Überlagerungen der Brezelfläche und Symmetrien der hyperbolischen Ebene.

Der Nutzen der Überlagerungstheorie besteht darin, daß es zu jeder Fläche eine einfach zusammenhängende Überlagerungs-Fläche gibt und daß man damit Fragen über Flächen auf Fragen über Symmetrien einfach zusammenhängender Flächen zurückführen kann.

(Eine Fläche ist einfach zusammenhängend, wenn sich jeder geschlossene Weg stetig in einen Punkt deformieren läßt. (TvF 21). Die Ebene, die Kreisscheibe oder die Sphäre (Bild: © DIE ZEIT, 24.08.2006 Nr. 35) sind einfach zusammenhängend, Torus oder Brezel dagegen nicht.)
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Wir hatten vor 2 Wochen gesagt, was Überlagerungen sind und als Beispiel letzte Woche gesehen, daß die Ebene den Torus überlagert.
(Bild: Ghys: Geometriser l’espace)
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Daraus ergab sich dann, daß der Torus eine Metrik mit Krümmung 0 hat.

Als weiteres Beispiel heute die einfach zusammenhängende Überlagerungs-Fläche der Brezel.

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Quelle: http://mathworld.wolfram.com/UniversalCover.html

Die Brezel läßt sich in ein 8-Eck zerschneiden (die blauen bzw. roten, orangen, violetten Kanten im Bild oben entsprechen der blauen bzw. roten, orangen, violetten Kurve im Bild oben). Jeder Punkt im Achteck entspricht einem Punkt auf der Brezel.

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Quelle: http://mathworld.wolfram.com/UniversalCover.html

Das Bild unten zeigt, wie man die Kreisscheibe in Achtecke zerlegen kann. Jedes Achteck läßt sich wie oben auf die Brezel abbilden. Damit bekommt man eine Abbildung der gesamten Kreisscheibe auf die Brezel, und diese ist eine Überlagerung (mit unendlich vielen Blättern: jeder Punkt auf der Brezel entspricht unendlich vielen Punkten in der Kreisscheibe).

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Quelle: http://mathworld.wolfram.com/UniversalCover.html

Also: die Brezel wird von der Kreisscheibe überlagert.

Um auf der Brezel eine Metrik mit Krümmung -1 zu finden, muß man auf der Kreisscheibe eine Metrik mit Krümmung -1 finden, mit der zusätzlichen Bedingung, daß die Symmetrien der Überlagerung ‘Isometrien’ der Metrik sind.

Und, wunderbarerweise, hat man auf der Kreisscheibe tatsächlich eine solche Metrik. Das Poincaré-Kreisscheiben-Modell der hyperbolischen Ebene (TvF 55) ist eine Riemannsche Metrik auf der Kreisscheibe mit Krümmung -1 und (das ist jetzt natürlich nicht offensichtlich, sondern muß bewiesen werden) die Symmetrien der oben abgebildeten Überlagerung sind Isometrien dieser Metrik.

Bilder von Mathworld.

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