Ja, die Serie über die Gleichungen der Physik hatte ich eine Weile auf Eis gelegt – zum einen hatte ich in letzter Zeit wenig Zeit zum Bloggen, zum anderen haben mich auch andere Dinge beschäftigt, wie die Quantum Moves oder die Allgemeine Relativitätstheorie. Aber heute geht es mit der Serie weiter (die anderen Teile findet ihr, wenn ihr rechts bei den Artikelserien klickt, die Teile, die im Text hier relevant sind, habe ich auch verlinkt).

Nehmt euch (falls ihr gerade eine parat habt) eine einfache Feder – nein, nicht von einem Vogel, sondern so ein spiraliges Ding aus Metall. Wenn ihr ein Gewicht an die Feder hängt, wird die Feder um ein Stückchen gedehnt. Hängt ihr ein zweites, genauso schweres Gewicht an die Feder, wird sie noch einmal um den gleichen Betrag gedehnt. Die Dehnung der Feder ist also proportional zur angelegten Kraft (denn die Gewichte üben ja eine Gewichtskraft aus, nach der Formel F=mg).

Hookes-law-springs.png
By SvjoOwn work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25398333

Hier noch ein historisches Bild (von dieser schönen Seite) – für uns ist hier erstmal nur Fig.1 interessant, die Feder in der Bildmitte:

Um das als Gleichung hinzuschreiben (und in dieser Serie geht es ja um Gleichungen), müssen wir die Größen, um die es geht, mit Formelzeichen benennen, aber nachdem diese Serie ja schon ein paar teile hat, schreckt euch das ja hoffentlich nicht mehr. Wir nennen die Kraft, die die Feder auf die Gewichte ausübt, F, und die Auslenkung der Feder (also die Länge, um die wir sie gedehnt haben), x. Die Auslenkung x messen wir von der Position aus, wo die Feder im Gleichgewicht ist, wenn kein Gewicht dran hängt. Verdoppeln wir die Auslenkung, dann verdoppelt sich auch die Kraft (weil eine doppelte so große Gewichtskraft die Auslenkung eben verdoppelt). Also sind Kraft und Auslenkung proportional.

Für eine bestimmte Auslenkung (beispielsweise 1mm) bekommen wir eine bestimmte Kraft (beispielsweise 1 Newton), bei 2mm Auslenkung 2 Newton usw. Dieses Verhältnis von Auslenkung und Kraft heißt die “Federkonstante”, meist nimmt man den Buchstaben k dafür. Wir könnten also schreiben

F=k x

wobei k eben die Federkonstante ist (die in unserem Beispiel 1Newton pro Millimeter ist, weil sich bei jeder Dehnung um 1 Millimeter die Kraft um 1 Newton erhöht).

Aber Vorsicht! So ganz korrekt ist die Formel nicht. Wenn wir nämlich die Feder nach unten dehnen, dann wirkt die Kraft, die die Feder ausübt, ja nach oben (und umgekehrt wirkt eine Kraft nach unten, wenn wir die Feder weiter zusammendrücken, falls es eine zusammendrückbare Feder ist). Kraft und Auslenkung gehen also in unterschiedliche Richtungen, deswegen bastelt man besser ein Minuszeichen in die Formel ein:

F=-k x

Diese Beziehung zwischen Kraft und Auslenkung nennt man das Hookesche Gesetz, weil Robert Hooke sie aufgestellt hat. Hooke interessierte sich für Federn, um damit eine Möglichkeit zu finden, genauer gehende Uhren zu bauen (vielleicht habt ihr oben im Bild eine ebene Spiralfeder erkannt, wie man sie in manchen Uhren findet – mehr über Hooke’s Uhrenbau findet ihr unter dem Link oben).

Das Hookesche Gesetz wird auch gern in der Schule im Physikunterricht ausführlich besprochen – es lässt sich im Schulexperiment leicht durch die Schülerinnen* nachbauen, und es ist ein schönes einfaches Beispiel für eine Proportionalität, das man quasi direkt am eigenen Leib erfahren kann (weil man die Federkraft ja auch spüren kann).

*Ja, auch durch die männlichen…

Trotzdem mag das Hookesche Gesetz auf den ersten Blick ziemlich simpel und vor allem uninteressant erscheinen. (Anmerkung: Irgendwo habe ich sogar das Argument gelesen, es sei trivialerweise wahr, weil man die Energie um die Gleichgewichtslage, bei der sie ein Minimum hat, ja in einer mathematischen Reihenentwicklung hinschreiben könnte, deren führender Term eben diese Proportionalität ergibt. Diskutiere ich erstmal nicht weiter, ist aber in meinen Augen ein ziemlich mieses Argument – bei Interesse hinterlasst einen Kommentar.)

Tatsächlich war Hooke aber ziemlich stolz auf dieses Gesetz – die erste Veröffentlichung des Gesetzes von 1660 geschah als Anagramm: ceiiinosssttuv. Auseinandergedröselt: ut tensio, sic vis (wie die Dehnung, so die Kraft); aufgeschlüsselt hat Hooke das erst 1678.

Warum fand Hooke das Gesetz durchaus bemerkenswert? Das hat mehrere Gründe, und die anzugucken, macht das Gesetz vielleicht doch ganz interessant.

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Kommentare (6)

  1. #1 schnablo
    31. Mai 2016

    Ich fand dieses Taylor-erste-Ordnung-Argument immer ganz hilfreich, um zu verstehen, wo all diese vorgeblich linearen Zusammenhänge herkommen. Z.B. lineare temperaturabhängige Längenänderung und gleichzeitig (!) lineare temperaturabhängige Volumenänderung oder das Ohmsche Gesetz. Was ist dabei abgesehen vom notwendiger Weise eingeschränkten Gültigkeitsbereich problematisch?

  2. #2 MartinB
    31. Mai 2016

    @schnablo
    Naja, ein Grund steht schon im Text: Hookes eigenes Modell hätte eigentlich ne andere Abhängigkeit vorhergesagt – ein selbstläufer ist es also nicht, dass jedes Modell einen quadratischen term haben muss. Klar ist das plausibel (und deswegen ist das Argument auch in meinen Augen hilfreich), aber es es nicht wirklich zwingend. Mir ging es ja nur darum zu sagen, dass es nicht “trivialerweise wahr” ist.

  3. #3 definition
    3. Juni 2016

    Dem muss ich zustimmen. Was ist schon “trivial”? Wir hatten mal einen Mathematikprofessor, der mal beiläufig erwähnte, dass die Maxwell Gleichungen ja trivial seinen, weil sie hier und daraus folgen. Da meinte ich dann zu einem Kommilitonen, der danach nochmal gefragt habe, dass man irgendwo aber schon die Beobachtungstatsachen reinstecken muss. Das ist ja ganz oft so, dass zwei Aussagenm zueinander mathematisch äquivalent sind und eine davon hat man beobachtet und die andere daraus hergeleit. Es hätte historisch aber genauso gut umgekehrt sein können, also dass man die andere zuerst beobachtet und dann die übrige herleitet.
    Hier ist auch wieder so ein Beispiel: Entweder bemerkt man, dass die Kraft proportional zur Auslenkung ist (zumindest in einem gewissen bereich) und leitet dann daraus her, dass die Energie quadratisch in dem Abstand zur Gleichgewichtslage ist, oder man geht von der Energie aus und leitet dann daraus die Kraft her.
    Aber so im allgemeinen ohne jegliche Kenntnis über ein System ist es keinesfalls trivial, dass irgendetwas linear sei. Man kann natürlich viele Funktionen in eine Taylorreihe entwickeln, aber bei vielen Funktion verschwindet der lineare Term und dann verhält sich das System in niedrigster Ordnung ja ganz anders.

    Ich meine, wir Physiker müssen scheinbar manchmal ein wenig aufpassen, dass wir uns von manchen Mathematikern nicht unsere Existenzberechtigung absprechen lassen. So nach dem Motto: Ist ja eh alles trivial, was die so rausgefunden haben.

  4. #4 MartinB
    3. Juni 2016

    @definition
    Sehe ich auch so, zumal ja zu Kookes Zeit das Konzept von Energie oder gar Energieerhaltung nicht mal ansatzweise so existierte wie heute.

    Die MAxwellgleichungen trivial. Ja, klar. Deswegen wurden die ja auch von Mathematikern einfach mal so aufgestellt.

    Oder war gemeint, dass die Kombination der Gleichungen letztlich trivial ist, weil die Gleichungen eng zusammenhängen (was man im Differentialformen-Formalismus sieht, wo man die Gleichungen ja als DF=0 und D*F=J* schreiben kann (ich übernehme keine Garantie, dass ich die Sternchen richtig verteilt habe)). Das wäre zumindest ein bisschen richtig – aber auch nicht mehr, weil die Natur ja auch andere mathematische Strukturen haben könnte.

  5. #5 definition
    6. Juni 2016

    Genau. Während einer Analysisvorlesung hat der Mathematikprof. nebenbei ganz leise (ich saß in der Ersten Reihe, deswegen hab ich es gehört) etwas der Art erwähnt: “tsss,… die homogenen Maxwellgleichungen dF=0, das Faraday’sche Induktionsgesetz und die Quellenfreiheit des Magnetfeldes folgen ja eigentlich schon aus F=dA und dd=0.” Gut, die zweite äußere Ableitung ist immer null, aber, dass sich die Felder so als Ableitung der Potentiale schreiben lassen, ist ja auch ne Beobachtung. Genau wie du sagst, hab ich dann auch jemandem erklärt, dass die Felder ja auch keine geschlossene oder exakte 2-Form bilden müssen.

    Hm, vielleicht war das ja auch ironisch gemeint, aber das Zitat stammt vom selben Prof, der zu der Theorie der Selbstadjungierten/Hermit’schen Operatoren (im 3. Semester Analysis als Vorbereitung auf Quantenphysik im 4. Semester) dann gesagt hat: “Diese Operatoren, sind dann in der Physik beobachtbare physikalische Größen. Also zum Beispiel äh, … naja die Energie oder so.”

    Die Gleichung war übrigens bis auf eventuell Vorzeichen:
    d*F=*J
    oder auch
    *d*F=J
    bzw mit Koableitung
    d^\dagger F=J
    Aber schreibweisen gibt es fast so viele wie Universitäten. Manche machen dann die Sterne rechts statt links dran oder unten usw.

  6. #6 MartinB
    6. Juni 2016

    @definition
    Ich vermute schon, dass das ernst gemeint war. Es gibt genügend Leute, die glauben, sie könnten physikalische Erkenntnisse quasi als Denknotwendigkeit herleiten – leider immer nur hinterher…