In dieser kleinen (mal sehen?) Serie schaue ich ein wenig hinter die Gleichungen der Physik. In den ersten Teilen habe ich ja schon gezeigt, dass selbst ganz einfach aussehende Gleichungen es in sich haben – weder ist die Definition der Dichte völlig trivial, noch das zweite Newtonsche Gesetz.

Heute geht es um eine andere berühmte Gleichung der Physik, die ihr vermutlich auch mal in der Schule lernen musstet:

Arbeit ist Kraft mal Weg

oder, in Formelzeichen geschrieben

W = F s

Dabei steht – wie man durch Vergleich sieht, W für die Arbeit (W wie “work”), F für die Kraft (may the force be with you) und s für den Weg (s wie “Strecke”).

Wieder eine ziemlich einfach aussehende Gleichung. Und ähnlich wie beim 2. Newtonschen Gesetz kann man diese Gleichung als “Definition der Arbeit” (in der Mechanik) ansehen. Aber wir haben ja schon gesehen, dass in der Physik Gleichungen nie einfach nur Definitionen sind (mehr dazu auch hier), sondern immer Aussagen über die reale Welt und darüber, was in dieser Welt wichtig ist.

Warum ist also das Produkt aus Kraft und Weg irgendwie relevant? Die Situation, um die es hier geht, ist die Folgende: Ein Objekt bewegt sich entlang eines Weges, während gleichzeitig eine Kraft auf das Objekt wirkt. (Falls ihr euch Gedanken über die Richtung der Kraft macht, die schauen wir uns später an, im Moment nehmen wir mal an, dass die Kraft genau in der Richtung wirkt, in die wir uns bewegen, aber so, dass sie unsere Bewegung behindert. (Genauer könnte ich also sagen “dass die Kraft genau entgegen der Richtung wirk)) Denkt als Beispiel an einen Stein, den ihr hochhebt.  Die Gewichtskraft, die auf den Stein wirkt, zieht ihn nach unten, ihr hebt den Stein nach oben und merkt dabei, dass ihr Arbeit leistet. Nehmen wir mal an, dass ihr den Stein sehr langsam hochhebt, damit wir uns nicht noch Gedanken über die Beschleunigung machen müssen.

“Moment mal”, wendet die aufmerksame Leserin hier ein, “wir haben doch beim letzten Mal gesehen, dass die Gesamtkraft auf den Stein Null ist, wenn er nicht beschleunigt wird. Wenn ich den Stein also mit konstanter Geschwindigkeit hochhebe, dann wirkt auf ihn gar keine Kraft, also ist die Arbeit auch Null.” Was zeigt, dass (fiktive…) Leserinnen dieses Blogs ziemlich schlau sind.

Die Gleichung ist nämlich so gemeint, dass man eigentlich nie auf alle Kräfte schaut, die auf ein Objekt wirken, sondern immer nur auf einige der Kräfte. (Eine Ausnahme kann man machen, wenn ein Objekt tatsächlich beschleunigt wird, dazu nachher mehr.) Die Arbeit, die wir beim Hochheben leisten, leisten wir gegen die Schwerkraft. Wir schauen also als Kraft, um die es geht, genau die Schwerkraft an und sehen dann, dass unsere Muskelkraft gegen die Schwerkraft anarbeiten muss. Je weiter wir den Stein anheben, desto mehr Arbeit müssen wir leisten. Das deckt sich soweit mit unserer Alltagserfahrung.

“So ein Quatsch”, wendet die aufmerksame Leserin hier ein, “streck doch mal den Arm aus und halte einen Stein, ohne ihn zu bewegen. Das ist auch ziemlich anstrengend, aber nach der Definition Arbeit=Kraft mal Weg leistest du gar keine Arbeit, weil der Stein keinen Weg zurückgelegt hat.

Gut bemerkt – und das ist in der Tat eins der anschaulichen Probleme mit dem physikalischen Begriff der Arbeit. Für uns ist es tatsächlich anstrengend, einen Stein auf konstanter Höhe zu halten, und wie werden irgendwann müde.Wäre es nicht eigentlich sinnvoller, zu definieren

Arbeit = Kraft mal Zeit   (falsche Gleichung!!)?

(Ich habe extra “falsche Gleichung” hingeschrieben, damit niemand beim Überfliegen des Textes sich was Falsches merkt.)

Für uns wäre das tatsächlich gar nicht so verkehrt. Dass es trotzdem keine gute Definition ist, seht ihr, wenn ihr ech andere Möglichkeiten anschaut, einen Stein hochzuhalten.  Ein Tisch beispielsweise kann den Stein stunden- oder auch tagelang auf einer Höhe halten, müde wird er dabei nicht (nein, es gibt in dem Fall auch keine “Werkstoffermüdung”, auch wenn das viele Leute denken. Werkstoffe werden nicht einfach müde, nur weil sie eine konstante Last tragen.) Dass wir bei so etwas müde werden, liegt daran, wie unsere Muskeln funktionieren: Auch wenn wir eine konstante Kraft ausüben und uns dabei nicht bewegen, müssen in den Muskeln ständig Verbindungen zwischen Molekülen geknüpft und wieder gelöst werden, um die Spannung aufrecht zu erhalten. Das verbraucht Energie und deswegen werden wir müde. (Die verbrauchte Energie wird dabei übrigens vollständig in Wärme umgesetzt.)

Allgemeine Konzepte in der Physik sollen aber nicht davon abhängen, ob es ein Mensch oder ein Tisch ist, der den Stein hält – die Definition “Arbeit=Kraft mal Zeit” gibt also zwar unser Empfinden (und auch unsere Physiologie) ganz gut wieder, ist aber nicht allgemeingültig.

Und was ist dann das Tolle an “Arbeit ist Kraft mal Weg”? Nehmt (aber bitte nur als Gedankenexperiment) zwei Steine, den einen legt ihr auf den Tisch, den anderen hebt ihr vom Tisch hoch auf den Schrank. dann lasst ihr beide aus ihrer jeweiligen Höhe herunter auf euren Fuß fallen. Ihr merkt schmerzhaft, dass es deutlich mehr wehtut, wenn der Stein vom Schrank auf euren Fuß fällt. Die Arbeit, die ihr beim Hochheben reingesteckt habt, macht sich als großer blauer Fleck auf dem Fuß bemerkbar. Es ist auch egal, wie ihr den Stein auf den Schrank bekommt, ob mit einem Motor, mit Muskelkraft, mit einem Katapult oder sonst wie – das Ergebnis ist immer dasselbe, der herunterfallende Stein macht den größeren blauen Fleck.

Als anderes Beispiel können wir die Reibungskraft betrachten. Schiebt den Stein (langsam, damit die Beschleunigungen wieder nicht wichtig sind) über euren Fußboden (auch wieder als Gedankenexperiment, nicht, dass mir jemand ne Rechnung über zerkratztes Parkett schickt). Auch hier ist es egal, ob ein Mensch den Stein schiebt oder eine Maschine oder sonst etwas – es wird in jedem Fall Arbeit geleistet. Die Kratzer am Boden sind der Beweis dafür, ebenso die Tatsache, dass der Stein beim Schieben ein bisschen warm wird. (Durch Reibung entsteht Wärme – ein Merksatz, der besonders an kalten Tagen wichtig ist, wenn ihr klamme Finger habt.)

Wenn wir ein Objekt gegen eine Kraft bewegen, dann findet sich die dabei geleistete Arbeit irgendwo wieder – beispielsweise als Kratzer (die zu produzieren auch Arbeit erfordert) und Wärme beim auf dem Boden verschobenen Stein. Beim auf den Schrank gehobenen Stein ist die Sache nicht ganz so offensichtlich. Die Arbeit “steckt” irgendwie in dem Stein, was man daran merkt, dass der Stein beim Runterfallen blaue Flecken macht. Weil der Stein mit der sozusagen gespeicherten Arbeit etwas anrichten kann, spricht man hier auch von “potentieller Energie” – potentiell, weil der Arbeit etwas bewirken kann, und Energie, weil man in der Mechanik die Energie als “Fähigkeit, Arbeit zu leisten” definiert. (Der Energiebegriff hat es konzeptionell auch in sich, dazu habe ich in der Anfangszeit des Blogs was geschrieben, aber das spare ich mir jetzt hier.)

Dass das Konzept der Arbeit so nützlich ist, liegt daran, dass sie mit der Energie eng zusammenhängt – und die Energie wiederum ist als Konzept so nützlich, weil die Energie erhalten ist. (Naja, wenn wir nicht gerade in der Allgemeinen Relativitätstheorie aufs Universum gucken, da ist das mit der Energieerhaltung so ne Sache…) Über Energieerhaltung habe ich schon öfter geschrieben, hier zum Beispiel. (Ihr merkt – egal wo man in der Physik anfängt, mal so richtig über die Begriffe und Ideen nachzudenken, man kann immer ziemlich tief schürfen.)

Beim letzten Mal habe ich ja auf Feynmans “Übersetzung” der Newtonschen Gesetze hingewiesen: “Achte auf die Kräfte”. Hier ist das ähnlich: Arbeit ist Kraft mal Weg sagt uns: “Achtung! Immer, wenn etwas gegen eine Kraft bewegt wird, wird Arbeit geleistet. Die Energie dafür muss irgendwo herkommen. Wenn du das System verstehen willst, frag immer, wo die Energie herkommt und auch, wo sie bleibt.”

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Kommentare (42)

  1. #1 uwej
    Nordstadt
    7. März 2016

    “Die Arbeit, die wir beim Hochheben leisten, leisten wir gegen die Schwerkraft.”

    Was, wenn es keine “Schwerkraft” gäbe – wie formuliert man dann (für eine Schulklasse) einen solchen Satz am besten?

  2. #2 MartinB
    7. März 2016

    @uwej
    Naja, für ne Schulklasse würde ich nicht unbedingt die allg. RT verwenden, um Schwerkraft zu erklären…
    Wenn man das aber doch will, dann muss man eben sagen:
    Newton I wird ersetzt durch “Objekte, auf die keine Kräfte wirken, laufen entlang von Geodäten, also den “geradesten” Bahnen, die es in einer gekrümten Raumzeit geben kann.”
    Um sie von der Geodäten wegzubewegen, muss man sie entsprechend nach Newton 2 beschleunigen. (Also auch, um sie z.B. auf konstanter Höhe zu halten wie in dem von dir verlinkten Text ja auch als Beispiel beschrieben bei dem Bild mit dem Strichmenschen).

    Ob das unbedingt anschaulicher ist, weiß ich nicht, aber korrekt ist es.

    Alternativ kann man auch das Modell des stürzenden Raums verwenden, das ist aber insofern gefährlich, weil es Missverständnisse provoziert:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2015/01/02/raumzeitstaub/?all=1

  3. #3 Ingo
    7. März 2016

    Wie bekomme ich das Integral den letztendlich wieder Weg?
    W =∫ F(s) ds

    Gravitationsgesetz (Newton): F = ( G * m1* m2) / (r^2)
    G = Gravitationskonstante = 6.67408 * 10^-11 (m^3)/(kg*(s^2))
    m1 = Masse der Erde = 5,972 * 10^24 kg
    m2 = Masse der Rakete = 1kg (Ich ignoriere in Wirklichkeit die Masse der Rakete, da sehr klein im Vergleich mit der Erdmasse, und 1kg ist einfacher zu rechnen)
    r = Entferung der Massen voneinander
    Bei Hoehe 0km gild: r=6371000m=Erdradius=Entfernung vom Erdmittelpunkt.

    Damit ist die Gewichtskraft meiner 1kg-Rakete bei Hoehe 0km demnach:
    F = ( G * m1* m2) / (r^2) = ( 6.67408*10^-11 kg * 5,972*10^24 kg * 1kg) / (6371000m ^2) = 9,89.. N
    Das entspricht der Gewichtskraft von 1kg bei Erdbeschleunigung. Da die Erdbeschleunigung tatsaechlich auf der Erdoberflaeche tatsaechlich laut Wikipedia = 9,819..N (bei 1kg Masse) ist, scheine ich bishierhin richtig zu liegen.

    Mein Parameter fuer das Integral ist “s”
    s=Strecke der Rakete seit dem Start von der Erdoberflaeche
    Fuer meine Formel brauche ich aber “r” (die Entfernung der Rakete vom Erdmittelpunkt), daher addiere ich den Erdradius:
    r = s + Erdradius = s + 6371000m

    Damit ergibt sich die Funktion:
    F(s) = ( G * m1* m2) / ( (s+Erdradius)^2)
    G, m1, m2 und Erdradius sind bekannt.
    F(s) = ( 6.67408*10^-11 kg * 5,972 * 10^24 kg * 1kg) / ((s+6371000m) ^2)

    Diese Funktion muss ich nun irgendwie in das Integrall hineinfummeln.

    Aber ich mache zunaechsteinmal Pause und betrachte die Funktion mit einen Funktionsplotter
    http://www.mathe-fa.de/de (dort muss ich den Parameter allerdings “x” nennen,- sonst versteht der Plotter die Formel nicht
    f(x)=((6.67408*10^-11)*(5.972*10^24)*1)/((x+6371000)^2)
    Man bekommt ein schoenes Bild wie sich die Gewichtskraft die auf die Rakete wirkt ueber die Entfernung veraendert.

    Nun googel ich nach einen Integralkalkulator und finde http://www.integralrechner.de/
    Dort gebe ich die Formel ein. In den Optionen kann ich die untere Grenze (0m) und die obere Grenze (36000000m – soviel soll die Rakete steigen) ein.
    Jetzt passiert Magie, und ich bekomme als Ergebnis:

    5.315417585720527⋅10^7 Joule = 53 MegaJoule (sagt man das so ?)

    Ich habe keine Ahnung ob das gerechnete Richtig ist,- ich habe auch keine Ahnung wie genau der Integralrechner meine Funktion dort hineingefummelt hat. Wie rechnet man denn nun ein Integral aus?

  4. #4 Ingo
    7. März 2016

    Die Einheiten waren oben falsch angegeben.
    Einheiten aus der Formel:
    F = ( G * m1* m2) / (r^2)

    ((m^3)/(kg*(s^2)) * kg * kg) / (m^2) =
    (m^3 * kg * kg) / (kg * s^2 * m^2) =
    (m * kg ) / (s^2) = N
    Die Definition der Einheit Newton ist tatsaechlich (kg*m)/s^2 -> Richtig

    Aber Wie komme ich nun durch meine Integralfunktion auf Joule
    Joule = (kg * m^2) / (s^2)

    Integralfunktion von irgendwas mit Newton -> Joule ??

    Ich habe das Integral ja nicht selber ausgerechnet, sondern nur das Internet befragt.

  5. #5 MartinB
    7. März 2016

    @Ingo
    Guckst du z.B. hier:
    https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/energie-und-arbeit-im-gravitationsfeld
    Der Trick ist, einfach die integralgrenzen passend zu wählen, dann spart man sich die fiese Summe im Nenner.

  6. #6 uwej
    7. März 2016

    “Naja, für ne Schulklasse würde ich nicht unbedingt die allg. RT verwenden, um Schwerkraft zu erklären…”

    Warum eigentlich nicht? Das berühmte Zitat hierzu, rekursiv wie GNU, ist durchaus unanschaulich und macht unmittelbar klar, warum selbst ein Dreikörperproblem keine analytische Lösung kennt. Das ist mit Newton weniger offensichtlich.

    Trotzdem tauchen Fragen auf.

    “Das bedeutet, daß in einem genügend großen Raumbereich, in dem keine Masse ist, die Raumzeit euklidisch wird, obgleich es einen Referenzraum, schon gar einen euklidischen, eigentlich nicht gibt?”
    Julius, 15 Jahre

    Die Schüler fragen das, weil sie “wissen wollen, gegenüber welcher Raumzeit die Raumzeit durch die ‘Anwesenheit’ von Masse gekrümmt sei”.

  7. #7 Ingo
    7. März 2016

    @MartinB #5
    Die Summe im Nenner war garnicht mein Problem.
    Mein Problem ist, dass ich nicht mal ansatzweise Ahnung habe ob ich richtig liege, und ich Integral-rechnerrei komplett vergessen habe.
    Ich wuesste nicht, wie ich ueber meine Funktion das Integral ausrechnen koennte.
    Ich habe einfach nur die Formel blind irgendwo ins Internet eingegeben, und gehofft das kein Quatsch rauskommt.

  8. #8 Ingo
    7. März 2016

    *seufts*
    Ich habe das alles alles vergessen:

    http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/integralrechnung.html

  9. #9 Ingo
    7. März 2016

    Irgendwie glaube ich meinem ausgerechneten Quatsch nicht.

    Hier …
    https://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung_(Energie)
    … steht:

    41,9 MJ = Freiwerdende Energiemenge bei Verbrennung von 1 kg Rohöl (Öleinheit – ÖE)

    Ich habe aber ausgerechnet dass ich nur 53 MJ fuer meine Rakete brauche.
    Es kann ja nicht sein, dass ich nur etwas mehr als 1kg Rohoel brauche, um meine Rakete auf 36000km hochzubekommen.

  10. #10 MartinB
    7. März 2016

    @Ingo
    Der Artikel den ich verlinkt habe, rechnet das doch genau vor. Danach braucht man 2,8GJ/1000kg für ne erdnahe Umlaufbahn.

    Und dein Problem ist natürlich, dass du 1kg nach oben bekommen willst und dafür 1kg Treibstoff brauchst – deine Nutzlast ist also gleich Null.
    Ich glaube, drüben bei WasGeht gibt es auch mehr Infos zur Raketengleichung usw., wo das aufgedröselt wird.

    @uwej
    “Warum eigentlich nicht? ”
    Weil ich denke, dass man für viele Alltagsprobleme mit dem Bild der Schwerkraft deutlich leichter eine Lösung findet. Ist immer gut, alle möglichen Modelle parat zu haben – wir erklären ja auch erst mal klassische Mechanik.

    “Die Schüler fragen das, weil sie “wissen wollen, gegenüber welcher Raumzeit die Raumzeit durch die ‘Anwesenheit’ von Masse gekrümmt sei”.”
    Ja, und da sieht man dann auch, dass die ART eben nicht so leicht zu verstehen ist, weil man bei einem gekrümmten Raum eben automatisch denkt, der raum müsse sich in irgendwas krümmen. In meiner Serie habe ich das ja mit den Landkarten zu erklären versucht.
    Ich weiß übrigens nicht, welches Zitat du meinst, und wie man in der ART sofort sehen soll, dass im Newtonschen Grenzfall das 3-Körper-Problem nicht lösbar ist, sehe ich auf Anhieb auch nicht.

  11. #11 Ingo
    7. März 2016

    @MartinB #10
    > Und dein Problem ist natürlich, dass du 1kg nach oben
    > bekommen willst und dafür 1kg Treibstoff brauchst

    Mittlerweile war mir das auch aufgefallen, dass ich fuer die Rakete nur 1kg eingesetzt hatte, und damit natuerlich die Gewichtskraft viel zu klein ist um realistische Werte zu bekommen.
    Nachdem ich andere Werte eingesetzt hatte wurden die Zahlen auch vernuenftig.
    Deinen verlinkten Artikel hatte ich erst spaeter glesen.
    Es war nun fuer mich seit langen dass erste mal ueberhaupt mit Physik-Formeln in Kontakt zu sein.
    Daher habe ich einen gewissen Anfaenger-Stolz ueberhaupt die richtige Formel/Funktion gefunden zu haben und scheinbar korrekt eingesetzt zu haben.
    Ich bitte dafuer um Nachsehn 🙂

  12. #12 Markus Termin
    7. März 2016

    “Das bedeutet, daß in einem genügend großen Raumbereich, in dem keine Masse ist, die Raumzeit euklidisch wird, obgleich es einen Referenzraum, schon gar einen euklidischen, eigentlich nicht gibt?”
    Julius, 15 Jahre

    Die Schüler fragen das, weil sie “wissen wollen, gegenüber welcher Raumzeit die Raumzeit durch die ‘Anwesenheit’ von Masse gekrümmt sei”.

    Da bahnt sich eben der gesunde Menschenverstand einen Weg zur Wahrheit: eindrucksvoll!

  13. #13 MartinB
    8. März 2016

    @Ingo
    Nachsehen? Nein, ich finde das ziemlich beeindruckend, wenn jemand so was versucht, und du bist ja auch recht weit gekommen.
    Ich wollte mit meinem letzten Kommentar vor allem darauf hinweisen, dass das größte Problem bei Raketen eben ist, dass die Energie, die man braucht, um 1kg nach oben zu bekommen, in der gleichen Größenordnung liegt wie die Energie, die in 1kg Treibstoff steckt – einen großteil des Treibstoffs verbraucht eine Rakete am Anfang dafür, den anderen Treibstoff nach oben zu bringen.

  14. #14 Karl-Heinz
    8. März 2016

    @Ingo

    Abgesehen davon, dass dein Testkörper von 1 kg in der Höhe von 36.000 Km eine Endgeschwindigkeit von 0 m/s hat. Das Zeug kommt jedenfalls wieder runter 😉

  15. #15 MartinB
    8. März 2016

    @Karl-Heinz
    Das wird auf der von mir verlinkten Seite auch vorgerechnet – die kinetische Energie ist sogar höher als die potentielle.

  16. #16 uwej
    8. März 2016

    @10, MartinB

    “weil man bei einem gekrümmten Raum eben automatisch denkt, der raum müsse sich in irgendwas krümmen”

    Danke für die Antwort.

    So wie oben habe ich es nicht gemeint. Ich wollte andeuten, daß die (wahrscheinlich naive) Frage im Raum steht, ob, wenn man von Krümmung spricht, als Relation etwas weniger oder mehr Gekrümmtes heranziehen muß. Ein leere flache Raumzeit, die nicht universal Henne und Ei zugleich sein soll, ein Art Äther in der Abwesenheit von Masse, existiert aber sui generis offenbar nicht.

    Die Frage war also nicht, ob in einer höheren Dimension gekrümmt, sondern ob relativ zu etwas in der gleichen Dimension gekrümmt.

    Das Zitat übrigens war, daß die Masse dem Raum sagt, wie er sich zu krümmen hat und der Raum der Masse sagt, wie sie sich zu bewegen hat. Und weil dies eine kräftefreie Rekursion ist, schien es offensichtlich, daß Mehrkörperprobleme analytisch nicht zugänglich sind, stimmt vielleicht auch nicht, aber sind ja noch keine Professoren.

  17. #17 MartinB
    8. März 2016

    @uwej
    “sondern ob relativ zu etwas in der gleichen Dimension gekrümmt.”
    Naja, relativ zu ungekrümmt halt 😉
    Was ich damit sagen will ist, dass du feststellst, ob der Raum gekrümmt ist, wenn du z.B. einen kreis malst und das Verhältnis Radius zu Umfang bestimmst (so wie im 2. Teil der Artikelserie mit dem Sonnenradius). Eine Krümmung kann man innerhalb des gekrümmten Raums (oder raumzeit) direkt nachweisen, wenn man entsprechende Größen misst. So wie auch eine Ameise auf der Erdoberfläche z.B. messen könnte, dass die Winkelsumme im Dreieck größer als 180° ist, auch wenn sie sich nur in der Oberfläche bewegen und nie nach oben schauen kann.

    “Und weil dies eine kräftefreie Rekursion ist, schien es offensichtlich, daß Mehrkörperprobleme analytisch nicht zugänglich sind”
    Das ist ein unzulässiger Schluss, denke ich. Die Tatsache, dass es eine Rückkopplung gibt, heißt meiner Ansicht nach nicht zwingend, dass man das Problem nicht analytisch lösen kann.

  18. #18 uwej
    8. März 2016

    Kann man also ungestraft behaupten, daß alle Dreiecke, die eine Winkelsumme um 180° haben, als “klein” zu kategorisieren sind, während “große” Dreiecke eine Winkelsumme 180° haben und streng genommen gar keine (Ideen von durch nichts beeinflussten) Dreiecke mehr sein können?

    Bedeutet relativ ungekrümmt etwas anderes als relativ klein?

    Der “unzulässige” Schluß klingt ohne weitere Ahnung oder Erläuterung in der Tat voreilig, zugegeben – was sagt aber die Theorie dazu, woran es liegt, daß es kein zielführenderes Verfahren geben könne, als derartige Fragestellungen numerisch zu lösen?

  19. #19 MartinB
    8. März 2016

    @uwej
    Sorry, den ersten teil habe ich nicht verstanden.
    Nimm als Beispiel die Erdoberfläche: wenn du nen dreieck auf der Erde (als perfekte Kugel angenommen) malst, dessen Kanten sehr klein sind, dann ist die Winkelsumme ziemlich genau 180°. Wenn du dagegen ein Dreieck vom Nordpol bis zum Äquator malst, dann kannst du drei rechte Winkel um Dreieck haben. Daran kannst du sehen, dass die Erdoberfläche gekrümmt ist. Die Krümmung ist überall gleich und konstant, aber lokal ist die Oberfläche immer flach. (Genauso wie man in der ART lokal immer ein frei fallendes Bezugssystem finden kann.)

    “was sagt aber die Theorie dazu, woran es liegt, daß es kein zielführenderes Verfahren geben könne, als derartige Fragestellungen numerisch zu lösen?”
    Zum einen müsste nach der Logik ja schon das Zweikörperproblem unlösbar sein, oder?
    Es gibt einen Beweis, warum das 3-Körper-Problem nicht analytisch lösbar ist, aber ich habe mir den nie angeschaut, weil ich die Frage nicht so schrecklich interessant finde.

  20. #20 Karl-Heinz
    8. März 2016

    @MartinB

    Das wird auf der von mir verlinkten Seite auch vorgerechnet – die kinetische Energie ist sogar höher als die potentielle.

    Ich weiß.
    Ich wollte nur unterstreichen, dass der Testkörper von 1 kg zurück auf die Erde kommt und jemanden verletzen könnte 😉

  21. #21 JoJo
    8. März 2016

    @uwej:

    Das Zitat übrigens war, daß die Masse dem Raum sagt, wie er sich zu krümmen hat und der Raum der Masse sagt, wie sie sich zu bewegen hat.

    Wirklich? Wheelers Originalzitat lautet: “Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.”

    Krümmung der Raumzeit ist grundsätzlich von Raumkrümmung – bzw. Krümmung des raumartigen Anteils der Raumzeit – zu unterscheiden!

    Beispiel: Ein Stein an der Erdoberfläche, der sich 1 Sekunde im freien Fall bewegt und sich von t=0, x=0 zu t=1, x=1 bewegt. In ART-Sprech bewegt sich der Stein auf einer Geodäten maximaler Eigenzeit. Das ist bis auf relativistische Korrekturen eine Wurfparabel. Die kürzeste Verbindung zwischen x=0 und x=1 – also die Geodäte minimalen Abstands im Raum – ist jedoch die gerade Strecke von x=0 nach x=1 und eben keine Parabel.

    Und weil dies eine kräftefreie Rekursion ist,

    Es ist keine “Rekursion” sondern eine eindrückliche Verbalisierung der Einschein’schen Feldgleichungen.

  22. #22 uwej
    9. März 2016

    “Sorry, den ersten teil habe ich nicht verstanden.”

    Ich verstehe. Die Aussage war, daß in realiter nur ein relativ kleines Dreieck die Winkelsumme 180° haben kann: Wenn ich auf der Erde ein Dreieck zeichnen möchte, das die Winkelsumme ~180° hat, muß es “klein” sein. Z.B. ein gleichschenkliges Dreieck mit gegen Null gehender Seitenlänge, sonst macht sich die notwendig zu erwartende Krümmung des (nicht leeren) Raumes bemerkbar. “Große” Dreiecke erfüllen die Winkelsumme qua Größe hingegen nicht – mir erschien das folgerichtig. Ich wollte keine semantische Spielerei betreiben.

  23. #23 MartinB
    9. März 2016

    @uwej
    Achso, dann sind wir uns soweit ich sehe einig.

  24. #24 klaus
    13. März 2016

    Arbeit ist Kraft mal Weg und Arbeit ist Drehmoment mal Drehwinkel und daher ist Drehmoment Arbeit je Drehwinkel, also Nm/rad oder J/rad oder J/° oder Nm/° und daher ist Drehmoment niemals Nm.

  25. #25 Karl-Heinz
    13. März 2016

    Beim einem Hebel habe ich Hebellänge und Kraft, also Nm. Es muss sich bei einem Gleichgewicht ja nix bewegen. Im Gegensatz zur Arbeit steht bei einem Drehmoment die Hebelänge und die Kraft senkrecht aufeinander!!!

  26. #26 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @klaus

    kleiner mathematischer Zusammenhang
    ——————————————————–
    W … geleistete Arbeit
    M … Drehmoment
    F … Kraft
    L … Hebellänge
    b … Bogenlänge
    α … Winkel mit dem gedreht wird

    α = b/L
    M=F*L

    W = M*α = (F*L)(b/L) = F*b

  27. #27 klaus
    13. März 2016

    @Karl-Heinz

    Gut, dann berechne einmal einheitenrichtig, welche Arbeit hierbei umgesetzt wird:

    Drehmoment: 3 Nm
    Drehwinkel: 30°

  28. #28 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @klaus

    Radiant hat als Einheitenzeichen rad
    Als Dimension aber L/L =1

    M … Drehmomentenvektor = (0,0,3 Nm)
    α[rad] … Drehwinkelvektor = (0,0, 3*pi/18)
    W … Arbeit (Skalar)

    α[rad]= α[°]*pi / 180 = 30*pi/180 = 3*pi/18
    W = M* α = 9*pi/18 [Nm]

  29. #29 MartinB
    13. März 2016

    @klaus
    Was versuchst du hier zu zeigen oder zu argumentieren?

  30. #30 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @MartinB

    Vielleicht ist Klaus ein genervter Mechanik-Lehrer einer Klasse, in der die Schüler einfach nicht einsehen, dass für die Berechnung der Arbeit bei einer Drehbewegung W = M*α der Winkel α in Radianten zu nehmen ist 😉

  31. #31 klaus
    13. März 2016

    @Karl-Heinz

    “α[rad]= α[°]*pi / 180 = 30*pi/180 = 3*pi/18”

    Deine Einheitengleichung ohne Faktoren ergibt:

    rad = °
    ° = 1

    Das ist ebenso Mist wie dein falsches Ergebnis!

  32. #32 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @Klaus
    Du bist sehr pingelig. Wenn ich die Einheiten aus der Definition des Drehmomentes herleite kommt Radiant nicht vor. Ein Drehmoment hat mal zunächst mit einem Winkel nichts zu tun.

  33. #33 klaus
    13. März 2016

    @Karl-Heinz

    ” Wenn ich die Einheiten aus der Definition des Drehmomentes herleite kommt Radiant nicht vor. Ein Drehmoment hat mal zunächst mit einem Winkel nichts zu tun.”

    Ob ein Radiant vorkommt ist unerheblich. Aber es kommt in der Einheit irgend ein Winkel vor! Weil ein Drehmoment etwas mit Drehung zu tun hat und Drehungen beinhalten automatisch irgendetwas winkelähnliches. Ob man auf einen Vollkreiswinkel bezieht oder oder auf Frad oder Radiant ist unerheblich. Aber der Bezug muß in der Drehmomenteinheit genannt werden!

    Dann ergibt sich:

    Nm/rad * rad = Nm

    Nm/° * ° = Nm

    Nm/U * U = Nm

    Mit Zahlen:

    3 Nm/rad * 5 rad = 15 Nm

    3 Nm/° * 5° = 15 Nm

    3 Nm/U * 5 U = 15 Nm

    Und genauso geht es mit Leistungen:

    3 Nm/rad * 5 rad/s = 15 Nm/s = 15 W

    3 Nm/° * 5°/s = 15 Nm/s = 15 W

    3 Nm/U * 5 U/s = Nm/s = 15 W

    Dagegen gelingt dies niemals:

    3 Nm * 5°/s = 15 Nm°/s = keine Leistung!

  34. #34 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @Klaus

    Ich habe eine kleine Denksportaufgabe für dich.
    Wenn du die Funktion sin(α) in eine Reihe zerlegst,
    wie gehst du dann mit den Radianten um?
    ———————————————————————-
    Winkel α in Radianten

    sin(α) = α /1! – α^3/3! + α^5/5! – α^7/7! + …
    ———————————————————————-

    In etwas so ?!
    [rad] – [rad]^3 + [rad]^5 …

    Na dann, viel Vergnügen *lol*

  35. #35 Karl-Heinz
    13. März 2016

    @Klaus

    Achtung Klaus, jetzt kommt ein praxisorientierter Teil
    für Praktiker.
    ———————————————————————-
    Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für die dimensionslose, kohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m. Er ist also eine Hilfsmaßeinheit und kann in Rechnungen einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1

  36. #36 klaus
    14. März 2016

    @Karl-Heinz

    [rad/rad] – [rad/rad]^3 + [rad/rad]^5

    Habe mich gut vergnügt.

    Dein rad^3 ist also Unsinn. Das Argument von sin(a) ist NICHT a rad sondern a rad/rad! Ebenso ist deine Hilfseinheitsbehauptung Unsinn. Dein m/m Argument zeigt nur, daß du gar nicht weißt, wovon du sprichst.

    Das rad ist definiert und zwar als derjenige WINKEL, bei dem die Länge des Kreisbogens mit der Länge des Kreisradius übereinstimmt und dieser so definierte WINKEL hat die Kenzeichnung “rad”. Beim oftmals als Argument gebrachte m/m=1 kürzt sich nur teilweise etwas weg, da in Wirklichkeit das Verhältnis von BogenLÄNGE/RadiusLÄNGE dasteht und sich nur die LÄNGE dabei wegkürzt. Die Bedeutungen kürzen sich nicht weg und es bleibt die VerhältniszahlBEDEUTUNG für den WINKEL rad als derjenige WINKEL übrig, wo Bogenlänge/Radiuslänge = 1 oder Bogenlänge gleich Radiuslänge oder Bogen gleich Radius ist immer noch übrig! Egal, ob der Bogen und Radius in Schneckensekunden, Lichtsekunden oder Daumenbreiten angegeben werden!

    Ansonsten könnte man auch behaupten, m oder kg oder Äpfel seien nur eine Hilfseinheiten.

    Jeder Winkel hat eine Einheit, Ansonsten gäbe es nicht die verschiedenen Bezeichnungen für Winkel. Diese Winkelbezeichnungen rad, °, gon, ´, ´´, _, mil oder was auch immer haben dieselbe Wertigkeit wie kg, m, s, A, Socken, Bananen und Äpfel und sind mit ihrer jeweiligen DEFINITION vollidentisch. Dies ist unabhängig davon, was in der jeweiligen Definition drinsteht.

    Wenn mlsw als Winkel genannt wird, den ich als denjenigen Winkel definiert habe, welcher sich beim Umwickeln meiner Kaffeetasse mit meinem königlichen linken Socken ergibt, dann ist diese Winkeleinheit in der Rechnung mitzuführen! Ein mlsw hat dann die Bedeutung von 2,4 Vollkreisen oder 15,08 rad oder 864° und damit ist auch das Drehmoment von 1 Nm/mlsw exakt definiert!

    Dann kann auch gerechnet werden, wie hoch die Leistung eines Motors ist, welcher 3 Nm/mlsw * 5 rad/s leistet. Das sind dann

    3 Nm/mlsw * 5rad/s = 3 Nm/mlsw * 5 rad/s * 1mlsw/ 15,08rad = 0,995 Nm/s = 0,995 W

    Entsprechend kann auch ein Drehmoment als 3 Nm/7rad angegeben werden. Wenn die Winkelgeschwindigkeit dann 720 °/s beträgt ergibt sich dann eine Leistung von

    3 Nm/7rad * 720°/s = 3 Nm/7rad * 720°/s * pi rad /180° = 5,39 Nm/s = 5,39 W

    Die Definition des Drehmoments IST daher wie anfangs behauptet “Arbeit je Drehwinkel” oder “Leistung je Winkelgeschwindigkeit” und daher muß die Bezugswinkeleinheit im Drehmoment genannt sein. Die Einheit für das Drehmoment ist also niemals Nm oder J.

    Diese Aussage ist unabhängig davon, was andere glauben und behaupten, richtig!

  37. #37 MartinB
    14. März 2016

    @klaus
    Ich habe nach wie vor keine Ahnung, was du hier willst oder warum du meinst, die Kommentarspalte dieses Blogartikels sei ein sinnvoller Ort, um darüber zu reden, wie die Einheit rad funktioniert. Bitte entweder mal klar in ein zwei Sätzen sagen, was du eigentlich erreichen willst oder aufhören hier zu posten.

  38. #38 klaus
    14. März 2016

    @MartinB
    “Was versuchst du hier zu zeigen oder zu argumentieren?”

    Da du gerade dabei bist, eine Grundlage der Physik darzulegen, nämlich Arbeit, habe ich die “andere” Arbeit gleich mit angegeben, damit du dich beim nächsten Artikel mit der Überschrift “die-gleichungen-der-physik-drehmoment-ist-kraft-mal-hebelarm” nicht versehentlich lächerlich machst und in die Kategorieschublade Claus Turtur mit hinzugelegt wirst.

    Der schaffte es nämlich bereits, der Vakuumenergie ein paar Nanowatt mit rund 100 W Leistungseinsatz zu entlocken. In Anbetracht der von ihm behaupteten Vakuumenergie von 10^29 J/m³ ist das natürlich ein mäßiges Ergebnis, was dieser Prof. Claus Turtur der Welt mit seinem Raumenergiekonverter zeigte.

    Allerdings zeigt seine Rechnerei, daß der gute Prof. Claus Turtur die Einheit des Drehmoments ebensowenig kennt wie seine professoralen Kollegen, die ihn deshalb theoretisch auch nicht widerlegen können.

    Bei korrekter Rechnung ergibt sich nämlich als Ergebnis, daß im Raum sogar 10^29 Jrad/m³ enthalten sind und das ist tatsächlich seeeeehr viel Blödsinn, den man noch anzapfen kann!

    Prof. Claus Turtur hat aber noch weiter geforscht. Zwischenzeitlich scheint er theoretisch nachgewiesen zu haben, daß daß der Blödsinnsgehalt des Quantenvakuums gar 10^112 Jrad/m³ beträgt, wie ich gerade nach kurzer Recherche festgestellt habe (http://www.quantumenergie.de/2012/12/04/neuer-vortrag-von-prof-dr-claus-turtur-zu-seinem-raumenergiekonverter/).

    Und soooooooo viel Quantenvakuumblödsinn könntest du bestimmt nicht mehr vollständig entkräften. Selbst wenn du 99,9999% zu entkräften schaffst, bleiben immer noch unerklärbare 0,0001% oder 10^106 Jrad/m³ Blödsinnsgehalt übrig und das ist eine wirklich sehr schwerwiegende Menge! Deshalb mein pingeliger, aber ganzliebgemeinter Tip.

  39. #39 MartinB
    14. März 2016

    @klaus
    Was jetzt die Definition des Drehmoments mit Herrn Turtur zu tun hat, erschließt sich mir nicht. Hat aber anscheinend hier auf dem Blog wirklich nichts verloren, such dir bitte ein anderes Forum, wo du deine Vorstellungen diskutieren kannst.

  40. #40 DocDuck
    16. Dezember 2016

    Hallo Martin,
    vielen Dank für die vielen tollen Artikel.
    Da ich gerade die Artikelserien durchlese, fällt mir auf, dass ein Link am Ende der letzten Seite eines Artikels zur ersten Seite des nächsten Artikels der selben Serie sehr nützlich wäre.
    Liebe Grüße

  41. #41 MartinB
    17. Dezember 2016

    @DocDuck
    Danke.
    Ja, das mit den Links wäre nur immer extra-Arbeit, weil ich dann die alten Artikel immer nochmal editieren müsste, meist bin ich dazu zu faul (früher hab ich’s mal gemacht…).
    Du kannst aber ja immer über die Serien-Seite alles finden.

  42. […] eine Energie von z.B. 1000Joule speichert, kann damit für 1000Joule Arbeit leisten, also (wegen “Arbeit ist Kraft mal Weg”) beispielsweise ein Objekt 10 Meter gegen eine Kraft von 100 Newton bewegen (wenn das Objekt 10kg […]