Wie kann man am besten kleinere Unebenheiten im Rasen ausgleichen? (Antwort hier)
Unebenheiten ausgleichen = flach machen = Krümmung zu Null machen.
Geometrisierung, wie gehabt (TvF 46) : man will Räume in eine besonders regelmäßige Form bringen, also Unebenheiten ausgleichen.
Im Fall von Flächen heißt “besonders regelmäßige Form”: eine Form, so daß in jedem Punkt der Fläche die Krümmung gleich groß ist.
Quelle: Jos Leys: The Shape of Planet Earth
Für eine (irgendwie deformierte) Sphäre ist natürlich anschaulich klar, wie man sie wieder in regelmäßige Form (rechts, mit Krümmung = 1 überall) bringt:
Analog für den Torus: man will erreichen, daß die Krümmung in jedem Punkt Null ist.
Wenn ein Torus im 3-dimensionalen Raum liegt, wie im Bild oben, dann gibt es sowohl Punkte mit positiver wie auch Punkte mit negativer Krümmung (TvF 50). Die Krümmung kann also nicht überall Null sein.
Aber es gibt ja ‘Riemannsche Metriken’ auf Flächen, die nicht von einer Einbettung in den 3-dimensionalen Raum kommen, vgl. TvF 51.
Und man kann tatsächlich mit ein wenig Überlagerungstheorie leicht eine Metrik auf dem Torus mit Krümmung 0 (in jedem Punkt) konstruieren. Nämlich wie folgt:
| Zunächst: ein Torus ist ein Produkt zweier Kreise. Dies erkennt man ganz gut am Bild rechts: jeder Punkt auf dem Torus ist eindeutig bestimmt durch zwei Koordinaten (zwischen 0 und 2π) auf dem waagerechten bzw. senkrechten Kreis. |
Letzte Woche hatten wir gezeigt, wie die Gerade den Kreis überlagert:
Quelle: Bergeron: Le monde automorphe de Thomas Pynchon
Man kann sich diese Überlagerung so veranschaulichen: die Gerade wird in (unendlich viele) Intervalle der Länge 2π unterteilt und jedes dieser Intervalle wird einmal um den Kreis gewickelt.
Entsprechend kann man die Ebene in Quadrate der Länge und Breite 2π unterteilen und jedes dieser Quadrate einmal um den Torus wickeln. Das gibt eine Überlagerung des Torus durch die 2-dimensionale Ebene.
Im folgenden Bild ist das Quadrat der Seitenlänge 2π der besseren Anschaulichkeit halber noch einmal in viele (400, wenn ich mich nicht verzählt habe) kleinere Quadrate zerteilt worden, die sich dann auf dem Torus wiederfinden.
Quelle: Ghys: Geometriser l’espace
Jeder Punkt auf dem Torus (rechts) wird von unendlich vielen Punkten in der Ebene (links) überlagert. Und in jedem der Punkte links hat man ‘dieselbe Metrik’. (Soll heißen: die Symmetrien der Überlagerung, also die waagerechten und senkrechten Verschiebungen der Länge 2π erhalten die Metrik, d.h. bilden Tangentialvektoren ab in Tangentialvektoren derselben Länge.) Damit kann man dann eine Riemannsche Metrik auf dem Torus (also ein Skalarprodukt auf der Tangentialebene, vgl. TvF 51) definieren, indem man einfach in jedem Punkt des Torus das Skalarprodukt in einem ‘darüberliegenden’ Punkt der Ebene nimmt. (Es kommt nicht darauf an, welchen darüberliegenden Punkt man nimmt, eben weil man überall dieselbe Metrik hat.)
Damit bekommt man eine Riemannsche Metrik auf dem Torus, die lokal genau so aussieht wie die Metrik der ‘darüberliegenden’ Ebene. Insbesondere ist die Krümmung dieselbe wie in der Ebene, also überall 0.
Der Vollständigkeit halber sollte ich noch erwähnen, daß man die flache Metrik auf dem Torus auch anders und im Grunde einfacher bekommen kann, wenn man bereit ist, eine vierte Dimension zu akzeptieren. Der Torus ist ja das Produkt zweier Kreise. Die Kreise kann man sich als Teil der 2-dimensionalen Ebene denken. Der Torus liegt dann also im Produkt zweier 2-dimensionaler Ebenen, also im 4-dimensionalen Raum. Und es ist eine leichte Übung, sich zu überlegen, daß dieser Torus Krümmung 0 hat. (Dagegen gibt es, wie gesagt, keinen Torus im 3-dimensionalen Raum mit Krümmung 0.)
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