Dazu nehmen wir den ersten und zweiten Hauptsatz zur Hilfe. Wir betrachten zwei Systeme, die miteinander Energie austauschen können und die ansonsten von ihrer Umwelt isoliert sind. (Konkret könnt ihr wieder die Badewanne und die Wasserflasche nehmen, wenn ihr wollt.) Nach einer Weile werden die beiden Systeme (durch den Energieaustausch) im thermodynamischen Gleichgewicht sein (also dieselbe Temperatur haben). Die Energie des Gesamtsystems ändert sich laut erstem Hauptsatz nicht – es kann also nur Energie hin- und herfließen.
Wir fragen uns jetzt, wie die Energie sich auf die beiden Systeme verteilt. Hat das eine System viel Energie, das andere wenig? Oder bekommen beide gleich viel Energie ab? Man könnte ja versucht sein zu sagen, dass die Energie in beiden Systemen gleich sein muss (weil Temperatur ja etwas mit Energie zu tun hat), aber das stimmt natürlich nicht – wenn ich die Flasche mit Wasser in eine Badewanne halte, dann hat das Wasser in der Badewanne auch im thermodynamischen Gleichgewicht viel mehr Energie als das in der Flasche, weil einfach mehr Wasser da ist.
Statt lange herumzurätseln, wie sich denn nun die Energie verteilt, können wir aber einfach den 2. Hauptsatz zur Hilfe nehmen, der uns sagt, dass die Entropie eines abgeschlossenen Systems im Gleichgewicht ihr Maximum annimmt. (Ja, ich weiß, ich habe immer noch nicht erklärt, was die Entropie eigentlich ist…) Nehmen wir an, das eine System hat eine bestimmte Energiemenge, das andere auch. Wenn ich die Gesamt-Entropie jetzt erhöhen kann, indem ich Energie vom einen System aufs andere übertrage, dann war ich vorher offensichtlich noch nicht im Gleichgewicht, denn die Gesamtentropie hat ja jetzt zugenommen. Wenn die Entropie maximal ist, dann muss gelten, dass sich die Gesamtentropie nicht mehr ändern lässt, indem ich Energie vom einen System auf das andere verschiebe – was das eine System an Entropie verliert, muss das andere an Entropie gewinnen.
Nehmen wir an, ich klaue dem einen System eine Energie ΔE zu und seine Entropie verringert sich um Δ S. Diese Energie füge ich jetzt dem anderen System zu. Dann muss entsprechend die Entropie des anderen Systems um ΔS zunehmen (und die Energie natürlich auch um ΔE), sonst würde sich die Entropie insgesamt ändern und wir wären nicht im thermodynamischen Gleichgewicht. Die Systeme tauschen also so lange Energie aus, bis sich die Entropie nicht mehr durch Austauschen von Energie erhöhen lässt.
Nach dem Nullten Hauptsatz muss das jetzt immer noch funktionieren, wenn wir eins unserer beiden Systeme mit einem dritten in Kontakt bringen, das dieselbe Temperatur hat (weil es dann auch mit dem im Gleichgewicht ist). Das bedeutet, dass für jedes System, das eine bestimmte Temperatur hat, gelten muss, dass seine Entropie um den Betrag ΔS zunimmt, wenn ich die Energie im den Betrag ΔE erhöhe. Die Größe ΔS/ΔE (die Entropie, die ich pro zugeführter Energiemenge bekomme) ist also für alle Systeme, die dieselbe Temperatur haben, gleich, sie muss also direkt von der Temperatur und von nichts anderem abhängen. Und so ist es auch; mit etwas mehr Mühe und Sorgfalt (ich empfehle das Thermodynamikbuch von Reif) kann man zeigen, dass die Beziehung so aussieht:
(In Physikbücher stehen da natürlich Differentiale statt der Deltas.)
Das ist also die Temperatur: Sie (beziehungsweise ihr Kehrwert) gibt an, um wie viel sich die Entropie eines Systems ändert, wenn ich ihm Energie zufüge. Ist die Änderung groß, dann ist die Temperatur niedrig, ist die Änderung klein, dann ist die Temperatur hoch. An der Gleichung sieht man auch, dass die Temperatur unendlich groß wird, wenn sich die Entropie bei Energiezufuhr gar nicht ändert, und sie wird schließlich negativ, wenn die Entropie kleiner wird, wenn ich dem System Energie zufüge.
Um das etwas genauer zu sehen, nehmen wir an, die Entropie als Funktion der Energie verläuft so wie in dieser Kurve hier:
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