Wenn man öfter mal was über die Allgemeine Relativitätstheorie (kurz ART) schreibt, so wie ich, dann steht man früher oder später vor einem Problem: Die berühmte Einsteingleichung der ART hat auf der rechten Seite ein seltsames Objekt stehen. So sieht diese Gleichung aus (in Einheiten, bei denen die Lichtgeschwindigkeit und die Gravitationskonstante 1 sind, mache ich hier so, weil es heute nicht um diese Gleichung geht)

\mathbf{G}= 8\pi \mathbf{T}

Das G auf der linken Seite ist eine Größe, die die Krümmung der Raumzeit beschreibt. Auf der rechten Seite steht das, was die Ursache für diese Raumzeitkrümmung ist: Der Energie-Impuls-Tensor T. Den zu erklären ist leider ziemlich knifflig, deswegen habe ich mich bisher immer davor gedrückt. Heute versuche ich es mal (und bin für jedes Feedback, wie gut das geklappt hat, sehr dankbar).

Gehen wir erst mal zurück zur Physik nach Newton. Das Newtonsche Gravitationsgesetz sagt, dass sich zwei Körper anziehen, und zwar mit einer Kraft, die proportional zu ihren Massen ist. Danach ist also die Masse die Ursache der Gravitation.

Schaut man etwas genauer hin (und das tun wir heute), dann kann man sich natürlich fragen “Welche Masse denn?”. Die Erde ist ja zum beispiel ziemlich groß – nehme ich die ganze Masse der Erde als eine einzige Masse, oder müsste es nicht so sein, dass ich, wenn ich neben einem Berg stehe, auch ein bisschen von diesem Berg angezogen werde? Richtig, das muss so sein (und ist auch tatsächlich sogar ein messbarer, wenn auch sehr kleiner Effekt). Wir müssen also die Masse der Erde irgendwie aufteilen.

Dazu können wir die Erde (bitte nur gedanklich, wir wollen hier ja noch ne Weile wohnen) in kleine Stückchen teilen. Machen wir jedes Stück einen Kubikzentimeter groß, dann hat es (im Mittel) eine Masse von etwas mehr als 5 Gramm – im Erdkern etwas mehr, an der Erdoberfläche etwas weniger.Wir brauchen natürlich ziemlich viele solcher Stücke (so etwa eine Milliarde Milliarde Milliarde, wenn ich das gerade im Kopf richtig abgeschätzt habe (sowas mache ich immer beim Duschen…)), aber da wir das ja nur gedanklich tun, spielt das keine Rolle.

Wir haben jetzt also lauter kleine Würfelchen, von denen jeder ein bisschen Schwerkraft erzeugt. Greifen wir mal einen der Würfel heraus. Ein Stück von dem Würfel entfernt messen wir ein bestimmtes Schwerefeld, das durch diesen Würfel hervorgerufen wird  (und das ziemlich schwach ist). Wir können jetzt den Würfel nochmal gedanklich zerteilen, beispielsweise in 8 kleinere Würfel mit jeweils einem halben Zentimeter Kantenlänge. Der Effekt der 8 kleinen Würfel muss dann logischerweise derselbe sein wie der des einen größeren Würfels. Jeder der kleinen Würfel hat natürlich auch nur ein Achtel der Masse des großen Würfels, weil er nur ein Achtel des Volumens hat. Dafür haben wir ja auch 8 Stück davon.

Wenn ich mich frage, welche Schwerkraft von einem sehr kleinen Teil der Erde erzeugt wird, dann kann ich das Spiel immer weiter treiben. Je kleiner ich die Würfel mache,desto kleiner ist ihre Masse, aber es gibt auch immer mehr davon. Die Größe, auf die es ankommt, ist deshalb die Masse pro Volumen. Der größere Würfel hatte ne Masse von etwa 5 Gramm, verteilt auf einen Kubikzentimeter; die kleineren Würfel haben ne Masse, von einem Achtel davon, verteilt auf nen Achtel Kubikzentimeter.

Möchte man also Punkt für Punkt herausfinden, wie groß die von diesem gerade betrachteten Raumpunkt erzeugte Schwerkraft ist, dann ist die entscheidende Größe dafür die Masse pro Volumen – mit anderen Worten, die Dichte (folgt dem Link für eine sehr ausführliche Diskussion der Dichte, das Konzept ist nicht so trivial, wie gern behauptet wird). Die Dichte hat den Vorteil, dass wir sie (zumindest mathematisch, real besteht die Welt aus Atomen) an jedem Punkt definieren können, und mit den richtigen mathematischen Werkzeugen (nämlich der Differential- und Integralrechnung) bekommt man damit die Berechnung der Schwerkraft relativ problemlos in den Griff.

In der Newtonschen Physik kann man die Gleichung für die Schwerkraft ähnlich schreiben wie die Einstein-Gleichung oben:

\Delta\Phi = 4\pi\rho

Auf der linken Seite steht eine Größe, die mit der Energie zusammenhängt (das Gravitationspotential \Phi (“phi”), das Delta-Zeichen davor steht für ne mathematische Operation, die ich hier nicht erkläre – ihr könnt aber meine alte Serie über die Maxwell-Gleichungen lesen, da kommt eine ganz ähnliche Gleichung vor. Klickt rechts in der Leiste auf die Artikelserien). Die linke Seite interessiert mich aber gerade gar nicht – mich interessiert die rechte Seite. Da steht das griechische “rho” (mit nem Faktor 4 pi davor), das Formelzeichen für die Dichte.

Entsprechend kann man diese Gleichung lesen als “Die Dichte verursacht das Gravitationspotential” oder, etwas vornehmer ausgedrückt, “Die Dichte ist die Quelle der Gravitation”.

Ihr seht schon eine gewisse Ähnlichkeit zur Einsteingleichung oben – links steht eine Größe, die was mit der Schwerkraft zu tun hat (in der ART ist das die Raumzeitkrümmung), rechts steht das, was dafür sorgt, dass die linke Seite der Gleichung nicht Null ist. Bei Newton gilt also ganz klar “Ohne Masse (oder Dichte) keine Schwerkraft”.

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Kommentare (78)

  1. #1 Artur57
    3. Februar 2017

    Kann man das so sehen, dass gemäß Newton die Diagonalelemente genügt hätten? Die Nichtdiagonalelemente wären demnach für die Gravitationswellen verantwortlich? Ich weiß, ich kann hier fürchterlich falsch liegen, wollte aber gefragt haben.

  2. #2 alex
    3. Februar 2017

    @Artur57:
    Kann sein, dass ich dich komplett falsch verstehe. Aber die Diagonalelemente haben doch auch kein sinnvolles Transformationsverhalten (sie sind z.B. kein Vierervektor). Man könnte höchstens die Spur von T nehmen, denn die ist eine skalare Dichte. In der Nordström-Theorie ist das auch genau der Term auf der rechten Seite. Aber soweit ich mich erinnere, gibt es auch in dieser Theorie Gravitationswellen.

  3. #3 Lutz Donnerhacke
    3. Februar 2017

    Gut geschrieben. Ich habe sogar das “lorem ipsum” gefunden. Für mich war es verständlich, allerdings ist etwas Vorwissen da.

  4. #4 MartinB
    4. Februar 2017

    @Artur57
    Laut Newton hat auch z.B. der Druck keinen Einfluss auf das Schwerefeld, da hätte die 00-Komponente gereicht.

    @alex
    Ja, aber Newton musste nicht mit der SRT in Einklang sein, der braucht nur Galilei-Invarianz, keine Lorentz-Invarianz.
    Danke für den Hinweis auf Nordström, ich hatte nur seine erste Theorie im Kopf (wo auf der rechten Seite tatsächlich rho steht).

    @Lutz
    Danke für’s feedback, was hast du denn für Vorwissen?

  5. #5 Informatikstudent
    4. Februar 2017

    Hallo Martin,
    erstmal vielen Dank für diesen Artikel. Ich versuche schon seit längerer Zeit, die Feldgleichung zu verstehen, um evtl. irgendwann mal eine ART-Simulation programmieren zu können…
    Obwohl ich in den zu meinem Studium gehörenden Mathekursen gelernt habe, mit Vektoren und Matritzen zu rechnen, habe ich es leider bisher nicht geschafft (im Eigenstudium) zu verstehen, wie ein Tensor jetzt genau funktioniert.
    Ich habe Deinen Artikel gestern Abend drei Mal gelesen (soviel zur Frage, ob nicht die letzten Seiten durch lorem ipsum ersetzbar wären 😉 und war fast der Meinung, jetzt selbst einen EIT aufstellen zu können. Leider bin ich mir heute, nachdem ich auch noch den dazugehörigen Artikel auf Wiki gelesen habe, nicht mehr so sicher:(
    Da Du ja konkret um konstruktive Kritik bittest, schreibe ich mal, wo ich Probleme beim Verständnis habe.
    Zunächst einmal was zur Struktur deines Textes: Du mischst ja die mathematischen Beschreibungen dessen, was in die einzelnen Felder des Tensors hineinkommt, mit (längeren) Begründungen, warum das aus physikalischer Hinsicht Sinn macht, bzw. gar nicht anders geht. Obwohl ich letztere sehr interessant finde, lenken sie mich ein bisschen vom Nachvollziehenkönnen ersterer ab.
    Schön wäre es, wenn das Aufstellen eines EIT an einem einfachen Beispiel demonstriert werden könnte, in einzelnen Schritten, deren Notwendigkeit dann in Fußnoten erläutert werden würde.
    Um Dir genau zu zeigen, wo es beim Verständnis hakt, hier mein Versuch, den EIT aufzustellen:
    (1)Für meinen EIT brauche ich ein (ansonsten leeres) Raum-Zeit-Kontinuum, indem sich ein Testkörper befindet. Statt (wie bei Newton) seine Masse zu betrachten, gehen seine Dichte, seine Dimensionen (x,y,z) und seine Geschwindigkeit (vx,vy,vz) relativ zu mir in die Rechnung ein. (Frage: Nicht sein Abstand von mir, weil das erst in einem späteren Rechenschritt folgt?)
    (2)Mein EIT ist eine “Tabelle” (schreib ich mal statt “Matrix”, weil der Begriff mathematisch falsch wäre) T[Zeile][Spalte] der Größe 4*4, deren Felder ich mit Werten Fülle, die sich aus den mir bekannten Eigenschaften meines Testkörpers berechnen lassen.
    (3)Das Feld [0][0] fülle ich mit der Energiedichte, die ich aus der Dichte (g/cm³) mit Hilfe der Gleichung E = mc² berechne. Dabei sollte irgendwas mit der Einheit (J/m³) herauskommen. Ich rechne also die Masse in Energie um:
    E= m*c² = kg * (m/s)² = kg * m² * s² = J …passt;)
    (4) Die anderen Felder meiner ersten Zeile beinhalten die Impulsdichte meines Testkörpers. Ich multipliziere dazu meinen Wert aus [0][0] (statt der Masse wie bei Newton) mit der Geschwindigkeit, die mein Testkörper in die jeweilige Richtung hat, z.B. mit vx für das Feld [0][1].
    Mein Wert hat dann die Einheit:
    (J/m³) * (m/s) = J / (m² * s)
    Soweit, wie ich das nachvollziehen konnte. Ich habe dann versucht, aus den mir bekannten Infos zu folgern, wie die restlichen Einträge z.B. für die erste Spalte aussehen könnten. Leider wird mir das aus deinem Text nicht so richtig klar. Soll da die Gesamtenergie pro Dimension meines Körpers rein, also z.B. in der Einheit J/m ?
    Und wie geht es dann weiter mit den restlichen Feldern?
    Ein herzliches Dankeschön schon mal für Deine Mühe (natürlich freue ich mich auch über die Hilfe anderer Kommentatoren)

    P.S.: Ich hab versucht, mir das mit Hilfe des Wiki-Artikels selbst zu erschließen und bin gescheitert…X(

    P.P.S: Sorry für den langen Post;)

  6. #6 Mathias
    Heidenheim
    4. Februar 2017

    Ich fand deinen Text, mit etwas “sekundär Literatur” gut verständlich. Einige deiner anderen Texte haben mich schon vor längerem inspiriert mich mehr mit Physik zu beschäftigen, was eine Bereicherung in meinem Job darstellt! In meiner Schulzeit ist dies leider nie einem Lehrer gelungen. Thx

  7. #7 MartinB
    4. Februar 2017

    @Informatikstudent
    Das, was du dir wünscht, bietet mein Text nicht -mir ging es eben mehr um die physikalische Motivation und die Hintergründe.
    Es gibt aber einige sehr gute Quellen zum EIT, z.B.
    http://physics.stackexchange.com/questions/184042/intuitive-understanding-of-the-elements-in-the-stress-energy-tensor
    https://www.quora.com/What-is-the-stress-energy-tensor-in-layman-terms
    https://www.physicsforums.com/threads/energy-momentum-density-of-point-particle.178692/
    Hier wird relativ im Detail erklärt, wie man den tensor auftsellt:
    http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/current/teach/module_home/px436/notes/lecture6.pdf
    http://www.math.uct.ac.za/sites/default/files/image_tool/images/32/Staff/Permanent_Academic/prof_peter_dunsby/general_relativity/Chapter4.pdf

    Ich hoffe, das hilft dir weiter. Sonst gern nochmal beschweren.

    @Mathias
    Danke, freut mich ja besonders, wen ich bei Leuten die Begeisterung für Physik etwas wecken kann. (Ja, Schulphysik ist oft sehr seltsam und langweilig…)

  8. #8 Informatikstudent
    4. Februar 2017

    Danke für die Links – da hab ich jetzt erstmal ne Menge zu lesen:)

  9. #9 Karl
    Braunschweig
    4. Februar 2017

    Hallo Martin,
    nun habe ich zumindest ungefaehr verstanden warum im EIT nicht nur Masse oder Energie vorkommt. Alles muss ich auch nicht verstehen.Einstein brauchte ja auch ein paar Jahre. Was mir auffiel ist das in Deiner Erklärung Sheer Stress nicht vorkam. Die ist vielleicht auch nur unter einem anderen Begriff abgehandelt aber so richtig erkennen konnte ich das nicht. Was verbirgt sich dahinter? Auf jeden Fall hast Du mir eine Menge zum Nachdenken zu gegeben und angeregt von Informatik Student ueberlege ich auch die Gleichung zu programmieren und so ein besseres Gefuehl fuer die Dinge zu bekommen. Wobei die linke Seite bestimmt auch nicht Ohne ist. Aber Rom wurde ja, sagt man, auch nicht an einem Tage erbaut. Danke für die Erläuterung und Anregungen! Karl

  10. #10 brf
    5. Februar 2017

    Ist der Tensor eigentlichs symmetrisch? Mindestens habe ish da immer angenommen und erste Zeile und erste Spalte scheinen das auch zu sein. Die blauen Teile sind jedoch verschieden bezeichnet (momentum flux and shear stress) und scheinen also unsymmetrisch zu sein. T taucht doch in der Gleichung auf

    Rij – 1/2 R gij = 8 pi G / c^4 Tij

    Oder sind die beiden T was anderes?

    Was bedeuted die Unsymmetrie für diese Gleichung (wenn sie denn stimmt)?

    Bin verwirrt.

  11. #11 MartinB
    5. Februar 2017

    @Karl
    Zu erklären, wie man von den Impulsströmen zu den Schubspannungen und -drücken kommt, wäre ein eigener Blogtext, deswegen habe ich das nich tgemacht.
    Kurz gesagt: Da Kraft die Änderung des Implses mit der Zeit ist, werden aus den räumlichen Kopmponenten der Impulsströme letztlich Kräfte, aber (weil es ja um Dichten geht) so normiert, dass man von Spannungen redet.
    Aber wie gesagt, das wäre ein eigener Text, und ich bin mir noch nicht klar, wie man das am besten erklärt.

    @brf
    Ja, der ist immer symmetrisch, auch wenn die Grafik von Wikipedia das nicht unmittelbar deutlich macht.
    Das ist ebenfalls eine Frage der Interpretation der Komponenten, ein bisschen mehr dazu findest du in den ersten beiden Links meines Kommentars #7.

  12. #12 Till
    6. Februar 2017

    Vielen Dank für den Artikel. Jetzt habe ich zumindest das Prinzip verstanden, wie man von der Masse zum EIT kommt. Im Detail kann ich das noch nicht nachvollziehen, aber das war ja auch nicht Deine Absicht.

    Als konkretes Feedback: Mir hätte es sehr geholfen, wenn Du den Zweiten Schritt (vom Viererimpuls zum EIT) noch einmal ausführlich erklärt hättest. Mir war beim ersten Lesen nämlich nicht klar, was genau der wichtige Punkt war (dass die Geschwindigkeit im Viererimpuls einmal und im EIT zweimal drinsteckt) und als ich dann beim EIT angekommen war, musste ich den Abschnitt zum Viererimpuls noch einmal lesen.

    Nach dem zweiten Mal Lesen hatte ich das Prinzip dann aber verstanden 😉

  13. #13 MartinB
    6. Februar 2017

    @Till
    Danke für’s feedback. Ja, der zweite Schritt ist etwas zu kurz gekommen – der hätte noch mindestens ne weitere Seite gebraucht, um so richtig klar zu werden. Vielleicht schreibe ich den irgendwann nochmal für den Blog.

  14. #14 Informatikstudent
    6. Februar 2017

    @Karl
    Das Faszinierende daran, selbst Partikelsysteme zu programmieren (und das ist ja -zumindest für Newton- nicht sooo schwer) sind die unbegrenzten Möglichkeiten, die ich habe, mein “kleines Universum” zu manipulieren:
    Was passiert, wenn ich die meine Gravitationskonstante ändere? Was, wenn diese sich über die Zeit kontinuierlich ändert oder zufällige Werte annimmt?
    Oder die Verteilung meiner Teilchen am Anfang: Welche Auswirkungen auf die Entwicklung meines Universums hat es, wenn diese nach dem “Perlin Noise” Algorithmus erstellt wird, einer Normalverteilung entspricht oder auf reinem Zufall basiert?
    All das mag auf den ersten Blick als unsinnig – weil nicht der Realität entsprechend – erscheinen. Es ist ein eher spielerischer Ansatz, Zusammenhänge zu verstehen. Außerdem kann ich auch die “abgedrehtesten” Ideen selbst überprüfen (und mir die Ergenisse beliebig visualisieren lassen), ohne die Zeit hart arbeitender Physiker mit komischen Fragen zu vergeuden XD

    @Martin
    Wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du herausfinden, wie sich die ART (allgemein: Physik) besser vermitteln lässt, so dass auch nicht-Physiker die Konzepte dahinter verstehen.
    Meiner (subjektiven) Meinung nach gibt es eine riesige Hürde beim Verstehen der ART: Dass Newton zu ungenaue Ergebnisse liefert, wenn wir mit sehr großen Massen bzw Geschwindigkeiten arbeiten, und wir dann die ART bzw SRT brauchen (und das wir nicht mehr mit Kräften sondern mit Raumzeitkrümmung arbeiten), ist mittlerweile jedem klar, der nicht unter einem Fels lebt bzw sein Selbstwertgefühl aus der Ablehnung der RT zieht XD (sorry, war jetzt ein wenig überspitzt ausgedrückt)
    Aber was dann? Was, wenn ich mal berechnen möchte, wie stark die Raumkrümmung in einem konkreten Fall nun wirklich ist? Wenn ich das versuche, stoße ich irgendwann mal auf die Feldgleichung. Ich versuche zu verstehen, was ein Tensor ist und lese z.B. auf Wikipedia über den Riemanschen Krümmungstensor:

    Diffeomorphismen sind die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und entsprechend sind (glatte) Isometrien die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten. Da differenzierbare Mannigfaltigkeiten per Definition lokal diffeomorph zum euklidischen Raum sind, kam die Frage auf, ob riemannsche Mannigfaltigkeiten auch lokal isometrisch zum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \mathbb {R} ^{n} sind.

    Das ist genau der Punkt, wo die meisten aufgeben. (und das Zitat steht unter dem Stichwort “Motivation”…) Kann ich denn das grundlegende Prinzip eines Krümmungstensors nicht verstehen, ohne erst dieses Fachjargon entziffern zu können? (Mein Traum wäre ja: Hier ist ein Krümmungstensor, berechne für jede Zeile die Länge des Vierervektors, das sind dann die Komponenten des Beschleunigungsvektors, der auf einen anderen Körper einwirkt – aber das wäre wohl zu einfach *seufz*)
    Daher bin ja auch so froh (und dankbar!), dass Du hier mal versuchst den EIT zu erklären. Kann sein, dass ich da der Einzige bin, aber ich fände es halt sehr hilfreich, wenn das Aufstellen des EIT mal an einem einfachen Beispiel erklärt werden würde, z.B. an einem einzelnen Objekt. Welche Objekteigenschaften (xyz-Ausdehnung, Geschwindigkeit, Dichte?) gehen in den EIT ein? Wie berechne ich den Wert der einzelnen Komponenten des EIT, welche Einheiten haben sie und was ist ihre anschauliche Bedeutung?
    Sorry, kann sein, dass das jetzt ein bisschen nach dem Sonderwunsch eines Informatiknerds klingt, aber Du hast ja explizit um Feedback gebeten. Und das ist naturgemäß immer subjektiv;)

  15. #15 Informatikstudent
    6. Februar 2017

    P.S.:
    @Martin
    Mir ist bewusst, dass meine Vorschläge nicht der eigentlichen Intention Deines Artikels entsprechen. Sie sind auch nicht als Kritik an Deinem Artikel gedacht (den ich sehr gut finde), sondern eher Ideen für weitere Artikel;)

  16. #16 MartinB
    6. Februar 2017

    @Informatikstudent
    “möchtest Du herausfinden, wie sich die ART (allgemein: Physik) besser vermitteln lässt, so dass auch nicht-Physiker die Konzepte dahinter verstehen.”
    Jupp. Insbesondere interessiert mich die Lücke zwischen halbgaren Gummituchmodellen wie in den meisten populären Darstellungen und dem vollen Tensor-Gedöns.
    “Mein Traum wäre ja: Hier ist ein Krümmungstensor, berechne für jede Zeile die Länge des Vierervektors, das sind dann die Komponenten des Beschleunigungsvektors, der auf einen anderen Körper einwirkt – aber das wäre wohl zu einfach *seufz*”
    Naja, so ähnlich ist es ja – Die Beschleunigungen entlang Geodäten sind gerade die Christoffel-Symbole. Deren Zusammenhang mit dem Krümmungstensor ist glaube ich auch geometrisch ganz gut zu erfassen. (Allerdimngs nicht in wenigen Zeilen.)

    ” ich fände es halt sehr hilfreich, wenn das Aufstellen des EIT mal an einem einfachen Beispiel erklärt werden würde, z.B. an einem einzelnen Objekt. ”
    Das ist aber in den Links, die ich gepostet habe, doch eigentlich drin, oder nicht? TRick ist immer, dass du dich erst ins Ruhesystem des Objekts setzt, wo die Welt einfach ist, und dann in ein anderes System transformierst.

    Und ja, genau so ein Feedback kann ich im Moment gut gebrauchen, also vielen Dank. (Und Kritik – wenn konstruktiv – ist eh ne gute Sache.)

  17. #17 JoJo
    6. Februar 2017

    Wie ist das eigentlich mit der Energie des Gravitations”feldes”, also z.B. der Energie von Gravitationswellen? Irgendwo hab ich mal aufgeschnappt, dass diese Energie nicht im Energie-Impuls-Tensor enthalten ist. Aber wo steckt sie dann? Der einzige verbleibende Platz ist dann doch der Einstein-Tensor, d.h. die linke Seite der Einstein’schen Feldgleichungen?

    Gilt ähnliches dann auch für den (Dreh)Impuls des Gravitationsfeldes? Da GW (Dreh)Impuls übertragen können, muss das Feld selbst ja auch (Dreh)Impuls enthalten (können).

  18. #18 Boombox
    6. Februar 2017

    Insgesamt habe ich es einigermaßen verstanden, denke ich.

    Nur der letzte Schritt ist meiner Meinung nach wirklich etwas zu schwammig. Ich habe zwar verstanden, warum da noch etwas hinzugefügt werden muss, aber z. B. nicht so recht, warum das im Vergleich zum ersten Schritt so viel und in dieser Form sein muss.

  19. #19 MartinB
    7. Februar 2017

    @JoJo
    Ja, das ist richtig so. Die Energie des “Gravitationsfeldes” lässt sich nicht ohne weiteres lokalisieren. Das liegt am Äquivalenzprinzip: Nimm an, du misst am Ort x zur Zeit t ein starkes “Gravitationsfeld” und schreibst ihm eine Energie zu. Nach dem Äquivalenzprinzip gibt es genau an diesem Punkt der Raumzeit aber ein lokales Bezugssystem, das frei fällt und damit eine ungekrümmte Raumzeit misst. Raumzeitkrümmung ist immer eine Eigenschaft, die nicht auf einen Punkt lokalisiert werden kann (genauso wie die Erdoberfläche in einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes immer flach ist).
    Der Einstein-Tensor enthält die Wechselwirkung der raumzeitkrümmung mit sich selbst – wenn man ihn in Komponenten ausschreibt, sieht mn, dass der Tensor in Wahrheit eine komplizierte Funktion der Metrik mit diversen Ableitungen drin ist.
    Was den Drehimpuls angeht, muss der auch im Einstein-Tensor stecken, ich weiß aber aus dem Hut nicht, wie genau.

    @Boombox
    Danke. Ja, der letzte Schritt war etwas unscharf – mir ging es erst mal ja nur darum, zu zeigen, warum weder die Dichte allein noch der Viererimpuls allein als Quelle dienen können. Irgendwann schreib ich mehr dazu (mag aber ne Weile dauern…)

  20. #20 Boombox
    7. Februar 2017

    @MartinB: Na ja, ich meinte z. B. nur wieso es 9 zusätzliche Komponenten sein müssen, wie du es ja beim Viererimpuls auch kurz erklärt hast (da ist es neben der Energiedichte eine zusätzliche Komponente pro Raumdimension, wenn ich das recht verstanden habe).

    Wenn das tatsächlich einen eigenen Artikel erfordert, ist dieser Artikel meiner Ansicht nach gut, so wie er ist. Wie gesagt, die Motivation, warum da noch einmal etwas hinzugefügt werden muss, leuchtet mir ein, und wenn nur das das Ziel des Artikels ist, gibt es eigentlich doch nichts zu beanstanden.

  21. #21 MartinB
    7. Februar 2017

    @Boombox
    “nur wieso es 9 zusätzliche Komponenten sein müssen”
    Du fängst mit nem 4er-Vektor an; aus jeder Komponente davon werden 4, das macht dann nen Tensor mit zwei Indices und 16 Einträgen.

    Wie du auf die 9 kommst, sehe ich gerade nicht.

  22. #22 Boombox
    7. Februar 2017

    Verzeihung, ich habe mich nur verzählt. Eigentlich meinte ich 12 (also alle rechts neben denen vom Viererimpuls, die im zweiten Schritt dazukamen). Danke, das kann ich erstmal so akzeptieren. Ist also halt wie im ersten Schritt, da mussten aus einer Komponente 4 werden und im zweiten Schritt analog dazu aus diesen 4 Komponenten insgesamt 16.

    Aber wenn du irgendwann mal einen eigenen Artikel dazu schreiben möchtest, in dem du das Ganze genauer erklärst, werde ich den sicher auch lesen. Das macht mir immer ziemlich viel Spaß (auch in den Fällen, in denen es schonmal komplizierter war) und ich lerne was Neues dazu. Und du versuchst “Fachchinesisch” immer so gut wie möglich zu erklären, das ist für Laien z. B. ein Vorteil gegenüber Wikipedia-Artikeln, wie es hier schon jemand angesprochen hat. Die gehen bei solchen Themen zwar natürlich mehr ins Detail, aber wenn man nicht wenigstens schon ein bisschen Ahnung von den grundlegenden Prinzipien hat, nützt einem das nichts.

  23. #23 MartinB
    7. Februar 2017

    @Boombox
    Wobei der Tensor symmetrisch ist, d.h. es sind nur 10 unabhängige Komponenten. Zusätzlich gelten noch Erhaltungssätze, die den tensor weiter einschränken (weil Energiestrom und Energiegehalt zusammenpassen müssen, ebenso für die Impulse).

    “Aber wenn du irgendwann mal einen eigenen Artikel dazu schreiben möchtest, in dem du das Ganze genauer erklärst, werde ich den sicher auch lesen.”
    Ich hoffe, du liest es auch, wenn es (wesentlich…) mehr als ein Artikel wird…

  24. #24 Boombox
    7. Februar 2017

    Danke für die Infos.

    Und wenn nötig, würde ich mir sogar ein Buch von dir kaufen (würde sich für dich selbst ja vermutlich finanziell auch mehr lohnen als der Blog hier). 🙂

  25. #25 Ingo
    7. Februar 2017

    Ich habs ehrlichgesagt nur Teil-verstanden.

    Verstanden habe ich was alles vorne reinkommt in die Gravitationsfunktion (eben dass dort mehr als nur die Masse alleine reinkommt)

    Bei dem Formalismus schlaegt meine Mathe-Legasthenie wieder zu.

    Rechts in der Gleichung steht der Tensor T und ein Faktor.
    Nun stellte ich mir bisher einen Tensor so wie eine Funktion vor.
    Vorne kommt ein Vektor rein,- hinten kommt ein anderer Vektor wieder raus, der (Besonderheit bei Tensorden) nicht aus dem gleichen “Vektorspace” (sagt man das so?) kommen muss.

    Tensor mal Faktor ergibt wiederrum einen Tensor.
    Das Ergebniss muss also ebenfalls ein Tensor sein.

    Was aber fange ich dann mit dem Ergebnistensor an?
    Welchen Vektor muss ich denn dort hineinschicken?
    Was sagt der Ergebnisvekor aus?
    Und wie genau trage ich denn meine Masse in kg und die anderen Faktoren in den Tensor ein?

    Ich vermute ich habe das Konzept noch nicht verstanden.

  26. #26 MartinB
    7. Februar 2017

    @Boombox
    …gut zu wissen. (Auch wenn sich das Schreiben von Büchern finanziell wohl nicht wirklich lohnt, fürchte ich.)

    @Ingo
    “Nun stellte ich mir bisher einen Tensor so wie eine Funktion vor.
    Vorne kommt ein Vektor rein,- hinten kommt ein anderer Vektor wieder raus, der (Besonderheit bei Tensorden) nicht aus dem gleichen “Vektorspace” (sagt man das so?) kommen muss.”
    Damit bist du weit jenseits von Mathe-Legasthenie. Das ist die allgemeine Definition von “Tensor”.

    “Was aber fange ich dann mit dem Ergebnistensor an?”
    Das ist das fiese bei der Einstein-Gleichung: Auf der linken Seite steht nur ein harmlos aussehender Tensor und man denkt “aha, da sind also zwei tensoren gleich, na und”?
    Der Trick ist, dass der Tensor links die räumliche und zeitliche Ableitung der Metrik enthält, die die Abstände zwischen Raumzeitpunkten regelt. Deswegen ist die Gleichung “eigentlich” eine Differentialgleichung, also eine, die dir sagt, wie sich die Metrik (sprich Raumzeitkrümmung) in Raum und Zeit ändert, je nachdem, was auf der rechten Seite steht.
    *Den* Teil habe ich aber gar nicht erklärt…

  27. #27 Ingo
    7. Februar 2017

    Also ist die Kurzfassung einfach –
    -“Um die Gravitation mathematisch abzubilden reicht die Masse alleine nicht aus, weil diese sich in verschiedenen Bezugssystemen aendert.
    Ich brauche stattdessen die gesamtEnergie des Gravitationserzeugers (einschliesslich der Masse), die Geschwindigkeit des Gravitationserzeugers (zusammengefasst als Impuls) und die Dichte.
    Diese skalaren Faktoren trage ich in einen magischen Tensor ein,- multipiziere diesen Tensor mit einem Faktor und erhalte einen weiteren Tensor.

    Mit diesen Ergebnistenor kann ich dann die Efekte der Raumkruemmung ausrechnen,- aber wie das geht kommt in einen (hoffentlich) naechsten Kapitel”

    Richtig?

  28. #28 MartinB
    7. Februar 2017

    @Ingo
    Alles richtig (auch wenn da nix magisches dabei ist), bis auf das hier:
    “Diese skalaren Faktoren”
    Das ist nicht die korrekte Ausdrucksweise – die Komponenten eines tensors heißen nicht “Skalare” (auch wenn es einzelne Zahlen sind) – damit etwas ein Skalar ist, darf es sich von einem Bezugssystem zum nächsten nicht ändern.

    “wie das geht kommt in einen (hoffentlich) naechsten Kapitel”
    Das wird es in voller Ausführlichkeit hier auf dem Blog vermutlich in näherer Zukunft nicht geben.

  29. #29 Ingo
    7. Februar 2017

    Ist dann die “magische Besonderheit” des Tensors, dass er immer das gleiche Ergebnis liefert, egal aus welchen Bezugssystem ich die Komponenten nehme?

    Wenn ich die Messe aus unterschiedlichen Bezugssystemen nehme erhalte ich unterschiedliche Werte.

    Wenn ich die unterschiedlichen Werte jeweils in den Tensor eintrage bekomme ich trotzdem das gleiche Ergebiss.

    Oder habe ich da etwas falsch aufgeschnappt

  30. #30 MartinB
    7. Februar 2017

    @Ingo
    Der Tensor hat (genau wie ein vektor, siehe das Beispiel im text) in unterschiedlichen Bezugssystemen unterschiedliche Zahleneinträge. Das “magische” am tensor ist wie beim Vektor die Tatsache, dass es eine klare Vorschrift gibt, wie ich ihn von einem Bezugssystem ins andere übersetze – dazu muss ich nur wissen, wie die koordinatenachsen der beiden Bezugssysteme relativ zueinander orientiert sind.
    Das bedeutet: Wenn ich eine Gleichung mit Tensoren schreiben kann, dann hat die Gleichung in allen Bezugssystemen dieselbe Form. (Das wollte ich im text mit dem Beispiel “Summe der Vektorkomponenten” deutlich machen, da geht das nämlich nicht.)

  31. #31 matthias r.
    München
    19. Februar 2017

    Das Bild vom Teilchen, das bei hoher Geschwindigkeit zum Schwarzen Loch werden müsste, kannte ich nicht, sehr nett.
    Das Gedankenexperiment, mit dem begründet wird, warum auch Energie Schwerkraft ausübt, find ich ohne weitere Erklärung nicht so überzeugend. Man könnte sich vorstellen, dass sich das Schwerefeld bei der Umwandlung der Partikel in Photonen aus dem Staub macht. Die Photonen haben dann ein bisschen weniger Energie, bilden sie erneut Partikel, sind die langsamer und irgendwann reichts nicht mehr für Partikel. Das könnte man natürlich messen. Vermutlich gibt es einfache quantenmechanische Rechnungen, die dafür sorgen, dass da keine Energie bei der Umwandlung auf der Strecke bleibt, aber das müsste man dann wiederum anschaulich erklären.

  32. #32 MartinB
    19. Februar 2017

    @matthiasr
    “Man könnte sich vorstellen, dass sich das Schwerefeld bei der Umwandlung der Partikel in Photonen aus dem Staub macht. ”
    Nein, das klappt nicht. Der Krümmungstensor kann sich in dieser Form nicht sprunghaft ändern, das würde zu Inkonsistenzen führen (ähnlich wie man bei elektromagnetischen Feldern Inkonsistenzen bekäme, wenn man eine elekrische Ladung plötzlich verschwinden lassen würde). Da müsste sich dann an einem Ort zu einer Zeit die Raumzeitkümmung schlagartig ändern, das würde, wenn ich es intuitiv richtig sehe (hab’s nicht versucht nachzurechnen), unendlich starke Gravitationswellen erzeugen.

  33. #33 Niels
    20. Februar 2017

    @matthias r. @MartinB
    Na ja, in der ART mit Energieerhaltung zu argumentieren ist eben grundsätzlich immer ein bisschen kritisch und eher unelegant, weil sie eben nur noch lokal und nicht mehr global gilt.

  34. #34 MartinB
    20. Februar 2017

    @Niels
    Aber die Energieerhaltung für alles Nicht-Gravitative ist doch im EIT automatisch drin und hilft, die Einsteingleichung aufzustellen (was im MTW “automatic conservation of the source” heißt, IIRC).
    Und Ich argumentiere ja auch nicht mit der Energieerhaltung, sondern damit, dass sich die raumzeitkrümmung unstetig ändern müsste.

  35. #35 Niels
    20. Februar 2017

    @MartinB
    matthias r. argumentiert aber doch durchaus mit der Energieerhaltung, oder verstehe ich ihn falsch?

    Der Krümmungstensor kann sich meiner Meinung nach übrigens durchaus unstetig ändern, der Krümmungsskalar allerdings nicht. Wodurch das Argument dann wieder passen müsste?

  36. #36 MartinB
    21. Februar 2017

    @Niels
    Stimmt, ich dachte, dein Kommentar bezöge sich auch auf meinen.

    “Der Krümmungstensor kann sich meiner Meinung nach übrigens durchaus unstetig ändern, der Krümmungsskalar allerdings nicht.”
    Hast du dafür ein Beispiel? Das geht vermutlich an einer Koordinatensingularität, oder?

  37. #37 Niels
    21. Februar 2017

    @MartinB
    Bei Koordinatensingularitäten sehe ich eigentlich keine Probleme, der Krümmungstensor ist zum Beispiel an Ereignishorizonten stetig.

    Einfache Beispiele kann man finden, wenn der Energie-Impuls-Tensor unstetig ist.
    Das geht in der ART ja ganz schnell, weil es eine klassische Theorie ist und damit Festkörper und Flüssigkeiten feste Ränder haben. Von den Problemen mit Punktladungen mal ganz zu schweigen.
    (Dann kann man natürlich auch noch Unsinn mit negativer Masse, negativer Energiedichte usw. anstellen.)

    Ist damit aber vermutlich eher ein Artefakt der fehlenden Quantisierung der Gravitation.

    Ich meinte allerdings gar nicht den Krümmungsskalar, sondern vielmehr den Kretschmannskalar, sorry.
    Allerdings weiß ich gar nicht mehr, warum ich das glaube. Habe ich vermutlich irgendwo gelesen?

    Bei näherem Nachdenken bin ich mir da aber absolut unsicher und mir ist gerade spontan auch überhaupt nicht klar, wie ich bei der Tensor-Kontraktion allgemein entscheide, ob das Ergebnis stetig ist.
    Ordne das also eher als unqualifiziertes Geschwätz ein.

    Zur Energieerhaltung:
    Tut mir leid, da hätte ich ausführen müssen, auf wen ich mich beziehe.

  38. #38 MartinB
    21. Februar 2017

    @Niels
    “Einfache Beispiele kann man finden, wenn der Energie-Impuls-Tensor unstetig ist.”
    Ah, daran habe ich nicht gedacht, danke.

  39. #39 Matthias r
    München
    25. Februar 2017

    Ich knabber ein bisschen an der Unstetigkeit. Wie unstetig ist denn der Übergang des Photons in Elektron und Positron? Aber mir fehlen da die Voraussetzungen, um auch nur zu beurteilen, ob diese Frage blöd ist oder nicht. Zumindest hat man da schon mal eine kleine Unschärfe:-)

    Die Wirkung von Gravitation auf Licht via Äquivalenz von träger und schwerer Masse stand ja ganz am Anfang der Überlegungen zur ART, das umgekehrte war für Einstein auch intuitiv klar : keine actio ohne reactio.

  40. #40 MartinB
    26. Februar 2017

    @Matthiasr
    Soweit ich es sehe, ergeben sich auf jeden Fall Inkonsistenzen; ähnlich wie man in den Maxwellgleichungen probleme bekommt, wenn man eine Ladung verschwinden lässt (selbst wenn man die graduell auf Null runterfahren würde).

  41. #41 MartinB
    26. Februar 2017

    @Matthiasr
    Nachtrag:
    Mathematisch ist es so, dass die beiden Seiten der Einsteingleichung quellfrei sind (die Divergenz verschwindet) – wenn sich auf der rechten Seite Masse einfach verschwinden würde, würde das nicht funktionieren.
    Was nicht heißt, dass eine solche Theorie nicht denkbar wäre – wenn ich es richtig sehe, hat Nordtröm ja genau sowas gebastelt, aber es passt halt nicht zu unserer Welt.

  42. #42 Niels
    1. März 2017

    @MartinB
    Wobei Einstein die Einsteingleichung natürlich ganz bewusst so konstruiert hat.

    Auf der einen Seite der Gleichung sollte der Energie-Impuls-Tensor stehen und seine Divergenz sollte wegen der Forderung der lokalen Energie-Impuls-Erhaltung verschwinden. (Sonst wäre lokal die SRT nicht gültig. Man bekäme also letztlich Probleme mit dem Äquivalenzprinzip/Relativitätsprinzip.)
    Das ist also eine rein physikalische Forderung. Erst der Rest folgt mathematisch.

    Die andere Seite der Gleichung muss dann natürlich zwangsläufig auch divergenzfrei sein.
    Man kann jetzt zeigen (Lovelock’s Theorem), dass bei Einhaltung bestimmter Bedingungen (nicht mehr als 4 Raumzeit-Dimensionen, Torsionsfreiheit des zur Metrik gehörenden Zusammenhangs, …) auf der anderen Seite zwangsläufig der Einsteintensor hingeschrieben werden muss.

  43. #43 MartinB
    1. März 2017

    @Niels
    Ja, das wollte ich sagen: wenn auf der rechten Seite Masse verschwinden dürfte, dann müsste man auch das Verhalten der Raumzeit in der ART ändern, damit das funktioniert.

  44. #44 MartinB
    1. März 2017

    PS1: Ich habe extra mathematisch argumeniert, weil wir ja gerade physikalische Grundlagen verletzen, wenn wir den EIT in dieser Weise ändern.

    PS2: Danke für den Hinweis auf Lovelock’s Theorem, wieder was gelernt (dass das prinzipiell so ist, wusste ich, aber nicht die genauen Bedingungen).

  45. #45 MartinB
    1. März 2017

    PS3: Ich vermute mal, das ist letztlich äquivalent zum Theorem von Weinberg, nach dem jedes masselose Spin-2-Teilchen mit langer Reichweite das Graviton sein muss, oder?

  46. #46 Niels
    2. März 2017

    Sorry, echt keine Ahnung.

    Im zugehörigen Wiki-Artikel findet man

    Theories where the theorem is inapplicable:
    General relativity:
    In GR, we have diffeomorphisms and A|ψ> (over an element |ψ> of the BRST cohomology) only makes sense if A is BRST-closed. There are no local BRST-closed operators and this includes any stress–energy tensor that we can think of.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Weinberg%E2%80%93Witten_theorem#General_relativity

    Versteh ich nur leider nicht.
    Bis inapplicable reicht es es aber gerade noch so ansatzweise 😉 , spricht also eher gegen einen direkten´Zusammenhang, oder?
    Vielleicht kannst du mit Obigem mehr anfangen?

  47. #47 MartinB
    2. März 2017

    @Niels
    Ehrlich gesagt nein.
    Verwirrt mich auch deshalb, weil ich es immer so verstanden habe, dass das Theorem zwingend sagt, dass ein masseloses Spin-2-Teilchen an den EIT koppeln muss. Wenn das Theorem in der ART nicht anwendbar wäre, würde das doch keinen Sinn ergeben? Oder ich verstehe das “inapplicable” falsch und die Wiki-Seite will eigentlich sagen, dass das Theorem die Existenz eines Gravitons nicht verbietet?

    Ich kann auch leider die Stelle im Weinberg-Buch nicht wiederfinden, wo das Theorem steht.

  48. #48 Niels
    3. März 2017

    @MartinB

    Verwirrt mich auch deshalb, weil ich es immer so verstanden habe, dass das Theorem zwingend sagt, dass ein masseloses Spin-2-Teilchen an den EIT koppeln muss. Wenn das Theorem in der ART nicht anwendbar wäre, würde das doch keinen Sinn ergeben?

    Na ja, die Verwendung des EIT erzwingt ja nicht, dass die betrachtete Theorie unbedingt die ART sein muss?
    .

    Wie gesagt, ich hab leider zu wenig Ahnung, um den Artikel richtig zu verstehen.

    Die angesprochenen Diffeomorphismen sind die Kartenwechsel in der ART.
    Bekanntlich ist ja jedes beliebige Koordinatensysteme erlaubt (Relativitätsprinzip). Die Abbildungen, die Koordinatensysteme ineinander überführen (Kartenwechselabbildungen), sind in der ART immer Diffeomorphismen.

    Das nennt man dann geschwollen die Diffeomorphismen-Invarianz der ART.
    (Im Prinzip ist das nur eine andere Umschreibung des allgemeinen Kovarianzprinzips. [Ist eine ein bisschen strittige Aussage, einige Leuten sehen da subtile Unterschiede.])

    Der Witz ist, dass diese Diffeomorphismen die Eichgruppe der ART bilden. (Anders als etwa in der EM, die auch diffeomorphismen-invariant ist.)
    Das ist in der Sprache der Differentialgeometrie ausgedrückt die tiefstliegende Ursache, warum es mit der Quantisierung der ART bisher nicht klappt.

    Zumindest klappt es schon mal nicht mit der “BRST quantization”-Methode.
    .

    Was ich mir jetzt zusammenreime, ist, dass der Beweis des Weinberg-Theorems irgendwie auf der Annahme der BRST-Quantisierung beruht.
    Der Abschnitt zu General relativity beschreibt dann, warum genau BRST-Quantisierung und ART nicht zusammenpassen:
    Diffeomorphismen-Invarianz und “BRST-closed” gleichzeitig geht nicht.

    Das ist jetzt aber only my two cents, von QFT verstehe ich viel zu wenig, um mehr als zu raten.

  49. #49 MartinB
    4. März 2017

    @Niels
    Danke, da hab ich ja schon wieder was gelernt, die “Difeomorphismen” haben mich immer etwas abgeschreckt.

    “Na ja, die Verwendung des EIT erzwingt ja nicht, dass die betrachtete Theorie unbedingt die ART sein muss?”
    So wie ich das Weinberg-Theorem in seinem Buch verstanden habe (leider ist der Index nicht so toll und ich finde die Seite nicht wieder) ist die Aussage so:
    Wenn es ein masseloses Spin-2-Teilchen gibt, das eine langreichweitige Wechselwirkung übertragen kann, dann muss dieses Teilchen an den EIT koppeln und liefert damit im klassischen Grenzfall (Pauli, Fierz, Feynman etc.) automatisch die ART.

    Wenn ich jetzt andersrum fordere, dass ich in einer Theorie der Raumzeit eine Theorie mit 2. Ableitungen und Torsionsfreiheit habe (und das läuft dann, wenn ich es richtig sehe, auf ein Spin-2-äquivalentes Feld hinaus), dann müsste man doch andersherum schließen können, dass diese Theorie, da sie das klassische Äquivalent eines Spin-2-Teilchens beschreibt, nach Quantisierung eben wieder das Spin-2-Graviton liefert und deswegen zwingend an den EIT koppeln muss.

    Ist aber ein ganz kleines bisschen handwaving (für Werte von “ganz kleines bisschen” sehr groß gegen 1).

    Jetzt müsste man wohl noch verstehen, was BRST-Quantisierung ist….

  50. #50 Niels
    5. März 2017

    @MartinB

    “Difeomorphismen”

    Diesen Hinweis verstehe ich nicht, sorry.
    Ist die Mehrzahl von Diffeomorphismus nicht wie von mir verwendet “Diffeomorphismen”?
    Warum genau lässt du das zweite f weg und verwendest Anführungszeichen?

    Jetzt müsste man wohl noch verstehen, was BRST-Quantisierung ist….

    Kleingeist. Nur dir an Beispiel an manchen deiner Kommentatoren, solche Kinkerlitzchen obstruieren nur den Denkfluss.
    .

    Ich bin mir nicht sicher, ob der Zugang zur ART über Differentialformen, äußerer Ableitung, Lie-Ableitung, … einem wirklich beim physikalischen Verständnis weiterhilft. Vermutlich höchstens sehr wenig.
    Man kann seine Zeit jedenfalls höchstwahrscheinlich deutlich sinnvoller investieren, als diesen doch eher schwer zugänglichen Formalismus zu lernen.

    Wenn man sich wie ich gerne mit solchen letztlich eher sinnlosen philosophischen Spielereien wie etwa dem hole argument in den physikalischen Theorien beschäftigt, bleibt einem nur eben nicht viel anderes übrig. 🙂
    .

    Mir war dein Gedankengang durchaus schon nach #45 klar. Nur hab ich von QFT eben so wenig Ahnung, dass ich mal schnell zur Erinnerung das Weinberg-Theorem gegoogelt habe.
    Und dann wollte ich dich an meiner Verwirrung teilhaben lassen. 😉

    Ist aber ein ganz kleines bisschen handwaving (für Werte von “ganz kleines bisschen” sehr groß gegen 1).

    Wenn nicht mindest sogar sehr groß gegen 2.

    Ne, ernsthaft: Ich sehe schon, warum das nahe liegend aussieht. Da traue ich mir aber wirklich keine Antwort zu, das wäre völlig unqualifiziertes Herumgerate.

  51. #51 Niels
    5. März 2017

    Nur dir an Beispiel
    Da habe ich mich so konzentriert, obstruieren richtig zu schreiben, dass für
    Nimm dir ein Beispiel nicht mehr genug Hirnschmalz übrig war…

  52. #52 MartinB
    5. März 2017

    @Niels
    “Warum genau lässt du das zweite f weg und verwendest Anführungszeichen?”
    Weil ich mich vertippt habe und mit den Anführungsstrichen sagen wollte, dass ich mich davor immer gegruselt habe…
    War wirklich einfach nur als Danke für ne leicht verständliche Erklärung gemeint, nicht als irgendeine subtile und verklausulierte Kritik.

    “Ich bin mir nicht sicher, ob der Zugang zur ART über Differentialformen, äußerer Ableitung, Lie-Ableitung, … einem wirklich beim physikalischen Verständnis weiterhilft. Vermutlich höchstens sehr wenig.”
    Ich glaube, es ist oft so, dass man, wenn man es verstanden hat, hinterher sieht, wie praktisch das alles in irgendeinem Formalismus ist. Daraus dann zu schließen, dass man am besten gleich mit dem Formalismus anfängt, ist vermutlich ein fehlschluss. Mir hat auch mal jemand von ner Prof erzählt, die Elektrodynamik gleich nur mit Differentialformen erklärte. Hat wohl niemand verstanden.

    “Und dann wollte ich dich an meiner Verwirrung teilhaben lassen.”
    Das ist aber sehr nett.

    “Ne, ernsthaft: Ich sehe schon, warum das nahe liegend aussieht. Da traue ich mir aber wirklich keine Antwort zu, das wäre völlig unqualifiziertes Herumgerate.”
    Sollten wir nen Verein aufmachen: “The handwaving physicists”? Wäre auch nen schicker Name für nen Blog.

  53. #53 Niels
    5. März 2017

    @MartinB

    Weil ich mich vertippt habe

    Oh, hätte eigentlich klar sein müssen. Sorry.

    hinterher sieht, wie praktisch das alles in irgendeinem Formalismus ist.

    Klar.
    In sehr vielen neueren ART-Lehrbüchern werden zum Beispiel die Torsions- und Krümmungsformen vorgestellt, die über die Cartanschen Strukturformeln verbunden sind.
    Wenn man dann damit den Einsteintensor für die Schwarzschildmetrik berechnet, braucht man ungefähr eine halbe DIN A4 Seite.
    Versucht man das rein mit dem Tensorkalkül, muss man zuerst mal die ganzen doofen Christoffelsymbole berechnen und man hat ganz am Schluss mindestens 30 Seiten vollgeschrieben.
    Das ist DAS Paradebeispiel, um die Einführung dieses Formalismus zu rechtfertigen.

    Die Maxwellgleichungen in Differenitalform-Vierer-Schreibweise dF= 0 und d⋆F=µJ sehen eben auch einfach zu schön aus.
    Dass man damit in der Praxis nicht das Geringste anfangen kann ist ja wohl höchstens für Elektrotechniker von Bedeutung.

    Bei den “The handwaving physicists” sind uns schon ein mehrere ganz spezielle (größtenteils emeritierte) Ingenieurwesen-Professoren zuvorgekommen. Da sehe ich keine Chance, dass wir dagegen anstinken könnten.

  54. #54 MartinB
    6. März 2017

    @Niels
    “In sehr vielen neueren ART-Lehrbüchern werden zum Beispiel die Torsions- und Krümmungsformen vorgestellt, die über die Cartanschen Strukturformeln verbunden sind.”
    Hast du mal nen Tipp, wo ich das finde?

  55. #55 Niels
    6. März 2017

    Puh, ist schon eine Weile her, dass ich mich damit beschäftigt habe. Mein Gedächtnis ist ein Sieb und ich habe gerade überhaupt keine ART-Bücher da.

    Im Moment kann ich mich daran erinnern, dass das im

    Straumann, General Relativity (Graduate Texts in Physics) vorkommt.
    https://www.amazon.de/General-Relativity-Graduate-Texts-Physics/dp/9400754094/ref=asap_bc?ie=UTF8
    Blick ins Buch bei amazon führt mich dann auf

    3.9 General relativity in 3+1 Formulation
    3.9.1 Generalities
    3.9.2 Connection Forms
    3.9.3 Curvature Forms, Einstein and Ricci Tensors
    […]
    15.7 The Cartan Structure Equitations

    In

    4.1 Derivation of the Schwarzschild Solution

    und den folgenden Abschnitten wird dann gleich gnadenlos damit gearbeitet.

    Frei verfügbar komme ich gerade nur auf dieses Script:

    General Relativity, Matthias Bartelmann
    http://www.ita.uni-heidelberg.de/research/bartelmann/files/relativity.pdf

    Also die vier Seiten im Kapitel

    8.1.1 The curvature and torsion forms

    Und dann die Anwendung auf Schwarzschild

    8.3.2 Connection and curvature forms
    8.3.3 Components of the Ricci and Einstein tensors
    12.1.1 Spherically-symmetric space-times

    (Keine Ahnung, was letzteres in Kapitel 12 verloren hat. Das Birkhoff-Theorem gehört meiner Meinung nach zu 8. Schwarzschild, ein Bezug zu 12. Kosmologie ist eher weit hergeholt.)

    .

    Und die Anwendung in der Kosmologie:

    12.2.2 Spaces of constant curvature
    12.2.3 Form of the metric and Friedmann’s equations

    Ich melde mich, wenn mir noch mehr einfällt. Dafür muss ich bei Gelegenheit aber ein paar ART-Bücher durchblättern bzw. in deren Index stöbern.
    Stichwörter sind natürlich einfach “Cartan Structure Equitations”, “curvature form” und “torsion form”.
    (Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es keine gute deutsche Darstellung. Oder jedenfalls hatte ich nie eine gefunden.)

  56. #56 MartinB
    6. März 2017

    @Niels
    Danke sehr – mach dir nicht zu viel Mühe mit der Sucherei, ich will nur mal ne Idee bekommen, worum es da geht, weil ich mich ja gerade sehr intensiv mit der ART beschäftige (wenn auch nicht ganz auf deinem Niveau…)

  57. #57 Werner Maurer
    Flurlingen
    16. Januar 2018

    Zum PPS: Der Energie-Impuls-Tensor ist eine Grösse, die bezüglich eines fest gewählten Bezugssystems in sechzehn Elemente zerfällt. Jedes Element ist in dem Sinn willkürlich, als sein Wert von der Wahl des Koordinatensystem abhängt. Das gilt für die Energie-Masse-Dichte, für die Impulsdichte, für die Energiestromdichte, die üblicherweise in Massenstrom- und Energiestromdichte zerlegt wird. Und das gilt selbstverständlich auch für die Impulsstromdichte, die in einen konvektiven und einen leitungsartigen Anteil zerfällt. Wenn man nun die leitungsartige Impulsstromdichte, den negativen Spannungstensor, als unphysikalisch verdammt, weil sich dessen neun Elemente mit dem Bezugssystem transformieren, dann gilt dies auch für alle andern Teile dieses Tensors. Impulsdichte, Energiedichte und Energiestromdichte wären dann unphysikalisch, weil sie keine absolute, koordinatenfreie Bedeutung hätten. Wesentlich bei der AR ist die koordinatenunabhängige Gültigkeit der Gesetze, nicht der Darstellung bezüglich eines fest gewählten Bezugssystems. Und ohne diese Darstellung könnte man keine einzige konkrete Fragestellung beantworten.
    Dazu habe ich neulich wieder einmal in einem Video gemacht und den Link auch an die Experten der DPG geschickt: https://www.youtube.com/watch?v=DjE-R9SIfN0

  58. #58 MartinB
    16. Januar 2018

    @WernerMaurer
    Es geht nciht darum, den Spannungstensor zu verdammen (damit arbeite ich wirklich täglich), sondern darum, sich darüber klar zu sein, ein ein Impulsstrom eine tensorielle Größe ist, nict, wie in KPK (auf den bezieht sich der Kommentar ja vermutlich) ein Vektor, dessen Fluss man durch offene Flächen sinnvoll betrachten kann.
    Und wenn je nach Koordinatensystem der Impulsstrom mal von A nach B und mal von B nach A fließt, dann kann man schlecht sagen, dass der ne physikalische Größe ist.
    PS: Youtube-videos an Experten zu schicken, ist vermutlich der sicherste Weg ignoriert zu werden, da es wohl kein unseriöseres Veröffentlichungsmedium gibt.

  59. #59 Karl-Heinz
    16. Januar 2018

    @MartinB

    PS: Youtube-videos an Experten zu schicken, ist vermutlich der sicherste Weg ignoriert zu werden, da es wohl kein unseriöseres Veröffentlichungsmedium gibt.

    Herr Prof. Werner Maurer ist in dieser Hinsicht eine Ausnahme . Die Videos von Prof. Werner Maurer sind empfehlenswert. 😉

  60. #60 Werner Maurer
    Flurlingen
    17. Januar 2018

    Impuls und Impulsstromstärke (Kraft) sind Vektoren, die Impulsstromdichte ist ein Tensor, bestehend aus konvektivem und leitungsartigem Anteil. Soweit sind wir uns einig? Die didaktische Umsetzung scheint dann das Problem zu sein. Hätten die Experten der DPG den Karlsruher Physikkurs bezüglich didaktischer Umsetzung kritisieren wollen, dann hätten sie das auch tun sollen. Aber sie haben die theoretische Basis angegriffen, ohne diese zu verstehen und mit einer Argumentationskette, die hanebüchen ist (siehe Seite 4 von https://www.dpg-physik.de/veroeffentlichung/stellungnahmen/kpk/kpk-ergaenzung.pdf). Ich habe zum Gutachten und zu den ergänzenden Bemerkungen auch einen kleinen Aufsatz verfasst: https://www.academia.edu/12951878/Analyse_zum_Gutachten_der_DPG_%C3%BCber_den_Karlsruher_Physikkurs

    In der Systemphysik, die für Studierende an Fachhochschulen entwickelt worden ist, haben wir einige Dinge anders umgesetzt und vor allem die systemdynamische Modellbildung als zentrales Element mit hinein genommen. Als Beispiel das Modell eines Segelflugzeuges: https://www.youtube.com/watch?v=MlgZ-3lOxTw
    (Sorry, aber ich kann weder bei Comics noch bei Videos per se etwas unseriöses erkennen. Mit einem Video kann man einen Zusammenhang sehr schön erklären. Falls Sie meine Videos wie die Studierenden mit doppelter Geschwindigkeit laufen lassen, rede ich so schnell wie ein Deutscher).

  61. #61 MartinB
    17. Januar 2018

    @WernerMaurer
    Mit Videos auf youtube habe ich zwei (unterschiedliche) Probleme:
    1. Ich hasse Lehrvideos, weil das Tempo für mich nie stimmt, deswegen lese ich lieber, außer bei Themen, wo man wirklich ne Animation braucht, um etwas zu verstehen. Aber auch da lese ich lieber nen Text mit ner Animation dazu.
    2. Jeder kann ein Video hochladen, entsprechend sind Argumente, die sich auf youtube-Videos stützen, schwächer als solche, die sich auf Veröffentlichungen beziehen. Jeder, der Wissenschaft in der Öffentlichkeit verbreitet, bekommt hanebüchene Videos zugeschickt.

    Was den KPK angeht: Wenn ich ne gespannte Feder zwischen A und B habe und je nach Orientierung meines Koordinatensystems fließt mal Impuls von Objekt A nach B und mal von B nach A, dann macht das die Sache wirklich nicht anschaulicher. (Siehe die DFG-Stellungnahme S. 11) Physikalische Größen können nicht abhängig vom KS mal so und mal anders strömen.

    Ich werde das hier aber nicht weiter diskutieren (mangels Zeit).

  62. #62 Werner Maurer
    17. Januar 2018

    Da gibt es auch nichts mehr zu diskutieren. Was gesagt werden muss, habe ich in meiner Analyse geschrieben. Eine wesentliche Erkenntnis, die unbedingt in den Unterricht einfliessen sollte, liefert der Energie-Impuls-Tensor dennoch. Oberflächenkräfte können und werden in der technischen Mechanik als Flächenintegral über den Spannungstensor definiert. Wer das begriffen hat, wird kaum mehr eine Kraft vergessen. Man muss ja nur im Geist um den Körper herum gehen. Die Gewichtskraft ist ein einmaliger Sonderfall (Einstein: Impuls- und Energieaustausch mit dem Gravitationsfeld). Diese Kraft ist nicht direkt messbar und hängt von der Bewegung des Bezugssystems ab (zum Beispiel Zentrifugalanteil an der Erdoberfläche).
    Was wir in der Mechanik als Energie bezeichnen, ist nur eine kleine Störung des Energie-Impuls-Tensors. Primär können wir Masse und Impuls erkennen. Und deshalb sollten wir den Impuls als genauso fundamental ansehen wie die Masse. Die “Definition” des Impulses als Masse mal Geschwindigkeit ist eigentlich die Aussage des Schwerpunktssatzes.

  63. #63 MartinB
    17. Januar 2018

    @WernerMaurer
    Das stimme ich im wesentlichen zu, außer hier:
    “Die Gewichtskraft ist ein einmaliger Sonderfall (Einstein: Impuls- und Energieaustausch mit dem Gravitationsfeld). Diese Kraft ist nicht direkt messbar”
    Eigentlich ist es nach Einstein ja gar keine Kraft, die Kraft brauche ich, um im Schwerefeld nicht zu beschleunigen, ein frei fallendes Objekt ist kräftefei und bewegt sich entlang einer (in gekrümmter Raumzeit) geraden Weltlinie.

    ” und hängt von der Bewegung des Bezugssystems ab (zum Beispiel Zentrifugalanteil an der Erdoberfläche).”
    Die Zentrifugalkraft hat aber mit der GRavitation nichts zu tun (es sei denn vielleicht, man ist Mach-Anhänger), die gibt es ja auch im All weitab jeglicher Masse.

  64. #64 Karl-Heinz
    17. Januar 2018

    Cool, entlich mal ein Streit von dem ich erst jetzt erfahren habe, dass es ihn gibt.

    Bittere Lehrstunde für die Physikdidaktik

  65. #65 Karl-Heinz
    17. Januar 2018

    myself
    endlich natürlich mit weichem „d“

  66. #66 Werner Maurer
    Flurlingen
    18. Januar 2018

    Am Nordpol ist die Gravitationsfeldstärke grösser als am Äquator. Das hat zwei Gründe: 1. Der Nordpol ist näher an der Erdmitte als der Äquator. 2. Am Äquator wirkt ein Zentrifugalfeld nach aussen. Es existiert messtechnisch keine Möglichkeit, den Anteil des Zentrifugalfeldes von dem der “echten” Gravitation zu trennen. Dieses Äquivalenzprinzip, das es zugegebenermassen auch in der Newtonschen Mechanik schon gegeben hat, erlaubt lokal keine Unterscheidung zwischen Gravitationsfeld und Trägheitsfeld, ein Umstand, der schon Flugzeugabstürze verursacht hat. Heute habe ich zu diesem Problem ein Video gemacht (sorry, aber das ist eines meiner Hobbies). In diesem Video versuche ich zu erklären, was man mit dem g-force App des Smartphones eigentlich misst: https://www.youtube.com/watch?v=lQJvOGhjLqs (das Video ist nicht ganz so gut geraten, wie ich es mir gewünscht hätte).
    Fällt eine massive Stahlkugel gegen einen Neutronenstern, zeichnet der Schwerpunkt des Körpers eine Weltlinie. Im Schwerpunkt herrscht Schwerelosigkeit. An den Rändern wird der Stahlkörper durch die Gezeitenwirkung gewaltig verform. Dort ist der Spannungstensor und auch dessen Divergenz ungleich null. Die Impulserhaltung kann man nur retten, wenn die Dievergenz des Spannungstensors als Impulsaustausch mit dem Gravitationsfeld interpretiert wird (oder liege ich wieder falsch?),

  67. #67 MartinB
    18. Januar 2018

    @WernerMaurer
    Ich sehe mal wieder den Punkt nicht, klar überlagert sich am Äquator ne Zentrifugalkraft (als Scheinkraft) mit der Gravitation (als letztlich weiterer Scheinkraft im Sinne Einsteins), und entsprechend kann man die beiden messtechnisch nicht trennen, weil beides Scheinkräfte (oder Koordinatenbeschleunigungen) sind. Die eine kommt durch die Krümmung der Raumzeit zu Stande, die andere durch die Wahl eines rotierenden Bezugssystems, das sind ja schon zwei verschiedene Dinge, oder?
    Was die Gezeitenkräfte damit zu tun haben, erschließt sich mir nicht; klar erfährt ein ausgedehntes Objekt durch die unterschiedlichen Beschleunigungen Kräfte, aber dafür braucht man nach Einstein auch kein Gravitationsfeld. Die Impulserhaltung rettet sich soweit ich sehe automatisch, weil ich in der gekrümmten Raumzeit die kovariante Ableitung nehme statt der normalen Ableitung, das ist doch der Witz der ART oder nicht?

  68. #68 Werner Maurer
    Flurlingen
    18. Januar 2018

    Keine Kritik an der ART und an Ihrer Darstellung. Es geht mir hier um die Didaktik. Physik wird heute immer noch so unterrichtet, wie wenn es keine ART gäbe: Weltraum als starrer Kasten, Gravitationskraft als echte WW und Scheinkräfte bei Nichtinertialsystemen. Das ist echt kompliziert und entsprechend erfolgreich: Studienanfänger können nicht erklären, wieso die Raumstation nicht auf die Erde fällt, wieso die Astronauten schwerelos sind und welche Kräfte beim schiefen Wurf wirken.

    Ich habe interveniert, weil Sie ohne Grund das Gutachten der DPG ins Spiel gebracht haben. Lassen wir einmal die ART weg, und betrachten wir nur die Navier-Stokes-Gleichung. Diese Gleichung, welche die lokale Impulsbilanz mit Änderungsrate der Impulsdichte, konvektive und leitungsartige Impulsstromdichte sowie Kopplungsterm ans Gravitationsfeld enthält, ist viel breiter aufgestellt als die Punktmechanik. Nur lässt sich das so in einem einführenden Kurs nicht vermitteln. Also geht man von der lokalen zur konzentrierten (lumped) Darstellung über. Die Inhaltsänderungsrate überträgt sich auf das homogene System, die Stromdichten werden zu Stromstärken und die Quellendichte wird zur Quellenstärke. Dann nennt man die Quellenstärke Gewichtskraft und die leitungsartigen Stromstärken Oberflächenkräfte. Leider ist der Impuls immer noch ein Vektor, womit die Bilanz unanschaulich bleibt. Nun kommt der didaktische Trick mit dem globalen Koordinatensystem, das die drei Komponenten in drei bilanzierfähige Mengen aufspaltet. Solange man das Koordinatensystem beibehält, gibt es keine Widersprüche. Will man das Koordinatensystem ändern, muss alles entsprechend transformiert werden. Wird damit die Schönheit der Physik zerstört? Nein, für jede konkrete Rechnung benötigt man ein Koordinatensystem. Wer die Einführung eines globalen Koordinatensystems ablehnt, müsst auch die Idee des Bezugssystems verwerfen und nur noch koordinatenfreie (kovariante) Darstellungen zulassen.

    Zum Schluss ein Beispiel, das ich schon in mehreren Videos (sorry) verwendet habe. An den beiden Enden eines langen, an zwei Fäden hängenden Stabes sind zwei Schraubenfedern befestigt, an denen zwei Gleiter im Gegentakt reibungsfrei gegeneinander schwingen. Der Gesamtimpuls ist immer gleich null. Weil sich der Impuls jedes der beiden Gleiter andauernd ändert, tauschen die beiden Gleiter Impuls aus. Man kann nun entweder behaupten, dass der Impuls hin und her hüpft oder aber durch den ruhenden Stab fliesst. Ohne Koordinatensystem können wir nicht entscheiden, wann Geschwindigkeit, Beschleunigung und Impulsinhalt positiv und wann diese Grössen negativ sind. Deshalb kann man auch nicht sagen in welche Richtung der Impuls durch den Stab fliesst. Aber ich glaube, es ist niemand glücklich, wenn man nicht einmal weiss, ob die Beschleunigung negativ oder positiv ist.

  69. #69 MartinB
    19. Januar 2018

    “Studienanfänger können nicht erklären, wieso die Raumstation nicht auf die Erde fällt”
    Das muss dann aber miserable Didaktik sein, denn dazu braucht man wirklich keine ART, sondern nur das Kräftegleichgewicht nach Newton. Das hat sogar den Vorteil, dass man die selbe Logik dann auch auf z.B. Ladungen auf Kreisbahnen anwenden kann.

    “Nein, für jede konkrete Rechnung benötigt man ein Koordinatensystem”
    Das ist richtig, aber nicht dasselbe. Wenn ein Teilchenstrom von einem Reservoir A in einen Behälter B fließt, dann ist der physikalische Vektor des Stroms immer ein Vektor von A nach B. In unterschiedlichen KS hat der unterschiedliche Komponenten, aber der Vektor selbst ist immer derselbe.
    Im KPK ist genau das nach meinem Verständnis anders: Je nach KS fließt in derselben physikalischen Situation ein Impulsstrom mal von A nach B, mal von B nach A (Siehe das Beispiel auf S. 11 in dem DPG-Text). Sollte ich mich da irren und das ist im KPK gar nicht so, dann bitte gern eine Erklärung dazu liefern (möglichst nicht als Video 🙂 -und bitte nicht immer neue Beispiele anführen, sondern bei diesem bleiben.) Sollte das aber tatsächlich so sein, zerstört man damit eine zentrale Logik der Physik – physikalische Prozesse selbst können nicht vom KS abhängen, nur unsere Beschreibung dieser Prozesse.

  70. #70 Werner Maurer
    Flurlingen
    19. Januar 2018

    Impuls und Impulsstromstärke sind Vektoren und die Impulsstromdichte ist ein Tensor. Der Transport einer vektroriellen Grösse kann nicht mit einem skalaren Strombild erklärt werden, auch wenn sich der Begriff Kraftfluss in der Statik hartnäckig hält. Also verzichtet man entweder auf die Erklärung des Impulstransportes und beschränkt sich auf Bewegung von Teilchen und die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen, oder man spaltet den Impuls in drei Komponenten auf, wobei die Aufspaltung insofern willkürlich ist, als man ein Koordinatensystem braucht. Um die Richtung eines Stromes festzulegen, muss man auch Speicher miteinbeziehen. Und dazu habe ich das Beispiel im oberen Beitrag mit den beiden schwingenden Gleitern gemacht.

    Physikalsiche Prozesse beschreibt man mit Gesetzen wie Bilanzgleichungen, konstitutiven Gesetzen, Feldgleichungen, usw.. Diese müssen universell gültig sein. Nun gehört der reineTransport von Impuls und Energie nicht zu diesen Gesetzen. So hängt zum Beispiel der Transport von Energie in einem Seil davon ab, wie sich das Seil relativ zum Beobachter bewegt, was ja auch willkürlich ist.

    Meinen Sie Seite 11 in den “Ergänzenden Bemerkungen zum Gutachten der DPG über den Karlsruher Physikkurs”? Dort wird behauptet, dass man zur Berechnung der Kraft nur über geschlossene Flächen integrieren dürfe. Das widerspricht der Definition der Kraft in der Statik, weil dort oft nur über eine Schnittfläche integriert wird. Und da haben wir doch ein schönes Beispiel für den Unterschied zwischen Einzelkraft und resultierender Kraft. Zudem ist das geschlossene Integral über den Spannungstensor an der Körperoberfläche nicht gleich Masse mal Beschleunigung, weil auf der Erde noch eine Gewichtskraft wirkt. Peinlich oder?

  71. #71 MartinB
    19. Januar 2018

    @WernerMaurer
    Ich frage ncohmal ganz explizit:
    Ist die Aussage, die die DPG-Bemerkungen auf S. 12 machen
    “einer Druckspannung ( l l 0 ) fließt I KPK in Richtung der positiven x -Achse, wie in Abb. 1
    gezeigt. Nach den Vorstellungen des KPK beginnt der linke Wagen, sich nach links zu bewegen,
    weil aus ihm Impuls herausströmt. Dieser fließt in den rechten Wagen, der sich dadurch nach
    rechts in Bewegung setzt.”
    eine korrekte Wiedergabe der Situation im KPK?
    Ständiges Ausweichen der Art “Aber die herkömmliche Physikdidaktik ist an Stelle X oder Y unsauber” hat mit dieser simplen Frage nichts zu tun.

    “Das widerspricht der Definition der Kraft in der Statik, weil dort oft nur über eine Schnittfläche integriert wird. ”
    Vorsicht: Jetzt muss man sich fragen, ob man eine Schnittkraft anguckt (die also explizit einen Teil des Körpers ignoriert) oder die Gesamtkraft auf einen Körper, das ist ja nicht dasselbe. Zumindest in unserem Lehrbuch verwenden wir das aber nicht zur Definition der Kraft, sondern umgekehrt die Kraft pro Fläche zur Definition der Spannung.

    Und ja, es gibt auch Volumenkräfte, die man mit Oberflächenspannungen nicht erfasst. Die muss man, wenn relevant, auch berücksichtigen. Deswegen fängt man ja auch mit einer lokalen PDGl an und überführt die ggf. in eine Integralform, wenn gewünscht.

  72. #72 Werner Maurer
    Flurlingen
    19. Januar 2018

    Das ist in etwa das gleiche Problem wie mit den beiden Gleitern. Die Feder sei auf Druck belastet und die Wagen beschleunigen voneinander weg. Die Situation ist absolut symmetrisch. Umgangssprachlich sagt man, beide Wagen sind positiv beschleunigt, falls sie sich im Moment voneinander wegbewegen. Diese Aussage ist nicht haltbar, weil dann ja beide Impulsinhalte zunehmen würden. Um der Beschleunigung ein Vorzeichen zuzuordnen, muss man ein für beide Körper verbindliches Koordinatensystem einführen. Zeigt dieses nach rechts, ist der linke Wagen negativ beschleunigt und sein Impulsinhalt nimmt ab. Entsprechend ist die Beschleunigung des Wagens rechts positiv und sein Impulsinhalt nimmt zu. Nun könnte man die alte Idee der Fernwechselwirkung bemühen und sagen, die Impulserhaltung ist so oder so gewährleistet, was kümmert mich die Feder. Oder man sagt, dass der Impuls dort wegfliesst, wo er abnimmt, und dort hinfliesst, wo der zunimmt. Dann hat man halt einen Strom, der von links nach rechts fliesst.

    “Er entspricht keinem physikalisch realen (d.h. messbaren) Strom. Diesen kann es schon wegen der Symmetrie des Problems nicht geben. Aber der tiefere Grund ist die Verletzung der lokalen Impulserhaltung durch den KPK-Impulsstrom, die daraus folgt, dass die Impulsstromdichte nicht über geschlossene, sondern über offene Flächen integriert wird. Abbildung 1 zeigt das unterschiedliche Verhalten des KPK-Impulsstroms und des Netto-Impulsstroms”. Eine Stromstärke ist immer als das Integral der Stromdichte über eine offene Referenzfläche zu definieren (bei einer geschlossenen Referenzfläche bekäme man auch bei der elektrischen Stromstärke in einem Draht immer null). Nun haben wir hier zwei Schnittflächen und drei Systeme. Jetzt können wir viermal über den Spannungstensor integrieren: in beiden Schnittflächen je zweimal mit je zwei verschiedenen Orientierungen der Referenzfläche. Damit erhalten wir vier Kräfte, wobei die erste auf den Wagen links, die zwei nächsten auf die Feder und die vierte auf den Wagen rechts zu beziehen sind. Die erste und die zweite sowie die dritte und die vierte bilden je ein Wechselwirkungspaar im Sinne von Newton III. Die zweite und die dritte Kraft halten die Feder im Gleichgewicht. Wird im mittleren Kontrollvolumen über die ganze Oberfläche integriert, werden faktisch zwei Stromstärken addiert und das Resultat gibt erwartungsgemäss null. Dies hat aber gar nichts mit Newton III zu tun, wie die Gutachter behaupten (“Das Integral verschwindet. Diese Aussage entspricht dem dritten Newton’schen Axiom”).

    Die Experten der DPG haben hier in einen seit Jahrzehnten schwelenden Konflikt eingegriffen, was sehr problematisch ist. Unverzeihlich sind aber die Fehler, welche den Experten dabei unterlaufen sind. Man kann den KPK aus verschiedenen Gründen ablehnen, aber seine Entwickler haben das Recht auf eine faire Diskussion. Und da hat sich die DPG vor den falschen Karren spannen lassen.

  73. #73 MartinB
    19. Januar 2018

    ” Oder man sagt, dass der Impuls dort wegfliesst, wo er abnimmt, und dort hinfliesst, wo der zunimmt. Dann hat man halt einen Strom, der von links nach rechts fliesst.”
    Ja, und genau das ist doch das verwirrende an dieser Darstellung: Die Situation ist symmetrisch, aber ich beschreibe sie mit einer Größe die, dank der Wahl meines Bezugssystems, nicht symmetrisch ist. Wenn ich den Impulsstrom oder Impulsinhalt zu einer zentralen physikalischen Größe erkläre und mit ihm arbeite, dann sollte er doch auch eindeutig von A nach B fließen oder nicht?

    Wenn ich den KPK richtig verstehe, dann ist doch eine Idee, Dinge wie Impulsströme zu verwenden, weil die analog zu anschaulichen Strömen wie denen von teilchen sind – aber ein Teilchenstrom kehrt sich eben nicht um, wenn ich das Koordinatensystem verwende. Ich zitiere mal Wikipedia:
    “[der Impuls] wird als eine „substanzartige“ Größe verstanden, die ähnlich wie die Ladung in der Elektrizitätslehre in einem Körper „gespeichert“ und auf einen anderen übertragen werden kann.”
    Wenn man das so erkärt, dann kann man doch nicht gleichzeitig sagen, aber in welche Richtung diese Substanz fließt, hängt vom KS ab.

    Nichtsdestotrotz sehe ich ein, dass das Argument mit dem Impulsstrom über geschlossene Flächen nicht ganz so simpel ist, ich habe mein PPS oben um einen Nachtrag ergänzt.

  74. #74 Werner Maurer
    Flurlingen
    3. März 2018

    “Wenn ich den Impulsstrom oder Impulsinhalt zu einer zentralen physikalischen Größe erkläre und mit ihm arbeite, dann sollte er doch auch eindeutig von A nach B fließen oder nicht?” Impuls und Struktur des Raumes sind durch eine grundlegende Symmetrie miteinander verknüpft. Sobald ich ein Koordinatensystem einführe, um einen Vorgang konkret zu beschreiben, zerlege ich den Impuls und damit auch den Impulsstromdichtetensor in Komponenten. Diese Konkretisierung ist genau so willkürlich wie ein Feynman-Diagramm mit einem Elektron, das sich in der Zeit vorwärts bewegt, statt eines Positrons, das in die Vergangenheit fliegt. Zum Impulsstrom habe ich mal vor längerer Zeit einen Aufsatz geschrieben: https://www.academia.edu/13018907/Zur_Theorie_des_Kraftflusses (Sie müssen doch zugeben, dass die Impulsstrombilder auf Seite 4 und 7 eine bestechende Aussagekraft besitzen).

    Mit der LEGO-Eisenbahn habe ich ein schönes Gegenbeispiel zur zentralen Forderung der DPG-Experten nach Integration über die gesamte Oberfläche gefunden. Eine Lok zieht einen Wagen über die Magnetkupplung vorwärts. Integriert man bei der gleichförmigen Geradeausfahrt den Spannungstensor über die ganze Oberfläche des Wagens, resultiert ein Kraftvektor, der eine Komponente nach oben und eine nach hinten aufweist. Um die Komponente nach hinten zu erklären, müssten wir zusätzlich, also ein zweites Mal, über den räumlichen Teil des Energie-Impuls-Tensors des mangetischen Feldes intergrieren. Die Komponente nach oben entspricht der Gewichtskraft, die mit dem Energie-Impuls-Tensor direkt nicht zu beschreiben ist.

    Die Experten der DPG haben mit ihrem Gutachten und vor allem mit den Ergänzenden Bemerkungen einen unglaublichen Unsinn in die Welt gesetzt. Sogar wenn der KPK eine esoterische, jugendgefährdende Verschwörungstheorie wäre, würde dies den Missgriff der DPG nicht entschuldigen.

  75. #75 MartinB
    3. März 2018

    @WernerMaurer
    Aber egal wie ich ein physikalisches Objekt in Komponenten beschreibe – Ströme fließen so, wie sie fließen. Wenn Wasser nen Fluss runterströmt, dann strömt es eben von der Quelle zur Müdnung, unabhängig vom KS.
    Im KPK dagegen strömt Impuls je nach KS von A nach B oder von B nach A (oder etwa nicht?) – und das beißt sich doch mit der Aussage, der Impuls sei eine physikalische Größe, der eine echte Realität zukommt.

    Ich finde es etwas ermüdend, wenn du immer wiede rmit neuen anderen Beispielen kommst, statt einfach mal auf *genau diese Kritik* einzugehen.

  76. #76 Werner Maurer
    3. März 2018

    Der Transport einer skalaren Grösse wird durch das Vektorfeld der Stromdichte beschrieben. Die Stromdichte des Volumens ist gleich der Strömungsgeschwindigkeit, die der Masse gleich Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit. Handelt es sich um eine vorzeichenfähige skalare Grösse wie die elektrische Ladung, hängt die Richtung der Stromdichtevektoren davon ab, wie die positive Ladung definiert ist. Benjamin Franklin hätte auch das andere Vorzeichen wählen können, dann flössen halt alle elektrischen Ströme auf die andere Seite.

    Der Transport einer vektoriellen Menge wird mit einem Tensorfeld beschrieben. Im Falle des Impulses sind das die Dichte mal das Tensorprodukt der Geschwindigkeit (konvektiver Transport) plus der negative Spannungstensor (leitungsartiger Transport). Sowenig wie ein Vektor positive und negative Werte annehmen kann, können wir dem Impulsstrom einen eindeutigen Transportweg zuordnen. Das kann man nun so stehen lassen oder man führt ein Koordinatensystem ein. Dann nehmen der x-, der y- und der z-Impuls sowie die Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung positive und negative Werte an und dann kann man den drei Komponenten je ein Strombild zuordnen.

    Wer einer Geschwindigkeit oder einer Beschleunigung ein Vorzeichen zuordnet, führt implizit ein Koordinatensystem ein. Und zu diesem Koordinatensystem passen dann die drei Impulsstrombilder. Wieso soll die eine Willkür erlaubt und die andere als unwissenschaftlich verworfen werden?

    Also nochmals: die Aussage, ein Strom müsse von A nach B fliessen, bezieht sich auf eine skalare Menge. Sobald die Menge vorzeichenfähig ist, folgt die Stromrichtung aus der Festlegung des Vorzeichens der Menge. Beim Impuls kommt dazu, dass ohne Koordinatensystem keine “Strömungsbilder” zu erkennen sind. Zudenm können elektrische Ströme und vor allem Impulsströme nur bedingt mit einer Wasserströmung verglichen werden. Elektrische Ströme und Impulsströme können zum Beispiel auch fliessen, wenn das stromführende Element ungeladen bzw. unbewegt ist.

  77. #77 MartinB
    3. März 2018

    @WernerMaurer
    Ich denke nochmal über das mathematische Argument nach – aber didaktisch führt man den KPK damit ad absurdum, oder nicht? Denn man wird von SuS in der Mittelstufe wohl kaum erwarten können, dass sie sich mit Tensoren auseinandersetzen.
    Modelle, die, wenn man sie ein bisschen weiterdenkt, zu Widersprüchen führen, haben wir in der Physikdidaktik schon mehr als genug…

  78. #78 Werner Maurer
    3. März 2018

    Zur Didaktik des KPK kann ich nichts sagen, weil mir die Erfahrung auf dieser Schulstufe fehlt. Ich kenne nur die Verhältnisse auf FH-Stufe. Und da liegt vieles im argen. Aber es ist ein Irrtum zu glauben, dass die Punktmechanik einfacher sei als ein Ansatz, der von der Kontinuumsmechanik aus geht. Spätestens bei offenen Systemen wie Raketen, Turbojet oder Knatterboot zeigt sich die Stärke der Impulsbilanz.