Euklid, Drogenhandel in Manhattan und das französische Eisenbahnnetz.

Die zweidimensionale Ebene faßt man seit Descartes auf als Menge von Zahlenpaaren (x1,x2). Der Abstand zwischen zwei Punkten (x1,x2) und (y1,y2) läßt sich nach dem Satz des Pythagoras berechnen als Quadratwurzel aus (x1-y1)2+(x2-y2)2.

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Dieser Abstand, der sogenannte euklidische Abstand, mißt also die Entfernung per Luftlinie zwischen zwei Punkten in einer flachen Ebene. Wenn man Abstände zwischen zwei Punkten auf der Erde messen will, muß man eigentlich noch die Erdkrümmung berücksichtigen. Allerdings macht dies bei geringen Entfernungen keinen nennenswerten Unterschied.

Wir nehmen also an, wir befinden uns in einer flachen Ebene. Aber auch dann ist die ‘wirkliche Entfernung’ zwischen zwei Punkten manchmal größer als der euklidische Abstand.

Wenn man sich zum Beispiel in einer Stadt von (x1,x2) nach (y1,y2) bewegen will, kann man nicht die Luftlinie nehmen, sondern muß sich entlang des Straßennetzes bewegen. Wenn zum Beispiel, wie in Manhattan oder Mannheim, die Straßen alle rechtwinklig zueinander sind, erhält man dann als Abstand |x1-y1|+|x2-y2|, und dies kann manchmal viel größer sein als der euklidische Abstand. Eine sehr skurille (aber völlig ernstgemeinte) Anwendung dieser Frage auf juristische Probleme des Drogenhandels in Manhattan findet man hier.

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Ein anderes Beispiel ist die SNCF-Metrik. (SNCF=’Société Nationale de Chemins de Fer’ ist die französische Eisenbahngesellschaft.) Hier wurde der Abstand zwischen zwei Punkten so berechnet, daß man zunächst den Abstand (in Luftlinie) des ersten Punktes nach Paris maß, dann den Abstand von Paris zum zweiten Punkt, und die Summe bildete. (Zum Beispiel mußte man bis 2004(?) für eine TGV-Fahrt Strasbourg-Lyon den Umweg über Paris nehmen.)

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Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, Abstände zu messen. Alle diese Abstände haben aber mathematisch ähnliche Eigenschaften, weshalb man sie in der Mathematik unter dem Begriff des Metrischen Raumes zusammenfaßt. Dies ist, per Definition, eine Punktmenge, auf der eine Abstandsfunktion definiert ist mit folgenden Eigenschaften:
1. je zwei unterschiedliche Punkte haben positiven Abstand (und der Abstand eines Punktes zu sich selbst ist 0)
2. der Abstand von x nach y ist genau so groß wie der Abstand von y nach x
3. die Dreiecksungleichung gilt (d.h. der Abstand von x nach y ist höchstens so groß, als wenn man erst den Abstand von x zu einem dritten Punkt z, dann den Abstand von z nach y mißt, und die Summe bildet)

Punkt 2. bedeutet natürlich wieder einmal eine Vereinfachung, weil man zum Beispiel Einbahnstraßen nicht in Betracht zieht.

(Es ist eine beliebte Hausaufgabe für Analysis I-Vorlesungen, nachrechnen zu lassen, dass die Manhattan-Metrik und die SNCF-Metrik die 3 Axiome erfüllen. Der einzige schwierige Teil ist dabei das Nachrechnen der Dreiecksungleichung.)

Wenn wir auf einer Menge wissen, wie man Abstände berechnet, dann kann man Konvergenz (und damit auch Stetigkeit) definieren: Eine Folge an konvergiert gegen einen Punkt a, wenn die Folge der Abstände gegen 0 konvergiert (im Schul-Sinn der Konvergenz einer Folge reeller Zahlen).

Als den Rand einer Menge bezeichnet man diejenigen Punkte x, für die es sowohl Folgen innerhalb der Menge, als auch Folgen außerhalb der Menge gibt, die gegen x konvergieren. (Die Randpunkte müssen nicht unbedingt selbst zur Menge gehören.)

Beispiel: der Rand der (offenen oder abgeschlossenen) Kreisscheibe vom Radius 1 ist der Kreis vom Radius 1.

Es hat sich in der Topologie als nützlich erwiesen, nicht direkt mit den Abstandsfunktionen, sondern mit offenen und abgeschlossenen Mengen zu arbeiten.
Diese definiert man wie folgt:
1. eine Menge M ist offen, wenn kein Randpunkt von M selbst zu M gehört,
2. eine Menge M ist abgeschlossen, wenn jeder Randpunkt von M selbst zu M gehört.

Statt von metrischen Räumen redet man dann (etwas allgemeiner) von topologischen Räumen, das ist ein Raum mit ‘offenen Mengen’, die drei Axiome erfüllen:
* Die leere Menge und der ganze Raum sind offene Mengen.
* Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
* Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Es ist häufig einfacher, mit offenen Mengen als mit Abständen zu arbeiten. Zum Beispiel läßt sich die delta-epsilon-Bedingung für Stetigkeit in dieser Sprache wie folgt ‘übersetzen’: eine Abbildung ist stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offene Mengen sind.

Mehr zu Stetigkeit und ihren Anwendungen nächste Woche.

Referenz: Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7

Das erste Bild ist von http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/.
Das zweite Bild ist aus der Wikipedia.
Das letzte Bild ist von Roland Lenz und stellt natürlich nicht das französische Eisenbahnnetz dar.

Kommentare (3)

  1. #1 Christian
    19. Juli 2009

    Guten Tag Herr Kuessner,

    als ich den 8. Teil begann wunderte ich mich über x_1 – y_1 bzw x_2 – y_2
    Wo ist das üblich? Sollte ich mich darauf einstellen, dass so etwas ab und an vorkommt?
    Für mich gibt es halt die x- und die y- Achse.

    Und während ich bei abgeschlossen und offen war, überlegte ich: was ist denn dann die leere Menge?
    Wikipedia hat es mir mit sowohl als auch beantwortet, aber als ich hier weiter las las ich, dass sie als offen definiert wird.

    Nun bin ich leicht verwirrt und schreibe, da ich denken, dass sie mir mit ein paar Zeilen und geringem Aufwand weiterhelfen können.

    MfG und einen schönen Restsonntag wünschend
    Christian

  2. #2 Thilo Kuessner
    19. Juli 2009

    Hallo, die leere Menge ist sowohl offen als abgeschlossen, genauso wie übrigens der gesamte Raum. (Die leere Menge hat keine Randpunkte, also gibt es keinen Randpunkt, der zur Menge gehört, also ist sie offen.
    Oder, wenn Sie lieber mit der Definition arbeiten, daß um jeden Punkt eine offene Kugel in der Menge liegt: die leere Menge hat keine Punkte, eine Aussage ‘zu jedem Punkt gibt es …’ ist also immer richtig.)

    Das mit der Schreibweise ist natürlich Geschmackssache, aber meine Notation mit x_1,x_2 usw. ist eigentlich schon üblich. Wenn man nur einen Punkt hätte, könnte man dessen Koordinaten wie in der Schule üblich mit x,y,z bezeichnen, aber bei mehreren Punkten muß man dann irgendwie die Punkte unterscheiden können. Außerdem rechnen Mathematiker oft mit mehr als 3 Dimensionen, und da würden dann die Buchstaben schnell knapp werden: wenn man z.B. in der Stringtheorie mit 10 oder 11 Dimensionen rechnet, ist es einfacher die Korrdinaten x_1,…,x_10,x_11 zu nennen statt x,y,z,a,b,c,d,e,f,g,h oder so.

  3. #3 Christian
    22. August 2009

    Hallo, vielen Dank für ihre Antwort. Mit dem Argument, dass es in mehreren Dimensionen schlicht übersichtlicher ist, kann ich im übrigen gut leben.