Unter diesem Blickwinkel ist die künstliche Konstruktion eines Systems “als ein an sich vom organischen Bilden absolut verschiedener Vorgang zu betrachten”. (Carus: Über Begriff und Vorgang des Entstehens)

Bei ‘Geometrisierung’ soll es ja eigentlich darum gehen, Flächen in eine besonders regelmäßige Form (d.h. mit konstanter Krümmung) zu bringen (TvF 46).

Für “in der Natur vorkommende” Flächen, also Flächen in unserem 3-dimensionalen Raum ist dies aber offensichtlich nicht so einfach (und sogar unmöglich).

Wenn man sich etwa den Torus und die Brezel im Bild unten anschaut, dann hat man sowohl Punkte mit positiver Krümmung (ganz oben und ganz unten) als auch Punkte mit negativer Krümmung (in den Sattelpunkten). Die Krümmung ist also sicher nicht konstant.

Und das liegt nicht daran, daß wir die beiden Flächen ungeschickt postiert haben. Man kann sich nämlich leicht überlegen, daß jede im 3-dimensionalen Raum liegende geschlossene Fläche Punkte mit positiver Krümmung haben muß. (Man nehme einen Punkt mit maximaler z-Koordinate, d.h. den “obersten Punkt” der Fläche. Es folgt dann leicht aus der Formel für die Krümmung (TvF 48), daß die Krümmung in diesem Maximum positiv ist.) Andererseits müßte ein konstant gekrümmter Torus Krümmung 0 und eine konstant gekrümmte Brezel negative Krümmung haben1.

Also kann man den Torus oder die Brezel nicht so in den 3-dimensionalen Raum legen, daß sie in jedem Punkt dieselbe Krümmung haben.

Man kann aber den Torus in den 4-dimensionalen Raum legen, so daß er in jedem Punkt Krümmung 0 hat.

Für die Brezel braucht man noch ein paar Umgebungs-Dimensionen mehr, wenn man konstante Krümmung erreichen will. (Ich weiß gar nicht, ob die dafür minimal notwendige Dimension überhaupt schon berechnet wurde.)

Es ist aber für Mathematiker oder Physiker gar nicht so wichtig, zu wissen, wie man eine Fläche geschickt in einen hochdimensionalen Raum einbettet. Seit Riemanns Habilitationsvortrag denkt man sich Flächen nicht als etwas im 3- oder höher-dimensionalen liegendes, sondern hat ein abstrakteres Konzept von Flächen (oder allgemein: Riemannschen Mannigfaltigkeiten) und ihrer Geometrie. Dazu nächste Woche.

(Und um den Bezug zur Überschrift herzustellen: es handelt sich bei Riemannschen Mannigfaltigkeiten natürlich um künstliche Konstruktionen, die nicht auf organische Weise in der Natur entstanden sind. Aber zum einen kann man mit der “künstlichen Konstruktion” durchaus auch manche organische Form besser verstehen, und zum anderen hat Riemanns Konstruktion nicht nur inner-mathematische Anwendungen, sondern bildet auch die Grundlage für ganz reale naturwissenschaftliche Theorien wie die Allgemeine Relativitätstheorie.)

1 Dies folgt aus dem Satz von Gauß-Bonnet, der bei konstanter Krümmung K besagt, daß die Euler-Charakteristik gerade 1/2π K x (Flächeninhalt) ist. Beim Torus ist die Euler-Charakteristik 0, also muß auch K=0 sein. Bei der Brezel ist die Euler-Charakteristik -2, also muß auch K negativ sein.

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Kommentare (1)

  1. #1 rank zero
    3. Februar 2009

    Ich bin ja nicht ganz objektiv, schlage aber vor, als Standardreferenz für Riemanns Habilitationsvortrag die entsprechende Jahrbuch-Stelle zu verwenden:

    http://www.emis.de/zmath-item/?=01.0022.02

    Zumindest, bis Göttingen mit scannen & aufbereiten soweit ist, die Sachen unter stabilen URLs anzubieten.