Wie kann man am besten kleinere Unebenheiten im Rasen ausgleichen? (Antwort hier)

Unebenheiten ausgleichen = flach machen = Krümmung zu Null machen.

Geometrisierung, wie gehabt (TvF 46) : man will Räume in eine besonders regelmäßige Form bringen, also Unebenheiten ausgleichen.
Im Fall von Flächen heißt “besonders regelmäßige Form”: eine Form, so daß in jedem Punkt der Fläche die Krümmung gleich groß ist.

i-2aa7db379e3fd51eba3bb947a40160d9-Piriforme3.JPG

Quelle: Jos Leys: The Shape of Planet Earth

Für eine (irgendwie deformierte) Sphäre ist natürlich anschaulich klar, wie man sie wieder in regelmäßige Form (rechts, mit Krümmung = 1 überall) bringt:

i-579639771bba6cd962c92fc7b59b447e-Sphere.JPG

Analog für den Torus: man will erreichen, daß die Krümmung in jedem Punkt Null ist.

Wenn ein Torus im 3-dimensionalen Raum liegt, wie im Bild oben, dann gibt es sowohl Punkte mit positiver wie auch Punkte mit negativer Krümmung (TvF 50). Die Krümmung kann also nicht überall Null sein.

Aber es gibt ja ‘Riemannsche Metriken’ auf Flächen, die nicht von einer Einbettung in den 3-dimensionalen Raum kommen, vgl. TvF 51.
Und man kann tatsächlich mit ein wenig Überlagerungstheorie leicht eine Metrik auf dem Torus mit Krümmung 0 (in jedem Punkt) konstruieren. Nämlich wie folgt:

Zunächst: ein Torus ist ein Produkt zweier Kreise. Dies erkennt man ganz gut am Bild rechts: jeder Punkt auf dem Torus ist eindeutig bestimmt durch zwei Koordinaten (zwischen 0 und 2π) auf dem waagerechten bzw. senkrechten Kreis.
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Letzte Woche hatten wir gezeigt, wie die Gerade den Kreis überlagert:

i-734118a403132a07481349bf9ae12623-myhel.gif

Quelle: Bergeron: Le monde automorphe de Thomas Pynchon

Man kann sich diese Überlagerung so veranschaulichen: die Gerade wird in (unendlich viele) Intervalle der Länge 2π unterteilt und jedes dieser Intervalle wird einmal um den Kreis gewickelt.

Entsprechend kann man die Ebene in Quadrate der Länge und Breite 2π unterteilen und jedes dieser Quadrate einmal um den Torus wickeln. Das gibt eine Überlagerung des Torus durch die 2-dimensionale Ebene.
Im folgenden Bild ist das Quadrat der Seitenlänge 2π der besseren Anschaulichkeit halber noch einmal in viele (400, wenn ich mich nicht verzählt habe) kleinere Quadrate zerteilt worden, die sich dann auf dem Torus wiederfinden.

i-e06a1b06a4d48cb27f2fbe1f550eb038-unif-tore-2.jpg

Quelle: Ghys: Geometriser l’espace

Jeder Punkt auf dem Torus (rechts) wird von unendlich vielen Punkten in der Ebene (links) überlagert. Und in jedem der Punkte links hat man ‘dieselbe Metrik’. (Soll heißen: die Symmetrien der Überlagerung, also die waagerechten und senkrechten Verschiebungen der Länge 2π erhalten die Metrik, d.h. bilden Tangentialvektoren ab in Tangentialvektoren derselben Länge.) Damit kann man dann eine Riemannsche Metrik auf dem Torus (also ein Skalarprodukt auf der Tangentialebene, vgl. TvF 51) definieren, indem man einfach in jedem Punkt des Torus das Skalarprodukt in einem ‘darüberliegenden’ Punkt der Ebene nimmt. (Es kommt nicht darauf an, welchen darüberliegenden Punkt man nimmt, eben weil man überall dieselbe Metrik hat.)
Damit bekommt man eine Riemannsche Metrik auf dem Torus, die lokal genau so aussieht wie die Metrik der ‘darüberliegenden’ Ebene. Insbesondere ist die Krümmung dieselbe wie in der Ebene, also überall 0.

Der Vollständigkeit halber sollte ich noch erwähnen, daß man die flache Metrik auf dem Torus auch anders und im Grunde einfacher bekommen kann, wenn man bereit ist, eine vierte Dimension zu akzeptieren. Der Torus ist ja das Produkt zweier Kreise. Die Kreise kann man sich als Teil der 2-dimensionalen Ebene denken. Der Torus liegt dann also im Produkt zweier 2-dimensionaler Ebenen, also im 4-dimensionalen Raum. Und es ist eine leichte Übung, sich zu überlegen, daß dieser Torus Krümmung 0 hat. (Dagegen gibt es, wie gesagt, keinen Torus im 3-dimensionalen Raum mit Krümmung 0.)

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62

Kommentare (26)

  1. #1 Dr. Anton Schober
    18. Februar 2010

    der torus ist definiert in allen dimensionen, ähnlich der kugel.
    die kugeln der dim 2,4,8 sind orientierbar, (Milnor&Bott),
    in den ungeraden dimensionen sind sie nicht orientierbar, haben pole.
    nun ist der torus im R(3) orientierbar,
    und unter topologen sind tori trivial.
    was ist mit dem torus im R(4)?
    der P(3), der projektive raum (raum der äquivalenzklassen der nichtnull 4-tupel),
    ist global ein doppeltorus (im R(4)), wobei die innenfläche des einen torus die außenfläche des anderen ist.
    ich nehme an: nichtorientierbar,
    mit dramatischen konsequenzen in der kosmologie, falls das universum P(3) ist.
    zwei projektive geraden hätten dann immer einen schnittpunkt,
    im gegensatz zum Einsteinschen kugelmodell (oder im E(3))
    ich bitte um antwort.
    Dr. Schober

  2. #2 Thilo
    18. Februar 2010

    Es freut mich sehr, daß mein Blog inzwischen auch in Dadaisten-Kreisen gelesen wird.

  3. #3 Dr. Anton Schober
    19. Februar 2010

    si tacuisses, mathematicus mansisses.
    Dr.S.

  4. #4 Thilo
    19. Februar 2010

    Bewerben Sie sich doch mal bei Metanexus. Die zahlen viel Geld für solche sinnfreien Texte

  5. #5 Thilo Kuessner
    19. Februar 2010

    Entschuldigung, ich hab mich vertippt. Ich meinte natürlich “philosophische Texte”, nicht “sinnfreie Texte”.

  6. #6 Dr. Anton Schober
    20. Februar 2010

    passt scho’.
    Freud’sche Fehlleistung.
    shit happens!
    Dr.S.

  7. #7 Dr. Anton Schober
    20. Februar 2010

    ‘tschuldigung, ich hab mich vertippt. ich meinte natürlich:
    Ich bin Dada,
    aber Sie sind Gaga!
    forever yours!
    Dr.S.
    Metanexaner

  8. #8 Miriam
    2. März 2010

    Die Sachen mit der Metrik sind mir zu hoch!

  9. #9 Rumpel
    3. März 2010

    hallo Miriam,
    das, was da oben steht kannste auch nicht versteh’n,
    dazu ist es zu krude formuliert,
    zwischen unverständlich, knapp daneben und fehlerhaft.
    der herr “mathematiker” hat sich so um 100% (!) beim abzählen der “kleinen quadrate” vertan, 200 statt 400, who cares!
    der ausflug in die “vierte dimension” (letzter absatz) ist auch nicht geglückt, denn nur das INNERE dieser zwei kreise (auch das äußere) ist flach, hier kommt es aber auf den – gekrümmten – rand der kreise an!

    der darüber stehende absatz wäre auch auf die lokale metrik einer kugel anwendbar,
    da hat jeder punkt auch eine tangentialebene, genau genommen wie jede glatte fläche.
    auch die die geschichte mit quadraten der kantenlänge zwei pi dokumentiert das denken auf sehr dünnem eis.
    wieso zwei pi?
    die quadrate werden für die passende überlagerung des torus entsprechend verzerrt,
    jede menge von kongruenten rechtecken leistet eine solche überlagerung des torus.
    von den 2 pi der kantenlängen bleibt nach überdeckung i.a. nix übrig.

    die letzten15 zeilen des textes könnte man so zusammenfassen:
    wie jede glatte fläche ist auch der torus lokal flach, folgt also der Euklidischen metrik,
    Riemannsche metrik braucht man da erst mal gar nicht!
    (erst beim ausrechnen der geodätischen)

    merke: aus topologischer sicht ist der torus trivial, denn seine universelle überlagerungsfläche ist die ebene,
    eine überlagerungsfläche unterteilt in rechtecke.
    wennde das verstanden hast, biste einen schritt weiter!

    have a nice day!

    Jossarian

  10. #10 Rumpel
    3. März 2010

    hallo Miriam,
    das, was da oben steht kannste auch nicht versteh’n,
    dazu ist es zu krude formuliert,
    zwischen unverständlich, knapp daneben und fehlerhaft.
    der herr “mathematiker” hat sich so um 100% (!) beim abzählen der “kleinen quadrate” vertan, 200 statt 400, who cares!
    der ausflug in die “vierte dimension” (letzter absatz) ist auch nicht geglückt, denn nur das INNERE dieser zwei kreise (auch das äußere) ist flach, hier kommt es aber auf den – gekrümmten – rand der kreise an!

    der darüber stehende absatz wäre auch auf die lokale metrik einer kugel anwendbar,
    da hat jeder punkt auch eine tangentialebene, genau genommen wie jede glatte fläche.
    auch die die geschichte mit quadraten der kantenlänge zwei pi dokumentiert das denken auf sehr dünnem eis.
    wieso zwei pi?
    die quadrate werden für die passende überlagerung des torus entsprechend verzerrt,
    jede menge von kongruenten rechtecken leistet eine solche überlagerung des torus.
    von den 2 pi der kantenlängen bleibt nach überdeckung i.a. nix übrig.

    die letzten15 zeilen des textes könnte man so zusammenfassen:
    wie jede glatte fläche ist auch der torus lokal flach, folgt also der Euklidischen metrik,
    Riemannsche metrik braucht man da erst mal gar nicht!
    (erst beim ausrechnen der geodätischen)

    merke: aus topologischer sicht ist der torus trivial, denn seine universelle überlagerungsfläche ist die ebene,
    eine überlagerungsfläche unterteilt in rechtecke.
    wennde das verstanden hast, biste einen schritt weiter!

    have a nice day!

    Jossarian

  11. #11 Rumpel
    3. März 2010

    hallo Miriam,
    das, was da oben steht kannste auch nicht versteh’n,
    dazu ist es zu krude formuliert,
    zwischen unverständlich, knapp daneben und fehlerhaft.
    der herr “mathematiker” hat sich so um 100% (!) beim abzählen der “kleinen quadrate” vertan, 200 statt 400, who cares!
    der ausflug in die “vierte dimension” (letzter absatz) ist auch nicht geglückt, denn nur das INNERE dieser zwei kreise (auch das äußere) ist flach, hier kommt es aber auf den – gekrümmten – rand der kreise an!

    der darüber stehende absatz wäre auch auf die lokale metrik einer kugel anwendbar,
    da hat jeder punkt auch eine tangentialebene, genau genommen wie jede glatte fläche.
    auch die die geschichte mit quadraten der kantenlänge zwei pi dokumentiert das denken auf sehr dünnem eis.
    wieso zwei pi?
    die quadrate werden für die passende überlagerung des torus entsprechend verzerrt,
    jede menge von kongruenten rechtecken leistet eine solche überlagerung des torus.
    von den 2 pi der kantenlängen bleibt nach überdeckung i.a. nix übrig.

    die letzten15 zeilen des textes könnte man so zusammenfassen:
    wie jede glatte fläche ist auch der torus lokal flach, folgt also der Euklidischen metrik,
    Riemannsche metrik braucht man da erst mal gar nicht!
    (erst beim ausrechnen der geodätischen)

    merke: aus topologischer sicht ist der torus trivial, denn seine universelle überlagerungsfläche ist die ebene,
    eine überlagerungsfläche unterteilt in rechtecke.
    wennde das verstanden hast, biste einen schritt weiter!

    have a nice day!

    Jossarian

  12. #12 Thilo Kuessner
    3. März 2010

    Den Kommentar EINMAL einzustellen hätte auch gereicht.

    der ausflug in die “vierte dimension” (letzter absatz) ist auch nicht geglückt, denn nur das INNERE dieser zwei kreise (auch das äußere) ist flach, hier kommt es aber auf den – gekrümmten – rand der kreise an!

    Es geht hier um Schnittkrümmung, die ist definiert für 2-dimensionale Unterräume im Tangentialraum, und die Schnittkrümmung eines Kreises ist 0 (offensichtlich, weil es keine 2-dimensionalen Unterräume im Tangentialraum gibt).

    die letzten15 zeilen des textes könnte man so zusammenfassen:
    wie jede glatte fläche ist auch der torus lokal flach, folgt also der Euklidischen metrik,
    Riemannsche metrik braucht man da erst mal gar nicht!

    Nein, so kann man das nicht zusammenfassen. Es kommt für die Berechnung der Krümmung durchaus darauf an, die Riemannsche Metrik (lokal) zu kennen.
    Die Bezeichnung ‘lokal euklidisch’, die man gelegentlich für (beliebige) glatte Flächen findet, ist da vielleicht etwas irreführend. Jede glatte Fläche sieht lokal (topologisch) aus wie der euklidische Raum, aber die Metrik stimmt (auch lokal) nicht mit der euklidischen Metrik überein, außer eben für den flachen Torus, um den es in den letzten 15 Zeilen geht.

    .

  13. #13 Thilo Kuessner
    3. März 2010

    wieso zwei pi?

    Es ist natürlich egal, welchen Maßstab man nimmt. 2pi ist der Umfang des Einheitskreises, man kann auch einen anderen Maßstab nehmen. Es ging nur darum, daß alle Quadrateb gleich groß sind.

    die quadrate werden für die passende überlagerung des torus entsprechend verzerrt,

    Der Punkt ist gerade, daß man die Riem. Metrik auf dem Torus so DEFINIERT, daß die Quadrate nicht verzerrt werden. Deswegen bekommt man eben einen flachen Torus und keinen gekrümmten, wie es das Bild rechts unten nahelegt. (Ein besseres Bild als rechts unten gibt es leider nicht. Man kann den flachen Torus eben nicht im R^3 zeichnen.)

  14. #14 Jossarian
    3. März 2010

    hallo Autor,

    shit happens!
    sorry, gestern nacht hat das internet mal wieder mist gebaut
    und mir mitgeteilt, “Ihre Nachricht wurde nicht versand”
    dann um 0.32uhr, endlich: “gesendet”
    beim nachgucken, oups, das war schon das dritte mal!
    peinlich!

    es gibt beliebig viele metriken auf topologischen räumen und ich kann mich nicht einfach mal hier, mal dort bedienen,
    z.b. auf der gröbsten oder feinsten metrik bin ich fast im paradies, dieses ist dann aber leider trivial bestückt (nicht viel los).
    in diesen fällen sind kugel und torus topologisch äquivalent, auch flach, wenn man so will! not bad!
    ich brauche schon eine referenzmetrik, die mit anderen auf geometrischen räumen definierten metriken so halbweges kompatibel ist,
    in unserem fall die Euklidische.
    im Euklidischen Raum, meinetwegen E^n, gilt: drei nichtkollineare punkte definieren eine Ebene, also einen E^2.
    in Torusfalle würde das heißen,
    falls er denn flach im R^4 wäre,
    je vier punkte sind linear abhängig.
    das ist nicht der fall:
    hier der Torus im R^4:
    x = sin a cos v
    y = sin a sin v
    z = cos a cos u
    w= cos a sin u,
    wie man leicht sieht liegen die einheitspunkte auf dem Torus, die sind aber lin. unabhängig und unter Euklidischem gesichtspunkt ist der Torus nicht flach,
    in keiner dimension.
    das linienelement ist:
    ds² = cos² a du² + sin² a dv²,
    also bleiben die ränder des quadrates mit kantenlänge 2 pi tatsächlich im u,v raum gleich lang, toll!
    Da E und G unabhängig von u und v sind, ist die metrik lokal Euklidisch (F, der mixterm
    dudv ist null)
    die Euklidische eigenschaft der umgebungen setzt sich im globalen merkwürdigerweise
    in der translations-untergruppe durch:
    für zwei beliebige punkte P = P(a,u,v) und Q= Q(a’,u’,v’)
    d.h.,auf dem Torus,
    gibt es eine translation im u,v raum, die P in Q überführt,
    also:
    u’ = u+j
    v’ = v+k.
    translationen im u,v raum sind also kreise in der x,y bezw. z,w ebene.
    kreise im u,v raum gehen aber i.a. nicht in äquivalente (meinetwegen Ellipsen) Euklidische – geschlossene – kurven über,
    da könnteste ‘mal ‘ne schöne computergraphik machen, wie das aussieht.
    da fällt mir ein, bei den projektiven eben gibt es typen über gewissen ternärkörpern, die nur die tranlations-gruppe zulassen, sogenannte translationsebenen.
    das wäre mal was, wenn der torus da drin rumliegen würde, dort wäre er wirklich flach, also komplett eben!
    die passenden toruskordinaten würden dann geschriebem im translationskörper.

    fehlt noch Dein kommentar zu den 400 quadraten auf dem Torus,
    kannst ja erklären, jedes der 200 quadrate zählt doppelt,
    also es zur einfachen übungsaufgabe für den leser machen:
    auf dem torus sieht man 4oo quadrate, wie geht das?
    antwort: dieser torus besteht aus der überlagerung von zwei quadraten.

    have a nice day

    Jossarian

    Ps: außerdem sollteste mal einen kommentar schreiben, den die Miriam verstehen kann, und die arbeit nicht Deinem Dada-freund überlassen.
    und immer nur mir antworten.

    Pss: obige argumentation folgt dem buch:
    Busemann&Kelly, Projective Geometry and Projective Metrics, Kapitel 53 und 54,
    die ich jetzt endlich verstanden habe, und das ist ja auch was wert, gelle?

  15. #15 Thilo Kuessner
    3. März 2010

    es gibt beliebig viele metriken auf topologischen räumen und ich kann mich nicht einfach mal hier, mal dort bedienen,

    Genau darum geht es bei “Geometrisierung”: man hat einen toploogischen Raum und man sucht sich dann unter den vielen möglichen Metriken eine besonders “schöne”, d.h. besonders regelmäßige.

    Natürlich gibt es auf dem Torus sehr viele Riemannsche Metriken, man kann ihn auf unterschiedliche Weise in den R^3 einbetten, oder auch in den R^4.

    Bei Metriken, die von Einbettungen des Torus im R^3 kommen, gibt es Punkte mit positiver Krümmung und andere Punkte mit negativer Krümmung, http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/01/topologie-von-flachen-l.php. Aus topologischer Sicht wirkt das ein bißchen willkürlich – man hätte lieber eine Metrik, die in jedem Punkt gleich aussieht. Deshalb arbeitet man lieber mit der flachen Metrik, die von der Überlagerung Ebene –> Torus (oder der im letzten Absatz erwähnten Einbettung in den R^4) kommt.

  16. #16 Thilo Kuessner
    3. März 2010

    unter Euklidischem gesichtspunkt ist der Torus nicht flach

    “flach” bezieht sich auf die Krümmung (genauer: die Schnittkrümmung) – eine flache Riemannsche Metrik ist eine mit Schnittkrümmung konstant Null

    zu den 400 quadraten auf dem Torus

    Auf dem Bild sieht man ja nur die Vorderseite. Jedenfalls ist die Longitude in 20 Abschnitte unterteilt. Ich bin mal davon ausgegangen, daß das beim Meridian genauso ist, der Symmetrie halber. (Zählen kann man da ja nicht, weil man die Rückseite nicht sieht.) Damit wäre man dann bei 20×20=400 Quadraten.
    Die genaue Zahl ist aber unerheblich, genauso wie die Kreisumfangs-Länge 2pi. Es liest sich nur halt flüssiger, wenn konkrete Zahlen vorkommen statt vieler Variablen.

  17. #17 Jossarian
    3. März 2010

    oh gottele!

    Schnittkrümmung?
    hat der kreis nicht, also isser flach, wie der torus.
    und alle zahlen sind primzahlen, wenn ich sie modulo zwei nehme!

    200 quadrate, leicht zu sehen!!!
    der meridian ist genauso gleichmäßig in 10 teile geteilt wie die longitude in 20.
    außerdem sollten Sie als Topologe zuammenzucken, wenn behauptet wird man möchte diese überdeckung derart unsymmetrisch machen, geht zwar,
    ich kann auch mit dreiecken überdecken,
    macht in diesem zusammenhang aber keinen sinn!

    es gilt, was ich schon der Miriam schrieb:
    glatte flächen sind lokal Euklidisch,
    wenn ds² entsprechend gebaut ist,
    dass heißt, man braucht den Euklidischen maßstab beim wandern über die fläche nicht ändern
    alles andere ist unbrauchbare Scholastik.

    Sie sind mental nicht in der lage,
    zurückzustecken,
    geschweige denn einen fehler zuzugeben,
    da gleichen Sie bedeutenden persönlichkeiten, z.b. unserem Bendikt in Rom.

    have a nice day

    Jossarian

  18. #18 Thilo Kuessner
    3. März 2010

    es gilt, was ich schon der Miriam schrieb:
    glatte flächen sind lokal Euklidisch,
    wenn ds² entsprechend gebaut ist,
    dass heißt, man braucht den Euklidischen maßstab beim wandern über die fläche nicht ändern
    alles andere ist unbrauchbare Scholastik.

    Wenn dem so wäre, hätten alle Flächen Krümmung 0, was aber nicht der Fall ist.
    Scholastik ist das sicher nicht, Krümmung gibt es wirklich: http://www.scienceblogs.de/mathlog/2009/01/topologie-von-flachen-xlvii.php

    da gleichen Sie bedeutenden persönlichkeiten, z.b. unserem Bendikt in Rom.

    Wieso “unserem”? Ich bin kein Bildzeitungsleser

  19. #19 Thilo
    10. Januar 2011

    Ein Kuriosum am Rande: der im 4. Kommentar oben verlinkte Text ist inzwischen komplett überarbeitet worden.
    In der ursprünglichen Version hatte man u.a. sinngemäß behauptet, daß Mathematiker keine formalen Möglichkeiten zur Beschreibung des Unendlichen hätten. Diese Teile wurden jetzt entfernt.
    Ein bemerkenswerter Erkenntnisfortschritt. Nach fast 400 Jahren wird die Infinitesimalrechnung jetzt also auch von den Mathematik-Philosophen zur Kenntnis genommen. (Und es ist wahrscheinlich das erste Mal, wo eine Konferenzankündigung 5 Jahre NACH der Konferenz noch einmal überarbeitet wurde.)

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