Dass Dinge nach unten fallen, ist uns ja ziemlich vertraut. Warum Dinge nach unten fallen, allerdings weniger. Meist sprechen wir von “Schwerkraft” – aber das ist die Sicht der klassischen Physik nach Newton.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) betrachten wir ein fallendes Objekt als ein Objekt, auf das keine Kraft wirkt (so Dinge wie Luftwiderstand etc. vernachlässige ich natürlich), sondern das der “geradesten” Bahn in der Raumzeit folgt – genau das ist ja gemeint, wenn man sagt, dass die Raumzeit gekrümmt ist. Im normalen Raum ist die geradeste Bahn diejenige, bei der der Abstand zwischen zwei Punkten auf der Bahn minimal ist – in der Ebene ist das tatsächlich eine Gerade, auf einer Kugeloberfläche beispielsweise ein Großkreis wie der Äquator.

In der Raumzeit ist die Sache mit dem Abstand etwas anders: Zwei Punkte sind jetzt nicht einfach Punkte im Raum, sondern in der Raumzeit. Also beispielsweise “Jetzt und hier” oder “In einer Sekunde 5 Meter unter mir”. (Diese beiden Werte sind nicht ganz zufällig gewählt, wie ihr gleich sehen werdet.) Der kürzeste Weg zwischen diesen beiden Punkten (man sagt auch “Ereignisse”) ist jetzt ein Weg durch die Raumzeit, also beispielsweise der Weg, den ein Objekt in der Raumzeit zurücklegen könnte. Beispielsweise könnte ich einen Ball an eine Schnur binden und die gleichmäßig abrollen, so dass der Ball mit konstanter Geschwindigkeit (von 5 Meter pro Sekunde) vom ersten Ereignis zum zweiten kommt.

Die Größe des Raumzeitabstands zwischen zwei Ereignissen kann man berechnen. Eine Veranschaulichung dafür habe ich euch neulich schon erklärt, deshalb erkläre ich nicht im Detail wie das geht. Entscheidend ist hier nur Eins, nämlich dass in der ART die geradeste Verbindung zwischen zwei Ereignissen diejenige ist, bei der für ein Teilchen, das sich entlang dieser Verbindung bewegt, möglichst viel Zeit vergeht.

Wieso möglichst viel Zeit? Vergeht für den Ball, den ich da abwickle, nicht eine Sekunde, so wie für mich auch? Nein, in der Relativitätstheorie ist das nicht mehr so. Dafür gibt es gleich zwei Gründe: laut spezieller Relativitätstheorie vergeht die Zeit für den Ball um so langsamer, je schneller er sich bewegt. Der Effekt ist bei gewöhnlichen Geschwindigkeiten klein, aber er führt dazu, dass für den Ball beim Bewegen mit konstanter Geschwindigkeit von 5m/s etwas weniger als eine Sekunde vergeht, genau gesagt etwa 0,14 Femtosekunden weniger. Eine Femtosekunde ist eine Billiardstel Sekunde – sagte ich nicht, dass der Effekt klein ist?

Zusätzlich gibt es noch einen zweiten Effekt: Laut allgemeiner Relativitätstheorie vergeht die Zeit in größerer Höhe (weiter weg von der Erde) etwas schneller. Vergeht bei Null Meter Höhe eine Sekunde, dann sind es in 5 Metern Höhe ganze 0.55 Femtosekunden mehr.

Diese beiden Effekte zusammen sorgen jetzt dafür, dass ein fallender Ball mit zunehmender Geschwindigkeit fällt. Um zu sehen, wie das geht, nehmen wir vereinfachend an, dass der Ball die ersten 2,5 Meter mit konstanter Geschwindigkeit zurücklegt, ebenso die zweiten 2,5 Meter (mit einer anderen Geschwindigkeit). Wir haben jetzt ein Problem mit einer unbekannten Variablen: Nach welcher Zeit soll der Ball die Höhe von 2,5 Meter erreichen, um seine Eigenzeit zu maximieren? (Wenn der Ball nach z.B. 0.75 Sekunden die 2.5 Meter zurückgelegt hat, dann war seine Geschwindigkeit auf dem ersten Wegstück 3.33m/s, auf dem zweiten Wegstück muss er sich dann mit 10m/s – nämlich 2.5m in 0.25 s –  aber ziemlich beeilen, um noch rechtzeitig unten anzukommen.)

Schauen wir erstmal auf den Effekt der Zeitdilatation in der SRT:

freiFallCP-SRT

Aufegtragen habe ich, wie stark die Zeit, die für den Ball vergeht, von einer Sekunde abweicht, wen er die ersten 2,5 Meter in der Zeit zurücklegt, die auf der x-Achse steht. Nach diesem Effekt allein ist es am besten, wenn der Ball sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt – würde er ein Stück etwas langsamer zurücklegen, würde das zwar den Effekt der Zeitdilatation auf diesem Stück verringern, aber dafür müsste er sich dann auf dem anderen Stück um so mehr beeilen, was insgesamt ungünstiger ist. Ohne weitere Effekte ist die geradeste Verbindung zweier Ereignisse in der Raumzeit also eine Bahn mit konstanter Geschwindigkeit. Deswegen bewegen sich kräftefreie Objekte auch mit konstanter Geschwindigkeit, so wie das Newtonsche Gesetz Nummer I es sagt.

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Kommentare (24)

  1. #1 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    13. Januar 2017

    Och, bitte veröffentliche doch das Programm hier 😉

  2. #2 Volker
    14. Januar 2017

    Um Programme zu veröffentlichen, empfehle ich GitHub. Da steigt die Chance, dass dir jemand hilft, aus “zusammengepackt” etwas Ansehnliches wird…

  3. #3 MartinB
    14. Januar 2017

    @volker
    Der code ist wirklich kurz und simpel, da lohnt github nicht.

    Wenn du willst, kann ich ihn dir gern per mail schicken.

  4. #4 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    14. Januar 2017

    @MartinB: der zweite “Volker” Bin nicht ich, sondern ein anderer Volker.

    Aber ich dachte, warum pastest Du das Programm nicht einfach hier als Kommentar?

  5. #5 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    14. Januar 2017

    @MartinB: weil dann kann man Dir dumme Fragen stellen, bis man’s versteht 😉

  6. #6 MartinB
    14. Januar 2017

    @Volker
    Das ist aber verwirrend mit euch Volkers….

    Als Kommentar geht leider nicht, wegen des ganzen html-Krams, jedes Kleiner/Größer-Zeichen im Code führt da zu Ärger. Und bei nem Python-Program machen auch die Einrückungen Ärger, die verschwinden, wenn ich das Ding einfach in den Haupttext kopiere.

  7. #7 Richard
    14. Januar 2017

    Um schnell mal eben irgendwelchen Code-Kleinkram zu pasten ist https://gist.github.com/ eigentlich ganz praktisch.

  8. #8 MartinB
    14. Januar 2017

    @Richard
    O.k., danke, ich hab’s mal probiert:
    https://gist.github.com/anonymous/bc26a10834150f91a4a95e309e7ce157
    Aber bitte nicht am Spaghetti-code rummeckern, ich weiß, dass es klüger gewesen wäre, den array in der totaltime-Funktion vorn und hinten mit 0 und 1 zu erweitern, dann hätte ich mir die Fallunterscheidungen sparen können.

  9. #9 Mirko Czentivic
    15. Januar 2017

    Sehr schöner Beitrag. Verständlich, anschaulich und so instruktiv, dass man was mit anfangen kann.
    Vielen Dank

  10. #10 Mirko Czentovic
    15. Januar 2017

    Sehr schöner Beitrag. Verständlich, anschaulich und so instruktiv, dass man was mit anfangen kann.
    Vielen Dank

  11. #11 MartinB
    15. Januar 2017

    @Mirko
    Danke für die Rückmeldung – ich habe mich nämlich ein bisschen gefragt, ob das außer mit noch jemandem irgendwie weiterhilft.

  12. #12 Paul
    15. Januar 2017

    Dumme Frage eines Laien: Warum ist die Kurve in der ersten Abbildung Glockenförmig? Du hattest beschrieben, dass die Zeit für den Ball umso langsamer vergeht, je schneller er sich bewegt. Das impliziert für mich einen linearen Zusammenhang und keine Glocke. Was habe ich da nicht verstanden?
    Danke für den Artikel :)

  13. #13 MartinB
    15. Januar 2017

    @Paul
    Die Kurve zeigt, um wie viel die Zei tlangsamer geht, wenn ich die Hälfte der Strecke nach der Zeit erreiche, die auf der x-Achse steht. Wenn ich also die ersten 2,5 Meter in 0.3 Sekunden zurücklege, dann bekomme ich eine Verzögerung von etwa 0,17 fs. Wenn ich die letzten 2,5 Meter in 0,3 Sekunden zurücklege (und damt die ersten in 0.7s), dann bekomme ich denselben Wert – weil ich jedes mal ein Stück schnell und ein Stück langsam zurücklege. Die gringste Dilatation ergibt sich, wenn ich die ganze zeit eine konstante Geschwindigkeit habe, also die beiden Hälften jeweils in derselben zeit zurücklege.

  14. #14 Kilian
    15. Januar 2017

    Ein sehr elegantes Prinzip und eine wunderschöne Erklärung! Das kannte ich so noch nicht, danke dafür!

    Ich habe gerade versucht den Limes für unendlich viele Teilstücke zu berechnen, was ja eine Parabel ergeben sollte. Die Abweichung der Eigenzeit (genau genommen den nicht-relativistischen Grenzfall)
    hat Martin in seinem Python-Script angegeben (Funktion “eta”): g*h/c^2 – deltah^2/(ct)^2. Der zweite Term kommt aus der Entwicklung von 1/gamma-1 ~ -beta^2/2 = -(dh/dt)^2/(2c^2). Nach dem Prinzip der maximalen Eigenzeit muss g*h/c^2 – (dh/dt)^2/(2c^2) maximiert werden. Äquivalent dazu: (dh/dt)^2/(2c^2) – g*h/c^2 muss minimiert werden. Bis auf Faktoren ist das genau die Lagrangefunktion aus der klassischen Mechanik L = T – V; damit ist das bekannte Hamiltonsche Prinzip wiedergewonnen. Toll, ich bin begeistert :-)

  15. #15 MartinB
    16. Januar 2017

    @Kilian
    Das mit dem Lagrange-Prinzip steht auch im verlinkten Text aus der Raumzeitkrümmungsserie. Und ja, ich finde es auch sehr elegant.

  16. #16 Maxim Jockwer
    Berlin
    16. Januar 2017

    Super nice. Schön geschrieben und tolle Informationen.

  17. #17 Boombox
    19. Januar 2017

    Kann mich Maxim Jockwer nur anschließen. Bloß eine Frage hätte ich. Gibt es auch eine halbwegs verständliche Erklärung, warum die geradeste Verbindung zwischen zwei Raumzeitpunkten die mit der längsten Eigenzeit ist? Das wird ja in obigem Artikel einfach unerklärt vorausgesetzt, wenn ich es richtig sehe.

  18. #18 MartinB
    20. Januar 2017

    @Boombox
    Erkläre ich ein wenig im 4.+ 5. Teil meiner Raumzeitkrümmungsserie (bei den Artikelserien zu finden) und in dem Text hier:
    http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2014/09/23/heisse-platten-kuerzeste-wege-und-gebogenes-licht/?all=1
    Letztlich liegt es daran, dass in die Raumzeit der SRT die Zeitkomponente mit dem entgegengesetzten Vorzeichen eingeht wie die Raumkomponente. Deshalb entspricht ein kurzer Weg im Raum einem langen Weg in der Zeit.
    Irgendwann gibt es dazu eine deutlich längere Erklärung…

  19. #19 Boombox
    20. Januar 2017

    Danke, die Artikel werde ich mir dann mal lesen, sobald ich genug Zeit habe.:-)

  20. #20 Uli Schoppe
    19. März 2017

    Wie das funktioniert ist ja gut verständlich, aber warum will der Ball denn zu diesem Punkt in der Raumzeit wenn keine Kraft ihn antreibt? Sind erst mal grundsätzlich alle Körper grundsätzlich im freien Fall und wenn ja warum ?

  21. #21 MartinB
    20. März 2017

    @Uli Schoppe
    Der Ball folgt der geradesten Linie in der Raumzeit. Und die führt nun einmal zur Erde hin, weil die Raumzeit gekrümmt ist.

    Raumpunkte haben ja (letztlich schon in der Newtonsche Physik) keine unabhängige Bedeutung – es ist nicht möglich, zu entscheiden, ob zwei Raumpunkte zu unterschiedlicen zeiten “derselbe” sind. Das gilt auch bei Newton, weil alle gleichförmig bewegten Bezugssysteme gleichberechtigt sind.

    Unsere intuitive Annahme, dass “Verharren am selben Ort” irgendwie der natürlichste Zustand sein müsste, ist letztlich aristotelisch (und durch unsere Alltagserfahrung gut belegt)…

    In der Newtonschen Physik ist gleichförmige Bewegung genausogut wie Ruhe, und in einer gekrümmten Raumzeit ist die gleichförmigste Bewegung möglicherweise die entlang einer Bahn, die eine auf der Erde ruhender Beobachterin als “gekrümmt” ansieht.

    “Sind erst mal grundsätzlich alle Körper grundsätzlich im freien Fall ”
    Solange sie kräftefrei sind (Schwerkraft gilt nicht), ja.

  22. #22 Uli Schoppe
    20. März 2017

    Das ist das aus dem Artikel mit den beiden vertauschten Axiomen bei Newton und Einstein, richtig? Irgendwie werde ich im Hinterkopf die Vorstellung nicht los das irgendwas den Körper auf die Bahn schubsen muss, das ist aber ja falsch da der Apfel ja immer im freien Fall ist sobald der Stengel ihn nicht mehr hält Deshalb muss ihn auch nichts auf seine Bahn schubsen. Danke, ich muss da dann nur eine falsche Vorstellung ausklammern

  23. #23 MartinB
    20. März 2017

    @Uli
    Ja, da habe ich das auch erklärt.
    “ich muss da dann nur eine falsche Vorstellung ausklammern ”
    Das ist in der tat nicht leicht – ich habe auch lange gebraucht, bis ich diese Idee des “Aber was bringt denn den Apfel dazu, mit der Bewegung anzufangen?” so richtig raushatte.

  24. #24 Uli Schoppe
    20. März 2017

    Danke auf jeden Fall :)