“Wende dein Gesicht in Richtung der heiligen Moschee: Wo immer du bist, wende dein Gesicht in diese Richtung” (Koran 2:144)

Moscheen müssen bekanntlich in Richtung der Kaaba im Innenhof der Heiligen Moschee in Mekka ausgerichtet werden. (Diese vorgeschriebene Gebetsrichtung heißt “Kibla“.) Die konkrete Auslegung dieser Vorschrift führt aber schon mal zu Meinungsverschiedenheiten.
1953 wurde in Washington eine Moschee gebaut und die Architekten baten das Ägyptische Bauministerium um die genaue Angabe der Kibla. Diese ist 56:33:15 Grad Richtung Nordost. Obwohl Mekka südlich von Washington liegt, läuft die kürzeste Verbindung Washington-Mekka auf einem Großkreis in (zunächst) nordöstlicher Richtung. Was dann in den USA zu Kontroversen unter Muslimen führte, manche Moscheen wurden trotzdem in Richtung Südost ausgerichtet. (Aus einem Artikel von F.Monaldo: “In 1993, Riad Nachef and Samir Kadi wrote a book arguing that the qibla from North American lies to the southeast. Nachef and Kadi believe that the notion that the qibla points toward the northeast “divides the word of the Muslims and perverts the Religion.”[…] The real irony is that conventional notions of direction that lead Nachef and Kadi to believe that the qibla from North America lies to the southeast is based on a particular map projection by the Flemish cartographer Gerhardus Mercator. Medieval Islamic mathematicians knew better.”)
(Heute gibt es für dieses Problem übrigens den QiblaLocator von GoogleMaps.)

Das selbe Phänomen kennt natürlich jeder Flugreisende. Fliegen wir von Frankfurt nach Los Angeles, führt uns der Weg über Grönland. Diese Streckenführung über einen hohen Breitengrad resultiert aus der Tatsache, dass die kürzeste Verbindungslinie (Geodäte) auf der Sphäre entlang eines Großkreises führt, das heisst entlang eines Kreises, der den gleichen Mittelpunkt hat wie die Sphäre (Erde). Ein anderes Beispiel wäre die Reise von London (auf dem Null-Meridian) nach Fidschi, das im Pazifischen Ozean auf dem 180. Längengrad liegt. Die Geodäte zwischen diesen beiden Orten führt über den Nordpol. Ein direkter Flug nach Fidschi sollte dieser Strecke folgen. Die von einem Punkt aus startenden Geodäten können in eine beliebige vorgegebene Richtung gehen (festgelegt durch den Anfangsgeschwindigkeitsvektor), aber sie treffen sich alle wieder im Antipodenpunkt.
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© Y.Petridis (MPI Bonn)

Also: in einer gekrümmten Fläche (wie der Sphäre) ist die kürzeste Verbindung nicht die Gerade (wie im flachen euklidischen Raum), sondern die Form der kürzesten Verbindung zweier Punkte (“Geodäte”) hängt von der Krümmung der Fläche ab.
(Eine Digression, passend zum morgigen 130. Geburtstag Albert Einsteins: Licht, welches sich in einer – aus unserer Sicht – gekrümmten Bahn um ein massereiches Objekt – z.B. ein schwarzes Loch, oder auch nur einen großen Stern – bewegt, verfolgt eine Geodäte – wenn man die Raumzeit nach der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet. Das massereiche Objekt verursacht eine Raumkrümmung und somit ist die Gerade nicht mehr die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Siehe z.B. diesen Artikel zum Zwillingsparadox.)

Als Geodäten bezeichnet man “die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier Punkte”.
Auf der Sphäre sind dies die sogenannten Großkreise, einige Beispiele sind unten eingezeichnet.
(“Lokal kürzeste Verbindungskurve” soll heißen, daß es die kürzeste Verbindungskurve ist, solange die Punkte auf der Kurve nicht zu weit voneinander entfernt sind. Zum Beispiel ist die Kurve entlang eines Großkreises die kürzeste Verbindung, solange man nicht über die Hälfte des Großkreises hinausgeht.)

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Geodäten in der (euklidischen) Ebene sind natürlich Geraden.

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Insbesondere gibt es zu jeder gegebenen Gerade durch jeden Punkt (außerhalb) eine parallele Gerade. (Euklids 5. Postulat.)

Bei negativ gekrümmten Flächen kann es hingegen mehrere parallele Geodäten durch einen Punkt geben. (Geodäten heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden.)

Allgemein kann man auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (TvF 51) die Geodäten als Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung berechnen, nämlich (in lokalen Koordinaten) der Gleichung

d2 xm/dt2+ Σk,l Γmkldxk/dt dxl/dt=0

wobei Γmkl die Christoffel-Symbole sind.

Für den Torus rechts im Bild sind z.B. die beiden roten Kurven Geodäten.
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Eigentlich will ich heute aber vorführenen, welche Geodäten man in der letzte Woche beschriebenen hyperbolischen Geometrie hat.

Zur Erinnerung (TvF 55): das Poincaré-Halbebenen-Modell war die obere Halbebene {(x,y): y>0} mit der Riemannschen Metrik geukl/y2.
(Zur Veranschaulichung: Alle Dreiecke rechts im Bild sind gleich groß.)
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Man verwendet natürlich die Geodätengleichung aus dem vorletzten Absatz (zur Berechnung der Christoffel-Symbole siehe hier, Aufg. 3)

Die Geodätengleichung gibt die beiden Differentialgleichungen

x-(2/y) xy=0

y-(1/y) (y)2+(1/y) (x)2 =0.

Eine Lösung ist zum Beispiel x(t)=tanh(t), y(t)=1/cosh(t)
(siehe hier, Aufg. 4 für den Rechenweg).

Das sieht nach einer komplizierten Kurve aus, in Wirklichkeit ist es aber einfach nur eine ungewöhnliche Parametrisierung (einer Hälfte) des Einheitskreises: es ist nämlich x(t)2+y(t)2=tanh(t)2+1/cosh(t)2=(sinh(t)2+1)/cosh(t)2=1 wegen cosh(t)2-sinh(t)2=1.
Man bekommt als eine Geodäte also den (halben) Einheitskreis. Man kann leicht nachrechnen, daß auch die anderen auf der x-Achse senkrecht stehenden Halbkreise und Geraden die Geodätengleichung erfüllen, und daß dies alle Lösungen sind.

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Insbesondere gibt es also zu je zwei Punkten eine eindeutige Geodäte (so wie es in der euklidischen Geometrie zu je zwei Punkten eine eindeutige Gerade gibt), und es gibt aber zu einer Geodäte durch jeden Punkt (außerhalb der Geodäten) unendlich viele parallele Geodäten.

Im anderen letzte Woche beschriebenen Modell der hyperbolischen Ebene, dem Poincaré-Kreisscheibenmodell, kann man die Geodäten ebenfalls berechnen und man bekommt auch hier alle auf dem Rand senkrecht stehenden Geraden und Halbkreise.

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© Y.Petridis (MPI Bonn)

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Kommentare (3)

  1. #1 Thilo Kuessner
    29. März 2010

    Visualisierungen von Geodäten auf Flächen bei Steven Strogatz “Think Globally” auf http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/03/21/think-globally/

  2. #2 CannonDEANNA32
    9. Juni 2011

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