Wenn man den Plakaten an unseren Bushaltestellen glauben darf, werden sich Studenten in Zukunft nicht mehr mit der lästigen Definition des Lebesgue-Integrals herumschlagen müssen.
In der Schule lernt man Formeln, mit denen sich Volumen von Würfeln, Kugeln und anderen regelmäßigen Körpern berechnen lassen. Und man lernt vielleicht noch, daß sich mit dem Riemann-Integral auch Volumina vieler nicht so regelmäßiger Körper berechnen lassen.
Gibt es auch ein sinnvolle Definition von Volumen für beliebige Körper? Das bekannte Archimedische Prinzip scheint ja eigentlich zu zeigen, wie man Volumina berechnen kann. Tatsächlich dürfte wohl Hilbert’s 3. Problem (aus seiner bekannten Liste von Jahrhundertproblemen 1900) motiviert gewesen sein durch das Ziel einer ‘archimedischen’ Definition des Volumens beliebiger Körper.
Tatsächlich weiß man heute durch das Banach-Tarski-Paradox, daß es KEINE mathematisch sinnvolle Definition für das Volumen völlig beliebiger Körper geben kann. Die allgemeinste bekannte Volumen-Definition beruht auf dem Lebesgue-Integral (zuerst definiert in Lebesgue’s Dissertation 1902).
Leider benötigt Lebesgue’s Definition eine ziemlich aufwendige und künstlich erscheinende Theorie. Für die meisten Studenten ist diese Theorie sicher das unangenehmste Thema im gesamten Mathematik-Grundstudium.
Jedenfalls hat bis heute niemand eine elegantere Theorie gefunden, die sich genau so allgemein anwenden läßt. So war ich heute morgen etwas überrascht, als ein Plakat an der Bushaltestelle verkündete: ‘Volumen neu definiert’. (Zunächst dachte ich ja, es wäre wieder ein Plakat zum Jahr der Mathematik. War es aber nicht.)
Im Netz (auch auf der Seite der betreffenden Firma) habe ich noch nichts zu der neuen Definition gefunden.
Kommentare (6)