Wenn man öfter mal was über die Allgemeine Relativitätstheorie (kurz ART) schreibt, so wie ich, dann steht man früher oder später vor einem Problem: Die berühmte Einsteingleichung der ART hat auf der rechten Seite ein seltsames Objekt stehen. So sieht diese Gleichung aus (in Einheiten, bei denen die Lichtgeschwindigkeit und die Gravitationskonstante 1 sind, mache ich hier so, weil es heute nicht um diese Gleichung geht)

\mathbf{G}= 8\pi \mathbf{T}

Das G auf der linken Seite ist eine Größe, die die Krümmung der Raumzeit beschreibt. Auf der rechten Seite steht das, was die Ursache für diese Raumzeitkrümmung ist: Der Energie-Impuls-Tensor T. Den zu erklären ist leider ziemlich knifflig, deswegen habe ich mich bisher immer davor gedrückt. Heute versuche ich es mal (und bin für jedes Feedback, wie gut das geklappt hat, sehr dankbar).

Gehen wir erst mal zurück zur Physik nach Newton. Das Newtonsche Gravitationsgesetz sagt, dass sich zwei Körper anziehen, und zwar mit einer Kraft, die proportional zu ihren Massen ist. Danach ist also die Masse die Ursache der Gravitation.

Schaut man etwas genauer hin (und das tun wir heute), dann kann man sich natürlich fragen “Welche Masse denn?”. Die Erde ist ja zum beispiel ziemlich groß – nehme ich die ganze Masse der Erde als eine einzige Masse, oder müsste es nicht so sein, dass ich, wenn ich neben einem Berg stehe, auch ein bisschen von diesem Berg angezogen werde? Richtig, das muss so sein (und ist auch tatsächlich sogar ein messbarer, wenn auch sehr kleiner Effekt). Wir müssen also die Masse der Erde irgendwie aufteilen.

Dazu können wir die Erde (bitte nur gedanklich, wir wollen hier ja noch ne Weile wohnen) in kleine Stückchen teilen. Machen wir jedes Stück einen Kubikzentimeter groß, dann hat es (im Mittel) eine Masse von etwas mehr als 5 Gramm – im Erdkern etwas mehr, an der Erdoberfläche etwas weniger.Wir brauchen natürlich ziemlich viele solcher Stücke (so etwa eine Milliarde Milliarde Milliarde, wenn ich das gerade im Kopf richtig abgeschätzt habe (sowas mache ich immer beim Duschen…)), aber da wir das ja nur gedanklich tun, spielt das keine Rolle.

Wir haben jetzt also lauter kleine Würfelchen, von denen jeder ein bisschen Schwerkraft erzeugt. Greifen wir mal einen der Würfel heraus. Ein Stück von dem Würfel entfernt messen wir ein bestimmtes Schwerefeld, das durch diesen Würfel hervorgerufen wird  (und das ziemlich schwach ist). Wir können jetzt den Würfel nochmal gedanklich zerteilen, beispielsweise in 8 kleinere Würfel mit jeweils einem halben Zentimeter Kantenlänge. Der Effekt der 8 kleinen Würfel muss dann logischerweise derselbe sein wie der des einen größeren Würfels. Jeder der kleinen Würfel hat natürlich auch nur ein Achtel der Masse des großen Würfels, weil er nur ein Achtel des Volumens hat. Dafür haben wir ja auch 8 Stück davon.

Wenn ich mich frage, welche Schwerkraft von einem sehr kleinen Teil der Erde erzeugt wird, dann kann ich das Spiel immer weiter treiben. Je kleiner ich die Würfel mache,desto kleiner ist ihre Masse, aber es gibt auch immer mehr davon. Die Größe, auf die es ankommt, ist deshalb die Masse pro Volumen. Der größere Würfel hatte ne Masse von etwa 5 Gramm, verteilt auf einen Kubikzentimeter; die kleineren Würfel haben ne Masse, von einem Achtel davon, verteilt auf nen Achtel Kubikzentimeter.

Möchte man also Punkt für Punkt herausfinden, wie groß die von diesem gerade betrachteten Raumpunkt erzeugte Schwerkraft ist, dann ist die entscheidende Größe dafür die Masse pro Volumen – mit anderen Worten, die Dichte (folgt dem Link für eine sehr ausführliche Diskussion der Dichte, das Konzept ist nicht so trivial, wie gern behauptet wird). Die Dichte hat den Vorteil, dass wir sie (zumindest mathematisch, real besteht die Welt aus Atomen) an jedem Punkt definieren können, und mit den richtigen mathematischen Werkzeugen (nämlich der Differential- und Integralrechnung) bekommt man damit die Berechnung der Schwerkraft relativ problemlos in den Griff.

In der Newtonschen Physik kann man die Gleichung für die Schwerkraft ähnlich schreiben wie die Einstein-Gleichung oben:

\Delta\Phi = 4\pi\rho

Auf der linken Seite steht eine Größe, die mit der Energie zusammenhängt (das Gravitationspotential \Phi (“phi”), das Delta-Zeichen davor steht für ne mathematische Operation, die ich hier nicht erkläre – ihr könnt aber meine alte Serie über die Maxwell-Gleichungen lesen, da kommt eine ganz ähnliche Gleichung vor. Klickt rechts in der Leiste auf die Artikelserien). Die linke Seite interessiert mich aber gerade gar nicht – mich interessiert die rechte Seite. Da steht das griechische “rho” (mit nem Faktor 4 pi davor), das Formelzeichen für die Dichte.

Entsprechend kann man diese Gleichung lesen als “Die Dichte verursacht das Gravitationspotential” oder, etwas vornehmer ausgedrückt, “Die Dichte ist die Quelle der Gravitation”.

Ihr seht schon eine gewisse Ähnlichkeit zur Einsteingleichung oben – links steht eine Größe, die was mit der Schwerkraft zu tun hat (in der ART ist das die Raumzeitkrümmung), rechts steht das, was dafür sorgt, dass die linke Seite der Gleichung nicht Null ist. Bei Newton gilt also ganz klar “Ohne Masse (oder Dichte) keine Schwerkraft”.

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Kommentare (56)

  1. #1 Artur57
    3. Februar 2017

    Kann man das so sehen, dass gemäß Newton die Diagonalelemente genügt hätten? Die Nichtdiagonalelemente wären demnach für die Gravitationswellen verantwortlich? Ich weiß, ich kann hier fürchterlich falsch liegen, wollte aber gefragt haben.

  2. #2 alex
    3. Februar 2017

    @Artur57:
    Kann sein, dass ich dich komplett falsch verstehe. Aber die Diagonalelemente haben doch auch kein sinnvolles Transformationsverhalten (sie sind z.B. kein Vierervektor). Man könnte höchstens die Spur von T nehmen, denn die ist eine skalare Dichte. In der Nordström-Theorie ist das auch genau der Term auf der rechten Seite. Aber soweit ich mich erinnere, gibt es auch in dieser Theorie Gravitationswellen.

  3. #3 Lutz Donnerhacke
    3. Februar 2017

    Gut geschrieben. Ich habe sogar das “lorem ipsum” gefunden. Für mich war es verständlich, allerdings ist etwas Vorwissen da.

  4. #4 MartinB
    4. Februar 2017

    @Artur57
    Laut Newton hat auch z.B. der Druck keinen Einfluss auf das Schwerefeld, da hätte die 00-Komponente gereicht.

    @alex
    Ja, aber Newton musste nicht mit der SRT in Einklang sein, der braucht nur Galilei-Invarianz, keine Lorentz-Invarianz.
    Danke für den Hinweis auf Nordström, ich hatte nur seine erste Theorie im Kopf (wo auf der rechten Seite tatsächlich rho steht).

    @Lutz
    Danke für’s feedback, was hast du denn für Vorwissen?

  5. #5 Informatikstudent
    4. Februar 2017

    Hallo Martin,
    erstmal vielen Dank für diesen Artikel. Ich versuche schon seit längerer Zeit, die Feldgleichung zu verstehen, um evtl. irgendwann mal eine ART-Simulation programmieren zu können…
    Obwohl ich in den zu meinem Studium gehörenden Mathekursen gelernt habe, mit Vektoren und Matritzen zu rechnen, habe ich es leider bisher nicht geschafft (im Eigenstudium) zu verstehen, wie ein Tensor jetzt genau funktioniert.
    Ich habe Deinen Artikel gestern Abend drei Mal gelesen (soviel zur Frage, ob nicht die letzten Seiten durch lorem ipsum ersetzbar wären 😉 und war fast der Meinung, jetzt selbst einen EIT aufstellen zu können. Leider bin ich mir heute, nachdem ich auch noch den dazugehörigen Artikel auf Wiki gelesen habe, nicht mehr so sicher:(
    Da Du ja konkret um konstruktive Kritik bittest, schreibe ich mal, wo ich Probleme beim Verständnis habe.
    Zunächst einmal was zur Struktur deines Textes: Du mischst ja die mathematischen Beschreibungen dessen, was in die einzelnen Felder des Tensors hineinkommt, mit (längeren) Begründungen, warum das aus physikalischer Hinsicht Sinn macht, bzw. gar nicht anders geht. Obwohl ich letztere sehr interessant finde, lenken sie mich ein bisschen vom Nachvollziehenkönnen ersterer ab.
    Schön wäre es, wenn das Aufstellen eines EIT an einem einfachen Beispiel demonstriert werden könnte, in einzelnen Schritten, deren Notwendigkeit dann in Fußnoten erläutert werden würde.
    Um Dir genau zu zeigen, wo es beim Verständnis hakt, hier mein Versuch, den EIT aufzustellen:
    (1)Für meinen EIT brauche ich ein (ansonsten leeres) Raum-Zeit-Kontinuum, indem sich ein Testkörper befindet. Statt (wie bei Newton) seine Masse zu betrachten, gehen seine Dichte, seine Dimensionen (x,y,z) und seine Geschwindigkeit (vx,vy,vz) relativ zu mir in die Rechnung ein. (Frage: Nicht sein Abstand von mir, weil das erst in einem späteren Rechenschritt folgt?)
    (2)Mein EIT ist eine “Tabelle” (schreib ich mal statt “Matrix”, weil der Begriff mathematisch falsch wäre) T[Zeile][Spalte] der Größe 4*4, deren Felder ich mit Werten Fülle, die sich aus den mir bekannten Eigenschaften meines Testkörpers berechnen lassen.
    (3)Das Feld [0][0] fülle ich mit der Energiedichte, die ich aus der Dichte (g/cm³) mit Hilfe der Gleichung E = mc² berechne. Dabei sollte irgendwas mit der Einheit (J/m³) herauskommen. Ich rechne also die Masse in Energie um:
    E= m*c² = kg * (m/s)² = kg * m² * s² = J …passt;)
    (4) Die anderen Felder meiner ersten Zeile beinhalten die Impulsdichte meines Testkörpers. Ich multipliziere dazu meinen Wert aus [0][0] (statt der Masse wie bei Newton) mit der Geschwindigkeit, die mein Testkörper in die jeweilige Richtung hat, z.B. mit vx für das Feld [0][1].
    Mein Wert hat dann die Einheit:
    (J/m³) * (m/s) = J / (m² * s)
    Soweit, wie ich das nachvollziehen konnte. Ich habe dann versucht, aus den mir bekannten Infos zu folgern, wie die restlichen Einträge z.B. für die erste Spalte aussehen könnten. Leider wird mir das aus deinem Text nicht so richtig klar. Soll da die Gesamtenergie pro Dimension meines Körpers rein, also z.B. in der Einheit J/m ?
    Und wie geht es dann weiter mit den restlichen Feldern?
    Ein herzliches Dankeschön schon mal für Deine Mühe (natürlich freue ich mich auch über die Hilfe anderer Kommentatoren)

    P.S.: Ich hab versucht, mir das mit Hilfe des Wiki-Artikels selbst zu erschließen und bin gescheitert…X(

    P.P.S: Sorry für den langen Post;)

  6. #6 Mathias
    Heidenheim
    4. Februar 2017

    Ich fand deinen Text, mit etwas “sekundär Literatur” gut verständlich. Einige deiner anderen Texte haben mich schon vor längerem inspiriert mich mehr mit Physik zu beschäftigen, was eine Bereicherung in meinem Job darstellt! In meiner Schulzeit ist dies leider nie einem Lehrer gelungen. Thx

  7. #7 MartinB
    4. Februar 2017

    @Informatikstudent
    Das, was du dir wünscht, bietet mein Text nicht -mir ging es eben mehr um die physikalische Motivation und die Hintergründe.
    Es gibt aber einige sehr gute Quellen zum EIT, z.B.
    http://physics.stackexchange.com/questions/184042/intuitive-understanding-of-the-elements-in-the-stress-energy-tensor
    https://www.quora.com/What-is-the-stress-energy-tensor-in-layman-terms
    https://www.physicsforums.com/threads/energy-momentum-density-of-point-particle.178692/
    Hier wird relativ im Detail erklärt, wie man den tensor auftsellt:
    http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/current/teach/module_home/px436/notes/lecture6.pdf
    http://www.math.uct.ac.za/sites/default/files/image_tool/images/32/Staff/Permanent_Academic/prof_peter_dunsby/general_relativity/Chapter4.pdf

    Ich hoffe, das hilft dir weiter. Sonst gern nochmal beschweren.

    @Mathias
    Danke, freut mich ja besonders, wen ich bei Leuten die Begeisterung für Physik etwas wecken kann. (Ja, Schulphysik ist oft sehr seltsam und langweilig…)

  8. #8 Informatikstudent
    4. Februar 2017

    Danke für die Links – da hab ich jetzt erstmal ne Menge zu lesen:)

  9. #9 Karl
    Braunschweig
    4. Februar 2017

    Hallo Martin,
    nun habe ich zumindest ungefaehr verstanden warum im EIT nicht nur Masse oder Energie vorkommt. Alles muss ich auch nicht verstehen.Einstein brauchte ja auch ein paar Jahre. Was mir auffiel ist das in Deiner Erklärung Sheer Stress nicht vorkam. Die ist vielleicht auch nur unter einem anderen Begriff abgehandelt aber so richtig erkennen konnte ich das nicht. Was verbirgt sich dahinter? Auf jeden Fall hast Du mir eine Menge zum Nachdenken zu gegeben und angeregt von Informatik Student ueberlege ich auch die Gleichung zu programmieren und so ein besseres Gefuehl fuer die Dinge zu bekommen. Wobei die linke Seite bestimmt auch nicht Ohne ist. Aber Rom wurde ja, sagt man, auch nicht an einem Tage erbaut. Danke für die Erläuterung und Anregungen! Karl

  10. #10 brf
    5. Februar 2017

    Ist der Tensor eigentlichs symmetrisch? Mindestens habe ish da immer angenommen und erste Zeile und erste Spalte scheinen das auch zu sein. Die blauen Teile sind jedoch verschieden bezeichnet (momentum flux and shear stress) und scheinen also unsymmetrisch zu sein. T taucht doch in der Gleichung auf

    Rij – 1/2 R gij = 8 pi G / c^4 Tij

    Oder sind die beiden T was anderes?

    Was bedeuted die Unsymmetrie für diese Gleichung (wenn sie denn stimmt)?

    Bin verwirrt.

  11. #11 MartinB
    5. Februar 2017

    @Karl
    Zu erklären, wie man von den Impulsströmen zu den Schubspannungen und -drücken kommt, wäre ein eigener Blogtext, deswegen habe ich das nich tgemacht.
    Kurz gesagt: Da Kraft die Änderung des Implses mit der Zeit ist, werden aus den räumlichen Kopmponenten der Impulsströme letztlich Kräfte, aber (weil es ja um Dichten geht) so normiert, dass man von Spannungen redet.
    Aber wie gesagt, das wäre ein eigener Text, und ich bin mir noch nicht klar, wie man das am besten erklärt.

    @brf
    Ja, der ist immer symmetrisch, auch wenn die Grafik von Wikipedia das nicht unmittelbar deutlich macht.
    Das ist ebenfalls eine Frage der Interpretation der Komponenten, ein bisschen mehr dazu findest du in den ersten beiden Links meines Kommentars #7.

  12. #12 Till
    6. Februar 2017

    Vielen Dank für den Artikel. Jetzt habe ich zumindest das Prinzip verstanden, wie man von der Masse zum EIT kommt. Im Detail kann ich das noch nicht nachvollziehen, aber das war ja auch nicht Deine Absicht.

    Als konkretes Feedback: Mir hätte es sehr geholfen, wenn Du den Zweiten Schritt (vom Viererimpuls zum EIT) noch einmal ausführlich erklärt hättest. Mir war beim ersten Lesen nämlich nicht klar, was genau der wichtige Punkt war (dass die Geschwindigkeit im Viererimpuls einmal und im EIT zweimal drinsteckt) und als ich dann beim EIT angekommen war, musste ich den Abschnitt zum Viererimpuls noch einmal lesen.

    Nach dem zweiten Mal Lesen hatte ich das Prinzip dann aber verstanden 😉

  13. #13 MartinB
    6. Februar 2017

    @Till
    Danke für’s feedback. Ja, der zweite Schritt ist etwas zu kurz gekommen – der hätte noch mindestens ne weitere Seite gebraucht, um so richtig klar zu werden. Vielleicht schreibe ich den irgendwann nochmal für den Blog.

  14. #14 Informatikstudent
    6. Februar 2017

    @Karl
    Das Faszinierende daran, selbst Partikelsysteme zu programmieren (und das ist ja -zumindest für Newton- nicht sooo schwer) sind die unbegrenzten Möglichkeiten, die ich habe, mein “kleines Universum” zu manipulieren:
    Was passiert, wenn ich die meine Gravitationskonstante ändere? Was, wenn diese sich über die Zeit kontinuierlich ändert oder zufällige Werte annimmt?
    Oder die Verteilung meiner Teilchen am Anfang: Welche Auswirkungen auf die Entwicklung meines Universums hat es, wenn diese nach dem “Perlin Noise” Algorithmus erstellt wird, einer Normalverteilung entspricht oder auf reinem Zufall basiert?
    All das mag auf den ersten Blick als unsinnig – weil nicht der Realität entsprechend – erscheinen. Es ist ein eher spielerischer Ansatz, Zusammenhänge zu verstehen. Außerdem kann ich auch die “abgedrehtesten” Ideen selbst überprüfen (und mir die Ergenisse beliebig visualisieren lassen), ohne die Zeit hart arbeitender Physiker mit komischen Fragen zu vergeuden XD

    @Martin
    Wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du herausfinden, wie sich die ART (allgemein: Physik) besser vermitteln lässt, so dass auch nicht-Physiker die Konzepte dahinter verstehen.
    Meiner (subjektiven) Meinung nach gibt es eine riesige Hürde beim Verstehen der ART: Dass Newton zu ungenaue Ergebnisse liefert, wenn wir mit sehr großen Massen bzw Geschwindigkeiten arbeiten, und wir dann die ART bzw SRT brauchen (und das wir nicht mehr mit Kräften sondern mit Raumzeitkrümmung arbeiten), ist mittlerweile jedem klar, der nicht unter einem Fels lebt bzw sein Selbstwertgefühl aus der Ablehnung der RT zieht XD (sorry, war jetzt ein wenig überspitzt ausgedrückt)
    Aber was dann? Was, wenn ich mal berechnen möchte, wie stark die Raumkrümmung in einem konkreten Fall nun wirklich ist? Wenn ich das versuche, stoße ich irgendwann mal auf die Feldgleichung. Ich versuche zu verstehen, was ein Tensor ist und lese z.B. auf Wikipedia über den Riemanschen Krümmungstensor:

    Diffeomorphismen sind die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und entsprechend sind (glatte) Isometrien die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten. Da differenzierbare Mannigfaltigkeiten per Definition lokal diffeomorph zum euklidischen Raum sind, kam die Frage auf, ob riemannsche Mannigfaltigkeiten auch lokal isometrisch zum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \mathbb {R} ^{n} sind.

    Das ist genau der Punkt, wo die meisten aufgeben. (und das Zitat steht unter dem Stichwort “Motivation”…) Kann ich denn das grundlegende Prinzip eines Krümmungstensors nicht verstehen, ohne erst dieses Fachjargon entziffern zu können? (Mein Traum wäre ja: Hier ist ein Krümmungstensor, berechne für jede Zeile die Länge des Vierervektors, das sind dann die Komponenten des Beschleunigungsvektors, der auf einen anderen Körper einwirkt – aber das wäre wohl zu einfach *seufz*)
    Daher bin ja auch so froh (und dankbar!), dass Du hier mal versuchst den EIT zu erklären. Kann sein, dass ich da der Einzige bin, aber ich fände es halt sehr hilfreich, wenn das Aufstellen des EIT mal an einem einfachen Beispiel erklärt werden würde, z.B. an einem einzelnen Objekt. Welche Objekteigenschaften (xyz-Ausdehnung, Geschwindigkeit, Dichte?) gehen in den EIT ein? Wie berechne ich den Wert der einzelnen Komponenten des EIT, welche Einheiten haben sie und was ist ihre anschauliche Bedeutung?
    Sorry, kann sein, dass das jetzt ein bisschen nach dem Sonderwunsch eines Informatiknerds klingt, aber Du hast ja explizit um Feedback gebeten. Und das ist naturgemäß immer subjektiv;)

  15. #15 Informatikstudent
    6. Februar 2017

    P.S.:
    @Martin
    Mir ist bewusst, dass meine Vorschläge nicht der eigentlichen Intention Deines Artikels entsprechen. Sie sind auch nicht als Kritik an Deinem Artikel gedacht (den ich sehr gut finde), sondern eher Ideen für weitere Artikel;)

  16. #16 MartinB
    6. Februar 2017

    @Informatikstudent
    “möchtest Du herausfinden, wie sich die ART (allgemein: Physik) besser vermitteln lässt, so dass auch nicht-Physiker die Konzepte dahinter verstehen.”
    Jupp. Insbesondere interessiert mich die Lücke zwischen halbgaren Gummituchmodellen wie in den meisten populären Darstellungen und dem vollen Tensor-Gedöns.
    “Mein Traum wäre ja: Hier ist ein Krümmungstensor, berechne für jede Zeile die Länge des Vierervektors, das sind dann die Komponenten des Beschleunigungsvektors, der auf einen anderen Körper einwirkt – aber das wäre wohl zu einfach *seufz*”
    Naja, so ähnlich ist es ja – Die Beschleunigungen entlang Geodäten sind gerade die Christoffel-Symbole. Deren Zusammenhang mit dem Krümmungstensor ist glaube ich auch geometrisch ganz gut zu erfassen. (Allerdimngs nicht in wenigen Zeilen.)

    ” ich fände es halt sehr hilfreich, wenn das Aufstellen des EIT mal an einem einfachen Beispiel erklärt werden würde, z.B. an einem einzelnen Objekt. ”
    Das ist aber in den Links, die ich gepostet habe, doch eigentlich drin, oder nicht? TRick ist immer, dass du dich erst ins Ruhesystem des Objekts setzt, wo die Welt einfach ist, und dann in ein anderes System transformierst.

    Und ja, genau so ein Feedback kann ich im Moment gut gebrauchen, also vielen Dank. (Und Kritik – wenn konstruktiv – ist eh ne gute Sache.)

  17. #17 JoJo
    6. Februar 2017

    Wie ist das eigentlich mit der Energie des Gravitations”feldes”, also z.B. der Energie von Gravitationswellen? Irgendwo hab ich mal aufgeschnappt, dass diese Energie nicht im Energie-Impuls-Tensor enthalten ist. Aber wo steckt sie dann? Der einzige verbleibende Platz ist dann doch der Einstein-Tensor, d.h. die linke Seite der Einstein’schen Feldgleichungen?

    Gilt ähnliches dann auch für den (Dreh)Impuls des Gravitationsfeldes? Da GW (Dreh)Impuls übertragen können, muss das Feld selbst ja auch (Dreh)Impuls enthalten (können).

  18. #18 Boombox
    6. Februar 2017

    Insgesamt habe ich es einigermaßen verstanden, denke ich.

    Nur der letzte Schritt ist meiner Meinung nach wirklich etwas zu schwammig. Ich habe zwar verstanden, warum da noch etwas hinzugefügt werden muss, aber z. B. nicht so recht, warum das im Vergleich zum ersten Schritt so viel und in dieser Form sein muss.

  19. #19 MartinB
    7. Februar 2017

    @JoJo
    Ja, das ist richtig so. Die Energie des “Gravitationsfeldes” lässt sich nicht ohne weiteres lokalisieren. Das liegt am Äquivalenzprinzip: Nimm an, du misst am Ort x zur Zeit t ein starkes “Gravitationsfeld” und schreibst ihm eine Energie zu. Nach dem Äquivalenzprinzip gibt es genau an diesem Punkt der Raumzeit aber ein lokales Bezugssystem, das frei fällt und damit eine ungekrümmte Raumzeit misst. Raumzeitkrümmung ist immer eine Eigenschaft, die nicht auf einen Punkt lokalisiert werden kann (genauso wie die Erdoberfläche in einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes immer flach ist).
    Der Einstein-Tensor enthält die Wechselwirkung der raumzeitkrümmung mit sich selbst – wenn man ihn in Komponenten ausschreibt, sieht mn, dass der Tensor in Wahrheit eine komplizierte Funktion der Metrik mit diversen Ableitungen drin ist.
    Was den Drehimpuls angeht, muss der auch im Einstein-Tensor stecken, ich weiß aber aus dem Hut nicht, wie genau.

    @Boombox
    Danke. Ja, der letzte Schritt war etwas unscharf – mir ging es erst mal ja nur darum, zu zeigen, warum weder die Dichte allein noch der Viererimpuls allein als Quelle dienen können. Irgendwann schreib ich mehr dazu (mag aber ne Weile dauern…)

  20. #20 Boombox
    7. Februar 2017

    @MartinB: Na ja, ich meinte z. B. nur wieso es 9 zusätzliche Komponenten sein müssen, wie du es ja beim Viererimpuls auch kurz erklärt hast (da ist es neben der Energiedichte eine zusätzliche Komponente pro Raumdimension, wenn ich das recht verstanden habe).

    Wenn das tatsächlich einen eigenen Artikel erfordert, ist dieser Artikel meiner Ansicht nach gut, so wie er ist. Wie gesagt, die Motivation, warum da noch einmal etwas hinzugefügt werden muss, leuchtet mir ein, und wenn nur das das Ziel des Artikels ist, gibt es eigentlich doch nichts zu beanstanden.

  21. #21 MartinB
    7. Februar 2017

    @Boombox
    “nur wieso es 9 zusätzliche Komponenten sein müssen”
    Du fängst mit nem 4er-Vektor an; aus jeder Komponente davon werden 4, das macht dann nen Tensor mit zwei Indices und 16 Einträgen.

    Wie du auf die 9 kommst, sehe ich gerade nicht.

  22. #22 Boombox
    7. Februar 2017

    Verzeihung, ich habe mich nur verzählt. Eigentlich meinte ich 12 (also alle rechts neben denen vom Viererimpuls, die im zweiten Schritt dazukamen). Danke, das kann ich erstmal so akzeptieren. Ist also halt wie im ersten Schritt, da mussten aus einer Komponente 4 werden und im zweiten Schritt analog dazu aus diesen 4 Komponenten insgesamt 16.

    Aber wenn du irgendwann mal einen eigenen Artikel dazu schreiben möchtest, in dem du das Ganze genauer erklärst, werde ich den sicher auch lesen. Das macht mir immer ziemlich viel Spaß (auch in den Fällen, in denen es schonmal komplizierter war) und ich lerne was Neues dazu. Und du versuchst “Fachchinesisch” immer so gut wie möglich zu erklären, das ist für Laien z. B. ein Vorteil gegenüber Wikipedia-Artikeln, wie es hier schon jemand angesprochen hat. Die gehen bei solchen Themen zwar natürlich mehr ins Detail, aber wenn man nicht wenigstens schon ein bisschen Ahnung von den grundlegenden Prinzipien hat, nützt einem das nichts.

  23. #23 MartinB
    7. Februar 2017

    @Boombox
    Wobei der Tensor symmetrisch ist, d.h. es sind nur 10 unabhängige Komponenten. Zusätzlich gelten noch Erhaltungssätze, die den tensor weiter einschränken (weil Energiestrom und Energiegehalt zusammenpassen müssen, ebenso für die Impulse).

    “Aber wenn du irgendwann mal einen eigenen Artikel dazu schreiben möchtest, in dem du das Ganze genauer erklärst, werde ich den sicher auch lesen.”
    Ich hoffe, du liest es auch, wenn es (wesentlich…) mehr als ein Artikel wird…

  24. #24 Boombox
    7. Februar 2017

    Danke für die Infos.

    Und wenn nötig, würde ich mir sogar ein Buch von dir kaufen (würde sich für dich selbst ja vermutlich finanziell auch mehr lohnen als der Blog hier). :-)

  25. #25 Ingo
    7. Februar 2017

    Ich habs ehrlichgesagt nur Teil-verstanden.

    Verstanden habe ich was alles vorne reinkommt in die Gravitationsfunktion (eben dass dort mehr als nur die Masse alleine reinkommt)

    Bei dem Formalismus schlaegt meine Mathe-Legasthenie wieder zu.

    Rechts in der Gleichung steht der Tensor T und ein Faktor.
    Nun stellte ich mir bisher einen Tensor so wie eine Funktion vor.
    Vorne kommt ein Vektor rein,- hinten kommt ein anderer Vektor wieder raus, der (Besonderheit bei Tensorden) nicht aus dem gleichen “Vektorspace” (sagt man das so?) kommen muss.

    Tensor mal Faktor ergibt wiederrum einen Tensor.
    Das Ergebniss muss also ebenfalls ein Tensor sein.

    Was aber fange ich dann mit dem Ergebnistensor an?
    Welchen Vektor muss ich denn dort hineinschicken?
    Was sagt der Ergebnisvekor aus?
    Und wie genau trage ich denn meine Masse in kg und die anderen Faktoren in den Tensor ein?

    Ich vermute ich habe das Konzept noch nicht verstanden.

  26. #26 MartinB
    7. Februar 2017

    @Boombox
    …gut zu wissen. (Auch wenn sich das Schreiben von Büchern finanziell wohl nicht wirklich lohnt, fürchte ich.)

    @Ingo
    “Nun stellte ich mir bisher einen Tensor so wie eine Funktion vor.
    Vorne kommt ein Vektor rein,- hinten kommt ein anderer Vektor wieder raus, der (Besonderheit bei Tensorden) nicht aus dem gleichen “Vektorspace” (sagt man das so?) kommen muss.”
    Damit bist du weit jenseits von Mathe-Legasthenie. Das ist die allgemeine Definition von “Tensor”.

    “Was aber fange ich dann mit dem Ergebnistensor an?”
    Das ist das fiese bei der Einstein-Gleichung: Auf der linken Seite steht nur ein harmlos aussehender Tensor und man denkt “aha, da sind also zwei tensoren gleich, na und”?
    Der Trick ist, dass der Tensor links die räumliche und zeitliche Ableitung der Metrik enthält, die die Abstände zwischen Raumzeitpunkten regelt. Deswegen ist die Gleichung “eigentlich” eine Differentialgleichung, also eine, die dir sagt, wie sich die Metrik (sprich Raumzeitkrümmung) in Raum und Zeit ändert, je nachdem, was auf der rechten Seite steht.
    *Den* Teil habe ich aber gar nicht erklärt…

  27. #27 Ingo
    7. Februar 2017

    Also ist die Kurzfassung einfach –
    -“Um die Gravitation mathematisch abzubilden reicht die Masse alleine nicht aus, weil diese sich in verschiedenen Bezugssystemen aendert.
    Ich brauche stattdessen die gesamtEnergie des Gravitationserzeugers (einschliesslich der Masse), die Geschwindigkeit des Gravitationserzeugers (zusammengefasst als Impuls) und die Dichte.
    Diese skalaren Faktoren trage ich in einen magischen Tensor ein,- multipiziere diesen Tensor mit einem Faktor und erhalte einen weiteren Tensor.

    Mit diesen Ergebnistenor kann ich dann die Efekte der Raumkruemmung ausrechnen,- aber wie das geht kommt in einen (hoffentlich) naechsten Kapitel”

    Richtig?

  28. #28 MartinB
    7. Februar 2017

    @Ingo
    Alles richtig (auch wenn da nix magisches dabei ist), bis auf das hier:
    “Diese skalaren Faktoren”
    Das ist nicht die korrekte Ausdrucksweise – die Komponenten eines tensors heißen nicht “Skalare” (auch wenn es einzelne Zahlen sind) – damit etwas ein Skalar ist, darf es sich von einem Bezugssystem zum nächsten nicht ändern.

    “wie das geht kommt in einen (hoffentlich) naechsten Kapitel”
    Das wird es in voller Ausführlichkeit hier auf dem Blog vermutlich in näherer Zukunft nicht geben.

  29. #29 Ingo
    7. Februar 2017

    Ist dann die “magische Besonderheit” des Tensors, dass er immer das gleiche Ergebnis liefert, egal aus welchen Bezugssystem ich die Komponenten nehme?

    Wenn ich die Messe aus unterschiedlichen Bezugssystemen nehme erhalte ich unterschiedliche Werte.

    Wenn ich die unterschiedlichen Werte jeweils in den Tensor eintrage bekomme ich trotzdem das gleiche Ergebiss.

    Oder habe ich da etwas falsch aufgeschnappt

  30. #30 MartinB
    7. Februar 2017

    @Ingo
    Der Tensor hat (genau wie ein vektor, siehe das Beispiel im text) in unterschiedlichen Bezugssystemen unterschiedliche Zahleneinträge. Das “magische” am tensor ist wie beim Vektor die Tatsache, dass es eine klare Vorschrift gibt, wie ich ihn von einem Bezugssystem ins andere übersetze – dazu muss ich nur wissen, wie die koordinatenachsen der beiden Bezugssysteme relativ zueinander orientiert sind.
    Das bedeutet: Wenn ich eine Gleichung mit Tensoren schreiben kann, dann hat die Gleichung in allen Bezugssystemen dieselbe Form. (Das wollte ich im text mit dem Beispiel “Summe der Vektorkomponenten” deutlich machen, da geht das nämlich nicht.)

  31. #31 matthias r.
    München
    19. Februar 2017

    Das Bild vom Teilchen, das bei hoher Geschwindigkeit zum Schwarzen Loch werden müsste, kannte ich nicht, sehr nett.
    Das Gedankenexperiment, mit dem begründet wird, warum auch Energie Schwerkraft ausübt, find ich ohne weitere Erklärung nicht so überzeugend. Man könnte sich vorstellen, dass sich das Schwerefeld bei der Umwandlung der Partikel in Photonen aus dem Staub macht. Die Photonen haben dann ein bisschen weniger Energie, bilden sie erneut Partikel, sind die langsamer und irgendwann reichts nicht mehr für Partikel. Das könnte man natürlich messen. Vermutlich gibt es einfache quantenmechanische Rechnungen, die dafür sorgen, dass da keine Energie bei der Umwandlung auf der Strecke bleibt, aber das müsste man dann wiederum anschaulich erklären.

  32. #32 MartinB
    19. Februar 2017

    @matthiasr
    “Man könnte sich vorstellen, dass sich das Schwerefeld bei der Umwandlung der Partikel in Photonen aus dem Staub macht. ”
    Nein, das klappt nicht. Der Krümmungstensor kann sich in dieser Form nicht sprunghaft ändern, das würde zu Inkonsistenzen führen (ähnlich wie man bei elektromagnetischen Feldern Inkonsistenzen bekäme, wenn man eine elekrische Ladung plötzlich verschwinden lassen würde). Da müsste sich dann an einem Ort zu einer Zeit die Raumzeitkümmung schlagartig ändern, das würde, wenn ich es intuitiv richtig sehe (hab’s nicht versucht nachzurechnen), unendlich starke Gravitationswellen erzeugen.

  33. #33 Niels
    20. Februar 2017

    @matthias r. @MartinB
    Na ja, in der ART mit Energieerhaltung zu argumentieren ist eben grundsätzlich immer ein bisschen kritisch und eher unelegant, weil sie eben nur noch lokal und nicht mehr global gilt.

  34. #34 MartinB
    20. Februar 2017

    @Niels
    Aber die Energieerhaltung für alles Nicht-Gravitative ist doch im EIT automatisch drin und hilft, die Einsteingleichung aufzustellen (was im MTW “automatic conservation of the source” heißt, IIRC).
    Und Ich argumentiere ja auch nicht mit der Energieerhaltung, sondern damit, dass sich die raumzeitkrümmung unstetig ändern müsste.

  35. #35 Niels
    20. Februar 2017

    @MartinB
    matthias r. argumentiert aber doch durchaus mit der Energieerhaltung, oder verstehe ich ihn falsch?

    Der Krümmungstensor kann sich meiner Meinung nach übrigens durchaus unstetig ändern, der Krümmungsskalar allerdings nicht. Wodurch das Argument dann wieder passen müsste?

  36. #36 MartinB
    21. Februar 2017

    @Niels
    Stimmt, ich dachte, dein Kommentar bezöge sich auch auf meinen.

    “Der Krümmungstensor kann sich meiner Meinung nach übrigens durchaus unstetig ändern, der Krümmungsskalar allerdings nicht.”
    Hast du dafür ein Beispiel? Das geht vermutlich an einer Koordinatensingularität, oder?

  37. #37 Niels
    21. Februar 2017

    @MartinB
    Bei Koordinatensingularitäten sehe ich eigentlich keine Probleme, der Krümmungstensor ist zum Beispiel an Ereignishorizonten stetig.

    Einfache Beispiele kann man finden, wenn der Energie-Impuls-Tensor unstetig ist.
    Das geht in der ART ja ganz schnell, weil es eine klassische Theorie ist und damit Festkörper und Flüssigkeiten feste Ränder haben. Von den Problemen mit Punktladungen mal ganz zu schweigen.
    (Dann kann man natürlich auch noch Unsinn mit negativer Masse, negativer Energiedichte usw. anstellen.)

    Ist damit aber vermutlich eher ein Artefakt der fehlenden Quantisierung der Gravitation.

    Ich meinte allerdings gar nicht den Krümmungsskalar, sondern vielmehr den Kretschmannskalar, sorry.
    Allerdings weiß ich gar nicht mehr, warum ich das glaube. Habe ich vermutlich irgendwo gelesen?

    Bei näherem Nachdenken bin ich mir da aber absolut unsicher und mir ist gerade spontan auch überhaupt nicht klar, wie ich bei der Tensor-Kontraktion allgemein entscheide, ob das Ergebnis stetig ist.
    Ordne das also eher als unqualifiziertes Geschwätz ein.

    Zur Energieerhaltung:
    Tut mir leid, da hätte ich ausführen müssen, auf wen ich mich beziehe.

  38. #38 MartinB
    21. Februar 2017

    @Niels
    “Einfache Beispiele kann man finden, wenn der Energie-Impuls-Tensor unstetig ist.”
    Ah, daran habe ich nicht gedacht, danke.

  39. #39 Matthias r
    München
    25. Februar 2017

    Ich knabber ein bisschen an der Unstetigkeit. Wie unstetig ist denn der Übergang des Photons in Elektron und Positron? Aber mir fehlen da die Voraussetzungen, um auch nur zu beurteilen, ob diese Frage blöd ist oder nicht. Zumindest hat man da schon mal eine kleine Unschärfe:-)

    Die Wirkung von Gravitation auf Licht via Äquivalenz von träger und schwerer Masse stand ja ganz am Anfang der Überlegungen zur ART, das umgekehrte war für Einstein auch intuitiv klar : keine actio ohne reactio.

  40. #40 MartinB
    26. Februar 2017

    @Matthiasr
    Soweit ich es sehe, ergeben sich auf jeden Fall Inkonsistenzen; ähnlich wie man in den Maxwellgleichungen probleme bekommt, wenn man eine Ladung verschwinden lässt (selbst wenn man die graduell auf Null runterfahren würde).

  41. #41 MartinB
    26. Februar 2017

    @Matthiasr
    Nachtrag:
    Mathematisch ist es so, dass die beiden Seiten der Einsteingleichung quellfrei sind (die Divergenz verschwindet) – wenn sich auf der rechten Seite Masse einfach verschwinden würde, würde das nicht funktionieren.
    Was nicht heißt, dass eine solche Theorie nicht denkbar wäre – wenn ich es richtig sehe, hat Nordtröm ja genau sowas gebastelt, aber es passt halt nicht zu unserer Welt.

  42. #42 Niels
    1. März 2017

    @MartinB
    Wobei Einstein die Einsteingleichung natürlich ganz bewusst so konstruiert hat.

    Auf der einen Seite der Gleichung sollte der Energie-Impuls-Tensor stehen und seine Divergenz sollte wegen der Forderung der lokalen Energie-Impuls-Erhaltung verschwinden. (Sonst wäre lokal die SRT nicht gültig. Man bekäme also letztlich Probleme mit dem Äquivalenzprinzip/Relativitätsprinzip.)
    Das ist also eine rein physikalische Forderung. Erst der Rest folgt mathematisch.

    Die andere Seite der Gleichung muss dann natürlich zwangsläufig auch divergenzfrei sein.
    Man kann jetzt zeigen (Lovelock’s Theorem), dass bei Einhaltung bestimmter Bedingungen (nicht mehr als 4 Raumzeit-Dimensionen, Torsionsfreiheit des zur Metrik gehörenden Zusammenhangs, …) auf der anderen Seite zwangsläufig der Einsteintensor hingeschrieben werden muss.

  43. #43 MartinB
    1. März 2017

    @Niels
    Ja, das wollte ich sagen: wenn auf der rechten Seite Masse verschwinden dürfte, dann müsste man auch das Verhalten der Raumzeit in der ART ändern, damit das funktioniert.

  44. #44 MartinB
    1. März 2017

    PS1: Ich habe extra mathematisch argumeniert, weil wir ja gerade physikalische Grundlagen verletzen, wenn wir den EIT in dieser Weise ändern.

    PS2: Danke für den Hinweis auf Lovelock’s Theorem, wieder was gelernt (dass das prinzipiell so ist, wusste ich, aber nicht die genauen Bedingungen).

  45. #45 MartinB
    1. März 2017

    PS3: Ich vermute mal, das ist letztlich äquivalent zum Theorem von Weinberg, nach dem jedes masselose Spin-2-Teilchen mit langer Reichweite das Graviton sein muss, oder?

  46. #46 Niels
    2. März 2017

    Sorry, echt keine Ahnung.

    Im zugehörigen Wiki-Artikel findet man

    Theories where the theorem is inapplicable:
    General relativity:
    In GR, we have diffeomorphisms and A|ψ> (over an element |ψ> of the BRST cohomology) only makes sense if A is BRST-closed. There are no local BRST-closed operators and this includes any stress–energy tensor that we can think of.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Weinberg%E2%80%93Witten_theorem#General_relativity

    Versteh ich nur leider nicht.
    Bis inapplicable reicht es es aber gerade noch so ansatzweise 😉 , spricht also eher gegen einen direkten´Zusammenhang, oder?
    Vielleicht kannst du mit Obigem mehr anfangen?

  47. #47 MartinB
    2. März 2017

    @Niels
    Ehrlich gesagt nein.
    Verwirrt mich auch deshalb, weil ich es immer so verstanden habe, dass das Theorem zwingend sagt, dass ein masseloses Spin-2-Teilchen an den EIT koppeln muss. Wenn das Theorem in der ART nicht anwendbar wäre, würde das doch keinen Sinn ergeben? Oder ich verstehe das “inapplicable” falsch und die Wiki-Seite will eigentlich sagen, dass das Theorem die Existenz eines Gravitons nicht verbietet?

    Ich kann auch leider die Stelle im Weinberg-Buch nicht wiederfinden, wo das Theorem steht.

  48. #48 Niels
    3. März 2017

    @MartinB

    Verwirrt mich auch deshalb, weil ich es immer so verstanden habe, dass das Theorem zwingend sagt, dass ein masseloses Spin-2-Teilchen an den EIT koppeln muss. Wenn das Theorem in der ART nicht anwendbar wäre, würde das doch keinen Sinn ergeben?

    Na ja, die Verwendung des EIT erzwingt ja nicht, dass die betrachtete Theorie unbedingt die ART sein muss?
    .

    Wie gesagt, ich hab leider zu wenig Ahnung, um den Artikel richtig zu verstehen.

    Die angesprochenen Diffeomorphismen sind die Kartenwechsel in der ART.
    Bekanntlich ist ja jedes beliebige Koordinatensysteme erlaubt (Relativitätsprinzip). Die Abbildungen, die Koordinatensysteme ineinander überführen (Kartenwechselabbildungen), sind in der ART immer Diffeomorphismen.

    Das nennt man dann geschwollen die Diffeomorphismen-Invarianz der ART.
    (Im Prinzip ist das nur eine andere Umschreibung des allgemeinen Kovarianzprinzips. [Ist eine ein bisschen strittige Aussage, einige Leuten sehen da subtile Unterschiede.])

    Der Witz ist, dass diese Diffeomorphismen die Eichgruppe der ART bilden. (Anders als etwa in der EM, die auch diffeomorphismen-invariant ist.)
    Das ist in der Sprache der Differentialgeometrie ausgedrückt die tiefstliegende Ursache, warum es mit der Quantisierung der ART bisher nicht klappt.

    Zumindest klappt es schon mal nicht mit der “BRST quantization”-Methode.
    .

    Was ich mir jetzt zusammenreime, ist, dass der Beweis des Weinberg-Theorems irgendwie auf der Annahme der BRST-Quantisierung beruht.
    Der Abschnitt zu General relativity beschreibt dann, warum genau BRST-Quantisierung und ART nicht zusammenpassen:
    Diffeomorphismen-Invarianz und “BRST-closed” gleichzeitig geht nicht.

    Das ist jetzt aber only my two cents, von QFT verstehe ich viel zu wenig, um mehr als zu raten.

  49. #49 MartinB
    4. März 2017

    @Niels
    Danke, da hab ich ja schon wieder was gelernt, die “Difeomorphismen” haben mich immer etwas abgeschreckt.

    “Na ja, die Verwendung des EIT erzwingt ja nicht, dass die betrachtete Theorie unbedingt die ART sein muss?”
    So wie ich das Weinberg-Theorem in seinem Buch verstanden habe (leider ist der Index nicht so toll und ich finde die Seite nicht wieder) ist die Aussage so:
    Wenn es ein masseloses Spin-2-Teilchen gibt, das eine langreichweitige Wechselwirkung übertragen kann, dann muss dieses Teilchen an den EIT koppeln und liefert damit im klassischen Grenzfall (Pauli, Fierz, Feynman etc.) automatisch die ART.

    Wenn ich jetzt andersrum fordere, dass ich in einer Theorie der Raumzeit eine Theorie mit 2. Ableitungen und Torsionsfreiheit habe (und das läuft dann, wenn ich es richtig sehe, auf ein Spin-2-äquivalentes Feld hinaus), dann müsste man doch andersherum schließen können, dass diese Theorie, da sie das klassische Äquivalent eines Spin-2-Teilchens beschreibt, nach Quantisierung eben wieder das Spin-2-Graviton liefert und deswegen zwingend an den EIT koppeln muss.

    Ist aber ein ganz kleines bisschen handwaving (für Werte von “ganz kleines bisschen” sehr groß gegen 1).

    Jetzt müsste man wohl noch verstehen, was BRST-Quantisierung ist….

  50. #50 Niels
    5. März 2017

    @MartinB

    “Difeomorphismen”

    Diesen Hinweis verstehe ich nicht, sorry.
    Ist die Mehrzahl von Diffeomorphismus nicht wie von mir verwendet “Diffeomorphismen”?
    Warum genau lässt du das zweite f weg und verwendest Anführungszeichen?

    Jetzt müsste man wohl noch verstehen, was BRST-Quantisierung ist….

    Kleingeist. Nur dir an Beispiel an manchen deiner Kommentatoren, solche Kinkerlitzchen obstruieren nur den Denkfluss.
    .

    Ich bin mir nicht sicher, ob der Zugang zur ART über Differentialformen, äußerer Ableitung, Lie-Ableitung, … einem wirklich beim physikalischen Verständnis weiterhilft. Vermutlich höchstens sehr wenig.
    Man kann seine Zeit jedenfalls höchstwahrscheinlich deutlich sinnvoller investieren, als diesen doch eher schwer zugänglichen Formalismus zu lernen.

    Wenn man sich wie ich gerne mit solchen letztlich eher sinnlosen philosophischen Spielereien wie etwa dem hole argument in den physikalischen Theorien beschäftigt, bleibt einem nur eben nicht viel anderes übrig. :-)
    .

    Mir war dein Gedankengang durchaus schon nach #45 klar. Nur hab ich von QFT eben so wenig Ahnung, dass ich mal schnell zur Erinnerung das Weinberg-Theorem gegoogelt habe.
    Und dann wollte ich dich an meiner Verwirrung teilhaben lassen. 😉

    Ist aber ein ganz kleines bisschen handwaving (für Werte von “ganz kleines bisschen” sehr groß gegen 1).

    Wenn nicht mindest sogar sehr groß gegen 2.

    Ne, ernsthaft: Ich sehe schon, warum das nahe liegend aussieht. Da traue ich mir aber wirklich keine Antwort zu, das wäre völlig unqualifiziertes Herumgerate.

  51. #51 Niels
    5. März 2017

    Nur dir an Beispiel
    Da habe ich mich so konzentriert, obstruieren richtig zu schreiben, dass für
    Nimm dir ein Beispiel nicht mehr genug Hirnschmalz übrig war…

  52. #52 MartinB
    5. März 2017

    @Niels
    “Warum genau lässt du das zweite f weg und verwendest Anführungszeichen?”
    Weil ich mich vertippt habe und mit den Anführungsstrichen sagen wollte, dass ich mich davor immer gegruselt habe…
    War wirklich einfach nur als Danke für ne leicht verständliche Erklärung gemeint, nicht als irgendeine subtile und verklausulierte Kritik.

    “Ich bin mir nicht sicher, ob der Zugang zur ART über Differentialformen, äußerer Ableitung, Lie-Ableitung, … einem wirklich beim physikalischen Verständnis weiterhilft. Vermutlich höchstens sehr wenig.”
    Ich glaube, es ist oft so, dass man, wenn man es verstanden hat, hinterher sieht, wie praktisch das alles in irgendeinem Formalismus ist. Daraus dann zu schließen, dass man am besten gleich mit dem Formalismus anfängt, ist vermutlich ein fehlschluss. Mir hat auch mal jemand von ner Prof erzählt, die Elektrodynamik gleich nur mit Differentialformen erklärte. Hat wohl niemand verstanden.

    “Und dann wollte ich dich an meiner Verwirrung teilhaben lassen.”
    Das ist aber sehr nett.

    “Ne, ernsthaft: Ich sehe schon, warum das nahe liegend aussieht. Da traue ich mir aber wirklich keine Antwort zu, das wäre völlig unqualifiziertes Herumgerate.”
    Sollten wir nen Verein aufmachen: “The handwaving physicists”? Wäre auch nen schicker Name für nen Blog.

  53. #53 Niels
    5. März 2017

    @MartinB

    Weil ich mich vertippt habe

    Oh, hätte eigentlich klar sein müssen. Sorry.

    hinterher sieht, wie praktisch das alles in irgendeinem Formalismus ist.

    Klar.
    In sehr vielen neueren ART-Lehrbüchern werden zum Beispiel die Torsions- und Krümmungsformen vorgestellt, die über die Cartanschen Strukturformeln verbunden sind.
    Wenn man dann damit den Einsteintensor für die Schwarzschildmetrik berechnet, braucht man ungefähr eine halbe DIN A4 Seite.
    Versucht man das rein mit dem Tensorkalkül, muss man zuerst mal die ganzen doofen Christoffelsymbole berechnen und man hat ganz am Schluss mindestens 30 Seiten vollgeschrieben.
    Das ist DAS Paradebeispiel, um die Einführung dieses Formalismus zu rechtfertigen.

    Die Maxwellgleichungen in Differenitalform-Vierer-Schreibweise dF= 0 und d⋆F=µJ sehen eben auch einfach zu schön aus.
    Dass man damit in der Praxis nicht das Geringste anfangen kann ist ja wohl höchstens für Elektrotechniker von Bedeutung.

    Bei den “The handwaving physicists” sind uns schon ein mehrere ganz spezielle (größtenteils emeritierte) Ingenieurwesen-Professoren zuvorgekommen. Da sehe ich keine Chance, dass wir dagegen anstinken könnten.

  54. #54 MartinB
    6. März 2017

    @Niels
    “In sehr vielen neueren ART-Lehrbüchern werden zum Beispiel die Torsions- und Krümmungsformen vorgestellt, die über die Cartanschen Strukturformeln verbunden sind.”
    Hast du mal nen Tipp, wo ich das finde?

  55. #55 Niels
    6. März 2017

    Puh, ist schon eine Weile her, dass ich mich damit beschäftigt habe. Mein Gedächtnis ist ein Sieb und ich habe gerade überhaupt keine ART-Bücher da.

    Im Moment kann ich mich daran erinnern, dass das im

    Straumann, General Relativity (Graduate Texts in Physics) vorkommt.
    https://www.amazon.de/General-Relativity-Graduate-Texts-Physics/dp/9400754094/ref=asap_bc?ie=UTF8
    Blick ins Buch bei amazon führt mich dann auf

    3.9 General relativity in 3+1 Formulation
    3.9.1 Generalities
    3.9.2 Connection Forms
    3.9.3 Curvature Forms, Einstein and Ricci Tensors
    […]
    15.7 The Cartan Structure Equitations

    In

    4.1 Derivation of the Schwarzschild Solution

    und den folgenden Abschnitten wird dann gleich gnadenlos damit gearbeitet.

    Frei verfügbar komme ich gerade nur auf dieses Script:

    General Relativity, Matthias Bartelmann
    http://www.ita.uni-heidelberg.de/research/bartelmann/files/relativity.pdf

    Also die vier Seiten im Kapitel

    8.1.1 The curvature and torsion forms

    Und dann die Anwendung auf Schwarzschild

    8.3.2 Connection and curvature forms
    8.3.3 Components of the Ricci and Einstein tensors
    12.1.1 Spherically-symmetric space-times

    (Keine Ahnung, was letzteres in Kapitel 12 verloren hat. Das Birkhoff-Theorem gehört meiner Meinung nach zu 8. Schwarzschild, ein Bezug zu 12. Kosmologie ist eher weit hergeholt.)

    .

    Und die Anwendung in der Kosmologie:

    12.2.2 Spaces of constant curvature
    12.2.3 Form of the metric and Friedmann’s equations

    Ich melde mich, wenn mir noch mehr einfällt. Dafür muss ich bei Gelegenheit aber ein paar ART-Bücher durchblättern bzw. in deren Index stöbern.
    Stichwörter sind natürlich einfach “Cartan Structure Equitations”, “curvature form” und “torsion form”.
    (Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es keine gute deutsche Darstellung. Oder jedenfalls hatte ich nie eine gefunden.)

  56. #56 MartinB
    6. März 2017

    @Niels
    Danke sehr – mach dir nicht zu viel Mühe mit der Sucherei, ich will nur mal ne Idee bekommen, worum es da geht, weil ich mich ja gerade sehr intensiv mit der ART beschäftige (wenn auch nicht ganz auf deinem Niveau…)