie Energie austauschen können, dann erreichen sie irgendwann ein thermodynamisches Gleichgewicht miteinander. Das erkenne ich daran, dass sie netto keine Energie mehr austauschen (obwohl statistisch durchaus mal ein bisschen Energie von einem zum anderen fließen kann, aber im Mittel gleicht sich das immer aus). Der Nullte Hauptsatz sagt mir nun, dass Wenn A mit B im Gleichgewicht ist und B mit C, dann ist auch A mit C im Gleichgewicht. Das bedeutet, dass es eine einzige Größe geben muss, mit der ich ein thermodynamisches Gleichgewicht kennzeichnen kann, und diese Größe ist gerade die Temperatur.

Klingt ein bisschen abstrakt, ist aber eigentlich ganz logisch. Bei der Körpergröße ist es zum Beispiel genauso: Wenn A genauso groß ist wie B und B so groß wie C, dann ist auch A so groß wie C. Es gibt deshalb eine Zahl, die die Körpergröße kennzeichnet. Bei anderen Dingen ist es aber nicht so: Wenn zum Beispiel A und B beim Schach immer remis spielen und B und C auch, dann heißt das nicht, dass A und C auch immer remis spielen müssen – die Spielstärke im Schach lässt sich nicht durch eine einzige Zahl kennzeichnen (auch wenn es natürlich ELO-Zahlen gibt).

Es gibt also eine Größe, die wir Temperatur nennen und die dazu dient, festzustellen, ob zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht sind oder nicht. Wäre natürlich toll, man hätte eine Idee, was diese Größe eigentlich ist, oder? (Klar, aus dem Alltag könnte man – analog zu Einstein – sagen “Temperatur ist das, was ein Thermometer anzeigt”, aber hier schauen wir genauer hin…)

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Kommentare (31)

  1. #1 BreitSide
    4. April 2013

    hmmm…

  2. #2 volker
    Waakirchen
    5. April 2013

    Da wird sich aber Walter Nernst in seinem (fast) abgeschlossenen System (Sarg) umdrehen. Oder gilt das vielleicht nach dem vierten Hauptsatz:
    (1.4.)ind.1 = (1.4.) ind.0 + 1
    Meine Cortex kraust sich.

  3. #3 Adent
    5. April 2013

    @Martin
    Hallo Martin,
    hast du darüber schon mal was gebloggt oder über Maldacena?
    http://www.nature.com/news/astrophysics-fire-in-the-hole-1.12726

  4. #4 MartinB
    5. April 2013

    @volker
    Verstehe ich jetzt nicht so ganz, ist hier irgendwas falsch oder blödsinnig?

    @Adent
    Nein, das ist mir ehrlich gesagt zu hoch. Stringtheorie und so ist gar nicht meins, da hab ich keinen Schimmer von.

  5. #5 Sebastian Templ
    5. April 2013

    Toller Artikel, Martin! (Generell lauter super Artikel in diesem Blog – bis jetzt hab ich ja nicht so viel kommentiert, um das oft genug zu sagen.)
    Ich freue mich auf den nächsten Teil (oder Teile)! Bis jetzt konnte mir noch niemand verständlich machen, was das mit der negativen Temperatur eigentlich ist. Doch ich habe das Gefühl, dass mich diese Artikel zu einem größeren Verständnis dieses Phänomens führen.

  6. #6 Adent
    5. April 2013

    @Martin
    Soweit ich es verstanden habe geht es aber eher über den Streit ART vs Quantentheorie und das beides zusammen im Fall der schwarzen Löcher nicht stimmen kann. Gut Maldacena ist wohl eher über Stringtheorie, aber in der Quantentheorie kennst du dich doch recht aus oder irre ich mich?

  7. #7 Adent
    5. April 2013

    Oh, da fehlt ein gut vor dem aus 😉

  8. #8 roel
    *****
    5. April 2013

    @MartinB ABBBBBO!

    “vielleicht sollte der Blog lieber “Hier wohnt der Erklärbär” heißen?”

    Für mich sind die “unbekannten Gebiete” genau die richtige Bezeichnung für deinen Blog. Bei Bär habe ich hier andere Assoziationen.

  9. #9 Marko
    5. April 2013

    Hmm, die Frage stellt sich doch, ob es eine negative Temperatur auch in der Realität geben kann?

  10. #10 MartinB
    5. April 2013

    @adent
    Ja, das stimmt schon, aber das QFT-Argument beruht auf lauter abgefahrenen Konzepten, die ich nicht verstehe…

    @Marko
    Ja, das wurde ja gerade umgesetzt (siehe Florians lnk, da sollte das erklärt sein), deswegen kocht das Thema ja gerade hoch.

    @roel
    Ich dachte an den putzigen Erklärbär mit der süßen Piepsstimme, der immer alles weiß:

  11. #11 sax
    nicht hier ;-)
    5. April 2013

    Schöner Artikel, aber ein paar kleinigkeiten haben mich gestört.

    Die Folgerung zwei Systeme sind in Kontakt und im Gleichgewicht, deshalb muss ihre Temperatur gleich sein ist (fast*) immer richtig.

    Die Folgerung, zwei Systeme haben die gleiche Temperatur, also sind sie im Gleichgewicht, ist nur dann richtig, wenn ausschließlich Energieaustausch, aber kein Teilchenaustausch zwischen den Systemen möglich ist, der Kontakt also rein thermisch ist. z.B. herscht bei gleicher Temperatur und unterschiedlichem Druck, aber möglichem Volumenaustausch, kein Gleichgewicht.

    Ich finde es Schade das du noch kein Beispiel gebracht hast, dabei gibt es so eine schönes das auch nicht viel Platz einnimmt.

    Man stelle sich vor, ein Magnet besteht aus lauter “Magnetnadeln”, die sich entweder nach oben oder nach unten ausrichten können. Nun legt man ein Magnetfeld das von unten nach oben zeigt. Die einzelnen Nadeln wollen sich nun parallel zum Feld ausrichten. Wenn die Temperatur Null ist, tun das auch alle. Bei höheren Temperaturen steckt kinetische Energie in den Nadeln, diese zappeln hin und her, damit sind nicht mehr alle Nadeln parallel zu dem Feld, die potentielle Energie der Nadeln wird größer. Gleichzeitig wird die unordung in dem System größer. Entropie kann man auch als ein Maß für die unordnung ansehen. Deshalb wird die Entropie weiter größer. Erhöhe ich die Temperatur weiter, erhöhe ich die unordnung und damit die Entropie weiter, Das Maximum ist offenbar dort erreicht, wo alle Nadeln völlig zufällig ausgerichtet sind.

    Nun kann ich aber die Energie des System noch mehr erhöhen, in dem ich die Nadeln (wie auch immer), dazu zwinge sich entgegen des Feldes auszurichten. Ich stecke also mehr Energie in das System rein, aber die Ordnung in dem System wächst wieder bis maximal alle Nadeln parallel aber entgegen dem Feld stehen. Die Entropie sinkt, die Temperatur ist negativ. Aber eigentlich ist das dann keine Temperatur im Sinne der Gleichgewichtsstatistik mehr, denn so ein Zustand kann nie ein Gleichgewichtszustand sein, er ist immer irgendwie erzwungen und man muss Energie aufwenden um ihn aufrechtzuerhalten.

    *Bei zwei Suprafluiden, die auschließlich über eine kapilare in Kontakt stehen kann man sich streiten was gleichgewicht bedeutet.

  12. #12 volker
    5. April 2013

    @martin
    nein. nein. Ist schon recht so.
    Ich hatte nur mal im 3. Hauptsatz der Thermodynamik von W. Nernst gelernt, dass der absolute Nullpunkt der Temperatur unerreichbar ist, und dort die Entropie gleich null ist. Das war allerdings in 1906. Deswegen meine Bemerkung von wegen im Grab umdrehen. ich habe wahrscheinlich den tieferen Sinn deines Beitrags nicht verstanden. Werde ihn also nochmal lesen.

  13. #13 MartinB
    5. April 2013

    @sax
    Ja, das ising-modell kommt doch dann im zweiten Teil (denke ich jedenfalls, so ganz schlüssig bin ich mir da nicht – weiß jemand, wo man die korrekte dS/dE-Formel für’s Isingmodell findet?).
    Hier reicht mir als beispiel die Flasche. (Ich habe ja noch mit keinem Wort was zur statistischen Definition der Entropie gesagt…)
    Und du hast recht, die Systeme dürfen nur Energie austauschen.

    @volker
    Das stimmt auch – auch in der Kurve erreichst du nie einen Punkt mit T=0, weil man ja von plus-unendlich nach minus-unendlich springt.

  14. #14 ChrE
    6. April 2013

    @MartinB
    Sie sprengen gerade mein Vorstellungsvermögen (ganz abgesehen von meinem Arbeitsplan). Ein Temperatursprung von plus-unendlich nach minus-unendlich, ohne Erreichen von T=0. Ist das übersetzbar mit: es gibt Temperaturen kleiner als 0K, jedoch können wir sie praktisch nicht erreichen, da (derzeit) von uns beschrittene Wege zur Absenkung der Temperatur durch den Punkt T=0K führen müßten?

    Das Beispiel mit Badewanne und Wasserflasche finde ich etwas unglücklich, weil nicht extrem genug. Wie wäre es denn mit einer Erklärung für den Fall, daß ein Metallkörper in die Badewanne gelangt? Also zwei Energieträger in Beziehung setzt, die stark unterschiedlich sind hinsichtlich ihrer spezifischen Wärmekapazität? Ließe sich dann nicht noch besser der Zusammenhang zwischen “Energie” und “Temperatur” zeigen? Oder (wir haben ja noch Winter) Streusalz auf Eis, die Kombination aus diesen beiden Systemen hat eine niedrigere Temperatur als die Ausgangssysteme.
    (Wahrscheinlich oute ich mich gerade als hoffnungsloser Fall für theoretische Betrachtungen…)

    Ich hoffe sehr auf den zweiten Teil, der die Entropie bzw. deren Wesen mehr erklärt als die Formel
    dS = dE / T

  15. #15 StefanL
    6. April 2013

    Hmm – T = dE / dS ; eine Sinuskurve in einem Entropie-Energie Diagramm? Minimalste Energieschwankungen die sich dann wieder Auflösen ohne Entropieänderung(dS=0) würden dann (spontane?) Temeraturwechsel von + nach – unendlich und vice versa implizieren.
    Ist das nicht auch der “Grilleffekt” der Schwarzen Löcher (vgl.#3) vereinfacht : es wird Energie zugeführt aber die Entropie ändert sich nicht?

  16. #16 MartinB
    6. April 2013

    @ChrE
    Ja, wie das wirklich geht, von plus nach minus unendlich zu kommen, sehen wir dann noch.
    Und ja, ich hatte kurz überlegt, ein zweites Material mit ner anderen Wärmekapazität zu nehmen, aber ich war mir nicht sicher, ob das nicht eher verwrrt als hilft, zumal ich ja nur klar machen wollte, dass nicht die Energie zweier Systeme im Gleichgewicht gleichist.

    @StefanL
    Ja, so ne Sinuskurve wäre lustig, aber angesichts der Natur der Entropie sehe ich nicht, wie das zu realisieren wäre.
    Ob das was mit dem Grilleffekt zu tun hat, weiß ich nicht (Entropie eines SL ist proptional zu seiner Oberfläche; wieso ändeert die sich in dem Fall nicht, wenn ich Energie zuführe?)

  17. #17 Niels
    6. April 2013

    @MartinB

    weiß jemand, wo man die korrekte dS/dE-Formel für’s Isingmodell findet?

    Kann man das für den allgemeinen Fall überhaupt sinnvoll angeben?

    Mir ist nicht ganz klar, worum es dir genau geht, aber vielleicht helfen diese Links (speziell die Diagramme) ein bisschen weiter?
    http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_temperature#Noninteracting_two.E2.80.93level_particles
    http://www.cmu.edu/biolphys/deserno/pdf/microcan.pdf

    @MartinB @StefanL
    Den Zusammenhang mit schwarzen Löchern seh ich überhaupt nicht?
    Deren Entropie ändert sich aber durchaus, wenn man Energie zuführt oder “entnimmt” (Hawking-Strahlung).

  18. #18 ChrE
    6. April 2013

    In Kombination mit dem Blog und Diskussion “Absolut negative Temperaturen sind heiß” (Astrodictum simplex) wird mir einiges (gefühlt) klarer.
    Die Negativität entsteht aus der Definition heraus. In der Diskussion zu Astrodictum simplex’ Blog wird auch der Begriff ‘T größer unendlich’ aufgeworfen. In der ersten Betrachtung leichter zu verdauen als ein Überschlag von plus nach minus unendlich.

  19. #19 StefanL
    6. April 2013

    ok – wenn Δ S ~ Δ E ist ( bei SLs) dann taugt das natürlich überhaupt nicht zur Veranschaulichung des “Grilleffektes”.

  20. #20 MartinB
    6. April 2013

    @Niels
    Danke für den Tipp, inzwischen habe ich gemerkt, dass das , was ich mir ursprünglich überlegt hatte, richtig war und dass ich zwischendurch nur zu doof war um zu verstehen, wie ein Logarithmus funktioniert.
    Und nein, ich sehe auch keinen Zusammenhang mit SLs, Stefan inzwischen anscheinend auch nicht mehr.

    @ChrE
    Warte doch den zweiten Teil ab (den schreibe ich hofentlich morgen, oder fange ihn zumindest an), ich wette, dann wird am konkreten Beispiel alles viel klarer. Hier wollte ich mal spaßeshalber versuchen, wie ein axiomatischer Thermodramatiker zu denken.

  21. #21 volker
    Waakirchen
    11. April 2013

    Als physikalisch halbgebildeter ( ich komme oft mehr von der grundsätzlich philosophische Seite) , habe ich nochmal gelesen und nachgedacht. Ich denke, bitte um Korrektur:
    Alle Naturgesetze dürfen, wenn sie wahr sein wollen, nicht auf mathematische Widersprüche treffen. Aber: Nicht alles, was sich mathematisch darstellen lässt, muss notwendigerweise auch ein gültiges Naturgesetz sein. ich erlaube mir deshalb immer noch einen Zweifel an negativen Temperaturen, die “plötzlich” von minus unendlich auf plus unendlich umschlagen sollen.

  22. #22 MartinB
    11. April 2013

    @volker
    Im zweiten teil wirst du sehen, dass das nur daran liegt, dass man die temperatur doof definiert. Würde man statt T die Temperatur über 1/T definieren, wäre alles gut, der Parameter geht dann ganz brav gegen Null und wird dann negativ.
    Stell dir vor, du würdest deinen Geldbesitz über den Pleiteparameter 1/Besitz definieren und in 1/Euro angeben. Wenn du fast pleite bist (Besitz gegen Null), geht der Pleiteparameter gegen unendlich, sobald du dann Schulden hast (Besitz minus 1 Euro), springt der Wert von plus unendlich auf minus unendlich. (Hmm, das beispiel sollte ich in den Artikel aufnehmen, das ist schön anschaulich, oder?).

  23. #23 roel
    *****
    11. April 2013

    @MartinB Hm, Prinzip erkannt, wenn auch nicht ganz glücklich damit.

    “sobald du dann Schulden hast (Besitz minus 1 Euro), springt der Wert von plus unendlich auf minus unendlich.”

    Das ist dann 1/(-1), Taschenrechner an und =-1. Besser wäre es mit -0,01 Euro, das wäre dann immerhin -100. Du musst also am Beispiel noch etwas feilen.

  24. #24 Niels
    11. April 2013

    @MartinB

    Würde man statt T die Temperatur über 1/T definieren, wäre alles gut

    Deswegen verwenden echte axiomatische Thermodynamiker in der reinen Lehre auch ausschließlich das thermodynamische β. 😉
    Die Temperatur T braucht man schließlich nur für die unwichtige Angewandte Thermodynamik.

  25. #25 sax
    11. April 2013

    @Martin

    Nunja, was doof definiert ist, ist hier wohl extreme Geschmackssache. Wenn man \beta statt T benutzt, hat man die schöne Eigenschaft des absoluten Nullpunktes nicht mehr, dann kommt alles zur Ruhe, wenn \beta gegen unendlich geht. Aufder anderen Seite, das unendlich niemals ganz erreicht wird ist auch wieder intuitiver als das Null niemals erreicht wird. Aber für den Hausgebrauch ist die Temperetur meinem empfinden nach die schönere Größe.

    Zu meiner Aussage, das negative Temperaturen kein thermodynamisches Gleichgewicht beschreiben können, muss ich mich denke ich korrigieren. Wenn man ein abgeschlossenens System hat, in dem man, wie auch immer, soviel Energie reingesteckt hat, dass dS/dE negativ wird, das System aber nun keine Energie mehr mit der Umgebung austauschen kann, tja, dann ist es wohl im Gleichgewicht.

    Aber wenn es Kontakt mit irgendeinem System hat, für das es keine negativen Temperaturen gibt, und das sind die meisten, das die Entropie mit steigender Energie sinkt ist eher ungwewöhnlich, wird sich ein Gleichgewicht immer bei postiver Temperatur einstellen. Das System ist instabil.

  26. #26 MartinB
    12. April 2013

    @Niels
    Genau.

    @sax
    Für den Hausgebrauch sicher. Zu den anderen Dingen noch mehr im zweiten (fast fertigen) Teil.

  27. […] Beim letzten Mal hatte ich ja erklärt, dass die Temperatur etwas mit der Änderung der Entropie zu tun hat, wenn man einem System Energie zuführt. Die Formel für die Temperatur war […]

  28. #28 Wilhelm Leonhard Schuster
    13. April 2013

    Naiv dumme Frage :
    Welche Temperatur herrscht im “Schwarzen Loch”?

    Wenn Materie unendlich zusammen gepreßt , kann sich doch innerhalb dieser nichts mehr bewegen?

    ” Dann Eiseskälte “?

  29. #29 MartinB
    13. April 2013

    @WLS
    Beim reinstürzen ins schwarze loch dürften die Kollissionen und die gezeitenkräfte zu hohen Temperaturen führen, denke ich. Genau in der Singularität, wo alles unendlich zusammengepresst ist, ist die Frage nach der Temperatur sinnlos, denke ich. (Genauso wie es keinen sinn ergibt, nach der Temp. eines einzelnen Atoms zu fragen.)
    Von außen betrachtet, hat ein SL auch eine Temperatur, die mit der Oberfläche zusammenhängt. (Stichwort Hawking-Strahlung)

  30. #30 John
    14. April 2013

    Also wenn d(Delta)S die Änderung der Entropie ist und Die Gleichung stimmt, dann muss auch stimmen:

    d(delta)S = 1/T * d(Delta)E

    Das bedeutet aber das bei Energie-Zuführung (positives d(delta)E) auch d(delta)S positiv ist und umgekehrt.

    Damit kann der Quotient aus d(Delta)s/d(delta)E nie negativ sein. Oder sehe ich da was falsch?

  31. #31 MartinB
    14. April 2013

    @John
    Nein, wenn bei Energiezuführung die Entropie kleiner wird, dann steht in der Gleichugn rechts ein positives Delta E und links ein negatives delta S, also muss 1/T auch negativ sein.
    Siehe auch den zweiten teil.