Dass die Raumzeit gekrümmt ist, ist ja gewissermaßen der Kern der Allgemeinen Relativitätstheorie. Im ersten Teil dieses Artikels habe wir allerdings gesehen, dass die Interpretation dieser Aussage nicht unbedingt eindeutig ist – wir können uns den “gekrümmten Raum” auch anders vorstellen, nämlich als ein Feld, das in einem ungekrümmten Raum lebt, aber alle Maßstäbe “in genau gleicher Weise” verzerrt. Eigentlich sollte ich jetzt etwas über die Zeit schreiben, aber das muss noch etwas warten. Ich habe nämlich gerade gemerkt, dass das “in genau gleicher Weise” arg missverständlich ist. (Jedenfalls habe ich gestern gemerkt, dass ich es immer etwas missverstanden habe.) Deshalb gucke ich heute noch etwas genauer hin, was das eigentlich bedeuten soll.

Warnung: Wie so oft, wenn ich versuche, mir physikalische Theorien zu veranschaulichen, habe ich mir die meisten Beispiele und Überlegungen hier selbst zusammengebastelt. Ich übernehme deswegen wie üblich keine Garantie, dass alles stimmt – falls jemand Fehler entdeckt, hinterlasst einen Kommentar. Ansonsten habe ich keine Ahnung, ob diese Überlegungen hier eurer Anschauung auf die Sprünge helfen oder alles nur unnötig verkomplizieren – mir hat der Gedankengang hier jedenfalls ziemlich weitergeholfen.

Schauen wir nochmal auf unsere Platte mit dem Temperaturfeld vom letzten Mal:

512px-Tissot_mercator-leer

Stellt euch vor, ihr seid am “Äquator” (also in der Mitte der Platte im blauen Bereich) und nehmt zwei Kugeln, die ihr genau nach Norden rollt. Wenn ihr das tut, stellt ihr fest, dass sich die beiden Kugeln annähern, weil sich eure Maßstäbe ja auf dem Weg nach Norden wegen der höheren Temperatur verlängern. Im Bild der Kugeloberfläche ist das natürlich vollkommen klar – ich recycle mal ein älteres Bild:

globusDreieck

Zwei Kugeln, die am Äquator parallel zueinander nach Norden losrollen, treffen sich schließlich am Nordpol. Auf der Oberfläche einer Kugel gibt es ja keine parallelen Linien, die sich nie schneiden.

Als nächstes bohren wir jeweils ein Loch in die Kugeln und schieben sie auf einem starren Draht, so dass sie auf dem Draht reibungsfrei gleiten können (ich weiß, in der SRT gibt es keine unendlich starren Materialien, wir nehmen erst mal das steifste und festeste Material, das wir bekommen können, meinetwegen Ynkelonium-Terkonit, kurz Ynketerk). Jetzt nehmen wir die ganze Konstruktion (Draht mit Kugeln drauf) und schieben sie kräftig vom Äquator aus nach Norden an. Was wird passieren?

Im Kugel-Bild ist das leicht zu sehen: Die Kugeln näher sich einander an, genau wie vorher – da der Draht starr ist, passiert ihm scheinbar nichts, so dass die Kugeln auf dem Draht nach Innen gleiten. Im Bild mit dem Temperaturfeld bewegen sich die Kugeln senkrecht nach oben im Bild – der Stab aber dehnt sich immer weiter aus, so dass die Kugeln nach innen gleiten. Nach wie vor können wir die beiden Situationen nicht unterscheiden.

Als nächstes machen wir die Sache etwas realistischer: Die Kugeln gleiten nicht mehr ganz reibungsfrei, sondern schubbern auf dem Draht entlang. Dann werden die Kugeln nicht mehr genau ihrer Bahn nach Norden folgen, sondern etwas seitlich abgelenkt, so dass der Abstand zwischen ihnen größer wird als vorher. Umgekehrt üben die Kugeln eine Kraft auf den Draht aus (was diesem nichts macht, weil er ja aus Ynkelonium-Terkonit ist, so dass er sich praktisch nicht verformt.)

Jetzt machen wir die Sache noch etwas realistischer: Der Draht ist aus einem gewöhnlichen Material, beispielsweise Aluminium. Die Kugeln, die auf dem Draht reiben, üben jetzt eine Kraft auf den Draht aus, der diesen daran hindert, sich so auszudehnen, wie er es “eigentlich” tun möchte. Verglichen mit unserem Ynkelonium-Terkonit-Draht wird also der Alu-Draht auf seinem Weg nach Norden etwas kürzer sein, weil die Kugeln ihn am Ausdehnen hindern (jedenfalls in dem Bereich zwischen den Kugeln). Im Extremfall können wir auch sehr schwere Kugeln nehmen und sie am Ende des Drahtes festkleben, dann drücken die Kugeln den Draht richtig zusammen. (Anmerkung: Wenn ihr euch das im Bild der Erdkugel vorstellen wollt, dann geht das vielleicht am besten, wenn ihr annehmt, dass die Kugeln und der Draht auf einer Umlaufbahn um die Erde kreisen – die Bahnen von zwei Satelliten, die anfänglich parallel laufen, kreuzen sich irgendwann, also gibt es zwischen ihnen eine Kraft.)

1 / 2 / 3 / Auf einer Seite lesen

Kommentare (23)

  1. #1 Pletzer
    16. März 2015

    Es mag jetzt banal sein, das zu fragen, aber warum krümmen Massen und Energie die Raumzeit? Ich finde nirgends eine vernünftige Erklärung. Meistens liest man so etwas wie “das ist eine grundlegende Eigenschaft von Massen”, aber keine Erklärung warum.

  2. #2 MartinB
    16. März 2015

    @Pletzer
    Zum einen kann man natürlich – gerade im Bild der Felder – sagen: Massen erzeugen Gravitationsfelder genau so wie elektrische Ladungen elektrische Felder erzeugen. (Und in einer Quantentheorie heisst das dann, dass Massen mit den entsprechenden Austauschteilchen, den Gravitonen, wechselwirken, sow ie elektrische Ladungen mit Photonen wechselwirken.)

    Ansonsten ist es meiner Ansicht nach in der Physik letztlich nicht möglich, Dinge zu “erklären”:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/08/31/kann-die-physik-die-welt-erklaren/

  3. #3 Till
    16. März 2015

    Bei mir it gerade der Groschen gefallen, warum man die Gravitation sowohl über die Raumkrümmung als auch als Kraftfeld beschreiben kann. Danke!

  4. #4 Chemiker
    16. März 2015

    im Bild mit dem Temperaturfeld bewegen sich die Kugeln senkrecht nach oben im Bild – der Stab aber dehnt sich immer weiter aus, so dass die Kugeln nach innen gleiten.

    Vieleicht stehe ich gerade fürchterlich aufm Schlauch — aber welcher Stab ist gemeint? Wir haben in dem Experiment doch nur Draht und Kugeln.

  5. #5 MartinB
    16. März 2015

    @Chemiker
    Stab=Draht.

  6. #6 Chemiker
    16. März 2015

    Danke

  7. #7 Pletzer
    16. März 2015

    Danke für den Link zum Artikel “Kann Physik die Welt erklären?”.
    Sehr interessante Gedanken, aber in ihrer Aussage natürlich höchst unbefriedigend und frustrierend.

  8. #8 JoJo
    16. März 2015

    @Pletzer:

    “Es mag jetzt banal sein, das zu fragen, aber warum krümmen Massen und Energie die Raumzeit? […] Meistens liest man so etwas wie “das ist eine grundlegende Eigenschaft von Massen”, aber keine Erklärung warum.”

    Eine etwas sperrigere Formulierung als “die Raumzeit ist gekrümmt” wäre: “Die ART ist eine Theorie der Gravitation, die mithilfe von Objekten formuliert ist, welche im mathematischen Sinne gekrümmt sind. Dieses mathematische Objekt ist die Raumzeit, eine bestimmte Art von Mannigfaltigkeit.

    Bereits kurz nach der Veröffentlichung der Speziellen Relativitätstheorie (1907 wenn ich mich recht erinnere) veröffentlicht Einstein einen kurzen Artikel in den Annalen, in dem er einen Körper betrachtet, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreisumfang bewegt. Gemäß SRT nimmt ein (inertialer) Beobachter im Kreismittelpunkt den Körper als in Bewegungsrichtung verkürzt war. Oder anders ausgedrückt: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser des rotierenden Kreises ist größer als π. Und nochmals anders ausgedrückt: Man hat es mit einer Geometrie zu tun, die im mathematischen Sinne nicht flach (euklidisch) ist.

    Obwohl der rotierende Kreisrand kein Inertialsystem darstellt (die SRT macht nur Aussagen über Inertialsysteme) und das Gedankenexperiment bestenfalls qualitative Schlussfolgerungen zulässt, ist spätestens ab diesem Zeitpunkt klar, daß ein flacher Raum nicht gut geeignet ist, um zu einer Verallgemeinerung der SRT zu gelangen. Einstein tut dieses Gedankenexperiment nicht als Kuriosität zur Seite, sondern folgt zielsicher seinem mathematischen Riecher.

    Die zweite Zutat zu “Masse krümmt Raum” ist das Äquivalenzprinzip: Träge Masse ist gleich schwerer Masse, bzw. bis dato hat kein Experiment eine Diskrepanz zwischen beiden feststellen können. Einstein nimmt das nicht nur als zahlenmäßige Übereinstimmung, sondern verwendet diese Identität zwischen träger und schwerer Masse zur Konstruktion seiner Theorie, d.h. in der ART sind träge und schwere Masse per Konstruktion gleich!

    Zusammen mit der Überlegung zum rotierenden Kreis kann man also absehen, daß die Theorie auch für einen Beobachter im Schwerefeld einen gekrümmten Raum liefern wird.

    Und wenn bereits ein Unterraum der Raumzeit gekrünnt ist, kann die Raumzeit auch nicht flach sein.

    Allerdings unterscheiden sich Raum und Raumzeit deutlich voneinander: Haben zwei Punkte im Raum “Abstand” null, dann handelt es sich um den gleichen Punkt bzw. die beiden Punkte fallen zusammen. Mit der Raumzeit ist das anders: Zwei Punkte können “Abstand” null haben, ohne identisch zu sein: Raumzeitpunkte, die lichtartig voneinander getrennt sind, haben “Abstand” null.

  9. #9 a.n
    18. März 2015

    “die SRT macht nur Aussagen über Inertialsysteme”

    Das ist ein großes Missverständnis, welches anscheinend leider immer noch perpetuiert wird. Was spricht denn gegen nicht-inertiale Koordinatensysteme?

  10. #10 JoJo
    18. März 2015

    @a.n

    “die SRT macht nur Aussagen über Inertialsysteme”

    Das ist ein großes Missverständnis, welches anscheinend leider immer noch perpetuiert wird. Was spricht denn gegen nicht-inertiale Koordinatensysteme?

    Ich bin kein Experte und versuche die RT so gut zu verstehen wie ich eben kann. Wenn ich etwas falsch verstanden oder wiedergegeben habe, dann korrigiert mich bitte!

    Meine Aussage basiert i.W. auf folgenden Stellen der SRT:
    In §1, pp. 892:

    Es liege ein Koordinaten­system vor, in welchem die Newtonschen mecha­nischen Gleichungen gelten.

    Dies bedeutet doch, daß das Koordinaten­system nicht beschleunigt ist (es gibt keine Scheinkräfte und es gilt also F = m ·a).
    Im diesem Kontext (A und B ruhen hier relativ zueinander) erfolgt in §1, pp. 894 die Uhren­synchronisation gemäß Poincaré:

    Die letztere Zeit kann nur definiert werden, indem mann durch Definition festsetzt, daß die “Zeit”, welche das Licht braucht, um von A nach B zu gelangen, gleich ist der “Zeit”, welche es braucht, um von B nach A zu gelangen.

    Diese Uhrensynchronisation ist doch nur dann sinnvoll, wenn die beiden Punkte A und B nicht beschleunigt werden? Denn ansonsten ergibt “Weg / Zeit” für Licht i.d.R einen anderen Wert als c.

    In §4, pp. 904 ist zu lesen:

    Man sieht sofort, daß dieses Resultat [gemeint ist Zeitdilatation] auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von A nach B bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte A und B zusammenfallen.

    Nimmt man an, daß das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, so erhält man den Satz: […]

    Es folgt eine Betrachtung zur Zeitdilatation einer mit konstanter (Winkel)geschwindigkeit auf einem Kreisumfang bewegten Uhr. Das geschieht allerdings nur unter der Annahme, daß das Resultat für Polygone 1:1 übertragbar ist auf mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufene Kreise — näher begründet wird das im Text nicht, und deshalb verwendet Einstein ja auch den Konjunktiv.

    Auch die Überlegung für Polygone ist m.E. nicht evident, denn zwischen zwei Linienelementen des Polygons müsst eine unendlich große Beschleunigung erfolgen, was physikalisch nicht sinnvoll ist und auch mathematisch nicht präzisiert wird.

    Was die Kreisbahn betrifft, bekomm ich mit der ART die doppelte Zeitdilatation wie in der SRT berechnet. (Bei Vernachlässigung Terme 4. und höherer Ordnung wie in der SRT auch.)

    Rein qualititiv ist das auch plausibel, denn auf der Kreisbahn trägt die Beschleunigung zur Zeitdilatation bei.

    Aber vielleicht hab ich das auch alles falsch verstanden oder falsch interpretiert. Der Text ist ja schon über 100 Jahre alt, und Worte wie ponderabel oder ponderomotorisch sind heute eher unüblich.

    Auf jeden Fall würde ich mich über eine Erklärung zu meinen Missverständnissen und deren Auflösung freuen, so daß ich mein Verständis der SRT — und natürlich auch der ART sowie Physik und Mathematik allgemein — verbessern kann.

  11. #11 JoJo
    18. März 2015

    @a.n

    “die SRT macht nur Aussagen über Inertialsysteme”

    Das ist ein großes Missverständnis, welches anscheinend leider immer noch perpetuiert wird. Was spricht denn gegen nicht-inertiale Koordinatensysteme?

    Ich bin kein Experte und versuche die RT so gut zu verstehen wie ich eben kann. Wenn ich etwas falsch verstanden oder wiedergegeben habe, dann korrigiert mich bitte!

    Meine Aussage basiert i.W. auf folgenden Stellen der SRT:
    In §1, pp. 892:

    Es liege ein Koordinaten­system vor, in welchem die Newtonschen mecha­nischen Gleichungen gelten.

    Dies bedeutet doch, daß das Koordinaten­system nicht beschleunigt ist (es gibt keine Scheinkräfte und es gilt also F = m ·a).
    Im diesem Kontext (A und B ruhen hier relativ zueinander) erfolgt in §1, pp. 894 die Uhren­synchronisation gemäß Poincaré:

    Die letztere Zeit kann nur definiert werden, indem mann durch Definition festsetzt, daß die “Zeit”, welche das Licht braucht, um von A nach B zu gelangen, gleich ist der “Zeit”, welche es braucht, um von B nach A zu gelangen.

    Diese Uhrensynchronisation ist doch nur dann sinnvoll, wenn die beiden Punkte A und B nicht beschleunigt werden? Denn ansonsten ergibt “Weg / Zeit” für Licht i.d.R einen anderen Wert als c.

    In §4, pp. 904 ist zu lesen:

    Man sieht sofort, daß dieses Resultat [gemeint ist Zeitdilatation] auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von A nach B bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte A und B zusammenfallen.

    Nimmt man an, daß das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, so erhält man den Satz: […]

    Es folgt eine Betrachtung zur Zeitdilatation einer mit konstanter (Winkel)geschwindigkeit auf einem Kreisumfang bewegten Uhr. Das geschieht allerdings nur unter der Annahme, daß das Resultat für Polygone 1:1 übertragbar ist auf mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufene Kreise — näher begründet wird das im Text nicht, und deshalb verwendet Einstein ja auch den Konjunktiv.

    Auch die Überlegung für Polygone ist m.E. nicht evident, denn zwischen zwei Linienelementen des Polygons müsst eine unendlich große Beschleunigung erfolgen, was physikalisch nicht sinnvoll ist und auch mathematisch nicht präzisiert wird.

    Was die Kreisbahn betrifft, bekomm ich mit der ART die doppelte Zeitdilatation wie in der SRT berechnet. (Bei Vernachlässigung Terme 4. und höherer Ordnung wie in der SRT auch.)

    Rein qualititiv ist das auch plausibel, denn auf der Kreisbahn trägt die Beschleunigung zur Zeitdilatation bei.

    Aber vielleicht hab ich das auch alles falsch verstanden oder falsch interpretiert. Der Text ist ja schon über 100 Jahre alt, und Worte wie ponderabel oder ponderomotorisch sind heute eher unüblich.

    Auf jeden Fall würde ich mich über eine Erklärung zu meinen Missverständnissen und deren Auflösung freuen, so daß ich mein Verständis der SRT — und natürlich auch der ART sowie Physik und Mathematik allgemein — verbessern kann.

  12. #12 JoJo
    18. März 2015

    @Martin: Würdest Du meinen Kommentar #10 löschen? Ich hab da nen blöden Tippfehler drin.

  13. #13 Niels
    19. März 2015

    @JoJo
    Die ART braucht man nur, sobald die Gravitation eine nicht mehr zu vernachlässigende Rolle spielt. Die SRT reicht also für alle Bewegungen, die sich näherungsweise im Minkowski-Raum abspielen.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Criticism_of_the_theory_of_relativity#Acceleration_in_special_relativity
    (Die dort verlinkten Artikel Hyperbolic motion, Rindler coordinates und Born coordinates sind bestimmt hilfreich.)

    Ich finde es toll, dass du dir “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” antust. Das muss heutzutage aber wirklich nicht mehr sein, außer es geschieht aus historischem Interesse.
    Wenn man die STR und die ART verstehen möchte, findet man heutzutage wirklich unzählige ausgezeichnete Lehrbücher. Die Originalarbeiten Einsteins würde ich da wirklich nicht empfehlen. Warum freiwillig auf hundert Jahre Didaktik und Terminologie verzichten?

  14. […] mit der Krümmung von Raum und Zeit, also der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). In den ersten beiden Teilen haben wir gesehen, dass man sich die Raumkrümung alternativ auch mit Hilfe eines […]

  15. #15 JoJo
    22. März 2015

    @Niels:

    “Die ART braucht man nur, sobald die Gravitation eine nicht mehr zu vernachlässigende Rolle spielt.”

    Ok, mein Fehler. Ich war davon ausgegangen, daß die Trennlinie zwischen SRT und ART bei intertial vs. beschleunigt gezogen wird. Offenbar ist die Trennlinie aber beim Äquivalenzprinzip.

    “http://en.wikipedia.org/wiki/Criticism_of_the_theory_of_relativity#Acceleration_in_special_relativity
    (Die dort verlinkten Artikel Hyperbolic motion, Rindler coordinates und Born coordinates sind bestimmt hilfreich.)”

    Wenn ich’s recht sehe, braucht die Beschreibung beschleunigter Bewegung mindestens noch die clock hypothesis, d.h. ein weiteres Postulat bzw. Prinzip, das durch Experimente untermauert werden muß? In der Elektrodynamik bewegter Körper wird Beschleunigung z.B. sorgfältig vermieden. So erfolgt die Synchronisation zweier relativ zueinander ruhender, inertialer Uhren nicht dadurch, daß eine Uhr von A nach B transportiert wird, sondern geschieht in-situ durch Lichtsignale, welche zwischen A und B ausgetauscht werden.

    Die SRT reicht also für alle Bewegungen, die sich näherungsweise im Minkowski-Raum abspielen.

    Nehmen wir mal den Fall eines geradlinig und (für dortige Beobachter) gleichmäßig in x-Richtung beschleunigten Bezugssystems. Eine Uhr mit größerer x-Koordinate geht dann schneller als eine Uhr mit kleinerer x-Koordinate. Ein Lichstrahl verläuft nicht geradlinig, und / oder der Quotient Lichtweg durch Zeit ist ungleich c. Die Raumzeit ist also gekrümmt wie man sich leicht überlegt.

    Natürlich gibt es in jedem Raumzeitpunkt einen flachen Tangentialraum, was aber nicht bedeutet, daß der betrachtete Raum selbst flach ist: Sobald sich x oder t ändert, ändert sich auch der Tangentialraum. Wenn ich den Artikel zu Rindler-Koordinaten recht verstehe, beschreiben diese Koordinaten i.W. einen flachen Tangentialraum: “[…] the Rindler coordinate chart is an important and useful coordinate chart representing part of flat spacetime […]”. Allerdings ist die weiter unten angegebene Metrik nicht die Metrik eines flachen Raumes — es sei denn, die Metrik definiert für jedes x einen anderen, flachen Tagentialraum, was aber offenbar nicht geschieht denn ds hängt außer von x auch von dx ab.

    “Ich finde es toll, dass du dir „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ antust.”

    Was heißt da „antun“? Im Gegensatz zu vielen anderen Werken ist der Text direkt zugänglich und türmt nicht 100 Jahre mathematischer Theorie­bildungen übereinander. Einstein meinte dazu mal: „Seit die Mathematiker über die Relativitäts­theorie hergefallen sind verstehe ich sie selbst nicht mehr.“ Die komplizierteste Formel auf den ersten acht Seiten ist Geschwindigkeit = Weg durch Zeit. Den Gedanken­gängen kann man direkt folgen, und es gibt ein paar Resultate wie zur Aberration des Lichts, zu Dopplereffekt, Strahlungsdruck und daß der Quotient aus Energie und Frequenz eines Lichtstrahls eine Konstante ist.

    Davon ab ist es wohl eine der bedeutendsten und einflussreichsten Arbeiten des letzten Jahrhunderts, und des macht einfach Spaß, nachzuverfolgen, wie er auf einer handvoll Seiten die klassische Physik demontiert 🙂

    “Das muss heutzutage aber wirklich nicht mehr sein, außer es geschieht aus historischem Interesse. Wenn man die SRT und die ART verstehen möchte, findet man heutzutage wirklich unzählige ausgezeichnete Lehrbücher. Die Original­arbeiten Einsteins würde ich da wirklich nicht empfehlen. Warum freiwillig auf hundert Jahre Didaktik und Terminologie verzichten?

    hmmm… ob 100 Jahre Terminologie es einfacher machen? Wenn’s dann auf der ersten Seite schon losgeht mit „wie man anhand von Eigenschaft (1) der Lie-Algebra und Eigenschaft (2) der covarianten Ableitung leicht sieht, gilt (3)…“

    Für gute Literaturempfehlungen — d.h. man muß kein Mathe-Prof sein um das halbwegs zu verstehen — bin ich auf jeden Fall dankbar!

  16. #16 Niels
    23. März 2015

    @JoJo

    Wenn ich’s recht sehe, braucht die Beschreibung beschleunigter Bewegung mindestens noch die clock hypothesis, d.h. ein weiteres Postulat bzw. Prinzip, das durch Experimente untermauert werden muß?

    Genau. Experimentell wird das zum Beispiel dadurch überprüft, dass man Teilchen (z.B. Myonen) einer gewissen Energie in einem Ringbeschleuniger umlaufen lässt und deren Lebensdauer mit unbeschleunigten Teilchen der selben Energie vergleicht.
    Hier findet man eine ausführlichere Beschreibung der Uhrenhypothese:
    Does a clock’s acceleration affect its timing rate?
    (Die Physics FAQ ist allgemein sehr gut, ganz links oben ist ein Link auf die Hauptseite.)

    Wenn ich den Artikel zu Rindler-Koordinaten recht verstehe, beschreiben diese Koordinaten i.W. einen flachen Tangentialraum: “[…] the Rindler coordinate chart is an important and useful coordinate chart representing part of flat spacetime […]”.

    Nein.
    Rindler-Koordinaten sind einfach ein anderes Koordinatensystem für den Minkowski-Raum, so wie Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten eine Alternative für das Kartesische Koordinatensystem des Euklidischer Raumes sind.
    Das steht auch direkt im Artikel:
    Since the Rindler chart is a coordinate chart for Minkowski spacetime
    Direkt der allererste Abschnitt beschreibt doch sogar die zugehörige Koordinatentransformation.
    Die Metrik kann man natürlich grundsätzlich in jedem beliebigen Koordinatensystem ausdrücken, ohne dass sich etwas an der Raumzeit ändert.

    Dabei decken Rindler-Koordinaten dann aber nicht den gesamten Minkowski-Raum ab, sondern nur einen Teilchbereich.
    (Wieder direkt am Anfang: In the region \scriptstyle […], which is often called the Rindler wedge)
    Siehe auch die Grafik unter “The Rindler observers” mit der Bildunterschrift
    Some representative Rindler observers (navy blue hyperbolic arcs) depicted using the Cartesian chart. The red lines at 45 degrees from the vertical represent the Rindler horizon; the Rindler coordinate system is only defined to the right of this boundary.
    Das ist mit dem von dir zitierten part of flat spacetime gemeint.

    Für gute Literaturempfehlungen — d.h. man muß kein Mathe-Prof sein um das halbwegs zu verstehen — bin ich auf jeden Fall dankbar!

    Wie genau ist denn dein mathematischer Stand? Geht es jetzt um die SRT oder die ART? Wie viel Geld willst du ausgeben?

    Woraus ich damals die SRT gelernt habe weiß ich leider nicht mehr, wahrscheinlich aus irgendeiner der bekannten Reihen zur theoretischen Physik. (Greiner, Nolting, …)
    Würde ich dir aber nicht empfehlen, teuer und die SRT wird nur relativ kurz abgehandelt.

    “Spezielle Relativitätstheorie” von Ulrich E Schröder kostet dagegen neu gerade mal 7 Euro.
    Das kenne ich zwar nicht, für die ART wäre meine Empfehlung aber “Gravitation. Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie” des selben Autors.
    Das geht zwar nicht besonders tief, ist mathematisch aber dafür recht einfach und vor allem ist es gebraucht für nen Zehner zu bekommen.

    Dinge wie die Rindler-Koordinaten wird man aber höchstwahrscheinlich in Grundlagenwerken nicht finden, das ist schon ziemlich fortgeschrittenes Zeug.

    Sorry, das ich keine besseren Tipps habe. Aber hier treiben sich ne Menge kluger Leute herum, die dir bestimmt bessere Empfehlungen geben können.

  17. #17 JoJo
    30. März 2015

    Wie genau ist denn dein mathematischer Stand?

    Schwer zu sagen. Eine anschauliche Erklärung bringt mir mehr als zig Seiten unanschaulicher Formalismem, Definitionen und Sätze. Ein schönes Beispiel dafür ist das Poincaré’sche Scheibenmodell wie es z.B. von Feynman oder auch hier im Blog aufgegriffen wurde. So eine Darstellung wird man wohl kaum in einem Fachartikel oder einem einschlägigen Lehrbuch finden — dort ist Anschaulichkeit ziemlich verpönt hat man den Eindruck.

    Anderes Beispiel ist die Möbiustransformation. Irgendwo fand ich mal die Aussage “Möbiustrafos bilden Kreise auf Kreise ab” und dann wurde einiges an Papier verbraten um das nachzurechnen. Außer einem “Ja, und was soll das jetzt?” brachte das nix. Erst als ich Jahre später zufällig über ein kurzes Video dazu stolperte wurde mir auf einmal alles klar.

    Leider wirken selbst viele Wikipediartikel zu Mathematik bzw. mathematischen Objekten so als wären sie nur ohne Sinn und Verstand aus abstrakten Fachbüchern abgekäst und sind in keinster Weise enzyklopädisch 🙁

    Ein besseres Verständnis von Differentialgeometrie fänd ich toll, da scheitere ich momentan schon an einfachsten Fragestellungen…

    Geht es jetzt um die SRT oder die ART?

    Eher um die ART. Aber auch ein besseres Verständnis der SRT wäre Klasse. Z.B. wie die verschiedenen Paradoxien aufgelöst werden, “einfache” Folgerungen der SRT wie für gleichmäßige Beschleunigung; quasi als Vorbereitung zur ART. Und Darstellung von Haken und Ösen, wie z.B. daß eine Beschleunigung nicht unbedingt in Richtung der Kraft wirken muss. Wenn ich mich recht erinnere basieren einige Paradoxien darauf, daß (implizit) F=m⋅a mit skalarem m angenommen wird.

    Wie viel Geld willst du ausgeben?

    Wenn ein billiges Buch mies ist, dann ist es rausgeschmissenes Geld — egal wie billig das Buch war. Umgekehrt hab ich kein Problem damit, mehr Geld für ein wirklich gutes Buch auszugeben.

    Danke noch für den Link zur Physics FAQ. Da gibt’s auch eine Bücherliste zur ART.

  18. #18 Niels
    9. April 2015

    @JoJo
    Sorry, ich sehe deine Antwort erst jetzt. (Ist im Feed-Reader wohl unter den ganzen Antworten zu “Das generische Femininum?” untergegangen.)

    Schwer zu sagen. Eine anschauliche Erklärung bringt mir mehr als zig Seiten unanschaulicher Formalismem, Definitionen und Sätze.

    Das ist bei jedem denn ich kenne so. Und nein, ich weiß nicht, warum die Autoren von Lehrbüchern darauf verzichten.
    Das muss man sich leider mühevoll aus mehreren Lehrbüchern zusammenkratzen.

    Die Bücherliste zur ART der Physics FAQ finde ich nicht so wahnsinnig toll, jedenfalls nicht für den Einstieg.
    (Wobei ich Schutz und Ohanian allerdings nicht kenne.)

    1) Ich finde Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity von Sean Carroll ziemlich gut. Ist auch eine Standardempfehlung für Einsteigervorlesungen.
    Das Preprint zur ersten Auflage des Buches gibt es außerdem kostenlos auf arxiv:
    http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019v1

    2) Falls es dir auf Deutsch leichter fällt ist “Einführung in die Relativitätstheorie” von Ray d’Inverno ganz nett (und bezahlbar).

    3) Wenn man keinen Zugang zu einer Unibib hat, würde ich allgemein das googeln nach Vorlesungsskripte empfehlen.
    Da gibt es Unzählige und die sind natürlich völlig kostenlos.
    Das Script von Hans-Jürgen Matschull ist aber unabhängig davon sehr gut, das könnte man meiner Meinung nach auch ohne Änderungen teuer als Buch verkaufen. Vor allem gibt es zur Abwechslung auch relativ viel Text zu den Formeln.
    http://wwwthep.physik.uni-mainz.de/~matschul/
    Hier natürlich Relativitätstheorie mit Teil 1, 2 und 3.

    @MartinB und @all
    Andere oder bessere Einstiegsempfehlungen? Es findet schließlich meistens jeder etwas anderes hilfreich.

  19. #19 MartinB
    9. April 2015

    Der MisnerThorne Wheeler sollte zumindest irgendwie dabei sein – auch wenn er als einzige Quelle in meinen Augen nicht so gut ist, weil man manchnal vor lauter koordinatenfreiheit gar nicht mehr weiß, was jetzt konkret los ist, aber er hat ziemlich gute Erklärungen zu vielen einzelnen Phänomenen und ist auch sehr vollständig.
    Was richtig gutes kenne ich nicht, obwohl ich kürzlich mal in den (im Internet verfügbaren) Vorabdruck von “xploring black holes” geguckt habe, das gefiel mir auch ganz gut:
    http://www.eftaylor.com/download.html#general_relativity

  20. #20 Niels
    9. April 2015

    Klar, aber meiner Meinung nach nicht als Einstiegswerk, um die Grundlagen zu lernen.
    Als Lexikon, um einzelne Phänomenen nachzuschlagen, gibt es natürlich nichts besseres.

  21. #21 MartinB
    10. April 2015

    @Niels
    ich finde aber gerade den Anfang, wo genau erklärt wird, wie man ein Schwarzschild.Koordinaten-System baut, sehr erhellend.

  22. #22 Niels
    12. April 2015

    Stimmt, das hab ich so auch noch an keiner anderen Stelle gelesen. Die über hundert Euro wäre es mir aber dann doch nicht wert, wenn ich nur eine Einführung in die ART suchen würde.

    @JoJo
    Wobei man allerdings auch einfach mal
    misner gravitation pdf
    googeln und sich die ersten Treffer anschauen könnte…
    (Klappt bei den anderen genannten Büchern ähnlich.)

  23. #23 MartinB
    12. April 2015

    @Niels
    Nee, 100 Euronen würd ich dafür auch nicht ausgeben, aber wie gesagt gibt es einen offiziellen Link des Verlags auf die Vorabversion.