Wissenschaftsgegner argumentieren häufig, daß es Beweise nur in Mathematik und Logik gäbe, weshalb zum Beispiel die Evolutionstheorie nicht als bewiesen, sondern bestenfalls als zu einem hohen Grade bestätigt anzusehen sei.

Dem Thema Beweise, besonders dem relativ neuen Thema formale Computer-überprüfte Beweise, widmeten sich mehrere Artikel in der Dezember-Ausgabe der Notices of the American Mathematical Society, worüber ich hier kurz berichten will.

Beweise nach Bourbaki

Ein (mathematischer) Beweis ist die Herleitung der Richtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen mittels klar definierter Regeln.

So kennt man es seit Euklid1.

Wobei: klar definierte Regeln sind jedenfalls nicht die, die wir im Mathematik-Unterricht in der Schule gelernt haben. Denn dort rechnet man ja (zum Beispiel) mit den ganzen Zahlen 1,2,3,… rein “intuitiv”, ohne jemals diese Rechenregeln formal bewiesen zu haben.

Bourbaki hatte 1939 in seinem Lehrbuch zur Mengenlehre einen streng formalen Aufbau der Mathematik (auf Basis der Mengenlehre) dargestellt.

Nur: mit dem Ansatz von Bourbaki ist es (ohne Computer) zwar theoretisch, aber nicht praktisch, möglich, die Mathematik formal zu entwickeln. Selbst wenn man nur elementare zahlentheoretische Tatsachen auf dem Niveau der 1.Grundschulklasse streng nach Bourbaki formal beweisen wollte, bräuchte man (nach Berechnungen von A.R.D.Mathias2) Argumentationsketten aus Billionen von Symbolen. Von anspruchsvolleren Beweisen gar nicht zu reden.

Also: formale Beweise auf der Basis von Bourbaki’s Axiomen sind theoretisch, aber nicht praktisch möglich. Jedenfalls nicht ohne Hilfe von Computern.

Traditionelle vs. formale Beweise

Zwar sagt man immer, daß in der Mathematik jede Behauptung formal bewiesen (also die Behauptung aus den Voraussetzungen mittels der klar definierten Regeln hergeleitet) wird. Aber in Wirklichkeit ist es natürlich schon so, daß mathematische Beweise viele Routinen und Analogieschlüsse benutzen, deren Richtigkeit so selbstverständlich ist, daß man sie nicht formal beweist. Niemand wird sich die Mühe machen, innerhalb eines Beweises noch zu begründen, daß 52/26=2 tatsächlich aus den Axiomen der Arithmetik folgt.
(Wie jeder Mathematiker weiß, gibt es darüber hinaus natürlich auch große stilistische Unterschiede zwischen stärker geometrisch, durchaus auch mit handwaving, argumentierenden Mathematikern und, etwa in manchen Teilen der Algebra, sehr formalen Argumenten. Das wäre aber noch ein anderes Thema, das hier zu weit weg führen würde.)

Deshalb wird in den Notices-Artikeln unterschieden zwischen traditionellen Beweisen und formalen Beweisen.
Traditionelle Beweise, wie sie Mathematiker jeden Tag produzieren, sind, selbst wenn sie sehr streng und formal aussehen, fehleranfällig, weil sie eben doch von Menschen stammen und bei weitem nicht völlig formal sind.
Formale Beweise sind Beweise, in denen wirklich jede Tatsache regelgerecht aus den Axiomen hergeleitet wird. Formale Beweise sind erst seit einigen Jahren, mit Computerhilfe, möglich.

John Harrison von Intel vergleicht in einem der Notices-Artikel diese neue Situation mit der Situation in der Analysis (Differentialrechnung) am Anfang des 19.Jahrhunderts. Newton, Euler etc. war es ja immer bewußt gewesen, daß viele ihrer Rechnungen auf einem unklaren logischen Fundament aufbauen, aber erst im 19. Jahrhundert wurde die Analysis auf die heute gebräuchliche formale Grundlage (ε-δ-Beweise, Grenzwerte, …) gestellt.

Die (langfristige) Perspektive der Notices-Autoren ist offenbar, daß man anstreben soll, in Zukunft alle mathematischen Beweise mit Computerhilfe auf vollständige formale Korrektheit zu überprüfen.

Computer-überprüfte Beweise

Um ein mögliches Mißverständnis zu vermeiden: man erwartet nicht, daß Computer in absehbarer Zeit in der Lage sein werden, mathematische Beweise zu finden. Man muß zunächst einen traditionellen Beweis, also einen von einem Menschen mit mehr und weniger genialen Ideen gefundenen Beweis, vorliegen haben und kann ihn erst dann mit Computerhilfe formalisieren und überprüfen, um ihn zu einem formalen Beweis werden zu lassen. Bei formalen Beweisen handelt es sich also um von (in der Regel genialen) Mathematikern gefundene Beweise, die vom Computer nur überprüft wurden.
(Ein anderes Thema sind Computerbeweise wie beim 4-Farben-Problem oder der Kepler-Vermutung. Hier ging es nicht um die formal vollständige Verifikation, sondern um das Abarbeiten sehr vieler Fallunterscheidungen, die für einen Menschen zu aufwendig gewesen wäre. Diese älteren Computerbeweise waren keine formalen Beweise. Allerdings gibt es für den 4-Farben-Satz inzwischen einen formalen Beweis, an einem formalen Beweis der Kepler-Vermutung wird noch gearbeitet.)

Es gibt inzwischen eine Reihe schwieriger Sätze, zu denen tatsächlich formale Beweise vorliegen. Der erste war 1986 ein Computerbeweis von Gödels Unvollständigkeitssatz. (Dieser besagt, daß es unbeweisbare richtige Sätze gibt. Es hat natürlich eine gewisse Ironie, daß ausgerechnet der Beweis der Unbeweisbarkeit der erste von einer Maschine bewiesene Satz war.) Auch zum 4-Farben-Satz (dem Satz, daß sich jede Karte mit 4 Farben färben läßt) gibt es inzwischen einen vollständigen Computerbeweis (nachdem ja bereits der ursprüngliche Beweis von Appel und Haken 1976 in wesentlichen Teilen auf Computer-Rechnungen basierte, was seinerzeit zu großen Diskussionen führte, nicht zuletzt weil man tatsächlich eine Reihe von Fehlern in Details fand). Dieser Computerbeweis des 4-Farben-Satzes wird in den Notices in einem eigenen Artikel besprochen.

Viel beeindruckender als diese beiden Sätze fand ich einige andere Sätze, die ich nicht unbedingt als leicht formalisierbar angesehen hätte: zum einen gibt es inzwischen eine Computer-Überprüfung zum Selberg-Erdös-Beweis des Primzahlsatzes (dieser gibt eine näherungsweise Formel für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegebenen Stelle) und zum anderen gibt es Computer-Überprüfungen zu topologischen Sätzen wie dem Jordanschen Kurvensatz oder auch dem Brouwerschen Fixpunktsatz. (Über letzteren und seine Anwendungen hatte ich z.B. in TvF 32,33, 34, 36 und 42 geschrieben.)
Beides sind Sätze, die ursprünglich sehr aufwendige Beweise hatten, für die man inzwischen aber kurze Beweise mittels algebraischer Topologie kennt. Für diese kurzen Beweise muß man aber eben vorher eine Menge Theorie kennen (und diese vielen theoretischen Resultate muß der Computer dann natürlich auch alle erst nachgeprüft haben – hier also die diversen Eigenschaften der Homologiegruppen, die man in beiden Beweisen benötigt.)

Es gibt eine Reihe verschiedener Beweisüberprüfungsprogramme, das erfolgreichste ist wohl HOL Light, dem auch ein Artikel in den Notices gewidmet ist. Es gibt ca. 80 bekannte mathematische Lehrsätze, die mit Computer nachgeprüft wurden. Die meisten Überprüfungen (nämlich mit 17 verschiedenen Programmen) gibt es zum Beweis, daß die Wurzel aus 2 irrational ist. (Nicht sehr überraschend, weil dieser Beweis tatsächlich nicht nur kurz ist, sondern auch nichts weiter als elementare Eigenschaften ganzer Zahlen benutzt.)

Hat man mit den formalen Computer-Überprüfungen nun absolute Sicherheit betreffs der Richtigkeit der bewiesenen Resultate?
Laut Notices macht ein Programmierer etwa 1,5 (Tipp-)Fehler pro Zeile und immerhin 1 Fehler pro 100 Zeilen bleibt unbemerkt. Also, auch bei Computerbeweisen hat man keine absolute Gewißheit. (Mal abgesehen davon, daß Computerfehler möglich sind. Die kann man durch mehrmaliges Laufen auf unterschiedlichen Rechnern zwar praktisch, aber nicht absolut, ausschließen.) Also: Wissenschaftsgegner können auch in Zukunft argumentieren, daß es selbst in der Mathematik keine absolute Gewißheit, sondern nur Grade der Bestätigung gibt.

(PS: ich hoffe mal, daß dieser Artikel genug Fachtermini und vor allem komplexe Sachverhalte enthält, um zu verhindern, daß er womöglich von schleimigen Wissenschaftsgegnern gelesen oder gar zitiert wird.)

1 Am Rande: Als Musterbeispiel streng logischen Schließens gelten ja immer Euklids “Elemente”. Bekanntlich wird dort die elementare Geometrie durch streng logisches Schließen aus wenigen Axiomen hergeleitet. Weniger bekannt ist vielleicht, daß bereits im Beweis der 1. Proposition folgende Tatsache ohne Beweis verwendet wird: zwei Kreise, die jeweils durch den Mittelpunkt des anderen Kreises verlaufen, müssen sich schneiden. Wie im Bild rechts.

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Das ist sicher anschaulich klar, aber Euklid hat es eben nicht (aus seinen Axiomen) bewiesen. Und man kann es wohl auch gar nicht aus Euklids Axiomen herleiten. Hilbert hat weitere (Anordnungs-)Axiome hinzugefügt, mit denen sich solche Probleme dann lösen lassen.

Über Euklids Elemente schreibt O’Shea:

Mathematiker und Gelehrte wissen um die Schwachstellen bei Euklid, und im Lauf der Jahrhunderte wurde viel über alternative Axiome oder mögliche Zusätze diskutiert. Das hat Generationen ehrführchtiger Schulmeister nicht davon abgehalten, sich an der majestätischen Ordnung, der Verständlichkeit und der Praktikabilität der “Elemente” zu berauschen und sie vorschnell als die größte Leistung menschlichen Denkens zu bejubeln. Einem nachdenklichen Schüler könnten sie jedoch eher kapriziös als rational vorkommen.
Man sollte nicht vergessen, daß alle Erkenntnise der Mathematik, auch wenn sie als ewig gültig und von der menschlichen Gesellschaft unabhängig hingestellt werden, in Wirklichkeit in bestimmten kulturellen und sozialen Kontexten gewonnen und weitergegeben werden. Einige argumentieren beispielsweise, die Griechen hätten den Beweis erfunden, um die Aussagen der ägyptischen und babylonischen Mathematik verstehen zu können, ohne Zugang zu dem Kontext zu haben, in dem deren Erkenntnisse gewonnen und angewandt wurden.

2Die Berechnungen von A.R.D.Mathias findet man in seiner Arbeit A Term of Length 4,523,659,424,929. Seine Inhaltsangabe dieser (stellenweise recht polemisch geschriebenen) Arbeit: “A calculation of the number of symbols required to give Bourbaki’s definition of the number 1; to which must be added 1,179,618,517,981 disambiguatory links. The implications for Bourbaki’s philosophical claims and the mental health of their readers are discussed.

Kommentare (43)

  1. #1 florian
    1. Februar 2009

    “1,5 (Tipp-)Fehler pro Zeile”

    Das kommt mir wahnsinng viel vor. Wie hat man sich denn solchen Tippfehler vorzustellen?

  2. #2 Thilo Kuessner
    1. Februar 2009

    Es geht natürlich nicht um das Tippen von Texten, sondern um die Codes von Computerprogrammen. Ich gehe mal davon aus, daß hier alle Tippfehler gezählt wurden, auch die, die man noch beim Tippen bemerkt.
    Wie gesagt, als Quote an unbemerkt gebliebenen Fehlern wird im Artikel mit 1 pro 100 Zeilen angegeben.
    Etwas detailliertere Schätzungen zu den (unbemerkt gebliebenen) Fehlern findet man auf http://amartester.blogspot.com/2007/04/bugs-per-lines-of-code.html .

  3. #3 Joerg
    1. Februar 2009

    Der erste war 1986 ein Computerbeweis von Gödels Unvollständigkeitssatz. (Dieser besagt, daß es unbeweisbare richtige Sätze gibt. Es hat natürlich eine gewisse Ironie, daß ausgerechnet der Beweis der Unbeweisbarkeit der erste von einer Maschine bewiesene Satz war.)

    Wow, das klingt spannend. Ich erinnere mich, mal ein Skript zu theoretischer Informatik teilweise gelesen zu haben, und da gab es etwas mit Turing-Maschinen, unendlichen Bändern und einem Programm das bestimmen soll wann ein anderes Programm fertig ist.
    Hat der Beweis damit zu tun oder ist das etwas völlig anderes?
    Ich sollte eines Tages wohl doch mal Gödel, Escher, Bach lesen…

  4. #4 Ludmila
    1. Februar 2009

    Wow, toller Beitrag. Als ich zum ersten Mal von Gödels Unvollständigkeitssatz las, war ich wie vor den Kopf geschlagen: Was? Noch nicht mal auf die Mathematik kann man sich velassen 😉

    Hab mich aber recht schnell erholt 😉 Das Problem der Wissenschaftsfeinde ist aber folgendes: Für die sind Fehler und Unwissenheit gleichbedeutend mit Schwäche. Was besonders witzig deswegen ist, weil sich diese Wissenschaftsgegner auf Nichtwissen und Nichtwissenwollen was einbilden und völlig beleidigt reagieren, wenn man mal sie auf ihre horrenden Fehler in ihren eigenen Aussagen hinweist, die sich sogar selbst widersprechen.

    Für uns dagegen sind Fehler Chancen, aus denen mal lernen kann und das Nichtwissen ist eine Herausforderung. Aber das geht denen ja völlig über den Horizont.

  5. #5 Sven Türpe
    1. Februar 2009

    Wissenschaftsgegner argumentieren häufig, daß es Beweise nur in Mathematik und Logik gäbe, weshalb zum Beispiel die Evolutionstheorie nicht als bewiesen, sondern bestenfalls als zu einem hohen Grade bestätigt anzusehen sei.

    Mag sein, dass auch Wissenschaftsgegner so argumentieren. Man muss aber keiner sein, um es zu tun. Es genügt völlig, sich an einer Diskussion zu beteiligen, die neben wissenschaftlichen auch politische Aspekte hat. Politische Aspekte hat jede Diskussion, deren Gegenstand uns nennenswert näher ist als beispielsweise Exoplaneten und größere gesellschaftliche Relevanz hat als etwa ein Ziegenproblem. Klimadebatten sind ein einschlägiges Beispiel.

    Es ist legitim und oft auch erforderlich, in solche Diskussionen den Kenntnisstand der Wissenschaft einzubeziehen. Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen, dass man bereits der Neigung entschieden entgegentreten muss. In diesem Zusammenhang ist der Verweis auf verschiedene Erkenntnisqualitäten und deren unterschiedliche Verlässlichkeit ein gültiges und wichtiges Argument. Das gilt um so mehr, als die im strengen Sinne beweisbaren Sätze der Logik und Mathematik erfahrungsgemäß auch tatsächlich nicht mehr explizit bezweifelt, wenngleich häufig falsch oder gar nicht angewandt werden. Oder kennt hier jemand Arithmetik- und Geometrie”leugner”?

  6. #6 Sven Türpe
    1. Februar 2009

    Wissenschaftsgegner argumentieren häufig, daß es Beweise nur in Mathematik und Logik gäbe, weshalb zum Beispiel die Evolutionstheorie nicht als bewiesen, sondern bestenfalls als zu einem hohen Grade bestätigt anzusehen sei.

    Mag sein, dass auch Wissenschaftsgegner so argumentieren. Man muss aber keiner sein, um es zu tun. Es genügt völlig, sich an einer Diskussion zu beteiligen, die neben wissenschaftlichen auch politische Aspekte hat. Politische Aspekte hat jede Diskussion, deren Gegenstand uns nennenswert näher ist als beispielsweise Exoplaneten und größere gesellschaftliche Relevanz hat als etwa ein Ziegenproblem. Klimadebatten sind ein einschlägiges Beispiel.

    Es ist legitim und oft auch erforderlich, in solche Diskussionen den Kenntnisstand der Wissenschaft einzubeziehen. Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen, dass man bereits der Neigung entschieden entgegentreten muss. In diesem Zusammenhang ist der Verweis auf verschiedene Erkenntnisqualitäten und deren unterschiedliche Verlässlichkeit ein gültiges und wichtiges Argument. Das gilt um so mehr, als die im strengen Sinne beweisbaren Sätze der Logik und Mathematik erfahrungsgemäß auch tatsächlich nicht mehr explizit bezweifelt, wenngleich häufig falsch oder gar nicht angewandt werden. Oder kennt hier jemand Arithmetik- und Geometrie”leugner”?

  7. #7 Joerg
    1. Februar 2009

    wenn man mal sie auf ihre horrenden Fehler in ihren eigenen Aussagen hinweist, die sich sogar selbst widersprechen.

    Puh, und wenn man sich hinstellt und sagt: Ihr solltet hier nicht misdiskutieren dürfen, weil es absolut nichts bringt und alles für ernstere Diskussion sperrt, dann geht aber der Punk ab…

    Mir ist aber noch eine Frage eingefallen: Gibt es Chancen, mit diesen logischen Beweisen auch Aussagen physikalischer Theorien zu beweisen? Gerade Stringtheorie ist doch auch sehr viel Topologie etc (Dafür schlagen mich jetzt die theoretischen Physiker…bin halt nur Boden- und Wasserphysiker…)

  8. #8 Ulrich
    1. Februar 2009

    @ Thilo:

    Ich hätte da einen Vorschlag für ein Posting. Anfang der 90er Jahre hiel Gregory Chaitin am Wiener Mathe-Institut einen Vortrag, den er selbst so zusammenfasste:
    – Gödel: Math is incomplete
    – Turin: Math is undecideable
    – Chaitin: Math is random
    Ich fand das etwas arrogant, aber auch cool. Mit Gödel hab ich mich früher recht intensiv beschäftigt, mit Turing schon weniger, und Chaitin hab ich nie weiter verfolgt. Eine Zusammenfassung dieser drei Resultate auf Mathlog – wär das nicht eine Idee?

  9. #9 Thilo Kuessner
    1. Februar 2009

    @ Jörg:
    Ja, bei Gödels Unvollständigkeitssatz beweist man letztlich, daß es in jeder Arithmetik Sätze gibt, die sich weder beweisen noch widerlegen lassen. Die Grundidee ist, grob gesagt, daß man Sätzen über natürliche Zahlen Nummern zuordnet und dann beweist, daß es einen Satz der Art “Satz Nummer N ist falsch” gibt, der gerade Nummer N hat, also sich sozusagen selbst widerspricht. Hofstadters Buch beschreibt viele solcher “Selbst-Referentialitäten”.
    Ein etwas weniger konstruiertes Beispiel ist der Satz von Matiyasevich, nach dem es keinen Algorithmus geben kann, der die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen (d.h. Gleichungen in ganzen Zahlen) entscheidet.

    Zur Physik: zuerst müßten sich die Physiker darauf einigen, welche Axiome sie der Physik zugrunde legen (das war ja Hilberts 6. Problem in seiner bekannten Rede von 1900). Dann könnte man formal nachprüfen, welche Schlußfolgerungen sich aus diesen Axiomen logisch korrekt herleiten lassen. Wobei, soweit ich es verstehe, das Problem bei der Stringtheorie ja weniger die logische Korrektheit als die experimentelle Nachprüfbarkeit ist :-)

  10. #10 Thilo Kuessner
    1. Februar 2009

    @ Ulrich:
    Chaitins Arbeit kenne ich leider überhaupt nicht. Dem Wikipedia-Artikel über ihn entnehme ich, daß er zu dem Satz von Matiyasevich (über die algorithmische Unentscheidbarkeit der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen) konkrete Beispiele konstruiert hat, und daß es ‘zufällig’ sei, welche Gleichungen sich lösen lassen. Ich werde mal in den nächsten Tagen schauen, ob ich seriöse Literatur dazu finde.

  11. #11 Joerg
    1. Februar 2009

    Also ich paraphrasiere nur Michio Kaku, der im SGU Podcast #182 interviewt wurde, der mag String Theorie und ist sogar der Ansicht dass die M-Theorie stark genug ist um ohne Experimente bestehen zu können wenn man sie mathematisch vollstädnig gebaut kriegt.
    Er nennt aber eine Reihe von möglichen Experimenten die in der Lage sind Aussagen der Stringtheorie experimentell zu testen (das wäre mal einen Post wert, muss ich mal nächstes Wochenende nochmal anhören). Er sagt aber auch, die Stringtheorie ist mathematisch einfach noch nicht vollständig genug gebaut um so ohne weiteres testbar zu sein.

  12. #12 Chris
    1. Februar 2009

    Wie in der Einleitung bereits anklingt, muss man zwischen Theorien in der Mathematik und der Naturwissenschaft differenzieren, was letztendlich auch zu unterschiedlichen Graden der Beweisbarkeit fuehrt.
    Sehr interessant finde ich die Argumentation von Popper fuer Theorien in der Naturwissenschaft, die sinngemaess und vereinfacht so lautet:

    Theorien sind nicht beweisbar, sondern nur falsifizierbar.

    Der Sinn dahinter ist klar. Nach (empirischer) Beobachtung der Umwelt formuliert man eine Gesetzmaessigkeit oder eine Theorie, die zwar fuer die Beobachtungen richtig ist allerdings das Ausschliessen jegweder Ausnahmen zu Problemen fuehrt. Eine Theorie hat daher solange Gueltigkeit, bis sie widerlegt ist. Allerdings kann sie selbst danach eine gewisse Rechtfertigung haben (z.b. erklaert das Bohrsche Atommodell gewisse Effekte immer noch ausreichend).

    Im Kontrast dazu stehen Theorien oder spezieller, Saetze in der Mathematik. Hier werden sicherlich auch Gesetzmaessigkeiten beobachtet, die zur Formulierung von Saetzen fuehren. Allerdings wird hier nicht anhand von Beispielfaellen argumentiert, sondern es ist vergleichsweise “einfach” einen Allquantor anzuwenden, da man mit entsprechender Muehe ein Fundament fuer die Mathematik angeben kann. Und genau hier liegt der fundamentale Unterschied zur Naturwissenschaft, denn eine all-quantifikation ist (noch?) nicht moeglich.
    Deine Bedenken am Ende deines Beitrags bzgl Wissenschaftsgegnern sind meiner Meinung nach ueberfluessig. Eine Diskussion ueber den Beweisbegriff mit Wissenschaftsgegnern in der Mathematik oder in formalen Systemen wird sehr wahrscheinlich zu einer blamablen, qualvollen und fuer uns sehr unterhaltsamen Niederlage der Gegner fuehren.

    Von einer bewiesenen Evolutionstheorie zu reden ist dagegen gefaehrlich, denn sie ist lediglich nach unserem Kenntnissstand nicht falsifizierbar. Woraus aber nicht zwangslaeufig die Gueltigkeit anderer abstruser Theorien folgt noch diese nicht den selben Standards wie alle anderen Theorien der Naturwissenschaften genuegen muessen. Hier hat die Wissenschaft aufgrund ihrer Offenheit, Ueberpruefbarkeit und Anfechtbarkeit sicherlich einen schwereren Stand, zumal das Nachvollziehen und Mitdenken eine gewisse Anstrengung erfordert, die von einigen Fanatikern nicht vollbracht werden kann oder will.

    Gruesse,
    Captain Obvious

  13. #13 student_b
    1. Februar 2009

    Interessanter Artikel.

    “A calculation of the number of symbols required to give Bourbaki’s definition of the number 1; to which must be added 1,179,618,517,981 disambiguatory links. The implications for Bourbaki’s philosophical claims and the mental health of their readers are discussed.”

    Wissenschaftler haben einen guten Humor, allen Neidern zum Trotz. :)

    Von einer bewiesenen Evolutionstheorie zu reden ist dagegen gefaehrlich, denn sie ist lediglich nach unserem Kenntnissstand nicht falsifizierbar.

    Inwiefern ist die Evolutionstheorie nicht falsifizierbar?

    Wäre die Theorie nicht falsifiziert wenn die Nachkommen zweier Katzen ein Hund wäre?

    Wenn in Jahrmilliarden altem Gestein die Gebeine von heutigen Lebewesen gefunden würden?

    Oder andere etwas bessere Beispiele die mir als Laien gerade nicht einfallen?

    Wieso sollte die Evolutionstheorie nicht falsifizierbar sein? Nur weil sie bisher noch nicht falsifiziert wurde?

    Irgendwie finde ich deine Aussage etwas seltsam. (Vielleicht habe ich dich auch nur falsch verstanden.)

  14. #14 Thilo Kuessner
    1. Februar 2009

    @ student b:
    Ich glaube, das ist ein Mißverständnis. Chris meinte offensichtlich “nicht falsifizierbar” in dem Sinn, daß sie im Prinzip falsifizierbar ist, aber eben nicht falsifiziert wurde und (aller Wahrscheinlichkeit nach) auch nicht falsifiziert werden wird.

  15. #15 Sven Türpe
    1. Februar 2009

    Wissenschaftsgegner argumentieren häufig, daß es Beweise nur in Mathematik und Logik gäbe, weshalb zum Beispiel die Evolutionstheorie nicht als bewiesen, sondern bestenfalls als zu einem hohen Grade bestätigt anzusehen sei.

    Mag sein, dass auch Wissenschaftsgegner so argumentieren. Man muss aber keiner sein, um es zu tun. Es genügt völlig, sich an einer Diskussion zu beteiligen, die neben wissenschaftlichen auch politische Aspekte hat. Politische Aspekte hat jede Diskussion, deren Gegenstand uns nennenswert näher ist als beispielsweise Exoplaneten und größere gesellschaftliche Relevanz hat als etwa ein Ziegenproblem. Klimadebatten sind ein einschlägiges Beispiel.

    Es ist legitim und oft auch erforderlich, in solche Diskussionen den Kenntnisstand der Wissenschaft einzubeziehen. Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen, dass man bereits der Neigung entschieden entgegentreten muss. In diesem Zusammenhang ist der Verweis auf verschiedene Erkenntnisqualitäten und deren unterschiedliche Verlässlichkeit ein gültiges und wichtiges Argument. Das gilt um so mehr, als die im strengen Sinne beweisbaren Sätze der Logik und Mathematik erfahrungsgemäß auch tatsächlich nicht mehr explizit bezweifelt, wenngleich häufig falsch oder gar nicht angewandt werden. Oder kennt hier jemand Arithmetik- und Geometrie”leugner”?

  16. #16 Chris
    2. Februar 2009

    Meine Aussage soll nicht sein, dass die Evolutionstheorie nicht falsifizierbar ist, sondern “nach unserem jetzigen Kenntnissstand” das nicht ist. Vermutlich ist das Wort “nach” trotz der vorherigen These, dass Theorien in der Naturwissenschaft per se die Eigenschaft haben dass sie moeglicherweise falsifiziert werden koennten, nicht besonders gut gewaehlt. “…mit unserem jetzigen Kenntnissstand…” ist vermutlich besser…wir koennten auf Lojban wechseln, um praezisier zu kommunizieren….

  17. #17 Sven Türpe
    2. Februar 2009

    Ludmila schrieb:

    Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen,

    Bitte? Was meinen Sie denn damit? Und wo ist der Beleg dazu?

    Den nächstliegenden Beleg werden wir im Herbst feiern. Es ist der 20. Jahrestag des Unterganges eines Systems, dessen Handeln wesentlich durch die Illusion einer wissenschaftlichen Weltanschauung geprägt war. Und sage mir keiner, dass dieser Untergang allein auf Fehler im historischen Materialismus zurückzuführen sei und durch korrekte Wissenschaft an gleicher Stelle vermieden worden wäre. Nein, ganz und gar nicht. Um es mit dem bereits von anderen in die Diskussion eingeführten Karl Popper zu sagen, den man bitte nicht nur auszugsweise lesen möge:

    “Der Anspruch des Marxismus auf wissenschaftliche Beweisbarkeit der Vorhersage, daß es zur sozialen Revolution kommen muß und daß das Kommen des Sozialismus unabwendbar ist — ganz wie eine Sonnenfinsternis mit Hilfe von Newtons Himmelsmechanik voraussagbar ist –, dieser Anspruch enthält eine furchtbare moralische Gefahr.”

    (Karl R. Popper: Gegen den Zynismus in der Interpretation der Geschichte, Vortrag, Mai 1991, abgedruck in: Alles Leben ist Problemlösen)

    In der Politik haben Beweise nichts zu suchen. Schon deshalb nicht, weil die Politik, bei den Axiomen beginnend, verschiedene Sichtweisen und Annahmen zulassen muss, selbst wenn sie sich selbst für die Anwendung nur einer Auswahl entscheidet.

  18. #18 Sven Türpe
    2. Februar 2009

    Ludmila schrieb:

    Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen,

    Bitte? Was meinen Sie denn damit? Und wo ist der Beleg dazu?

    Den nächstliegenden Beleg werden wir im Herbst feiern. Es ist der 20. Jahrestag des Unterganges eines Systems, dessen Handeln wesentlich durch die Illusion einer wissenschaftlichen Weltanschauung geprägt war. Und sage mir keiner, dass dieser Untergang allein auf Fehler im historischen Materialismus zurückzuführen sei und durch korrekte Wissenschaft an gleicher Stelle vermieden worden wäre. Nein, ganz und gar nicht. Um es mit dem bereits von anderen in die Diskussion eingeführten Karl Popper zu sagen, den man bitte nicht nur auszugsweise lesen möge:

    “Der Anspruch des Marxismus auf wissenschaftliche Beweisbarkeit der Vorhersage, daß es zur sozialen Revolution kommen muß und daß das Kommen des Sozialismus unabwendbar ist — ganz wie eine Sonnenfinsternis mit Hilfe von Newtons Himmelsmechanik voraussagbar ist –, dieser Anspruch enthält eine furchtbare moralische Gefahr.”

    (Karl R. Popper: Gegen den Zynismus in der Interpretation der Geschichte, Vortrag, Mai 1991, abgedruck in: Alles Leben ist Problemlösen)

    In der Politik haben Beweise nichts zu suchen. Schon deshalb nicht, weil die Politik, bei den Axiomen beginnend, verschiedene Sichtweisen und Annahmen zulassen muss, selbst wenn sie sich selbst für die Anwendung nur einer Auswahl entscheidet.

  19. #19 Ludmila
    2. Februar 2009

    Oder kennt hier jemand Arithmetik- und Geometrie”leugner”?

    Ja.

    Da gibt es Leute, welche sich an der Quadratur des Kreises versuchen und in dem Zusammenhang auch schon mal versuchen die Zahl Pi umzudeuten.

    Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen,

    Bitte? Was meinen Sie denn damit? Und wo ist der Beleg dazu?

  20. #20 Joerg
    2. Februar 2009

    Meine Aussage soll nicht sein, dass die Evolutionstheorie nicht falsifizierbar ist, sondern “nach unserem jetzigen Kenntnissstand” das nicht ist

    Das ist jetzt so oft behauptet worden, aber nie ist die Frage beantwortet warum das Anbringen einer großen Menge möglicher Gegenfunde (die eben nicht vorliegen, aber möglich wären) keine Möglichkeit der Falsifizierbarkeit vorsieht. Vielleicht weiß ich einfach nicht, wie genau Falsifizierbarkeit definiert ist, aber das müsste mir doch jemand erklären können?

  21. #21 Happy
    2. Februar 2009

    Joerg,
    so ist das nicht gemeint. Spätestens seit Popper ist eine wissenschaftliche Theorie nur dann valide, wenn man Versuche anstellen kann, um sie zu falsifizieren. Eine Aussage, die theoretisch nicht falsifiziert werden kann, enthält keinerlei wissenschaftliche Information.
    So ist es auch mit der Evolutionstheorie. Theoretisch lässt sie sich falsifizieren, mehr oder weniger vernünftige Beispiele für dafür notwendige Beobachtungen sind hier ja schon angeführt worden. Aber: Bisher ist es niemandem gelungen, eine solche Beobachtung zu dokumentieren. Das heißt, dass die Theorie sich (nachdem 150 Jahre Wissenschaftler sich vergeblich bemüht haben, diese zu falsifizieren) bewährt hat.

  22. #22 Joerg
    2. Februar 2009

    Happy: Ja, das ist genau das was ich auch denke, aber es kommen immer wieder Leute die sagen, es gäbe keinen Weg die zu falsifizieren, und das versteh ich nicht. Herr Schleim belegt ja lieber durch Autorität als durch Argumente, aber Chris sagt ja auch ähnliches?!

  23. #23 Happy
    2. Februar 2009

    Ja, OK. Ich weiß jetzt nicht, wer Herr Schleim ist, aber bei Chris Aussage handelt es sich, denke ich zumindest, einfach um ein Missverständnis durch fehlende Präzision. “Nach unserem jetzigen Kenntnisstand nicht Falsifizierbar” ist nicht korrekt, wie du schon sagst. Ich glaube aber, Chris meint eher “ist bisher nicht falsifiziert worden”.

  24. #24 georg
    2. Februar 2009

    @Joerg
    Die Evolutionstheorie ließe sich einfach falsifizieren. Man bräuchte z. B. nur ein paar Fossilien in der falschen Reihenfolge oder in den falschen Gesteinsschichten zu finden. Es ist nur so, dass sogar diejenigen, die die Evolutionstheorie ablehnen, selber nicht mehr daran glauben, dass dies eintrifft. Und diese Überzeugung wird nun in ein Argument gegen die Evoluionstheorie umgedeutet.
    mfg georg

  25. #25 Joerg
    2. Februar 2009

    Achso, Chris sagt nur “Es ist noch kein Artefakt aufgetaucht, das in der Liste der Möglichkeiten zur Falsifizierung steht”. Klar, das habe ich dann falsch verstanden weil der Herr Schleim anscheinend anderes behauptet (das ist in einem älteren Thread hier im Mathlog, es ist aber nicht leicht herauszufinden was er eigentlich behauptet…)

  26. #26 Chris
    2. Februar 2009

    Gnah, da verbesser ich das “nach” zum “mit”, und dennoch wird aus dem Korrekturbeitrag das Missverstaendliche zitiert…

  27. #27 Saidiph ex omnes
    2. Februar 2009

    @Sven Türpe

    “Oder kennt jemand Arithmetik oder Geometrieleugner?”

    JA! Ich, Ich!
    Die Geometrie ist nur eine Lüge, die uns die Lehrer in der Schule beigebracht haben.
    In Wahrheit gilt das alles nur für den Spezialfall des Euklidischen Raumes, schon alleine der ach-so-geniale Satz des Pytagoras ist woanders gar nicht gültig!

    Glaubt nicht an die Allanwesenheit der Geometrie!

  28. #28 Sven Türpe
    2. Februar 2009

    Ludmila schrieb:

    Nicht legitim hingegen wäre der Versuch, sich unter Verweis auf die Wissenschaft gegen politische Kritik zu immunisieren. Dieser Versuch ist in der Vergangenheit so grandios und opferreich gelungen,

    Bitte? Was meinen Sie denn damit? Und wo ist der Beleg dazu?

    Den nächstliegenden Beleg werden wir im Herbst feiern. Es ist der 20. Jahrestag des Unterganges eines Systems, dessen Handeln wesentlich durch die Illusion einer wissenschaftlichen Weltanschauung geprägt war. Und sage mir keiner, dass dieser Untergang allein auf Fehler im historischen Materialismus zurückzuführen sei und durch korrekte Wissenschaft an gleicher Stelle vermieden worden wäre. Nein, ganz und gar nicht. Um es mit dem bereits von anderen in die Diskussion eingeführten Karl Popper zu sagen, den man bitte nicht nur auszugsweise lesen möge:

    “Der Anspruch des Marxismus auf wissenschaftliche Beweisbarkeit der Vorhersage, daß es zur sozialen Revolution kommen muß und daß das Kommen des Sozialismus unabwendbar ist — ganz wie eine Sonnenfinsternis mit Hilfe von Newtons Himmelsmechanik voraussagbar ist –, dieser Anspruch enthält eine furchtbare moralische Gefahr.”

    (Karl R. Popper: Gegen den Zynismus in der Interpretation der Geschichte, Vortrag, Mai 1991, abgedruck in: Alles Leben ist Problemlösen)

    In der Politik haben Beweise nichts zu suchen. Schon deshalb nicht, weil die Politik, bei den Axiomen beginnend, verschiedene Sichtweisen und Annahmen zulassen muss, selbst wenn sie sich selbst für die Anwendung nur einer Auswahl entscheidet.

  29. #29 Joerg
    2. Februar 2009

    Gnah, da verbesser ich das “nach” zum “mit”, und dennoch wird aus dem Korrekturbeitrag das Missverstaendliche zitiert…

    Ja eine Mischung aus Nicht-Lesen-Können und negativer Prägung, sorry

  30. #30 Joerg
    2. Februar 2009

    @Sven Türpe: Das entzieht sich meiner Logik. Weil du also ein Beispiel findest, wo Wissenschaft von Seiten der Politik vorgegaukelt wurde um ein System zu begründen, darf man richtige wissenschaftliche Beweise (oder auch “Beweise”) nicht mehr als Begründung verwenden? Ach, und wenn es richtige Wissenschaft ist dann immunisiert sich da niemand gegen irgendwas, richtige Wissenschaft überprüft ihre “Beweise” stetig.
    Und was Beweise angeht (ohne “…”), die werden wohl in der Politik eher wenig Relevanz haben…

  31. #31 georg
    2. Februar 2009

    @Joerg,
    was Herr Schleim behauptet hat, ist nach meinem Eindruck dreierlei:
    Erstens, die synthetische Evolutionstheorie sei nich falsifizierbar und damit nicht wissenschaftlich.
    Zweitens, die Biologen haben früher etwas anderes gesagt als heute, d. h. denen kann man nicht glauben, weil sie morgen vielleicht nochmal was anderes erzählen.
    Und drittens, die Biologen stimmen nicht in allen Details überein, d. h. die wissen selber nicht wovon sie sprechen.
    mfg georg

  32. #32 Chupacabra
    2. Februar 2009

    @Thilo:
    Es freut mit, dass der angekündigte Beweis-Beitrag da ist!


    Also: Wissenschaftsgegner können auch in Zukunft argumentieren, daß es selbst in der Mathematik keine absolute Gewißheit, sondern nur Grade der Bestätigung gibt.

    Welches Fazit möchtest du da ziehen? Ich verstehe das so, dass es keinen Unterschied zwischen Beweisen in der Mathematik und Beweisen in Naturwiss. gibt. Das sehe ich nicht so. Für einen mathematischen Beweis kann ich doch sagen: Falls es keine Fehler in der Beweiskette gibt, dann ist der bewiesene Satz absolut richtig.
    Meiner Meinung nach kann man in diesem Sinne nicht von bewiesenen naturwissenchaftlichen Erkenntnissen sprechen.

    Ich habe folgendes Bild vor Augen, wenn ich an den Unterschied Mathmatik/Naturwiss. denke: Ich habe auf der einen Seiten die Gruppenaxiome, die mein naturwissenschaftl. Modell symbolisieren sollen. Und auf der anderen Seite habe ich eine mathematische Struktur S, von der ich zeigen möchte, dass sie eine Gruppe ist. Diese mathemat. Struktur symbolisiere unsere Natur. Der Naturwissenschaftler führt dann den Beweis so, dass er sich einzelne geeignete Punkte aus S aussucht und für diese die Gruppenaxiome prüft. Hat er das lange genug gemacht, dann sagt er irgendwann S ist eine Gruppe.
    In meinen Augen ist das schon ein prinzipieller Unterschied zw. mathem. Beweisen und naturwissen. Beweisen. Für mich sind das zwei unterschiedliche Begriffe, die blöderweise gleich genannt werden.

  33. #33 Thilo Kuessner
    2. Februar 2009

    Der Satz war eher polemisch gemeint und bezog sich auf manche nervenden Diskussionen in den scienceblogs, in denen bei verschiedenen Themen gemeint wird, daß irgendwelche (aus Sicht der Fachwelt offensichtlich abwegigen) Einzelmeinungen gleichberechtigt mit den allgemein anerkannten Theorien diskutiert werden müßten.

    Natürlich ist es so, daß es strenggenommen keine ABSOLUTE Sicherheit gibt, selbst Computerbeweise in der Mathematik könnten fehlerhaft sein. Aber es gibt eben allgemein anerkannte Standards, nach denen eine Theorie als richtig, eben als “bewiesen” angesehen wird, in der Mathematik wie in den Naturwissenschaften. Natürlich ist es interessant, darüber zu diskutieren, was diese Standards eigentlich sind und wie sie bestimmt werden. Aber die Gefahr ist dann eben immer, daß solche Diskussionen dazu benutzt werden, in der Öffentlichkeit wissenschaftlich anerkannte Theorien auf eine Stufe mit Meinungen zu setzen. (In der Regel entzünden sich solche Diskussionen ja auch nicht an wissenschaftlichen Detailfragen, sondern an Fragen von poitischer Relevanz wie HIV-Leugnung, Evolution, Nichtraucherschutz oder Klimawandel.)

  34. #34 UMa
    2. Februar 2009

    Hallo Sven Türpe,
    Zitat:”Das gilt um so mehr, als die im strengen Sinne beweisbaren Sätze der Logik und Mathematik erfahrungsgemäß auch tatsächlich nicht mehr explizit bezweifelt, wenngleich häufig falsch oder gar nicht angewandt werden. Oder kennt hier jemand Arithmetik- und Geometrie”leugner”?”

    Ja, natürlich. Wobei ich natürlich jene nicht als Leugner bezeichnen würde, bei denen dies nur auf Unwissen beruht, und die prinzipiell noch die Chance haben es zu verstehen.

    In der Geometrie gehen sie so vor, dass alles was sie sich selbst nicht räumlich vorstellen oder zeichnen können auch mathematisch nicht existieren darf. Beispielsweise eine vierte Dimension, oder zwar vier oder auch mehr Dimensionen aber keinen Euklidischen Raum mit mehr als drei Dimensionen, oder gekrümmte Räume, Räume mit endlichen Volumen aber ohne Rand usw.

    Oder das Schatten auf einem Foto parallel sein sollen, falls von der Sonne geworfen könnte man in die Rubrik Geometrie”leugner” einordnen.

    Klassisch sind die Winkeldreiteiler, die ein Verfahren gefunden haben wollen, nur mit Zirkel und Lineal, einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen.

    In der Arithmetik gibt es immer wieder Leute die einen Bruch aus ganzen Zahlen für den exakten Wert von pi, e, Wurzel von zwei oder so gefunden haben wollen.

    Und dann gibt es noch jemand der die Division ablehnt, weil er entdeckt hat das sie falsch ist. (Leider kein Witz!)

    Grüße UMa

  35. #35 Ludmila
    2. Februar 2009

    @Jörg, Herr Türpe: Sehe ich genauso. Bloß weil der Marxismus von sich behauptete wissenschaftlich zu sein, macht es das nicht dazu. Und wer sich immunisiert – egal mit welchem Argument – wird automatisch unwissenschaftlich, selbst wenn derjenige mit bestem Wissen und Gewissen meint, wissenschaftlich zu arbeiten.

    Und dann sollte man tunlichst zwischen dem Marxismus als Gesellschaftstheorie und der praktischen Umsetzung unterscheiden. Spätestens dann wurde es eine Ideologie und so ziemlich das Gegenteil von Wissenschaft. Und ist damit letztendlich auch falsifiziert worden. Klappt einfach nicht.

    Wenn überhaupt Marxismus jemals inf den Bereich Wissenschaft fiel, dann in den Bereich Geisteswissenschaften. Da sind die Regeln anders – man könnte fast sagen weniger streng – als in den Naturwissenschaften, um die es hier implizit eigentlich geht.

    Im Englischen gibt es dafür sogar andere Wörter um die beiden Bereiche zu trennen: Science and humanities.

  36. #36 Chupacabra
    3. Februar 2009

    Im Zusammenhang mit Gödels Unvollständigkeitssatz und Entscheidbarkeit begeistert mich als Informatiker vor allem folgendes Ergebnis: Dass eine mathematische Theorie nur zwei der folgenden 3 Eigenschaften erfüllen kann:
    1. sie ist axiomatisierbar (es lässt sich eine Menge von Aussagen angeben, aus denen alle anderen Aussagen der Theorie folgen)
    2. sie ist vollständig (für jede beliebige Aussage lässt sich beweisen, dass sie zu der Theorie gehört oder nicht)
    3. es lassen sich in ihr alle berechenbaren Funktionen darstellen. Soll heißen, dass sich Algorithmen, also Computerprogramme, in ihr darstellen lassen.

    Vor allem, dass der 3. Punkt eine Rolle für die Axiomatisierbarkeit einer math. Theorie spielt, beeindruckt mich! Und dass der Knackpunkt bei (3.) die Nichtexistenz eines Algorithmus’ ist, der für beliebige Programme entscheiden kann, ob diese z.B. mal abstürzen werden, oder ob sie in eine Endlosschleife geraten werden.


    Um ein mögliches Mißverständnis zu vermeiden: man erwartet nicht, daß Computer in absehbarer Zeit in der Lage sein werden, mathematische Beweise zu finden.

    Eine kleine Ergänzung: Für Theorien, die nur 1. und 2. erfüllen, scheitert das an der heutigen Technik aufgrund von Speicherplatzmangel und Rechenzeit. Für Theorien, die 3. erfüllen, ist es prinzipiell nicht möglich, den Wahrheitswert für beliebige Aussagen durch Computer entscheiden zu lassen.
    Soweit ich weiß, erfüllt Euklids Geom. Punkt 1 und 2. D.h. es ist möglich, eine beliebige Aussage dieser Geom. durch einen Computer zu beweisen oder zu widerlegen. Man muss unter Umständen ein paar Millionen Jahre warten, aber die Antwort würde kommen. Und sie wird hoffentlich nicht 42 lauten.

  37. #37 Chupacabra
    3. Februar 2009

    @Thilo: OK, verstehe.

    @Sven:
    Oder kennt hier jemand Arithmetik- und Geometrie”leugner”?
    Ich kenne einen “Leugner” der Mengenlehre, der Unendlichkeit der Menge natürlicher Zahlen und, falls ich mich recht erinnere, auch der Existenz reeller Zahlen: Prof. Mückenheim, Fachhochschule Augsburg. Hier ist der Beginn einer jahrelangen, ermüdenden Diskussion mit ihm: http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/565e52b06015ea22?q=hat+cantor+geirrt#f28d6567ce71628e

  38. #38 Thilo Kuessner
    3. Februar 2009

    @ Chupacabra: Die Argumentation von Prof. Mückenheim ist tatsächlich sehr eigenartig. Ich hoffe mal, daß er an der FH Augsburg nichts unterrichtet, was mit Mengenlehre, Stetigkeit o.ä. zu tun hat.

  39. #39 Joerg
    3. Februar 2009

    Leider doch, er unterrichtet Analysis…und Experimentalphysik…und scheinbar eine eigene kleine Propagandavorlesung

    http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/

    Aye caramba!

  40. #40 Erich Willems
    3. Februar 2009

    Ich glaube nicht, dass es bei den Unterschieden in der Beweisbarkeit zwischen naturwissenschaftlichen(nw.) und mathematischen Theorien
    um die prinzipiell nicht vorhandene absolute Sicherheit geht aufgrund von Fehlern, die in den Beweisen sein können.

    Es geht um die Art, wie nw. Erkenntnis gewonnen wird.

    Naturwissenschaft:
    ==================
    Sie basiert auf einzelnen Ereignisbeobachtungen und dem Wunsch eine nutzbare Erklärung
    für diese Ereignisse zu finden.
    Nutzbar in dem Sinne, dass die Erklärung Aussagen macht über bisher noch nicht beobachtete Ereignisse
    aus dem Erklärungszusammenhang.
    Es soll die für uns im z.B. betrieblichen Alltag ja so häufige Äußerung der Art
    “Aus meiner Erfahrung weiß ich, dass es so gemacht werden muss, wenn wir uns nicht in die Luft sprengen wollen”
    aus der reinen Vertauens- und Glaubensebene an der Verlässlichkeit des Erfahrenen in eine (im Prinzip für jeden)
    rational nachvollziehbare explizite Erklärung des z.B. Warum und Wie heben.

    Wie geht dazu vereinfacht die nw. Forschung vor?
    Ersteinmal nicht viel anders als derjenige welcher Erfahrung sammelt:
    (Schematisch vereinfacht)

    a) Phase des Schaffens neuen nw. Wissens
    1. Einzelne Phänomene werden beobachtet.
    2. Über diese Phänomene eine Erwartungshaltung aufgebaut
    (Und jetz verlassen wir den “Nach meiner Erfahrung-Kontext”)
    3. Die Erwartungen objektiviert formuliert (nw. Hypothesen)
    4. Neu beobachtete Ereignisse aus diesem Erwartungskontext werden überprüft ob sie die Erwartungen erfüllen
    5.1. Neue Beobachtungen passen nicht zur Erwartung (nw. Hypothese), also zurück zu 2. (Erwartungshaltung an die neue Erfahrung anpassen)
    5.2. Alle zahlreichen neuen Beobachtungen passen zur Erwartung (nw.Hypothese), also wird diese Hypothese zu einer bestätigten nw. Theorie.

    b) Phase der Festigung des Vertrauens in dieses neue Wissen (nw. Theorie)
    6. Neu beobachtete Ereignisse aus dem Erwartungskontext werden überprüft ob sie die Erwartungen der nw. Theorie erfüllen
    6.1 Neue Beobachtungen passen nicht zur Erwartung (nw. Theorie), also zurück zum Anpassen oder Neubilden der nw. Theorie
    6.2 Immer zahlreichere Beobachtungen bestätigen die Theorie und keine der bisher gemachten konkreten Beobachtung widerspricht ihr.
    7. Die nw. Theorie gilt als bestätigt/gut belegt/mit hohem Vertrauen ausgestattet…
    Diese. nw. Theorie ist damit die höchste Stufe der Formulierung nw. Wissens, sie ist das nw. Wissen.
    Bsp. Gravitationstheorie, …
    Wie bei aller Erfahrung lernt aber auch die nw. Erfahrung aus Fehlern weiterhin dazu,
    d.h. nw. Wissen (d.h. nw. Theorien) werden durch Fehler (Beobachtungen, die nicht zur nw. Theorie passen)
    auch weiterhin durch Korrektur/Anpassung verbessert.
    Also, eine Theorie stellt das aktuelle Wissen der nw. Erkenntnis dar.
    Dieses Wissen wird bestätigt, oder durch unerwartetet Beobachtungen wiederlegt.
    Die Widerlegung mündet in eine Verbesserung der Theorie(Erfahrung)…
    Die Bestätigung in immer größerem Vertrauen in diese nw. Theorie.

    Es ist eine dauernde Spirale der stetigen Verbesserung des explizit gemachten Erfahrungswissens der Menschen.

    Was tut nun die Mathematik?
    ==========================
    (wieder vereinfacht, um das, was aus meiner Sicht wesentliche ist, nicht zu verstecken)

    Die Mathematik definiert frei abstrakte Spiele durch
    festlegen von Anfangsbedingungen, Spielfeld und Spielfiguren sowie dem “dynamischen” Verhalten
    durch Spielregeln.

    Sie hat dabei nicht die zwingende Notwendigkeit, dass diese Spiele verlässliche Aussagen über irgendwelche Ereignisse
    in der realene Welt außerhalb des abstrakten Spieles machen.

    Ihr Interesse ist nun, Eigenschaften dieser (quasi frei definierten) Spiele zu untersuchen und zu
    Beweisen, dass diese Eigenschaften allgemein und absolut in diesem Spiel gelten.
    Dazu führt sie Beweise, die für alle möglichen Ereignisse des Spieles, ob nun schon eingetreten oder nicht,
    zeigen dass die behaupteten Eigenschaften erfüllt sind.

    Warum kann sie diesen Anspruch im Prinzip vertreten (nicht im Detail,fehler in Beweisen u.ä., mal beiseite gelassen)?
    Weil sie frei ist, die Anfangsbedingungen und Regeln als absolut gültig zu definieren.

    Wieder zurück zur Naturwissenschaft:
    ====================================

    Nun kommt ein nw. Forscher zu dem Schluss, das von ihm beochtete Phänomene sich am Besten dadurch erklären lassen,
    dass sie Ereignisse eines mathematisch formulierten Spieles (im obigen Sinne) sind, also den darin formulierten Spielregeln folgen.
    Nennen wir dieses mathematisch form. Spiel “Schach”.

    Damit behauptet/erwartet/vermutet er nun, die Gesetze des Schachspieles
    würden den Zusammenhang zwischen den von ihm beobachteten Phänomenen der Natur erklären.
    Er macht also das math. formal definierte Spiel zu seiner Hypothese.
    Damit geht er dann in obigen Zyklus.

    Nun stellt sich in diesem Zyklus heraus, dass sich diese Hypothese bis zum Vertrauensgrad einer nw. Theorie bestätigt.
    Was hat er nun im Sinne von Vertrauen in diese Theorie?

    Er bekommt zwei nutzbare Ebenen von Mechanismen zur Vertrauenszuordnung:

    1. Die Mechanismen der Erfahrungsebene stellen das Vertrauen zwischen Wirklichkeit und nw. Theorie(Schachspiel) her:

    Es sind dies die Regeln der bestätigenden neuen Beobachtungen im Wechselspiel mit der Möglichkeit,
    dass Beobachtungen in der Theorie denkbar sind, die sie nicht bestätigen würden (Falsifizierbarkeit).
    Hier geht es also um das Vertrauen darin, dass die nw. Theorie tatsächlich etwas über die Welt aussagt.
    Dieses Vertrauen kann nur durch weitere bestätigende Beobachtungen ohne dass widerlegende Beobachtungen auftauchen
    erhöht werden.
    So sind z.B. die math. formulierten Spielregeln zum Wirken der Massenanziehungskraft in der Physik mit entsprechend
    hohem Vertauen ausgestattet, weil bisher massenhaft bestätigende aber keine widerlegenden Ereignisse beobachtet werden konnten.

    2. Mathematische Beweise
    Werden Aussagen/Annahmen über die Eigenschaften der nw. Theorie (in unserem Bsp. Schachspiel 😉 ) aufgrund ihres math.
    formulierten Regelwerkes gemacht, so können diese im math. Sinne in ihrer Allgemeingültigkeit bewiesen werden.
    Das ist z.B. das was ein Ingenier, welcher eine Brücke konstruiert nutzt, um zu zeigen, dass er die Brücke so gebaut hat,
    dass sie auf Grund der math. formulierten nw. Theorien zur Mechanik einer gegebenen Belastung standhalten werde.
    Oder, dass das Fluggerät so konstruiert ist, dass es auf Basis der Gültigkeit der entsprechend nw. Theorien fliegen kann.

    Stellt sich aber heraus, dass ein Ereignis existiert, welches einer derart math. als Richtig gezeigten Aussage der nw. Theorie widerspricht,
    so sind wir wieder zurückgeworfen in die Ebene (1) des erkenntnisverbessernden Prozesses.

    Die Erkenntnis, der Naturwissenschaft, dass sie ihre nw. Theorien nicht endgültig beweisen sondern nur bestätigen oder widerlegen kann
    ist also kein Aspekt der laufen sollte unter “Wissenschaftsgegener sagen häufig … nicht beweisbar”
    sondern unter dem Aspekt: n.Wissenschaft weiß, dass sie keine endgültigen Aussagen machen kann und ist daher fähig aus Fehlern dazuzulernen.
    Und dies macht die Erkenntnisse der n.Wissenschaft (nw. Theorien) eben so vertauenswürdig.
    Wir dürfen relativ sicher sein, dass nw. Erkenntnis auf Dauer nicht in Glaubenssätzen und Dogmen versinkt und von uns erwartet,
    dass wir an Märchen ohne Wirklichkeitsbezug glauben.

  41. #41 Chupacabra
    5. Februar 2009

    Kurzer Nachtrag zum Thema Prof. Mückenheim: Die lange Diskussion, auf die ich verweisen wollte, ist die hier (über 3500 Beiträge von einem überschaubaren Personenkreis): http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/245594c31ec32acc?q=author:alexander+hendriss#b15ac7d8ca61316d