raumzeit4b

 

Etwas mehr über die Regeln, die gelten, wenn man zwischen unterschiedlichen Beobachterinnen hin- und hertransformiert, habe ich vor langer Zeit mal beim kleinen Sommerrätsel geschrieben. Da das für das folgende nicht so wichtig ist, gehe ich hier nicht näher darauf ein.

Ein Punkt ist hier aber wichtig: Da man sich innerhalb der Relativitätstheorie nicht einig ist, wie der Zeitablauf zwischen den beiden Messungen genau war, ist es sinnvoll, sich immer auf konkrete Ereignisse zu beziehen. Man spricht also vom Ereignis A, wenn das Elektron im Detektor A gemessen wird und vom Ereignis B, wenn es bei B gemessen wird. Dass es beide Ereignisse gibt und dass B nach A stattfindet, darüber sind sich alle einig – aber jede Beobachterin hat ihre eigene Vorstellung davon, wie viel Zeit zwischen A und B vergangen ist und wie weit die beiden Ereignisse im Raum auseinanderliegen. Wenn ich im folgenden von A und B rede, meine ich deswegen meist nicht mehr die Detektoren, sondern das jeweilige Messereignis.

Eigenzeit

Sind wir damit mit der Relativitätstheorie durch? Nicht ganz. Denn die RT hat noch eine nette Aussage über das Verhalten von Teilchen zu machen, die analog zum Lagrange-Prinzip der kleinsten Wirkung ist, das ich oben erklärt habe. Da haben wir ja gesagt, dass das Elektron von allen denkbaren Wegen denjenigen nimmt, bei dem die Wirkung minimal wird. In der RT (besonders der ART) kann man das Prinzip umformulieren zum Prinzip der maximalen Eigenzeit: Von allen möglichen Wegen nimmt das Teilchen denjenigen, bei dem seine Eigenzeit maximiert wird.

Für das Elektron vergeht ja auch eine gewisse Zeit zwischen A und B. Nehmt an, es würde einen der Umwege fliegen, die ich oben eingezeichnet habe. Dann wäre es sehr schnell unterwegs, damit es die lange Strecke schafft. Und weil es schnell unterwegs ist, vergeht – wegen der Zeitdilatation – für das Elektron weniger Zeit als wenn es mit konstanter Geschwindigkeit den geraden Weg nimmt. Tatsächlich kann man zeigen, dass die beiden prinzipien (kleinste Wirkung oder maximale Eigenzeit) zueinander äquivalent sind, für einen einfachen Fall habe ich das hier getan.

Viel mehr gibt es über den Weg von A nach B in der Relativitätstheorie nicht zu sagen – sie ändert unser Bild von Raum und Zeit, also die Vorstellung davon, wie die Ereignisse A und B räumlich und zeitlich zueinander angeordnet sind, aber das diskutiere ich hier nicht im einzelnen, denn auch dazu könnt ihr entweder in meiner ART-Serie oder in der oben verlinkten Buchrezension bei Florian mehr nachlesen.

Tja, und wieder einmal bestätigt sich der erste Hauptsatz der Bloggodynamik: Blogartikel werden immer länger, als man denkt. Zugegeben, es war schon sehr optimistisch von mr anzunehmen, ich würde den Weg von A nach B komplett in einem Artikel abhandeln können, aber dass man über die klassische Physik so viel schreiben kann, war mir vorher nicht so klar.

Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie vertage ich also – wie so oft – auf einen zweiten (und dritten????) Teil…

 

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Kommentare (27)

  1. #1 rolak
    8. Dezember 2013

    Ui, das ging aber flott!

    vertage ich also

    Wolln wir mal hoffen, daß es uns aufgrund der mannigfaltigen adventlichen Versuchungen nicht so ergeht wie beim Aloysius 😉

  2. #2 MartinB
    8. Dezember 2013

    Ja, etwas zu flott, deswegem war das Bild auch falsch…

  3. #3 Micha
    9. Dezember 2013

    Ich bin kein Theoretiker, deshalb kann es sein, dass ich mich irre: Ich glaube nicht, dass die Wege stetig differenzierbar sein müssen. Denn man kann mit Hilfe der Variationsrechnung das Brechungsgesetz herleiten, obwohl man einen Knick an der Grenze zwischen den beiden Medien hat, und ein Knick ist nicht stetig differenzierbar.

  4. #4 Stefan K.
    9. Dezember 2013

    Juhuu, endlich wieder spannende Physik, um meine grauen Zellen zu überfordern (habe die Artikelserien mittlerweile mehrmals durch und habe so gut wie jedesmal neue Aha-Momente).
    Darf ich daraus schließen, dass das Lehrbuch schreiben gut verläuft, bzw abgeschlossen ist? Falls ja, Glückwunsch und jedenfalls freue ich mich auf neue Artikel.

  5. #5 MartinB
    9. Dezember 2013

    @Stefan
    Das bUch ist beim Verleger zum Lektorieren und ich darf wieder andere Dinge tun:-)

  6. #6 MartinB
    9. Dezember 2013

    @Micha
    Ja, ich glaube auch, dass das nicht zwingend ist, bin mir aber nicht ganz sicher und habe irgendwo auf den physicsforums mal eine Diskussion gesehen, wo es darum im Zusammehang mit Pfadintegralen ging, erinnere mich aber nicht mehr genau. Deswegen wollte ich lieber vorsichtig sein. Vielleicht müssen die Wege stückweise stetig diffbar sein?

  7. #7 schlappohr
    9. Dezember 2013

    Vermutlich ist die Frage dämlich, aber kann ein reales massebehaftetes Teilchen überhaupt einen nicht-stetig-diffbaren Weg zurücklegen? Ein echter Knick würde doch eine unendliche Beschleunigung erfordern.

  8. #8 MartinB
    9. Dezember 2013

    @schlappohr
    Gute Frage; man könnte auch nur die Pfade zulassen, wo das teilchen abbremst, beovr es abknickt.
    Für die Wirkung wäre das vermutlich aber egal, weil der Punkt ne Nullmenge ist und deswegen das Integral trotzdem funktioniert.

  9. #9 Gast
    10. Dezember 2013

    Wo geht’s hier um Relativität? Bzw deren Verstehen…
    Hat die “Wirkung” was mit dem Wirkungsquantum zu tun?
    Was ist eigentlich Eigenzeit?

    und warum ist das Buch beim Verleger und nicht bei der Verlegerin?
    beobachten –> Beobachterin
    verlegen –> Verlegerin

  10. #10 MartinB
    10. Dezember 2013

    @Gast
    “Wo geht’s hier um Relativität? Bzw deren Verstehen…”
    In dem Abschnitt, der mit Relativitätstheorie überschrieben ist.

    “Hat die “Wirkung” was mit dem Wirkungsquantum zu tun?”
    Ja. Teilt man die Wirkung durch das Wirkungsquantum, ergibt sich die quantenmechanische Phase im Pfadintegral. Daskommt dann vermutlich im nächsten teil.

    “und warum ist das Buch beim Verleger und nicht bei der Verlegerin?”
    Weil ich mit der Umsetzung des generischen Femininums nicht konsequent bin.

  11. #11 Martin p
    Wien
    10. Dezember 2013

    Danke für die begonnene Artikelserie!

    Es hat mich schon lange beschäftigt wie das wohl mit der kinetischen Energie ist, wo doch die Geschwindigkeit vom Bezugssystem abhängt.

    Wenn ich zwei Gegenstände (Kugeln,…) betrachte die sich verschieden schnell bewegen, dann hat halt je nach Bezugssystem einmal der eine und einmal der andere mehr Energie. Sieht auf den ersten Blick wie ein Nullsummenspiel aus. Da die Energie aber nicht linear sondern quadratisch mit der Geschwindigkeit geht, empfinde ich bei dem ganzen ein gewisses Unbehagen.

    Ich bin schon gespannt wie es weitergeht.

    LG, Martin

  12. #12 MartinB
    10. Dezember 2013

    @MartinP
    Ja, aber in der klassischen Physik sind letztlich immer nut differenzen von Energien interessant; deswegen hat man ja auch nichts von der Energie durch Ruhemasse gemerkt, weil die sich halt normal nicht ändert.
    In der ART sieht es dann anders aus, weil Energie ja auch den Raum krümmt, aber da sind die Gleichungen trotzdem so, dass beim Transformieren zwischen Bezugssystemen immer alles stimmt.

  13. #13 JAtkins
    10. Dezember 2013

    @MartinB
    Schön, dass du als Teilchen ein Elektron genommen hast. Damit kann man näclich ganz leicht ein absolutes Bezugssystem erzeugen.
    Du nimmst einfach ein paar Magnete , mit denen du im gesamten Raum ein konstantes Magnetfeld erzeugst. Da für den ersten Beobachter das sich bewegende Elektron selber ein Magnetfeld erzeugt und dieses mit dem äußeren, konstanten Magnetfeld interagiert, fliegt für ihn das Elektron auf einer Kurve und nicht auf einer Geraden. Er beobachtet also etwas anderes als ohne Magnetfeld.
    Für die andere Beobachterin steht das Elektron jedoch still, erzeugt so auch kein Magnetfeld und wird deshalb auch nicht abgelenkt. Sie beobachtet also genau dasselbe wie ohne Magentfeld.
    Damit beobachten die beiden Beobachter jeder etwas anderes und man kann eines der beiden Bezugssysteme zum absoluten erklären.

  14. #14 MartinB
    10. Dezember 2013

    @JAtkins
    Was für einen Beobachter ein statisches Magnetfeld ist, hat für einen bewegten beobachter eine Komponente des elektrischen Feldes, deswegen klappt das Argument so nicht.

  15. #15 martin p
    11. Dezember 2013

    So, jetzt habe ich ein bisserl herumgerechnet.

    Ich nehme zwei weiche Gegenstände (Schneebälle, Lehmkugeln,..) die nicht voneinander abprallen sondern die kinetische Energie komplett in Wärme umsetzen wenn sie zusammenstoßen. Ich lasse sie aufeinander zu fliegen. Der Einfachheit halber gleiche Masse gleiche und Geschwindigkeit.

    Ruhendes Bezugssystem: soweit klar.

    Bezugssystem bewegt sich mit einer der Kugeln mit: Eine Kugel hat Energie = 0, und die andere hat jetzt die vierfache Energie, also in Summe haben die Kugeln doppelt so viel Energie wie vorher, und das war mein Unbehagen.

    Nach dem Zusammenprall haben sie in diesem System noch kinetische Energie (weil die beiden zusammengepickten Kugeln mit halber Geschwindigkeit weiterfliegen), und der Teil der in Wärme verwandelt wurde ist gleich groß wie vorher.

    Damit ist die Welt wieder in Ordnung 😉
    Schönen Tag noch!
    Martin

  16. #16 MartinB
    11. Dezember 2013

    @martinp
    Genau so soll es rauskommen (wenn ich mich recht entsinne, musste ich genau das mal irgendwann als Aufgabe rechnen, um zu sehen, dass alles passt).
    Ich überlege gerade, ob man das direkt verwenden könnte, um aus der Galilei-Invarianz und der Energie- und Impulserhaltung abzuleiten, dass die Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit gehen muss.

  17. #17 Rainer Zufall
    12. Dezember 2013

    Zwei Fragen:
    1. Warum ist bei der dritten Abbildung die rote Ortsachse der Beobachterin nach unten geklappt und bei der fünften Abbildung (mit der Relativitätstheorie) nach oben? Müsste sie nicht beide Male nach unten geklappt sein, wenn die Beobachterin sich mit dem Elektron mitbewegt?
    2. Wie kann man sich in der klassischen Physik die Energieerhaltung erklären wenn sich der Beobachter nicht in einem Inertialsystem befindet, also z.B. wenn er beschleunigt wird? Dadurch ändert sich für ihn schließlich die kinetische Energie von (fast) jedem Gegenstand.

  18. […] Teilchen fliegt von A nach B: klassische Physik und Relativitätstheorie, Hier wohnen Drachen am 8. Dezember […]

  19. #19 MartinB
    13. Dezember 2013

    @rainer Zufall,
    ja, das war genau der Fehler, den ich in der ersten version hatte.
    Das problem ist, dass es in der Darstellung innerhalb der Newtonschen Pyhsik letztlich keine eindeutige und sinnvolle Auftragung gibt, in der man die Raum- und Zeitachsen passend zueinander darstellt, letztlich genau deswegen, weil Raum und Zeit hier nichts miteinander zu tun haben. Ich habe mich dafür entscheiden, die Raum-Achse der beobachetrin so zu legen, dass sie senkrecht auf der Ortslinie des Teilchens steht, so dass dann die Achse nach unten geklappt sein muss.
    In der SRT ist es anders – dort transformieren sich Raum und Zeit gemeinsam und die Achsen können nicht mehr senkrecht aufeinander stehen. (siehe auch die ausführlichere Erklärung seinerzeit beim “Sommerrätsel”).

    Ich hoffe, das hilft als Erklärung weiter, sonst nochmal nachbohren.

  20. #20 Rainer Zufall
    14. Dezember 2013

    @MartinB
    Also heißt das, dass es in der Newtonschen Physik egal ist ob die Achse nach oben oder nach unten geklappt ist und in der Relativitätstheorie nicht?
    Und wie ist das mit meiner zweiten Frage? Nehmen wir an ich sitze in einem Flugzeug. Vor dem Start hat das Flugzeug v=0m/s. Für mich hat die Erde v=0m/s. Dann beschleunigt das Flugzeug auf 75 m/s. Für mich hat die Erde eine Geschwindigkeit von v=75 m/s. Aufgrund der enormen Masse der Erde kann hier keine Energieerhaltung gegeben sein, das muss ich jetzt nicht vorrechnen, oder? 🙂

  21. #21 MartinB
    14. Dezember 2013

    “Also heißt das, dass es in der Newtonschen Physik egal ist ob die Achse nach oben oder nach unten geklappt ist und in der Relativitätstheorie nicht?”
    Nicht ganz, heißt, dass es in der Newtonschen Physik unterschiedliche Möglichkeiten der Auftragung gibt, die alle gleich gut oder gleich schlecht sind, weil in der Newtonschen Physik ein Diagramm, das Ort gegen zeit aufträgt, zwei Achsen hat, die nichts miteinander zu tun haben. Eine andere Möglichkeit, das darzustellen, findest du in diesem Wiki-Artikel unter Galileoraum:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Raumzeit

    Zur zweiten Frage: sobald du beschleunigst, gilt ja die Relativität der Bezugssysteme in der newtonschen Physik nicht mehr – du spürst ja eine Trägheitskraft und der, der auf der Erde sitzt, nicht. Insofern muss die Gesamtenergie in deinem Bezugssystem vor und nach dem Beschleunigen nicht dieselbe sein.

  22. #22 FL
    23. Januar 2014

    “Die beiden Detektoren haben einen Abstand von einem Meter und können ein Elektron sehr genau lokalisieren (wir können uns zum Beispiel vorstellen, dass sie eine sehr kleine Kammer enthalten, in der die Lagun des Elektrons gemessen wird, oder eine Art Geigerzähler, oder sonst irgendetwas.”

    Das sollte vermutlich “Ladung” lauten und nicht “Lagun”. 😉

  23. #23 MartinB
    23. Januar 2014

    @FL
    Jupp.
    Generell gilt: Wer Tippfehler findet, darf sie behalten…

  24. […] Innerhalb der Newtonschen Welt gibt es nicht mehr viel weiteres zu sagen. (Und das, was ich gerade hier erzählte, habe ich schon vor ziemlich genau einem Jahr in anderem Zusammenhang erklärt.) […]

  25. […] kinetische und potentielle Energie eines Systems enthält. In der klassischen Physik gibt es das Prinzip der kleinsten Wirkung, das besagt, dass die Wirkung minimal wird. (Achtung, der Begriff “Wirkung” ist […]

  26. #26 Helmut Wiedemann
    3. September 2016

    Das das Elektron auf verschiedenen Wegen von A nach B kommen kann leuchtet mir ein, wenn ich mir das Elektron nicht als runden Ball vorstelle, sondern das seine Gestalt ändern kann,als elektrisches Feld , das sich im Punkt B wieder zusammenzieht zu einem Körper. Vergleichbar mit Wasserdampf, der wieder zu einem Tropfen kondensiert.

  27. #27 Helmut Wiedemann
    3. September 2016

    Kleinste Wirkung-maximale Eigenzeit
    Hier muss ich eine Pause einlegen, das scheint mir schon sehr nahe am Kern des Verständnisses zu liegen. also Pause.