In den ‘Notices of the American Mathematical Society’ erscheinen unter dem Titel ‘What is … ?’ regelmäßig ausführliche Erklärungen zu nicht-offensichtlichen mathematischen Begriffsbildungen. Im Januar-Heft erschien dort ein Artikel von Zeev Rudnick mit dem Titel ‘What is … Quantum Chaos’?

Weil ich den Begriff Quantenchaos zwar gelegentlich als Schlagwort gehört hatte, bisher aber nichts damit verbinden konnte, versuche ich im folgenden den Inhalt seiner Erklärungen kurz zusammenzufassen.

Vorab: während es in der Mathematik häufig Begriffsbildungen mit ‘Quanten-‘ gibt, die letzlich wenig mit Physik zu tun haben (z.B. Quanten-Invarianten von Knoten), geht es bei Quanten-Chaos wirklich um Quantenmechanik.

Wir betrachten ein (klassisches) mechanisches System, zum Beispiel den Lauf einer Billardkugel auf einem rechteckigen Billardtisch. Ein klassisches mechanisches System wird als chaotisch bezeichnet, wenn kleine Änderungen der Anfangsbedingungen zu einer qualitativen (unberechenbaren) Veränderung der weiteren Entwicklung des Systems führen. Dagegen wird das mechanische System als integrabel bezeichnet, wenn es neben der Energie noch weitere Erhaltungsgrößen gibt. (Je mehr Erhaltungsgrößen man kennt, desto weniger Freiheitsgrade gibt es für die weitere Entwicklung des Systems.)

In der Quantenmechanik betrachtet man bekanntlich dasselbe mechanische System als eine Wellenfunktion, die der Schrödinger-Gleichung genügen muß. Die Energie-Level bilden eine diskrete Menge, im Fall des Billards auf einem rechteckigen Tisch mit Länge a und Breite b erhält man zum Beispiel die Energie-Level

quantenchaos.pdf

wobei m und n alle ganzzahligen Werte durchlaufen. (M ist die Masse der Kugel, h das Planck’sche Wirkungsquantum.).

Klassische Analysis hat sich damit beschäftigt, Zusammenhänge zwischen der Asymptotik des Energie-Spektrums und der Geometrie des Billardtisches herzustellen. Zum Beispiel besagt Weyl’s Gesetz, daß die Anzahl der Energie-Level unterhalb E asymptotisch gleich cE mit c= Fläche/4 pi ist, also asymptotisch nur vom Flächeninhalt des Billardtisches abhängt.

In der Quantenchaos-Theorie geht es dagegen darum, Beziehungen zwischen dem Energie-Spektrum des Quanten-Systems und den dynamischen Eigenschaften des klassischen Systems (etwa ob es chaotisch oder integrabel ist) herzustellen.

Konkret betrachtet man die Abstände zwischen benachbarten Energie-Leveln (engl.:’gaps’) und nennt P(s) die Dichtefunktion zur Verteilung der ‘gaps’.

Dann besagen die ‘Universality conjectures of quantum chaos’ (Universalitätsvermutungen für Quantenchaos):

– wenn das mechanische System klassisch integrabel ist, dann ist P(s)=cexp(-cs) (wobei wieder c=Fläche/4pi und exp die Exponentialfunktion zur Basis e),

– wenn das mechanische System klassisch chaotisch ist, dann stimmt P(s) überein mit der Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung der ‘gaps’ zwischen den Eigenwerten einer bestimmten Menge von Zufallsmatrizen.

Man sollte noch erwähnen, daß es zu diesen Vermutungen Gegenbeispiele gibt, man ihre Richtigkeit also nur ‘bis auf spezielle Ausnahmefälle’ erwartet. Zum Beispiel sind die Vermutungen falsch für quadratische Billardtische, man hofft aber, daß sie für andere rechteckige Billardtische zutreffen.

Ich möchte noch klarstellen, daß es sich hier um den Mathematiker-Begriff von Quanten-Chaos handelt. Bei Physikern findet man andere (äquivalente???) Definitionen (siehe diese sehr kurze und leicht-verständliche Darstellung). Falls hier Physiker mitlesen, können sie uns ja vielleicht aufklären, ob und wie die verschiedenen Definitionen von Quantenchaos zusammenhängen.

Kommentare (2)

  1. #1 Alex
    8. November 2008

    Ich möchte eigentlich nur anmerken, dass es durchaus “deterministisches Chaos” gibt. Kleine Änderungen der Anfangsbedingungen führen dann zu berechenbaren (!), großen Auswirkungen.

  2. #2 Thilo Kuessner
    9. November 2008

    Nun ja, es gibt halt einen Unterschied zwischen theoretischer Berechenbarkeit und praktischer Berechenbarkeit. Ein deterministisch chaotisches System mag theoretisch berechenbar sein. Aber praktisch eben nicht, weil die unvermeidlichen Rundungsfehler zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen führen, z.B. die bekannte Geschichte vom Lorenz-Attraktor: http://www.zeit.de/online/2008/17/edward-lorenz-nachruf