Karten und Atlanten – Definition 2-dimensionaler Mannigfaltigkeiten.

Was bedeutet es, daß ein topologischer Raum ein-, zwei- oder drei-dimensional ist?

Man wird sagen, daß ein Raum (wie die Sphäre, auf der wir leben) zweidimensional ist, wenn er sich komplett durch 2-dimensionale Karten abbilden läßt. Die Erdkugel (genauer: ihr Rand) läßt sich zum Beispiel durch 2 zwei-dimensionale Karten überdecken:

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Das Bild ist ein Beispiel einer Karte für die gesamte Sphäre mit Ausnahme des Nordpols. Sie entsteht dadurch, daß man vom Nordpol aus auf eine am Südpol angebrachte Ebene projiziert. Jeder Punkt der Sphäre (mit Ausnahme des Nordpols) entspricht einem eindeutigen Punkt der Ebene. Die Abbildung ist stetig, ebenso wie die Umkehrabbildung von der Ebene auf die Sphäre. Diese Projektion heißt übrigens stereographische Projektion und wird weniger in der Geographie als, laut Wikipedia, ‘in der Astronomie (Sternkarten, Planeten), in der Geodäsie und Navigation (winkeltreue Karten) und in der Geophysik (Verteilung von Kräften oder Linienstrukturen auf der Erdkugel)’ verwendet.

Genauso kann man auch vom Südpol aus auf eine am Nordpol angebrachte Ebene projizieren. Damit haben wir jetzt zwei Karten, die bereits die ganze Sphäre überdecken.

Im folgenden werden wir den Begriff von Flächen (in der Mathematik sagt man: 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten) so formalisieren, daß Flächen sich durch 2-dimensionale Karten überdecken lassen.

Jeder kennt die eindimensionale Gerade der reellen Zahlen R.

Die zweidimensionale Ebene faßt man seit Descartes auf als Menge von Zahlenpaaren (x,y). In der Mathematik bezeichnet man diese Menge als R2. Der Abstand zwischen zwei Punkten (x,y) und (u,v) läßt sich nach dem Satz des Pythagoras berechnen als Quadratwurzel aus (x-u)2+(y-v)2.

In Teil 9 hatten wir in präzisen Begriffen formalisiert, daß eine Abbildung ein Homöomorphismus ist (d.h. die topologische ‘Form’ erhält), wenn sie nichts auseinanderreißt, aber auch nichts zusammenklebt.

Eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (per Definition) ein topologischer Raum M, den man so in (sich eventuell überschneidende) Teilmengen zerlegen kann, so daß es für jede der Teilmengen einen Homöomorphismus zu einer offenen Teilmenge von R gibt.

Offensichtlich ist R eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit. Auch ein Kreis ist eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit, denn man kann ihn in 2 Mengen zerlegen, die homöomorph zu offenen Teilmengen des R sind. Dagegen ist folgende Kurve keine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit, weil man keine Umgebung des Nullpunktes finden kann, die homöomorph zu einer Teilmenge des R ist.

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Um pathologische Beispiele zu vermeiden, interessiert sich meist nur für 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die Hausdorffsch sind und das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Diese Bedingungen sind aber bei allen ‘in der Natur’ vorkommenden 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten offensichtlich erfüllt.

Mit diesen Bedingungen gibt es neben Gerade und Kreis keine weiteren 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Den Beweis findet man z.B. im Anhang von John Milnor’s Topology from the Differential Viewpoint.

Eine Fläche oder 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist nun eine Menge, die man so in (sich eventuell überschneidende) Teilmengen zerlegen kann, so daß es einen für jede der Teilmengen einen Homöomorphismus zu einer offenen Teilmenge von R2 gibt. Die Teilmengen nennt man Karten, weil sie den Landkarten eines Atlas entsprechen.
(Auch hier nimmt man, um pathologische Beispiele auszuschließen, wieder an, daß Flächen Hausdorffsch sind und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.)

Aus einem analogen Grund wie im 1-dimensionalen Beispiel ist folgendes Gebilde (Quelle: http://www.mathematik.uni-kl.de/~pfister/ballzeitung/pics/cayley-cubic.gif) KEINE 2-dimensionale Mannigfaltigkeit.

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Weitere Begriffe, die ich in dieser Reihe schon ohne exakte Definition verwendet hatte sind Kompaktheit und Orientierbarkeit.

Kompaktheit. Kompaktheit soll so etwas wie Endlichkeit bedeuten. In dem sehr lesbaren Buch von O’Shea wird erklärt, eine Mannigfaltigkeit wäre kompakt, wenn sie mit endlich vielen Karten überdeckt werden kann. Das trifft zwar ganz gut den Kern, ist aber sachlich nicht korrekt. (Zum Beispiel ist die Ebene nicht kompakt, obwohl sie mit einer einzigen Karte überdeckt werden kann.) Korrekt definiert man für metrische Räume: ein metrischer Raum ist kompakt, wenn er abgeschlossen und beschränkt ist. (Beschränktheit heißt: es gibt einen endlichen Durchmesser D, so daß je zwei Punkte des Raumes immer höchstens Abstand D haben.) Die allgemeine Definition für topologische Räume ist etwas unanschaulich, man findet sie hier.

Zu Orientierbarkeit und allgemeiner zum Thema Links und Rechts in der Mathematik werde ich nächste Woche einen eigenen Artikel schreiben.

Referenz:
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9

PS: Bei dieser Gelegenheit möchte ich eventuelle Leser (falls sie im Rheinland leben) darauf hinweisen, daß am kommenden Freitag (25.4., 16 Uhr) in Bonn ein auch für Nicht-Mathematiker sehr empfehlenswerter Vortrag von John Morgan stattfindet. Es handelt sich um eine der von der DMV organisierten Gauß-Vorlesungen, die 2x jährlich an wechselnden deutschen Universitäten stattfinden. Ort ist die Wegelerstraße 10 in Bonn (Großer Hörsaal). Thema von John Morgan’s Vortrag ist “The Poincaré Conjecture and the Geometrization of 3-manifolds: Applications of Ricci flow with surgery to the classification of 3-manifolds”, im wesentlichen geht es also um die Klassifikation 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Die Vorlesung ‘wendet sich in festlichem Rahmen an eine breitere, mathematisch interessierte akademische Öffentlichkeit’. Angeblich soll bereits das musikalische Rahmenprogramm mit dem Benjamin Himpel Trio für sich genommen die Reise nach Bonn lohnen.

Kommentare (8)

  1. #1 Rolf
    30. Oktober 2010

    Ich grüble gerade vergeblich nach einem (hübschen) Beispiel für eine stetige Abbildung deren Umkehrabbildung nicht stetig ist…??

  2. #2 Thilo
    31. Oktober 2010

    Nehmen Sie eine Kurve mit irrationalem Anstieg auf dem Torus. Dann gibt es eine stetige Abbildung von R auf diese Kurve. Die Umehrabbildung ist nicht stetig, weil es auf R weit auseinanderliegende Pukte gibt, deren Bilder auf der Kurve im Torus nahe beeinander sind.

  3. #3 Thilo
    31. Oktober 2010

    Oder ein ähnliches aber einfacheres Beispiel:

    Sei X die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Metrik d(m,n) = I m-n I
    und sei Y die Menge aller Punkte auf dem Kreis, die man durch Drehung um Vielfache von 1 (in Radiant) aus einem festen Ausgangspunkt bekommt (mit der Metrik der Abstände auf dem Kreis).
    Jede natürliche Zahl aus X bilden wir auf den entsprechenden Punkt in Y ab, also n auf den Punkt, den man durch Drehung um n bekommt.
    Nach Definition von Y ist die Abbildung surjektiv,
    Warum ist sie injektiv? Gäbe es Zahlen m, n, die auf denselben Kreispunkt abgebildet werden, dann wäre m-n ein Vielfaches von 2pi, was der Irrationalität von pi widerspricht.
    Also haben wir eine Bijektion. Abstände werden offensichtlich nicht vergrößert, also ist die Abbildung stetig.
    Warum ist die Umkehrabbildung nicht stetig? Dafür muß man beweisen , daß es beliebig große natürliche Zahlen gibt, die beliebig nahe an ein ganzzahliges Vielfaches von 2pi herankommen (und deren Bildpunkte auf dem Kreis also beliebig nahe am Ausgangspunkt liegen). Daß es solche Zahlen gibt folgt aus Kroneckers Theorem

  4. #4 Rolf
    31. Oktober 2010

    Vielen Dank!
    Diese Beispiele scheinen mir aber beide vom Typ her etwas niederdimensionales
    (Punkte 0-dim, Gerade 1-dim) auf etwas höherdimensionales (Kreislinie 1-dim / Torus 2-dim ) abzubilden. Mir ist da erstens nicht klar warum man für die Metrik der Umkehrabbildung die von der höheren Dimension vererbte nimmt (und nicht die von der Linie bzw. den Punkten) und ich wüsste gerne ob dies charakteristisch für alle solchen Beispiele ist?
    (Sorry falls ich etwas viel bohre…)

  5. #5 Thilo
    31. Oktober 2010

    Mir ist da erstens nicht klar warum man für die Metrik die von der höheren Dimension vererbte nimmt

    Das sollten nur Beispiele sein, wo man (sozusagen durch die Einbettung in etwas höher-dimensionales) die zweite Metrik (und die Unstetigkeit der Umkehrabbildung) besser veranschaulichen kann.

    Man kann sich natürlich auch andere, künstlichere Beispiele konstruieren. Zum Beispiel seien X die reellen Zahlen mit der Metrik d(x,y)=1 für alle x,y (außer für x=y, wo d(x,x)=0 ist) und seien Y die reellen Zahlen mit der üblichen Metrik d(x,y)=Ix-yI. Dann ist die Abbildung f(x)=x stetig (denn eine Folge, die bzgl. der ersten Metrik konvergiert, muß ab einer bestimmten Stelle konstant sein, also konvergiert sie auch bzgl. der zweiten Metrik), die Umkehrabbildung g(x)=x ist aber unstetig, denn zum Beispiel 1/n konvergiert in der zweiten Metrik gegen 0, bzgl. der ersten Metrik ist aber immer d(1/n , 0)=1.

  6. #6 film izle
    18. Dezember 2015

    Vielen Dank!
    Diese Beispiele scheinen mir aber beide vom Typ her etwas niederdimensionales
    (Punkte 0-dim, Gerade 1-dim) auf etwas höherdimensionales (Kreislinie 1-dim / Torus 2-dim ) abzubilden. Mir ist da erstens nicht klar warum man für die Metrik der Umkehrabbildung die von der höheren Dimension vererbte nimmt (und nicht die von der Linie bzw. den Punkten) und ich wüsste gerne ob dies charakteristisch für alle solchen Beispiele ist?
    (Sorry falls ich etwas viel bohre…)

    Spamlink entfernt

  7. #7 Thilo
    18. Dezember 2015

    Ich bekomme ja in letzter Zeit ziemlich viel Linkspam und ich wollte gerade auf den vorhergehenden antworten, dass von den vielen Spamkommentaren das hier der bisher am Besten zum Thema des Artikels passende wäre … Aber es ist dann doch nur eine Kopie eines der vorhergehenden Kommentare.

  8. #8 Miyoko Romito
    7. Mai 2017

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