Topologie von Flächen LV

Modelle der hyperbolischen Geometrie.

“Geometrisierung”(TvF 46) – Man möchte Flächen (mit mindestens 2 Henkeln) in eine regelmäßige Form bringen, nämlich so, daß die Krümmung überall -1 ist. In Analogie zur Sphäre, die in regelmäßige Form gebracht (d.h. als runde Sphäre vom Radius 1) überall Krümmung 1 hat.

Es ist sinnvoll, erst einmal ein Modell zu finden für Ebenen mit Krümmung -1.
(Modell soll heißen, daß andere Flächen mit Krümmung -1 jedenfalls lokal genau so aussehen werden; letztlich, daß alle Flächen mit Krümmung -1 vom Modell “überlagert” werden. Dazu, also zur Überlagerungstheorie, in einer späteren Folge.)

Man sucht also sozusagen eine zur runden Sphäre (mit Krümmung 1) “duale” Geometrie (mit Krümmung -1), in der dann z.B. die Innenwinkelsumme von Dreiecken (gemessen in Radiant) π-A ist, im Gegensatz zu π+A auf der Sphäre.

Gauß 1824 an Taurinus (hier):
” Die Annahme, dass die Summe der drei Winkel kleiner sei als 180^o, führt auf eine eigene, von der unsrigen (Euklidischen) ganz verschiedenen Geometrie, die in sich selbst durchaus consequent ist […] So z.B. können die drei Winkel eines Dreiecks so klein werden als man nur will, wenn man nur die Seiten groß genug werden darf, dennoch kann der Flächeninhalt eines Dreiecks, wie groß auch die Seiten genommen werden, nie eine bestimmte Grenze überschreiten, ja sie nicht einmal erreichen.”
(Aus der Formel α+β+γ=π-A ergibt sich ja, daß der Flächeninhalt A nicht größer als π sein kann.)

Seit Anfang des 19. Jahrhunderts wurde über sogenannte nichteuklidische Geometrien diskutiert. Gauß ebenso wie Lobatschewski oder Bolyai hatten über die Eigenschaften einer solchen hyperbolischen Geometrie geforscht ohne ein Beispiel zu kennen.

Die Realisierung einer solchen Geometrie ist die “hyperbolische Ebene”, eine einfach zusammenhängende Fläche mit Krümmung -1.

Der beste Weg, die Geometrie der hyperbolischen Ebene zu verstehen, ist sicherlich über ihre Symmetrien, wie man sie z.B. aus den Bildern Eschers kennt. Dazu später mehr, heute zunächst einfach nur die Darstellung der Modelle mittels ihrer Riemannschen Metrik.

Die Riemannsche Geometrie hat gerade die geeigneten Definitionen und die geeignete Sprache, um diese Geometrien von einem allgemeinen Standpunkt aus zu beschreiben. (Die Riemannsche Geometrie lieferte dann später auch die begrifflichen Grundlagen für die Allgemeine Relativitätstheorie und wäre heute aus Mathematik und Physik nicht mehr wegzudenken.)

Der Ansatz der Riemannschen Geometrie (TvF 51) ist, daß man in jedem Punkt ein Skalarprodukt im Tangentialraum hat (mit dem man dann Längen und Winkel berechnen kann).
Das mag kompliziert klingen, bei den Modellen der hyperbolischen Ebene (s.u.) ist es aber leicht zu erklären:
Hier handelt es sich um Teilmengen der Ebene. Die Tangentialebene an die Ebene ist natürlich in jedem Punkt wieder die Ebene selbst. Und die Riemannsche Metrik ist einfach dadurch gegeben, daß man in jedem Punkt ein Skalarprodukt auf der (Tangential-)Ebene angibt.
In beiden Beispielen wird es so sein, daß das Skalarprodukt im Punkt (x,y) von der Form f(x,y)g_eukl mit einer Funktion f(x,y) ist. Dabei meint g_eukl> die euklidische Metrik, also das übliche Skalarprodukt, das man aus der Schule kennt.
Das heißt: die Länge eines (Tangential-)Vektors am Punkt (x,y) ist gerade seine euklidische Länge multipliziert mit der Funktion f(x,y). (Und Winkel sind genau so groß wie für die euklidische Metrik.)

Poincaré-Halbebenen-Modell:
die obere Halbebene {(x,y): y>0} mit der Riemannschen Metrik g_eukl/y².
Zum Beispiel: Alle Dreiecke unten im Bild sind gleich groß.

Poincaré-Kreisscheiben-Modell:
die Kreisscheibe {(x,y): x²+y² < 1} mit der Riemannschen Metrik 4g_eukl/(1-x²-y²)².
Zum Beispiel: Alle Dreiecke unten im Bild sind gleich groß.

Andere Modelle sind das Klein-Modell und das Minkowski-Modell als Hyperboloid im Minkowski-Raum, bei dem die Analogien zur Sphäre besonders deutlich werden. (Trotz der heutigen Benennung nach Klein bzw. Poincaré gehen die Modelle auf Beltrami zurück, der sie 1868 als “Erweiterung” der unvollständigen Pseudosphäre konstruierte. Also noch im Jahr der Veröffentlichung von Riemanns Vortrag über die Grundlagen der Geometrie.)

Es gibt also verschiedene Modelle der hyperbolischen Ebene. Aus mathematischer Sicht beschreiben diese Modelle alle dieselbe Fläche: Es gibt Isometrien zwischen den verschiedenen Modellen.
Man kann die Isometrien zwischen diesen verschiedenen Modellen ad hoc angeben, zum Beispiel bekommt man eine Isometrie vom Kreisscheiben-Modell zum Halbebenen-Modell durch die Abbildung (x,y)–>(2x/(x²+(y+1)²),2(y+1)/(x²+(y+1)²)-1).
Ganz allgemein hat Ambrose (aufbauend auf E.Cartan) bewiesen, daß eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit durch ihre (Schnitt-)Krümmung eindeutig festgelegt ist. (Präzise Formulierung hier.)
Insbesondere gibt es nur eine hyperbolische Ebene.

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