Topologie von Flächen V

Bastelanleitungen, um Flächen aus flachen Stücken zusammenzusetzen.


Einen Torus kann man wie folgt basteln: man nehme ein Parallelogramm, und klebe zunächst zwei gegenüberliegende Seiten zusammen, so daß man einen Kreiszylinder erhält. Dann klebe man die gegenüberliegenden Kreise (also die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten des ursprünglichen Parallelogramms) zusammen und man erhält den Torus.

Die verbale Beschreibung ist vielleicht eher verwirrend. Eine Veranschaulichung der Konstruktion liefert dieses an der Universität Hannover produzierte Video.

Weitere Videos findet man hier (Gluing a Torus), hier (periodic motion on the torus) und hier (Sliceform Torus).

Einen Torus erhält man also durch Kleben aus einem Viereck. Als nächstes wollen wir eine Brezel (d.h. eine Fläche mit 2 Henkeln) aus einem Achteck bauen.

Das erste Bild zeigt den Grundriß des Jerusalemer Felsendoms, das zweite das Oktogon im Zentrum des Aachener Doms. (Quelle:Wikipedia) Ich hoffe, daß die zusätzlich eingezeichneten Elemente niemanden verwirren. (Das einzige andere 8-Eck, welches ich bei Wikipedia gefunden habe, war im Artikel über das Café Achteck, und den wollte ich hier dann doch nicht verlinken.)

Wenn man in einem Achteck die erste mit der dritten und die zweite mit der vierten Seite verklebt erhält man einen Torus mit einem viereckigen Loch (dessen Rand aus den übrigen 4 Kanten besteht). Wenn man dann auch die fünfte mit der siebenten und die sechste mit der achten Kante verklebt, erhält man die unten abgebildete Brezel. (Leider gibt es dazu kein Video auf YouTube. Wenn man sich die Konstruktion nicht vorstellen kann, sollte man ein Achteck aus Papier ausschneiden und die Konstruktion tatsächlich durchführen.)

i-53eed050cd04fbb05eafd2a826443a34-Doubletorus.png

Und analog läßt sich nun eine Fläche mit g Henkeln wie folgt konstruieren: man nehme ein regelmäßiges 4g-Eck und verklebe: die 1. mit der 3. und die 2. mit der 4. Seite, die 5. mit der 7. und die 6. mit der 8. Seite, …. , schließlich die 4g-3-te mit der 4g-1-ten und die 4g-2-te mit der 4g-ten Seite und zwar so, wie schon beim Beispiel von Viereck und Torus, daß jeweils die eine Seite im Uhrzeigersinn jeweils mit der anderen Seite gegen den Uhrzeigersinn verklebt wird).

Wozu dient das? Wir haben uns jetzt überlegt, wie man Flächen aus flachen Vielecken konstruieren kann. Wenn man topologische Eigenschaften von Flächen berechnen will, kann man nun einfach immer mit den flachen Vielecken arbeiten (muß aber natürlich im Kopf behalten, welche Seiten miteinander verklebt werden).

Referenz: Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4