Ab 2002 sorgte der Beweis der Poincare-Vermutung und der Thurston-Vermutung für Aufsehen bis in die Tagespresse. Im letzten Jahr erschienen zwei populärwissenschaftlich geschriebene Bücher zum Thema
von George Szpiro und Donal O’Shea.
Von letzterem gibt es auch schon eine deutsche Übersetzung.
Die Bedeutung dieser Vermutungen wird gern damit erklärt, dass sie dazu beitragen, die Gestalt des Universums zu verstehen. Sicher ist das allenfalls einer von vielen Aspekten, weshalb 3-Mannigfaltigkeiten untersucht werden, aber es ist jedenfalls der Ansatz, an dem O’Shea sein sehr informatives und lesbares Buch ausrichtet.
Wir möchten in einer kleinen Serie von Artikeln diesen Zugang benutzen, um einige Konzepte der Topologie von Flächen zu erklären. Für die historische Darstellung stützen wir uns weitgehend auf O’Shea bzw. seine Quellen.
Zunächst ist klar, daß die Erde eine Fläche ist. Aber was ist eigentlich die mathematisch exakte Definition von ‘Fläche’? Ein Mathematiker würde definieren: eine Fläche ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Aber dafür muß man wissen, was eine Mannigfaltigkeit ist und dazu kommen wir erst in einem späteren Teil dieser Serie.
Also definieren wir ad hoc: eine Fläche ist eine Punktmenge, die sich durch 2-dimensionale Karten überdecken läßt, so daß jeder Punkt zu mindestens einer der Karten gehört. Mit Karten (man denke an Landkarten) meinen wir Gebiete, die sich auf eine Teilmenge der üblichen 2-dimensionalen Ebene abbilden lassen.
Die Abbildungen der Kartengebiete auf die 2-dimensionale Ebene müssen nicht längentreu sein, aber sie müssen stetig sein (nichts auseinanderreißen) und eine stetige Umkehrabbildung haben (nichts zusammenkleben, was in Wirklichkeit voneinander entfernt ist). Zum Beispiel ist es bekanntlich nicht möglich, die gesamte Erde mit einer einzigen Karte abzubilden, aber es gibt natürlich Karten von jedem einzelnen Kontinent. Tatsächlich kann man die Erde sogar mit nur zwei Kartengebieten überdecken. (Wie?)
Im Vorgriff auf spätere Artikel geben wir schon einmal einige Beispiele von Flächen. Die Sphäre, d.h. der Rand einer 3-dimensionalen Kugel. Der Torus, d.h. der Rand eines Fahrradschlauchs oder Doughnuts. Die Brezel, d.h. der Rand einer Vollbrezel.
Eine Brezel mit 3, 4 oder 5 Henkeln. Und so weiter.
Bilder findet man auf Seite 196 von diesem Buch (Natürlich wäre es schöner gewesen, Bilder direkt in den Text einzubauen, aber das war mir jetzt doch zuviel Aufwand.) Neben diesen geschlossenen Flächen gibt es noch Flächen mit Rand wie die Kreisscheibe oder den Kreisring.
Mit diesen Flächen werden wir uns in folgenden Artikeln noch beschäftigen. Zunächst aber zur Gestalt der Erde aus historischer Sicht. (Mit ‘Gestalt’ oder ‘Topologie’ einer Fläche meint man immer die Form der Fläche ohne Berücksichtigung der Größe und ohne Berücksichtigung von Ausbeulungen, die sich durch stetige Deformationen bewirken lassen. Eine Sphäre mit Gebirgsrelief ist für die Topologie also dasselbe wie eine Sphäre ohne Relief.)
Es ist ein weit verbreitetes Mißverständnis, daß man im Mittelalter nach dem ptolemäischen Weltbild glaubte, die Erde sei eine Scheibe. Entstanden ist dieses falsche Geschichtsbild offenbar ab 1828 durch den historischen Roman ‘The Life and Voyages of Christopher Columbus’ von Washington Irving (dem Autor bekannter Märchen wie ‘Rip van Winkle’). Einzelheiten hierzu kann man bei ethical atheist oder im 2. Kapitel von O’Shea nachlesen.
Tatsächlich war es im 15. Jahrhundert allgemein anerkannt, daß die Erde eine Sphäre ist. Unklar war nur die Größe und vielleicht die genaue Form.
Ptolemäus hatte einen Erdumfang von 30000 Kilometern angenommen, die Spanier des 15. Jahrhunderts gingen von dem recht genauen Wert von 40000 Kilometern aus. Kolumbus hingegen glaubte an einen wesentlich kleineren Erdumfang und schätzte demzufolge die Länge des Westweges nach Indien viel zu kurz ein.
Bei der Kontroverse zwischen Kolumbus und seinen Gegnern ging es also NICHT um die Topologie der Erde, d.h. um die Frage ob die Erde eine Scheibe ist (und man herunterfällt, wenn man weit genug nach Westen fährt) oder ob sie eine Sphäre ist (und man westwärts nach Indien fahren kann).
Was zwischen Kolumbus und seinen Gegnern strittig war, war lediglich die Länge des Erdumfangs. Kolumbus unterschätzte diese Länge bei weitem und glaubte DESHALB, daß man in vertretbarer Zeit nach Indien segeln könne. Seine Gegner glaubten, daß der Westweg nach Indien wesentlich länger ist als von Kolumbus berechnet (was er ja auch ist) und daß Kolumbus deshalb nicht bis nach Indien kommen würde (was sich ja auch bewahrheitete).
Man sieht, daß wichtige Entdeckungen durchaus auf falschen Prämissen beruhen können. Aber es gilt natürlich auch, wie Erich Kästner schreibt:
‘Nicht jeder, der nach Indien fährt, entdeckt Amerika.’
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